精品解析：天津市河东区2024-2025学年高一上学期期末质量检测数学试卷

河东区2024~2025学年度第一学期期末质量检测 高一数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分，考试用时90分钟． 第Ⅰ卷（选择题 一、选择题：本大题共8个小题，每小题4分，满分32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知角终边上一点的坐标为，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正弦函数的定义直接得出. 【详解】因为角终边上一点的坐标为， 设为原点，则， 由正弦函数的定义，得. 故选：D. 2. 设函数 的定义域，函数y=ln(1-x)的定义域为,则（ ） A. （1,2） B. （1,2] C. （-2,1） D. [-2,1) 【答案】D 【解析】 【详解】由得，由得， 故，选D. 【名师点睛】集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理. 3. 为了得到函数的图象，可以将函数的图象（ ） A. 向右平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向左平移个单位 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数图象的平移变换进行判断. 【详解】将的图象向右平移个单位，可得的图象. 故选：B 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用，将转化为的齐次式即可求解. 【详解】因为，所以. 故选：B 5. 已知定义域为的偶函数在上是增函数，且，则不等式的解集是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】由偶函数得到对称区间上的单调性，及，从而知道的解集，即可由得或，从而解出答案. 【详解】因为函数为偶函数，且在上是增函数， 则函数在上单调递减， 所以 所以的解集为， 所以当时，或， 所以或， 故选：C 6. 设函数的图象的一个对称中心为，则的一个最小正周期是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据对称中心结合正切函数性质可得，进而可求最小正周期. 【详解】因为函数的图象的一个对称中心为， 则，解得， 且，所以函数的最小正周期为， 对于选项A：若，此时，不合题意，故A错误； 对于选项B：若，此时，不合题意，故B错误； 对于选项C：若，解得，故C正确； 对于选项D：若，此时，不合题意，故D错误； 故选：C. 7. 已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为，，所以由根的存在性定理可知：选C. 考点：本小题主要考查函数的零点知识，正确理解零点定义及根的存在性定理是解答好本类题目的关键. 8. 函数满足，且当时，，则函数与函数的图象的所有的交点的横坐标与纵坐标之和等于（ ） A. 12 B. 16 C. 20 D. 24 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可知关于点中心对称，函数关于点中心对称，作出函数与函数的图象，利用对称性与周期性可求得结果. 【详解】由于，所以函数为周期函数，且周期为2. 令，则， 对任意的，， 所以函数关于点中心对称. 设，则， 所以，函数关于点中心对称. 画出函数与函数的图象如下图所示， 由图可知，函数与函数的图象有四个交点， 不妨设这四个交点分别为， 设，由图可知，点与点关于点对称， 点与点关于点对称， 所以. 同理可知，函数与函数的图象也有四个交点， 设这四个交点分别为，由两函数周期都为2，两函数关于点对称，故这四个点关于点对称， 可得， 所以函数与函数的图象的所有的交点的横坐标与纵坐标之和为：. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题考查两函数交点横坐标与纵坐标之和，解题的关键在于分析出两函数的对称性，然后利用图形找出两函数图象的交点个数，结合对称性来计算. 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，满分24分． 9. 的值为______ 【答案】## 【解析】 【分析】利用诱导公式和两角和的正弦公式化简求值，可得结果. 【详解】因为. 故答案为： 10. 已知为锐角，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据条件，利用二倍角公式得到，再利用为锐角，即可求解. 【详解】因为，得到， 又为锐角，即，则，所以， 故答案为：. 11. 已知常数，，假设无论为何值，函数的图象恒经过一个定点，则这个定点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用对数函数性质可知，令即可求出的图象恒过的定点的坐标. 【详解】因为图象必过，即，当，即时，， 从而图象必过定点. 故答案为：. 12. ______． 【答案】 【解析】 【分析】利用诱导公式化简，即可求值. 【详解】 故答案为：. 13. 设0≤α≤π，不等式8x2﹣（8sinα）x+cos2α≥0对x∈R恒成立，则α的取值范围为　_________　． 【答案】[0，]∪[，π] 【解析】 【详解】由题意可得，△=64sin2α﹣32cos2α≤0， 得2sin2α﹣（1﹣2sin2α）≤0 ∴sin2α≤， ﹣≤sinα≤， ∵0≤α≤π ∴α∈[0，]∪[，π] 14. 甲、乙两人解关于方程，甲写错了常数，得到的根为或，乙写错了常数，得到的根为或，则原方程所有根的和是______. 【答案】 【解析】 【分析】设，由可得，根据韦达定理求出、的值，然后解原方程，即可得解. 【详解】设，由可得，则. 对于甲，由于甲写错常数，则常数是正确的，由韦达定理可得，可得； 对于乙，由于乙写错了常数，则常数是正确的，由韦达定理可得. 所以，关于的方程为，解得或，即或，解得或. 因此，原方程所有根的和是. 故答案为：. 15. 计算： （1）已知扇形的圆心角是，半径为，求扇形的弧长； （2）． 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】（1）先把圆心角用弧度制表示，根据扇形弧长公式求弧长. （2）应用指数对数运算律化简求值. 【小问1详解】 因为扇形圆心角，所以扇形的弧长为：（）. 【小问2详解】 . 16. 已知函数最小正周期为． （1）求的值； （2）求函数的单调递减区间． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦型函数最小正周期的计算公式求得参数的值，结合特殊角三角函数值，可得答案； （2）根据复合函数的单调性，结合正弦函数与一次函数的单调性，建立不等式组，可得答案. 【小问1详解】 由函数的最小正周期为，则，解得，所以， 故. 【小问2详解】 由的单调递减区间为，且为增函数， 令，解得， 所以函数的单调递减区间为. 17. 设，且． （1）求的值及的定义域； （2）求在区间上的最大值． 【答案】（1）； （2）2 【解析】 【分析】（1）根据结合对数运算，即可求得a的值；根据函数解析式列不等式组，即可求得函数定义域； （2）判断函数在给定区间上的单调性，即可求得答案. 【小问1详解】 由题意知，且， 故，则， 而，故， 由，可得， 故的定义域为； 【小问2详解】 由（1）可得 而， 上单调递增，在上单调递减， 故当时，取到最大值4， 函数为其定义域上的增函数， 故在上单调递增，在上单调递减， 故在区间上的最大值为. 18. 某大桥是交通要塞，每天担负着巨大的车流量.已知其车流量（单位：千辆）是时间（，单位：）的函数，记为，下表是某日桥上的车流量的数据： 0 3 6 9 12 15 18 21 24 （千辆） 3.0 1.0 2.9 5.0 3.1 1.0 3.1 5.0 3.1 经长期观察，函数的图象可以近似地看做函数（其中，，，）的图象. (1)根据以上数据，求函数的近似解析式； (2)为了缓解交通压力，有关交通部门规定：若车流量超过4千辆时，核定载质量10吨及以上的大货车将禁止通行，试估计一天内将有多少小时不允许这种货车通行？ 【答案】（1） （2） 8个小时 【解析】 【分析】（1）根据函数的最大最小值可求出和，根据周期求出，根据一个最高点的横坐标可求得； （2）解不等式可得． 【详解】(1)根据表格中的数据可得: 由， ,解得： 由当时，有最大值，则 即，得. 所以函数的近似解析式 （2）若车流量超过4千辆时，即 所以，则 所以，且. 所以和满足条件. 所以估计一天内将有8小时不允许这种货车通行． 【点睛】本题考查了根据一些特殊的函数值观察周期特点，求解三角函数解析式以及简单应用，属中档题． 19. 已知函数且是偶函数，函数且. （1）求实数的值. （2）当时， ①求的值域. ②若，使得恒成立，求实数取值范围. 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）利用函数的奇偶性得到，代入化简即可解得的值； （2）①利用基本不等式可得，再根据对数函数的单调性即可求得的值域； ②将问题转化为恒成立，从而得到在上恒成立，利用换元法将问题转化为在上恒成立，从而得解. 【小问1详解】 ∵函数且是偶函数， ，即， ， . ∵不恒为0，，即. 经检验，当时，的定义域为，关于原点对称， 且，∴函数是偶函数，满足题意. 故. 【小问2详解】 ①由（1）可知：当时，， ∵，∴由基本不等式可知， 当且仅当即时等号成立. 又对数函数在上单调递增，， 即函数的值域为. ②由题意得. ，使得恒成立， ，使得恒成立， 则恒成立. 由①得当时，，， 恒成立. 在上恒成立. 令，，， 则在上恒成立，即在上恒成立. ∵函数在上单调递减，， ，即实数的取值范围为. 【点睛】方法点睛：（1）求函数值域的常用方法有：利用函数的单调性；基本不等式；分离常数法；配方法；判别式法；图象法(观察法)等； （2）不等式恒成立问题即为求函数的最值问题，常常采用参变分离法求参数的取值范围：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河东区2024~2025学年度第一学期期末质量检测 高一数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分，考试用时90分钟． 第Ⅰ卷（选择题 一、选择题：本大题共8个小题，每小题4分，满分32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知角终边上一点的坐标为，则等于（ ） A. B. C. D. 2. 设函数 的定义域，函数y=ln(1-x)的定义域为,则（ ） A. （1,2） B. （1,2] C. （-2,1） D. [-2,1) 3. 为了得到函数的图象，可以将函数的图象（ ） A. 向右平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向左平移个单位 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知定义域为的偶函数在上是增函数，且，则不等式的解集是（ ） A. B. C. 或 D. 或 6. 设函数的图象的一个对称中心为，则的一个最小正周期是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是 A B. C. D. 8. 函数满足，且当时，，则函数与函数的图象的所有的交点的横坐标与纵坐标之和等于（ ） A. 12 B. 16 C. 20 D. 24 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，满分24分． 9. 的值为______ 10. 已知为锐角，，则______． 11. 已知常数，，假设无论为何值，函数的图象恒经过一个定点，则这个定点的坐标是______． 12. ______． 13. 设0≤α≤π，不等式8x2﹣（8sinα）x+cos2α≥0对x∈R恒成立，则α的取值范围为　_________　． 14. 甲、乙两人解关于方程，甲写错了常数，得到的根为或，乙写错了常数，得到的根为或，则原方程所有根的和是______. 15. 计算： （1）已知扇形的圆心角是，半径为，求扇形的弧长； （2）． 16. 已知函数的最小正周期为． （1）求的值； （2）求函数的单调递减区间． 17. 设，且． （1）求的值及的定义域； （2）求在区间上的最大值． 18. 某大桥是交通要塞，每天担负着巨大的车流量.已知其车流量（单位：千辆）是时间（，单位：）的函数，记为，下表是某日桥上的车流量的数据： 0 3 6 9 12 15 18 21 24 （千辆） 3.0 1.0 2.9 5.0 3.1 1.0 3.1 50 3.1 经长期观察，函数图象可以近似地看做函数（其中，，，）的图象. (1)根据以上数据，求函数的近似解析式； (2)为了缓解交通压力，有关交通部门规定：若车流量超过4千辆时，核定载质量10吨及以上的大货车将禁止通行，试估计一天内将有多少小时不允许这种货车通行？ 19. 已知函数且是偶函数，函数且. （1）求实数的值. （2）当时， ①求的值域. ②若，使得恒成立，求实数取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $