精品解析：吉林省吉林市永吉县2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试题

2024—2025学年度上学期期末质量检测卷 九年级数学试题 本试卷包括六道大题，共26道小题，共6页．全卷满分120分，考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的学校、姓名、班级、学号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、单项选择题（每小题2分，共12分） 1. 下列图形是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查的是中心对称图形的识别，掌握中心对称图形的定义是解决此题的关键． 根据中心对称图形的概念，中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合，即可解题． 【详解】解：选项A、C、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转度后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形． 选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转度后与原来的图形重合，所以是中心对称图形． 故选：B． 2. 在某渔民画展览中，有一幅长60cm，宽40cm的画，为给它的四周镶一条纸带，制成一幅矩形挂图（如图），如果要使整个挂图的面积是，设纸带的宽为x cm，那么x满足的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意表示出矩形挂画的长和宽，再根据长方形的面积公式可得方程． 【详解】解：设设纸带的宽为x cm， 所以整个挂画的长为cm，宽为， 根据题意，得：， 故选：D． 【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，在解决实际问题时，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，再列出一元二次方程． 3. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义及根的判别式的应用，解题的关键是同时满足一元二次方程的二次项系数不为0和根的判别式大于0的条件． 先根据一元二次方程的定义确定二次项系数；再由方程有两个不相等的实数根，利用根的判别式计算的取值范围，最后结合两者得到的最终范围． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴； ∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 即， 解得； 综上，且． 故选：D． 4. 点经过某种图形变化后得到点，这种图形变化可能是（ ） A. 关于轴对称 B. 关于轴对称 C. 绕原点逆时针旋转 D. 绕原点顺时针旋转 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查点坐标的运用，根据题意作图，并运用勾股定理，全等三角形的判定和性质即可求解，掌握勾股定理，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵点在第一象限，点在第二象限， ∴点绕原点逆时针旋转， 如图所示， ∴，则， ，则， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点绕原点逆时针旋转得到点， 故选：C． 5. 如图，已知⊙O上三点A，B，C，半径OC=1，∠ABC=30°，切线PA交OC延长线于点P，则PA的长为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接OA，由圆周角定理可求出∠AOC=60°，再根据∠AOC的正切即可求出PA的值． 【详解】解：连接OA， ∵∠ABC=30°， ∴∠AOC=60°， ∵PA是圆的切线， ∴∠PAO=90°， ∵tan∠AOC = ∴PA= tan60°×1= 故选B． 【点睛】本题考查了圆周角定理、切线的性质及锐角三角函数的知识，根据圆周角定理可求出∠AOC=60°是解答本题的关键． 6. “七巧板”是一种古老的中国传统智力玩具，由“七巧板”组成的正方形如图所示，若在正方形区域内随意取一点，则该点取在阴影部分的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是几何概率，正方形的性质，勾股定理的应用，先求出大正方形的面积和阴影部分面积，再利用几何概率公式计算即可，正确计算出图形的面积是解题的关键． 【详解】解：由题意可知，阴影部分是一个正方形， 设大正方形的边长为， 大正方形的对角线长为，面积为， 阴影部分的边长为， ， (该点取到阴影部分)， 故选：A． 二、填空题（每小题3分，共24分） 7. 方程的解是________． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．本题运用的是因式分解法． 【详解】原方程变形为：， 解得，， 故答案为：，． 8. 如图，绕点O逆时针旋转得到，若，，则的度数是________． 【答案】##40度 【解析】 【分析】本题考核旋转的性质． 解题关键点：熟记三角形旋转中，对应角相等． 利用旋转性质，求出对应角度数，根据三角形内角和定理求出，再结合旋转角求得． 【详解】解：∵绕点O逆时针旋转得到， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 9. 袋中装有个黑球和若干个白球，每个球除颜色外都相同．现进行摸球试验，每次摸出一个记下颜色后放回，经过大量的试验，发现摸到黑球的频率稳定在附近，则袋中随机摸出一个球是黑球的概率为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了频率估计概率，根据经过大量重复的试验得到的频率可以当作概率，即可求解． 【详解】解：经过大量的试验，发现摸到黑球的频率稳定在附近， 随机摸出一个球是黑球的概率为， 故答案为：． 10. 若点与点都在反比例函数的图象上，且，则的大小关系是____________（填“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】考查反比例函数的图象和性质，反比例函数的图象位于一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小，又，可得到与点是第一象限图象上的两点，可得． 【详解】解：∵， 函数图象位于一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小，， 又∵， ， 故答案为：． 11. 如果一个正多边形的中心角是，那么这个正多边形的边数为________． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查正多边形的中心角，根据正多边形的中心角的度数等于360度除以边数，进行求解即可． 【详解】解：由题意，正多边形的边数为：． 故答案为：9． 12. 设、是方程的两个根，且，则m的值是______． 【答案】1 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求解即可． 【详解】解：∵、是方程的两个根， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查了一元二次根与系数的关系，熟知若是一元二次方程的两实数根，则是解题的关键． 13. 如图，圆锥的底面直径，，则该圆锥的表面积是______（结果保留）． 【答案】 【解析】 【分析】先利用勾股定理求得圆锥的母线长，再根据圆锥的表面积求解即可． 【详解】解：，， ， ， 圆锥的表面积， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查圆锥的侧面积，圆的面积，解题的关键是利用底面直径及高求出母线长． 14. 将抛物线向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，所得新抛物线的解析为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的平移，根据“左加右减，上加下减”解答即可求解，掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键． 【详解】解：将抛物线向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，所得新抛物线的解析为， 故答案为：． 三、解答题（每小题5分，共20分） 15. 求x的值：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，解题关键是熟练运用直接开方法解方程； 利用直接开方法解方程即可． 【详解】解： 或 解得：或 ∴原方程的解为：，． 16. 已知二次函数． （1）求该二次函数的顶点坐标； （2）该二次函数的图象的开口向　，并判断点 　　该函数的图象上（填“在”或“不在” ）． 【答案】（1） （2）上；不在． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数的图象、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）依据题意，由二次函数为，进而可以判断得解； （2）依据题意，由二次函数为，则，故该二次函数的图象的开口向上，又当时，，故点不在该函数的图象上，进而可以得解． 【小问1详解】 解：由题意，二次函数为， 该二次函数的顶点坐标为． 【小问2详解】 由题意，二次函数为， ． 该二次函数的图象的开口向上． 又当时，， 点不在该函数的图象上． 故答案为：上；不在． 17. 某公司今年4月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，且每个月生产成本下降的百分率相同，到6月份的生产成本是324万元． （1）求每个月生产成本下降的百分率； （2）该公司7月份的生产成本是否会超过300万元？请说明理由． 【答案】（1） （2） 预测月份的生产成本为：（万元）， ， ∴该公司7月份的生产成本不会超过300万元． 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用．根据题意，正确的列出一元二次方程，是解题的关键． （1）设每个月生产成本的下降率为x，根据题意，列出一元二次方程，进行求解即可； （2）根据下降率求出7月份该公司的生产成本，进行判断即可． 【小问1详解】 解：设每个月生产成本的下降率为x，由题意，得： ， 解得：，（舍去）， ∴每个月生产成本的下降率为； 【小问2详解】 略 18. 如图，与关于点G中心对称，若点E，F分别在上，且，求证：． 【答案】 证明：∵与关于点G中心对称， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，中心对称图形的性质，先根据中心对称的性质得到，再证明即可利用证明，由此即可证明， 灵活运用所学知识是解题的关键． 【详解】略 四、解答题（每小题7分，共28分） 19. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出关于轴对称的，直接写出点的坐标； （2）画出绕点逆时针旋转后的； （3）在（2）的条件下，求点到经过的路径长（结果保留）． 【答案】（1） 如图所示：点的坐标为：； （2）如图所示； （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意画出即可，关于y轴对称点的坐标纵坐标不变，横坐标互为相反数； （2）根据网格结构找出点A、B、C以点O为旋转中心逆时针旋转后的对应点，然后顺次连接即可； （3）点到经过的路径长即是，绕点逆时针旋转时扫过的痕迹可知轨迹为以为半径，以为圆心角扇形弧长； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：， 故； 【点睛】本题考查了利用旋转变换作图，轴对称和扇形弧长公式等知识，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键． 20. 直线与反比例函数的图象相交于点，，与轴交于点． （1）求直线的表达式； （2）若，请直接写出满足条件的的取值范围； （3）过点作轴的平行线交反比例函数的图象于点，求的面积． 【答案】（1） （2）或 （3）4 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数与一次函数的交点问题、根据函数图像求不等式解集、三角形的面积等知识点，掌握运用待定系数法求解析式及数形结合思想是解题的关键． （1）先求出点坐标为，点坐标为，分再利用待定系数法即可解答； （2）根据函数图像确定不等式的解集即可； （3）先求出点，再根据三角形的面积公式计算即可． 【小问1详解】 解：分别将点、点代入中， 即，， 解得：，， 点坐标为，点坐标为 把点坐标，点坐标分别代入， 即，解得： 一次函数表达式为． 【小问2详解】 解：由图象可知，当时，或． 【小问3详解】 解：把代入中，得， 点坐标为， ， ． 21. 在一个不透明的口袋中装有分别标有数字的四个小球（除标号外，其余都相同），从中随机抽取一个球，再从余下的球中随机抽取一个球． （1）第一次从口袋中随机抽取一个球，抽到数字的概率是 ． （2）用列表法或画树状图法中的一种方法，求抽取的两个小球的数字之和大于的概率． 【答案】（1） （2）（两个小球的数字之和大于） 【解析】 【分析】本题主要考查列表法或画树状图法求随机事件的概率，掌握列表法或画树状图法把所有等可能结果表示出来是解题的关键． （1）运用概率公式计算即可； （2）列表法或画树状图法把所有等可能结果表示出来，再根据概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：共有4种等可能结果， ∴第一次从口袋中随机抽取一个球，抽到数字的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：列表法或画树状图法把所有等可能结果表示如下， 共有12种等可能结果，其中两个小球的数字之和大于的有4种结果， ∴（两个小球的数字之和大于）． 22. 如图，为的直径，为上一点，，交于，且，连接． （1）求证：是的切线； （2）为上一点，连接，若，，，求的半径． 【答案】（1） 证明：如下图所示，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的切线； （2）． 【解析】 【分析】连接，根据圆周角定理可得，根据等腰三角形的性质可得，从而可证，即可得是的切线； 延长交于点，根据平行线的性质可证，根据垂径定理可得，利用勾股定理可求，在根据勾股定理 即可求出圆的半径． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如下图所示，延长交于点， ， ， ， ， 设， 则， ， ， 解得：． 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，切线的性质和判定，平行线的性质和判定，等腰三角形的性质和判定的应用，解决本题的关键是作辅助线构造直角三角形，利用勾股定理求半径的长 ． 五、解答题（每小题8分，共16分） 23. 如图，二次函数的图象交轴于、两点并经过点，已知点坐标是，B点的坐标是 （1）求二次函数的解析式； （2）若抛物线对称轴上是否存在一个动点，使点到点、点的距离之和最短，若存在求出点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）该二次函数的对称轴交轴于点，连接，并延长交抛物线于点，连接，，求的面积． 【答案】（1） （2）存在， （3） 【解析】 【分析】（1）由点，的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数的解析式； （2）将二次函数解析式变形为顶点式，由此可得出抛物线对称轴为直线，连接交抛物线对称轴与点，利用二次函数的对称性结合两点之间线段最短，可得出此时最小，由点，的坐标，利用待定系数法可求出直线的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点的坐标； （3）由（2）可得出抛物线的顶点坐标及点的坐标，由点的坐标，利用抛物线的对称性可求出点的坐标，由点，的坐标，利用待定系数法可求出直线的解析式，联立直线及抛物线的解析式成方程组，通过解方程组可得出点的坐标，再利用三角形的面积公式结合，即可求出结论． 【小问1详解】 解：将，代入，得： ，解得：， 二次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：， 对称轴为直线， 连接交抛物线对称轴与点，如图1所示． 点，点是抛物线与轴的交点， 点和点关于对称轴对称， ， 最小． 设所在直线解析式为， 将，代入，得： ，解得：， 所在直线解析式为， 当时，， 点坐标为， 在抛物线对称轴上存在一个动点，使点到点、点的距离之和最短． 【小问3详解】 解：由（2）知，函数图象的顶点坐标为，点坐标为， 点，点关于对称轴直线对称且， 点的坐标为， ， 设所在的直线解析式为， 将点，代入，得： ，解得：， 所在的直线解析式为， 联立直线与抛物线的解析式成方程组，得：， 解得：，（舍去）， 点的坐标为， ． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、轴对称−最短路径问题、解方程组以及三角形的面积，解题的关键是：（1）由点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）利用抛物线的对称性及两点之间线段最短，确定点的位置；（3）联立直线及抛物线的解析式成方程组，通过解方程组求出点的坐标． 24. 问题情境：已知矩形，，，将矩形绕点按逆时针方向旋转，得到矩形，点的对应点是点，点的对应点是点，点的对应点是点，连接． 数学发现： （1）如图，当时，___________，如图，当时，___________； 初步探究： （2）如图，当边经过点时，求的长； （3）如图，当点落在的延长线上时，直接写出四边形的面积． 【答案】（1），；（2）；（3）四边形的面积为． 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质可得，，由可得，于是可证得是等边三角形，利用等边三角形的性质即可求出的度数；由旋转的性质可得，，在中，根据勾股定理可得，据此即可求出的长； （2）由旋转的性质可得，，，由矩形的性质可得，，，进而可得，，在中，根据勾股定理可得，于是可得，在中，根据勾股定理可得，据此即可求出的长； （3）连接，由旋转的性质可得，，，由矩形的性质可得，，利用邻补角互补可得，进而可得，然后可证得，于是可得，根据即可求出四边形的面积． 【详解】解：（1）如图，由旋转的性质可得：，， ， ， 是等边三角形， ； 如图，由旋转的性质可得：，， 在中，根据勾股定理可得： ； 故答案为：，； （2）如图，由旋转的性质可得：，，， 四边形和都是矩形， ，，， ，， 在中，根据勾股定理可得： ， ， 在中，根据勾股定理可得： ， 的长为； （3）如图，连接， 由旋转的性质可得：，，， 四边形和都是矩形， ，， 点落在的延长线上， ， ， 在和中， ， ， ， ， 四边形的面积为． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的性质，线段的和与差，利用邻补角互补求角度，全等三角形的判定与性质，三角形的面积公式等知识点，熟练掌握旋转的性质和矩形的性质是解题的关键． 六、解答题（每小题10分，共20分） 25. 如图，已知中，，，，，是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为，点从点开始沿方向运动，且速度为，它们同时出发，设运动的时间为. （1）出发后，求的长； （2）当点在边上运动时，出发几秒钟，是等腰三角形? （3）当点在边上运动时，直接写出能使成为等腰三角形的的值. 【答案】（1） （2） （3）或或 【解析】 【分析】（1）根据题意求出和长度，再根据勾股定理即可求出长度. （2）用分别表示出和长度，利用是等腰三角形，可得到，从而得到关于的方程，即可求出答案. （3）用表示出长度，分三种情况讨论即可求出答案. 【小问1详解】 解：当时，，. ， ， 在中，由勾股定理可得，. 故答案为：. 【小问2详解】 解：由题意可知设出发秒，是等腰三角形，则，， 又， ， 当为等腰三角形时，则有， ， 解得. 故答案为：. 【小问3详解】 解：在中，由勾股定理可求得， 当点在上运动时，， ， ①当时，过作于点， 则， 在中，，可求得. 在中，由勾股定理可得，即， 解得或（舍去）. ②当时，则，解得. ③当时，则， ， ， ， ，即，解得. 故答案为：或 或. 【点睛】本题考查的是三角形的综合应用，涉及勾股定理、等腰三角形的性质、分类讨论的思想.解题的关键在于用时间表示相应的线段以及是否能利用等腰三角形进行分类讨论. 26. 如图，已知抛物线（、是常数）的顶点的坐标为，抛物线的对称轴为直线，点为抛物线与轴的正半轴的交点，作直线，点是抛物线上的任意一点，其横坐标为，过点作轴的垂线交直线于点，过点作于点，以、为邻边作矩形． （1）填空：________，________； （2）当点在线段上（点不与、重合）时，求的长度与的函数关系式，并直接写出的最大值； （3）当抛物线被矩形截得的部分图象的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标的差为2时，求点的坐标． 【答案】（1）；； （2），最大值为； （3）或． 【解析】 【分析】本题是二次函数的综合题型，主要考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数解析式、坐标与图形、矩形的性质、中点坐标公式、解一元二次方程等知识，综合性强，难度较大，熟练掌握相关知识的联系与运用，数形结合思想与转化思想的运用是解答的关键． （1）写出抛物线顶点式展开即可求解； （2）先求得点A坐标，再求得直线的解析式，根据题意，，则，，进而有，利用二次函数的性质求解即可； （3）根据题意，分三种情况：当点P在对称轴的左侧时；当点P在直线上方时；当点P在对称轴的右侧且在直线的下方时，根据题意列方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线（b、c是常数）的顶点B坐标为， ∴， ∴，， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：令，由得，， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入，得，解得， ∴直线的解析式为， 根据题意，，则，， ∴， ∵， ∴当时，最大，最大值为， 【小问3详解】 解：由题意，，则， 当点P在对称轴的左侧时，点P在直线的下方，则，抛物线被矩形截得的部分图象的最高点纵坐标为2，最低点纵坐标为， 由题意，，解得（舍去），， ∴； 当点P在对称轴的右侧且在直线上方时，抛物线被矩形截得的部分为点P，不符合题意； 当点P在对称轴的右侧且在直线的下方时，，抛物线被矩形截得的部分图象的最高点纵坐标为，最低点纵坐标为， 由题意，，解得，（舍去）， 则， ∴， 综上，满足条件的点P坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度上学期期末质量检测卷 九年级数学试题 本试卷包括六道大题，共26道小题，共6页．全卷满分120分，考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的学校、姓名、班级、学号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、单项选择题（每小题2分，共12分） 1. 下列图形是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在某渔民画展览中，有一幅长60cm，宽40cm的画，为给它的四周镶一条纸带，制成一幅矩形挂图（如图），如果要使整个挂图的面积是，设纸带的宽为x cm，那么x满足的方程是（ ） A. B. C. D. 3. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 且 4. 点经过某种图形变化后得到点，这种图形变化可能是（ ） A. 关于轴对称 B. 关于轴对称 C. 绕原点逆时针旋转 D. 绕原点顺时针旋转 5. 如图，已知⊙O上三点A，B，C，半径OC=1，∠ABC=30°，切线PA交OC延长线于点P，则PA的长为（ ） A. 2 B. C. D. 6. “七巧板”是一种古老的中国传统智力玩具，由“七巧板”组成的正方形如图所示，若在正方形区域内随意取一点，则该点取在阴影部分的概率为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共24分） 7. 方程的解是________． 8. 如图，绕点O逆时针旋转得到，若，，则的度数是________． 9. 袋中装有个黑球和若干个白球，每个球除颜色外都相同．现进行摸球试验，每次摸出一个记下颜色后放回，经过大量的试验，发现摸到黑球的频率稳定在附近，则袋中随机摸出一个球是黑球的概率为_________． 10. 若点与点都在反比例函数的图象上，且，则的大小关系是____________（填“”或“”） 11. 如果一个正多边形的中心角是，那么这个正多边形的边数为________． 12. 设、是方程的两个根，且，则m的值是______． 13. 如图，圆锥的底面直径，，则该圆锥的表面积是______（结果保留）． 14. 将抛物线向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，所得新抛物线的解析为______． 三、解答题（每小题5分，共20分） 15. 求x的值：． 16. 已知二次函数． （1）求该二次函数的顶点坐标； （2）该二次函数的图象的开口向　，并判断点 　　该函数的图象上（填“在”或“不在” ）． 17. 某公司今年4月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，且每个月生产成本下降的百分率相同，到6月份的生产成本是324万元． （1）求每个月生产成本下降的百分率； （2）该公司7月份的生产成本是否会超过300万元？请说明理由． 18. 如图，与关于点G中心对称，若点E，F分别在上，且，求证：． 四、解答题（每小题7分，共28分） 19. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出关于轴对称的，直接写出点的坐标； （2）画出绕点逆时针旋转后的； （3）在（2）的条件下，求点到经过的路径长（结果保留）． 20. 直线与反比例函数的图象相交于点，，与轴交于点． （1）求直线的表达式； （2）若，请直接写出满足条件的的取值范围； （3）过点作轴的平行线交反比例函数的图象于点，求的面积． 21. 在一个不透明的口袋中装有分别标有数字的四个小球（除标号外，其余都相同），从中随机抽取一个球，再从余下的球中随机抽取一个球． （1）第一次从口袋中随机抽取一个球，抽到数字的概率是 ． （2）用列表法或画树状图法中的一种方法，求抽取的两个小球的数字之和大于的概率． 22. 如图，为的直径，为上一点，，交于，且，连接． （1）求证：是的切线； （2）为上一点，连接，若，，，求的半径． 五、解答题（每小题8分，共16分） 23. 如图，二次函数的图象交轴于、两点并经过点，已知点坐标是，B点的坐标是 （1）求二次函数的解析式； （2）若抛物线对称轴上是否存在一个动点，使点到点、点的距离之和最短，若存在求出点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）该二次函数的对称轴交轴于点，连接，并延长交抛物线于点，连接，，求的面积． 24. 问题情境：已知矩形，，，将矩形绕点按逆时针方向旋转，得到矩形，点的对应点是点，点的对应点是点，点的对应点是点，连接． 数学发现： （1）如图，当时，___________，如图，当时，___________； 初步探究： （2）如图，当边经过点时，求的长； （3）如图，当点落在的延长线上时，直接写出四边形的面积． 六、解答题（每小题10分，共20分） 25. 如图，已知中，，，，，是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为，点从点开始沿方向运动，且速度为，它们同时出发，设运动的时间为. （1）出发后，求的长； （2）当点在边上运动时，出发几秒钟，是等腰三角形? （3）当点在边上运动时，直接写出能使成为等腰三角形的的值. 26. 如图，已知抛物线（、是常数）的顶点的坐标为，抛物线的对称轴为直线，点为抛物线与轴的正半轴的交点，作直线，点是抛物线上的任意一点，其横坐标为，过点作轴的垂线交直线于点，过点作于点，以、为邻边作矩形． （1）填空：________，________； （2）当点在线段上（点不与、重合）时，求的长度与的函数关系式，并直接写出的最大值； （3）当抛物线被矩形截得的部分图象的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标的差为2时，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $