精品解析：天津市和平区2024-2025学年高一上学期期末质量调查数学试卷

天津市和平区2024-2025学年高一上学期期末质量调查数学试卷 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共100分，考试时间100分钟.祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷（选择题共27分） 注意事项： 1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在答题卡上. 2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试卷上无效. 3.本卷共9小题，每小题3分，共27分. 一、单选题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C ， D. ， 4. 若，，，则，，的大小关系为（ ） A B. C. D. 5. 下列函数中，既是偶函数又在区间上是增函数的是（ ） A. B. C. D. 6. 若且，则的最大值为（ ） A. B. 0 C. 2 D. 8 7. 将函数的图象向左平行移动后得到函数的图象，则的对称轴为（ ） A. B. C. D. 8. 方程的一个根所在的区间为，则的值为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 9. 已知函数是定义在上的函数，且满足.，，当时，有，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题 共73分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 10. ______． 11. 幂函数的图像过点，则______. 12. 已知某扇形的圆心角是，半径为3，则该扇形面积为______． 13. 若角的终边经过点（其中且），则______. 14. 尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为．在2019年6月四川长宁发生里氏6.0级的地震，它释放出来的能量是2005年11月内蒙古阿拉善右旗发生里氏4.0级地震释放出来能量的______倍. 15. 已知，若存在实数，使得关于的方程有两个不等实根，则实数的取值范围是____________. 三、解答题（本大题共5小题，共49分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. （1）计算：（式中字母均正数）； （2）化简：． 17 已知全集，若集合，． （1）若，求集合及； （2）若，求实数的取值范围． 18 已知，，，． （1）求的值； （2）求的值． 19. 已知函数， （1）求函数的最小正周期和对称中心坐标； （2）求函数的单调递增区间； （3）当时，求的最大值以及取得最大值时的值． 20. 双曲函数是工程数学中一类重要的函数，它也是一类最重要的基本初等函数，它的性质非常丰富，常见的两类双曲函数为正余弦双曲函数，解析式如下：双曲正弦函数：，双曲余弦函数：，它们也有类似正余弦函数的性质，比如，． （1）判断的奇偶性并证明； （2）判断在的单调性并用定义法进行证明； （3）关于的方程在有解，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 天津市和平区2024-2025学年高一上学期期末质量调查数学试卷 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共100分，考试时间100分钟.祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷（选择题共27分） 注意事项： 1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在答题卡上. 2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试卷上无效. 3.本卷共9小题，每小题3分，共27分. 一、单选题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据补集的概念及集合的基本运算可得结果. 【详解】∵，，∴， ∵，∴. 故选：A. 2. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由充分条件和必要条件的概念可得结果. 【详解】由“”不能推出“”，由“”可推出“”， 故“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 3. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】由特称命题的否定是存在改任意并否定原结论，即可得答案. 【详解】由特称命题的否定为特称命题，原命题的否定为，. 故选：D 4. 若，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指对数函数性质判断大小关系即可. 【详解】由，所以. 故选：D 5. 下列函数中，既是偶函数又在区间上是增函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】逐项判断函数是否满足条件，即可得出结论. 【详解】函数定义域为，且， 所以是偶函数，又因为在上不单调，故A错误. 函数定义域为，且， 所以不是偶函数，故B错误. 函数定义域为，且， 所以是偶函数，又因为在上是增函数，故C正确. 函数定义域为，且， 所以是偶函数，又因为，在上单调递减，故D错误. 故选：C. 6. 若且，则的最大值为（ ） A. B. 0 C. 2 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】利用不等式的基本条件“一正，二定，三相等”，对式子配凑完再提个负号即可得到结果. 【详解】因为，所以，即， ， 当且仅当，解得：或（舍），即当时，等号成立. 故选：B 7. 将函数的图象向左平行移动后得到函数的图象，则的对称轴为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数的变换规则得到的解析式，再根据正弦函数的性质计算可得. 【详解】将函数的图象向左平行移动后, 得到函数, 令，，解得，， 所以的对称轴为，. 故选：A 8. 方程的一个根所在的区间为，则的值为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】令，利用零点存在定理求解. 【详解】令，定义域为，且连续， 又， 所以方程的一个实根必在， 所以， 故选：C 9. 已知函数是定义在上的函数，且满足.，，当时，有，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用偶函数的定义求出参数m的值，再根据函数单调性列出不等式组求解即可. 【详解】由题意知，函数是定义在上的偶函数，, 解得，且，，当时，有, 所以函数在区间上单调递减，则由，得, 解得，即，所以不等式的解集是 故选：B 第Ⅱ卷（非选择题 共73分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 10. ______． 【答案】 【解析】 【分析】应用诱导公式可得，即可得求值. 【详解】由. 故答案为： 11. 幂函数图像过点，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，由幂函数的定义可得，再将点的坐标代入计算，即可得到结果. 【详解】因为为幂函数，所以，即， 再将点代入可得，即， 所以. 故答案为： 12. 已知某扇形的圆心角是，半径为3，则该扇形面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据扇形面积公式计算即可. 【详解】由题意知，扇形面积为， 故答案为：. 13. 若角的终边经过点（其中且），则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据三角函数的定义求出和，即可得到结果. 【详解】∵，∴， ∴， ∴. 故答案为：. 14. 尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为．在2019年6月四川长宁发生里氏6.0级的地震，它释放出来的能量是2005年11月内蒙古阿拉善右旗发生里氏4.0级地震释放出来能量的______倍. 【答案】1000 【解析】 【分析】根据已知关系式，应用指对数关系及相关运算性质求结果. 【详解】设2019年6月四川长宁发生里氏6.0级地震、2005年11月内蒙古阿拉善右旗发生里氏4.0级地震能量分别为， 由，可得，由，可得， 所以，即两次地震中前者能量为后者的1000倍. 故答案为：1000 15. 已知，若存在实数，使得关于的方程有两个不等实根，则实数的取值范围是____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据分段函数解析式，结合相关幂函数的区间单调性及已知方程根的个数确定参数范围即可. 【详解】当，对于，在上单调递减，在上单调递增， 所以，此时一定存在实数，使得关于的方程有两个不等实根； 当时，在上单调递增，在上单调递增， 此时要使关于的方程有两个不等实根，只需， 而，所以； 综上，. 故答案为： 三、解答题（本大题共5小题，共49分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. （1）计算：（式中字母均为正数）； （2）化简：． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）利用指数幂的运算性质计算可得结果. （2）根据对数的运算性质及换底公式计算可得结果. 【详解】（1）. （2） . 17. 已知全集，若集合，． （1）若，求集合及； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）或；或 （2） 【解析】 【分析】（1）将集合化简，再由集合的运算，即可得到结果； （2）根据题意，分与讨论，列出不等式，代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 由可得，解得或， 所以或， 当时，， 则或. 【小问2详解】 当时，，即， 此时满足； 当时，要使， 则，解得； 综上所述，实数的取值范围. 18. 已知，，，． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）应用诱导公式，结合弦化切求值即可； （2）根据题设可得，，再应用差角余弦公式求. 【小问1详解】 由题设 【小问2详解】 由题设易知，且，则， 则. 19. 已知函数， （1）求函数的最小正周期和对称中心坐标； （2）求函数的单调递增区间； （3）当时，求的最大值以及取得最大值时的值． 【答案】（1）最小正周期，对称中心为，； （2），； （3）最大值为，对应. 【解析】 【分析】（1）应用二倍角正余弦公式化简函数式，应用正弦型函数性质求最小正周期及对称中心； （2）根据正弦函数的单调性，求的单调递增区间； （3）由，结合正弦型函数性质求最大值并确定对应值． 【小问1详解】 由， 所以最小正周期， 令，则，，即对称中心为，. 【小问2详解】 令，，则，， 所以函数的单调递增区间为，. 小问3详解】 由，则，故， 所以，函数最大值为，此时. 20. 双曲函数是工程数学中一类重要的函数，它也是一类最重要的基本初等函数，它的性质非常丰富，常见的两类双曲函数为正余弦双曲函数，解析式如下：双曲正弦函数：，双曲余弦函数：，它们也有类似正余弦函数的性质，比如，． （1）判断的奇偶性并证明； （2）判断在的单调性并用定义法进行证明； （3）关于的方程在有解，求实数的取值范围． 【答案】（1）奇函数，证明见解析； （2）单调递增，证明见解析； （3）. 【解析】 分析】（1）利用奇偶性定义证明即可； （2）利用函数单调性定义证明即可； （3）令，问题化为在上有解，求出左侧的值域范围，即可求参数范围. 【小问1详解】 奇函数，证明如下： 由题设，的定义域均为R，且，， 所以分别为奇函数、偶函数， 所以且定义域R， 所以为奇函数，得证. 【小问2详解】 在的单调递增，证明如下： 令，则， 显然，故，即， 所以在的单调递增. 【小问3详解】 由题设， 又，令， 结合(2)知单调递增，故， 又， 所以在上有解， 又在上单调递增，故， 所以，可得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$