精品解析：甘肃省武威市2024-2025学年高三上学期期末联考数学试卷

武威市高三期末联考试卷 数 学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：高考全部内容． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. 0 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据复数乘法和加减法进行运算，再求其模. 【详解】， 故. 故选：D 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由一元二次函数性质求出集合B，再由交集定义计算即可得解. 【详解】因为， 所以 ，又， 所以. 故选：B. 3. 函数的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将选项中各区间两端点值代入，满足的区间为零点所在的一个区间． 【详解】函数定义域为， 因为在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以在上单调递减， 因为，， 所以的零点所在区间为． 故选：A 4. 已知是等差数列的前项和，若，则（ ） A. 24 B. 21 C. 14 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列下标和的性质可计算结果. 【详解】由等差数列的性质可得，即， ∴. 故选：C. 5. 若，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二倍角公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，再代入计算可得. 【详解】因为， 所以． 故选：A 6. 已知，，，的中位数为，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据中位数为求出的取值范围，即可确定四个数的大小关系，列方程即可求解. 【详解】∵，，，共四个数，中位数为，，， ∴，∴， ∴， ∴，解得. 故选：A. 7. 已知函数的定义域为，为奇函数，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由为奇函数得的图象关于点对称，即，进而得即可求解. 【详解】因为为奇函数，所以， 所以的图象关于点对称，， 因为，所以， 所以的最小正周期为4，则. 故选:B. 8. 已知球O是正三棱锥的外接球，若正三棱锥的高为，底边，则球心O到平面ABC的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设正三棱锥的底面中心为M，D为BC的中点，连接AD，显然球心O在直线PM上，由可得外接球半径，从而得解. 【详解】设正三棱锥的底面中心为M，D为BC的中点，连接AD， 显然球心O在直线PM上，设球O的半径为R，因为， 所以球心O到底面ABC的距离为，， 由，得，， 所以球心O到平面ABC的距离为． 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于点对称 C. 在上单调递减 D. 将图象上的所有点向右平移个单位长度，得到函数的图象，则为偶函数 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据最小正周期可得选项A正确；根据可得选项B正确；由得，结合正弦函数的单调区间可得选项C错误；根据函数图象平移得出函数的解析式，即可说明选项D正确. 【详解】对于A，的最小正周期为，故A正确； 对于B，当时，，即，所以的图象关于点对称，故B正确； 对于C，由，得， 正弦函数的单调递减区间为，，不是，的子集，故C不正确； 对于D，，为偶函数，故D正确． 故选：ABD. 10. 已知双曲线的两个焦点为，，点在双曲线上，则（ ） A. 双曲线的离心率为 B. 双曲线的离心率为 C. 直线与双曲线只有一个公共点 D. 直线与双曲线的左支和右支各有一个交点 【答案】AC 【解析】 【分析】由已知，可求得双曲线中的，则可得离心率，即可判断A、B；写出双曲线C的渐近线方程，由直线和与渐近线的位置关系，即可判断C、D. 【详解】由题意，可知两个焦点，，双曲线上一点， 则，，， 则，则，故A正确，B不正确； 因为双曲线C中，，则， 则双曲线C的渐近线方程为， 所以直线与双曲线C的渐近线平行， 则直线与双曲线C只有一个公共点，故C正确； 因为直线与轴交点在双曲线右顶点右侧， 且其斜率大于渐近线斜率， 所以直线与双曲线C的右支有两个交点，故D不正确． 故选：AC. 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的值域为 B. 是的极小值点 C. 若，则 D. 若过点的曲线的切线有且仅有两条，则a的取值范围为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用导数研究函数的单调性和极值，判断A，B；由题意得，是函数、函数与函数的图象的交点A，B的横坐标，根据函数的图象与函数的图象关于直线对称，可判定C；设出切点，写出切线方程，将点P代入，化简后方程有两根，即可得到的取值范围，判断D. 【详解】根据题意，， 则当时，，所以单调递减， 当时，，所以单调递增， 所以是的极小值点，且， 所以的值域为，A错误，B正确； 由，可得，， 令，是函数、函数与函数的图象的交点A，B的横坐标， 因为函数的图象与函数的图象关于直线对称， 所以，两点关于直线对称， 因此，即，C正确； 设切点为，所以切线方程为， 因为切线过点，所以， 即方程有两个解，则，解得或，D正确． 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：选项C中把，看成函数、函数与函数的图象的交点A，B的横坐标，且函数的图象与函数的图象关于直线对称是解题关键点. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知单位向量，的夹角为，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据，结合题目条件计算即可得到结果. 【详解】由题意得，， ∴. 故答案为：. 13. 已知，抛物线的焦点为F，为上一点，若，则______． 【答案】5 【解析】 【分析】根据题意，即，利用数量积的坐标运算和点在抛物线上求得，最后再由抛物线的定义求解. 【详解】由题可知，，， 因为，所以， 又，所以，解得， 所以，所以. 故答案为：5. 14. 由字母A，B构成的一个6位的序列，含有连续子序列ABA的序列有______个（例如ABAAAA，BAABAB符合题意） 【答案】27 【解析】 【分析】用集合的思想，分为四个不同情况并计算出序列种数，再考虑两两之间重复的序列数，然后得到含有连续子序列ABA的序列数 【详解】考虑出现子序列ABA时，可能出现的位置有4个，把依次对应的序列放入集合，，，（ABA×××，×ABA××，××ABA×，×××ABA）中， 记为集合中元素的个数，则. 再考虑重复的序列，，，，任意多于2个集合的交集均为空集. 所以含有连续子序列ABA的序列有个． 故答案为：27. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，. （1）求B； （2）若，求面积的最大值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边角互化可得，结合三角形内角的范围可得结果. （2）根据题目条件结合余弦定理得，利用基本不等式得，根据三角形面积公式可得结果. 【小问1详解】 ∵，∴， ∴， ∴， ∵，∴， ∴，即， ∵，∴. 【小问2详解】 由余弦定理得，，即， ∵，∴，当目仅当时，等号成立， ∴， ∴面积的最大值为. 16. 如图，在三棱柱中，四边形和均为矩形，. （1）证明：； （2）若，，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）求证平面即可由线面垂直定义得证； （2）建立空间直角坐标系，求平面与平面的一个法向量即可由平面夹角的向量法公式计算得解. 【详解】（1）证明：因为四边形为矩形，所以， 因为，，平面， 所以平面， 因为平面，所以. （2）以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，， 设平面的一个法向量为，则，即， 取，，则， 设平面的一个法向量为，则，即 取，，则， 设平面与平面的夹角为， 则， 故平面与平面夹角的余弦值为. 17. 年末某商场举办购物有奖活动：若购物金额超过1000元，则可以抽奖一次，奖池中有9张卡片，“福”“迎”“春”卡各2张，“蛇”卡3张，每次抽奖者从中随机抽取4张卡片，抽到“蛇”卡获得2分，抽到其他卡均获得1分，最终得7分的人可得100元奖金，最终得4分的人可得50元奖金，其他得分的人可得10元奖金，已知小华获得一次抽奖机会． （1）求小华抽到“福”“迎”“春”“蛇”卡各1张的概率； （2）记小华中奖金额为X，求X的分布列及数学期望， 【答案】（1） （2）分布列： X 10 50 100 P 【解析】 【分析】（1）由古典概率模型结合组合数计算即可； （2）先由古典概率结合组合数计算出X的所有可能取值对应的概率，列出分布列，再由期望公式求出期望即可； 【小问1详解】 由题可得小华抽到“福”“迎”“春”“蛇”卡各1张的概率为． 【小问2详解】 由题可知X的所有可能取值为10，50，100． ，，． X的分布列为 X 10 50 100 P ． 18. 已知，分别是椭圆的左、右顶点，P（异于点A，B）是C上的一个动点，面积的最大值为2． （1）求椭圆C的方程； （2）记直线PA，PB的斜率分别为，，求的值； （3）直线l交椭圆C于M，N两点（异于A，B两点），直线AM，AN的斜率分别为，，且，证明：直线MN过定点． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据条件可知当点在椭圆上、下顶点处时，面积的最大，由此可计算椭圆标准方程. （2）设，表示，利用点在椭圆上可求结果. （3）设l的方程为，与椭圆方程联立，利用可计算出的值，即可证明结论. 【小问1详解】 由题意得，. 当点在椭圆上、下顶点处时，面积的最大，此时面积为， ∴，∴椭圆C的方程为． 【小问2详解】 设，则，即， ∴． 【小问3详解】 由题意知直线l的斜率不为0，设l的方程为，，． 由得， ， ∴，， ∴，， ∵，∴，即， ∴， 解得或（舍）． 当时，满足，此时MN的方程为，故直线MN过定点． 19. 定义：，，是曲线上三个不同的点，直线与曲线在点处的切线平行，若，，成等差数列，则称为“等差函数”，若，，成等比数列，则称为“等比函数”. （1）若函数是二次函数，证明：是“等差函数”. （2）判断函数是否为“等差函数”，并说明理由. （3）判断函数是否为“等比函数”，并说明理由. 【答案】（1） 令. 设，，是曲线上三个不同的点. 直线的斜率， 因为，所以曲线在点处的切线斜率， 直线与曲线在点处的切线平行，则，即，则，故是“等差函数”. （2） 假设函数为“等差函数”. 因为，且，，成等差数列，所以. 直线的斜率， 因为，所以曲线在点处的切线斜率， 直线与曲线在点处的切线平行，则，整理得，令，即. 令，则. 令，则，故在上单调递增， ，即，则在上单调递增，. 故当时，，即无解， 故函数不是“等差函数”. （3） 假设函数为“等比函数”. 因为，且，，成等比数列，设公比为，所以，， 直线的斜率 因为，所以曲线在点处的切线斜率， 直线与曲线在点处的切线平行，则，整理得. 令，则， 所以在上单调递增，所以， 所以在时无实数解，所以函数不是“等比函数”. 【解析】 【分析】（1）令，利用等差函数的定义计算可判断结论； （2）假设函数为“等差函数”，可得，，，进而利用换元法判断方程无解即可得结论； （3）假设函数为“等比函数”， 设公比为，所以，，求得，，进而构造函数判断方程无解即可得结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题第二，三问的关键是根据斜率关系式得到方程，再利用方程的结构特点选择恰当的方法判断方程无解即可得结论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 武威市高三期末联考试卷 数 学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：高考全部内容． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. 0 B. C. 2 D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 函数的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 4. 已知是等差数列的前项和，若，则（ ） A. 24 B. 21 C. 14 D. 18 5. 若，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 6. 已知，，，的中位数为，则（ ） A. B. C. D. 1 7. 已知函数的定义域为，为奇函数，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知球O是正三棱锥的外接球，若正三棱锥的高为，底边，则球心O到平面ABC的距离为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于点对称 C. 在上单调递减 D. 将图象上的所有点向右平移个单位长度，得到函数的图象，则为偶函数 10. 已知双曲线的两个焦点为，，点在双曲线上，则（ ） A. 双曲线的离心率为 B. 双曲线的离心率为 C. 直线与双曲线只有一个公共点 D. 直线与双曲线的左支和右支各有一个交点 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的值域为 B. 是的极小值点 C. 若，则 D. 若过点的曲线的切线有且仅有两条，则a的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知单位向量，的夹角为，则______． 13. 已知，抛物线的焦点为F，为上一点，若，则______． 14. 由字母A，B构成的一个6位的序列，含有连续子序列ABA的序列有______个（例如ABAAAA，BAABAB符合题意） 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，. （1）求B； （2）若，求面积的最大值. 16. 如图，在三棱柱中，四边形和均为矩形，. （1）证明：； （2）若，，求平面与平面夹角的余弦值. 17. 年末某商场举办购物有奖活动：若购物金额超过1000元，则可以抽奖一次，奖池中有9张卡片，“福”“迎”“春”卡各2张，“蛇”卡3张，每次抽奖者从中随机抽取4张卡片，抽到“蛇”卡获得2分，抽到其他卡均获得1分，最终得7分的人可得100元奖金，最终得4分的人可得50元奖金，其他得分的人可得10元奖金，已知小华获得一次抽奖机会． （1）求小华抽到“福”“迎”“春”“蛇”卡各1张的概率； （2）记小华中奖金额为X，求X的分布列及数学期望， 18. 已知，分别是椭圆的左、右顶点，P（异于点A，B）是C上的一个动点，面积的最大值为2． （1）求椭圆C的方程； （2）记直线PA，PB的斜率分别为，，求的值； （3）直线l交椭圆C于M，N两点（异于A，B两点），直线AM，AN的斜率分别为，，且，证明：直线MN过定点． 19. 定义：，，是曲线上三个不同的点，直线与曲线在点处的切线平行，若，，成等差数列，则称为“等差函数”，若，，成等比数列，则称为“等比函数”. （1）若函数是二次函数，证明：是“等差函数”. （2）判断函数是否为“等差函数”，并说明理由. （3）判断函数是否为“等比函数”，并说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $