精品解析：吉林省蛟河市实验中学2024-2025学年高二上学期期末联考数学试题

高二数学 数学 试题共4页，全卷满分150分，考试时间为120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知等差数列满足，则等于（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列的性质进行求解. 【详解】 故选：B 2. 直线的一个方向向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出直线的斜率，结合选项，即可作答. 【详解】直线的斜率，所以直线的一个方向向量为， 故选：A. 3. 若构成空间的一个基底，则空间的另一个基底可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据共面定理逐一判断即可. 【详解】因为，所以，，共面， 所以不是空间的另一个基底，A错误． 因为，所以，，共面， 所以不是空间的另一个基底，B错误． 假设存在m，n，使得， 则，显然无解，所以，，不共面， 所以是空间的另一个基底，C正确． 因为，所以，，共面， 所以不是空间的另一个基底，D错误． 故选：C 4. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】写出抛物线的标准方程，求出准线方程. 【详解】由题意，抛物线的标准方程为， 所以抛物线的准线方程为. 故选：A. 5. 已知，向量，，，且，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量平行和垂直的坐标运算求解. 【详解】因为向量， ，， 由，则，解得， 由，则，解得，则． 故选：A． 6. 若圆C的圆心为，且被x轴截得弦长为4，则圆C的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意作出图形，利用垂径定理可求得，继而求出圆的半径，写出圆的方程. 【详解】 如图，过点作于，依题意，,因,故， 从而，圆的半径为：, 故所求圆的方程为：，即. 故选：A. 7. 已知等比数列满足，且，，成等差数列，则数列的公比等于 A. 1 B. -1 C. -2 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据等比数列的通项公式和等差中项的关系，列出方程组,进而求解. 【详解】设的公比为，因为成等差数列，所以 ，即，解得 【点睛】属于基础题,考察数列基本量的题目，难点在于运算，本题尤其要注意如何求出公比和首项. 8. 双曲线的上焦点到双曲线一条渐近线的距离为，则双曲线两条渐近线的斜率之积为（ ） A. B. 4 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】由点到直线的距离公式、焦点、渐近线以及的关系即可求解. 【详解】由对称性，不妨设，双曲线的渐近线是， 则由题意，解得，故所求为. 故选：A. 二､多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个符合题意的选项，每选对一个得3分；若只有3个符合题意的选项，每选对一个得2分.） 9. 下列命题中错误的是（ ） A. 若直线的倾斜角为钝角，则其斜率一定为负数 B. 任何直线都存在斜率和倾斜角 C. 直线的一般式方程为 D. 任何一条直线至少要经过两个象限 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用直线倾斜角、斜率的意义判断AB；利用直线一般式方程的条件判断C；举例说明判断D. 【详解】对于A，直线的倾斜角，则其斜率，A正确； 对于B，倾斜角为的直线不存在斜率，B错误； 对于C，直线的一般式方程为，，C错误； 对于D，当直线与轴或轴重合时，该直线不经过任何象限，D错误. 故选：BCD 10. 在同一平面直角坐标系中，直线与圆的位置可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】求出直线所过的定点并判断与圆的位置关系即可得解. 【详解】直线过定点，显然点在圆内， 因此直线与圆必相交，C错误； 而直线表示平面内过点的除直线外的任意直线，因此选项ABD都可能. 故选：ABD 11. 正方体的棱长为2，，，分别为，，的中点，则（ ） A. 直线与直线垂直 B. 平面截正方体所得的截面面积为 C. 三棱锥的体积为2 D. 点与点G到平面的距离相等 【答案】BD 【解析】 【分析】对四个选项一一验证： 对于A：用反证法，假设直线与直线垂直，可以证明面.在正方体中，面，这“过一点有且只有一条直线与已知平面垂直”相矛盾，即可判断； 对于B：连结，即可得到面截正方体所得的截面为等腰梯形,再求等腰梯形的面积； 对于C：直接计算三棱锥的体积； 对于D：取的中点H，连结,证明面面AEF，即可得到点与点G到平面的距离相等. 【详解】如图： 对于A：因为正方体的棱长为2，，，分别为，，的中点，所以. 假设直线与直线垂直，又因为,所以面,所以而所以面. 在正方体中，面,则过A点有两条直线AB、AE与面垂直，这“过一点有且只有一条直线与已知平面垂直”相矛盾，故A错误； 对于B：连结 因为，，分别为，的中点，所以面截正方体所得的截面为等腰梯形, 由正方体边长为2，得：所以等腰梯形的高为,所以等腰梯形的面积为，故B正确； 对于C：三棱锥的体积：,故C错误； 对于D:取的中点H，连结,由已知得：,面AEF, 面AEF,所以面AEF；同理可证：面AEF. 因为,所以面面AEF，所以点与点G到平面的距离相等. 故D正确. 故选：BD 【点睛】（1）多项选择题是2020年高考新题型，需要要对选项一一验证． （2）立体几何几何位置关系的证明，用判定定理；计算通常是求角或求距离，（求体积通常需要先求距离）.如果求体积（或求距离），常用的方法有：(1) 直接法；(2)等体积法；(3) 补形法；(4)向量法. 三､填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知双曲线（其中）的右焦点为，则________，的离心率为________． 【答案】 ①. 1 ②. 2 【解析】 【分析】由关系可得，再由可求离心率. 【详解】由题意可得双曲线焦点在轴上，且， 则，由得， 故的离心率. 故答案为：1；2. 13. 若数列为等比数列，且，，则___________. 【答案】256 【解析】 【分析】由等比数列片段和性质结合等比数列的通项公式，即可求解 【详解】∵是等比数列， ∴，，，，为等比数列， 且公比， ∴. 故答案为： 14. 已知直线与椭圆交于两点，弦的中点为，则直线的方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】点差法求出直线的斜率，点斜式得直线方程. 【详解】设点，点为弦的中点，有， 将两点代入椭圆方程，得， 两式作差得，整理得 得直线的斜率为，直线的方程为，即. 经检验符合题意.A 故答案为：. 四､解答题：（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.） 15. 已知数列的前项和为，且满足. （1）求的值； （2）求数列的通项公式. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题中所给的条件，将分别代入求得结果； （2）得出数列的相邻两项之间的递推关系，验证前两项，从而得出数列为等比数列，从而写出数列的通项公式. 【小问1详解】 当时，可得，解得，. 当时，可得，， 解得. 【小问2详解】 因为，当时，. 所以， 即，（）， 另由得， 所以数列是首项为，公比为的等比数列. . 16. 已知圆． （1）求圆的标准方程，并写出圆的圆心坐标和半径： （2）若直线与圆交于A，B两点，且，求的值． 【答案】（1），圆心坐标，半径为 （2）或 【解析】 【分析】（1）配方得到圆的标准方程，得到圆心坐标和半径； （2）由垂径定理得到圆心到直线距离，从而根据点到直线距离公式得到方程，求出答案 【小问1详解】 由，得， 则圆的标准方程为， 圆的圆心坐标，半径为． 【小问2详解】 由，得圆心到直线的距离为， 则圆心到直线的距离，得或． 17. 如图，直三棱柱中，，是的中点，是的中点． （1）证明：直线直线; （2）求直线与平面所成的角的大小． 【答案】（1） 不妨设，以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图， ,. ,因为，所以. （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量证明垂直； （2）求出平面的法向量，利用线面角的公式可求答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，, 易知平面的一个法向量为, 设直线与平面所成的角为，则， 所以，即直线与平面所成的角的大小为. 18. 已知椭圆的一个顶点为，离心率为，直线与椭圆交于不同的两点 （1）求椭圆的方程； （2）求弦长 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由顶点为，离心率为，可得椭圆方程； （2）将直线方程与椭圆方程联立，然后由两点间距离公式结合韦达定理可得答案. 【小问1详解】 由已知得， 则，椭圆方程为. 【小问2详解】 由消得：， 则，设， 19. 已知等差数列的前n项和为，且，． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前n项和； （3）若，令，求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的前项和公式与通项公式，即可解出，则可写出其通项公式； （2）利用等差数列的前n项和公式，结合第（1）问，即可求得； （3）利用错位相减，化简解可得出答案. 【小问1详解】 设公差为d，中，令得， 又，则，解得， 故； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 ， 则①， 故②， 故①－②得 ， 故． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学 数学 试题共4页，全卷满分150分，考试时间为120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知等差数列满足，则等于（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 2. 直线的一个方向向量是（ ） A. B. C. D. 3. 若构成空间的一个基底，则空间的另一个基底可能是（ ） A. B. C. D. 4. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，向量，，，且，，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 若圆C的圆心为，且被x轴截得弦长为4，则圆C的方程为（ ） A. B. C. D. 7. 已知等比数列满足，且，，成等差数列，则数列的公比等于 A. 1 B. -1 C. -2 D. 2 8. 双曲线的上焦点到双曲线一条渐近线的距离为，则双曲线两条渐近线的斜率之积为（ ） A. B. 4 C. D. 2 二､多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个符合题意的选项，每选对一个得3分；若只有3个符合题意的选项，每选对一个得2分.） 9. 下列命题中错误的是（ ） A. 若直线的倾斜角为钝角，则其斜率一定为负数 B. 任何直线都存在斜率和倾斜角 C. 直线的一般式方程为 D. 任何一条直线至少要经过两个象限 10. 在同一平面直角坐标系中，直线与圆的位置可能为（ ） A. B. C. D. 11. 正方体的棱长为2，，，分别为，，的中点，则（ ） A. 直线与直线垂直 B. 平面截正方体所得的截面面积为 C. 三棱锥的体积为2 D. 点与点G到平面的距离相等 三､填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知双曲线（其中）的右焦点为，则________，的离心率为________． 13. 若数列为等比数列，且，，则___________. 14. 已知直线与椭圆交于两点，弦的中点为，则直线的方程为__________. 四､解答题：（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.） 15. 已知数列的前项和为，且满足. （1）求的值； （2）求数列的通项公式. 16. 已知圆． （1）求圆的标准方程，并写出圆的圆心坐标和半径： （2）若直线与圆交于A，B两点，且，求的值． 17. 如图，直三棱柱中，，是的中点，是的中点． （1）证明：直线直线; （2）求直线与平面所成的角的大小． 18. 已知椭圆的一个顶点为，离心率为，直线与椭圆交于不同的两点 （1）求椭圆的方程； （2）求弦长 19. 已知等差数列的前n项和为，且，． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前n项和； （3）若，令，求数列的前n项和． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $