10.5 用二元一次方程组解决问题（一）学案-2024-2025学年苏科版数学 七年级下册

10.5 用二元一次方程组解决问题（一） 【学习目标】 会用二元一次方程组解决简单的实际题（行程问题、货运问题、分配问题、利润问题、几何问题）． 【教学重难点】 利润问题、几何问题． 知识点与方法技巧梳理： 利用二元一次方程组解应用题时，要读懂题意，能够由题意找出已知的或隐含的等量关系，列出二元一次方程组并求解． 列二元一次方程组解应用题的一般步骤为： 理解问题：审题，搞清已知和未知，分析数量关系． 制订计划：考虑如何根据等量关系设元，列出方程组． 执行计划：列出方程组并求解，得到答案． 回顾：检查和反思解题过程，检验答案的正确性以及是否符合题意． 考点1：和差倍分问题 【例】某校初一学生共有356人，其中男同学人数为女同学人数的2倍少5人，若设男、女同学分别为x人、y人，则列出方程组是（ ） A． B． C． D． 【变式】 1．游泳池中有一群小朋友，男孩戴蓝色游泳帽，女孩戴红色游泳帽．如果每位男孩看到蓝色与红色的游泳帽一样多，而每位女孩看到蓝色的游泳帽比红色的多1倍，你知道男孩与女孩各有多少人吗？ 2．某市居民每月交纳的自来水费包括两个项目：每月使用的水费和同体积水的污水处理费，其中污水处理费的单价（元/立方米）是自来水费的．小华家5月份用了自来水22立方米，共交了77元，求水费和污水处理费每立方米各多少元． 3．通过对一份中学生营养快餐的检测，得到以下信息： ①快餐的总质量为300g； ②快餐的成分：蛋白质、碳水化合物、脂肪、矿物质;； ③蛋白质和脂肪含量占50%；矿物质的含量是脂肪含量的2倍；蛋白质和碳水化合物含量占85%． 试分别求出营养快餐中蛋白质、碳水化合物、脂肪、矿物质的质量和所占百分比． 考点2：行程问题 【例】甲、乙两人从相距18千米的两地同时出发，相向而行，经小时相遇．如果甲比乙先出发小时，那么在乙出发后经小时两人相遇，求甲、乙两人的速度． 【变式】 1．A、B两地相距36千米，甲从A地出发步行到B地，乙从B地出发步行到A地，两人同时出发，4小时后相遇．若6小时后，甲所余路程为乙所余路程的2倍，求甲、乙两人的速度． 2．从王老师家到学校全程3.3km，其中有一段上坡路、一段平路和一段下坡路．王老师每天步行上下班．如果上坡路的平均速度为3km/h，平路的平均速度为4km/h，下坡路的平均速度为5km/h，那么王老师从家到学校需51分钟，从学校到家需53.4分钟．求从王老师家到学校的上坡路、平路和下坡路的路程． 3．甲、乙两车从A城出发沿一条笔直公路匀速行驶至B城，已知甲车的速度为60千米/小时，乙车的速度为100千米/小时，甲比乙早出发1小时，乙比甲早到达1小时． （1）求A，B两城的距离； （2）甲车出发多长时间与乙车相遇？ （3）若两车相距不超过30千米时可以通过无线电相互通话，则两车都在行驶过程中可以通过无线电通话的时间有多长？ 考点3：分配问题 【例】用如图1所示的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图2的竖式和横式两种无盖纸盒．现在仓库里有1000张正方形纸板和2000张长方形纸板，问两种纸盒各做多少个，恰好将库存的纸板用完？如果仓库里有500张正方形纸板和1001张长方形纸板，那么能否在做成若干只两种纸盒后，恰好把库存的纸板用完？说明你的理由． ( 图1 图2 ) 【变式】 1．某工地派96人去挖土和运土，如果平均每人每天挖土5m3或运土3m3，那么怎样分配挖土和运土的人数，才能使挖出的土刚好能被运完？ 2．学校乐队193人准备参加文艺会演，现已预备了大客车和中巴车共8辆，其中大客车每辆可坐51人，中巴车每辆可坐8人，刚好坐满，学校预备了几辆大客车？几辆中巴车？ 3．一组同学一起去种树，如果每人种4棵，还剩下3棵树苗；如果每人种5棵，则缺少5棵树苗，求这组同学的人数和需种植的树苗数． 4．某化肥厂往某地区发运了两批化肥，第一批装满了6节火车车厢和15辆卡车，共运了360吨；第二批装满了8节火车车厢和10辆卡车，共运了440吨．平均每节火车车厢和每辆卡车分别装运多少吨化肥？ 5．某木器厂有38名工人，2名工人每天可加工3张课桌，3名工人每天可加工10把椅子．如何安排工人，才能使每天加工的桌椅配套？（1张课桌配2把椅子） 6．某厂共有120名生产工人，每个工人每天可生产螺栓25个或螺母20个，如果一个螺栓与两个螺母配成一套，那么每天安排多少名工人生产螺栓，多少名工人生产螺母，才能使每天生产出来的产品配成最多套？ 考点4：几何问题 【例】如图是用7块相同大小的小长方形拼成的一个周长为34cm的大长方形，求每个小长方形的长和宽． 【变式】 1．如图是用8块相同大小的小长方形拼成一个宽为60cm的大长方形，求每个小长方形的长和宽． ( 60cm ) 2． ( 图1 图2 )小明用8个一样大小的长方形，既可以拼成图1的大长方形，也可以拼成图2的大正方形，并且图2的中间小正方形的边长为2cm，求8个小长方形的长和宽． 考点5：利润问题 知识点与方法技巧梳理： 成本有时也叫进价，售价有时也叫标价． 利润＝售价－成本（进价） 原售价×打折数＝现售价 利润率＝ ×100% 【例】一件商品如果按定价打九折出售可以盈利20%，如果打八折出售可以盈利10元，问此商品的定价是多少？ 【变式1】 1．某市场购进甲、乙两种商品共50件，甲种商品进价每件35元，利润率是20%，乙种商品进价每件20元，利润率是15%，共获利278元，问甲、乙两种商品各购进了多少件？ 2．某商场以一定的进价购进一批服装，并以一定的单价售出，平均每天卖出10件，30天共获利15000元．现在为了尽快回笼资金，商场决定将每件衣服降价20%出售，结果平均每天比降价前多卖10件，这样30天可获利12000元．问这批服装每件的进价及降价前出售的单价各是多少？ 【能力提升】 1．某酒店客房部有三人间、双人间客房，收费数据如下表。 普通（元/间/天） 豪华（元/间/天） 三人间 150 300 双人间 140 400 为吸引游客，实行团体入住五折优惠措施．一个50人的旅游团优惠期间到该酒店入住，住了一些三人普通间和双人普通间客房．若每间客房正好住满，且一天共花去住宿费1510元，则旅游团住了三人普通间和双人普通间客房各多少间？ 2．某中学新建了一栋4层的教学大楼，每层楼有8间教室，进出这栋大楼共有4道门，其中两道正门大小相同，两道侧门大小也相同．安全检查时，对4道门进行测试，当同时开启一道正门和两道侧门时，2分钟内可以通过560名学生，当同时开启一道正门和一道侧门时，4分钟内可以通过800名学生． （1）求平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少名学生？ （2）检查中发现，紧急情况时因学生拥挤，出门的效率将降低20%．安全检查规定，在紧急情况下，全大楼学生应在5分钟内通过这4道门安全撤离．假设这栋教学楼每间教室最多有45名学生．问：这4道门是否符合安全规定？请说明理由． 【课后作业设计】 1．某校教师举行茶话会，若每桌坐12人，则空出一张桌子；若每桌坐10人，还有10人不能就坐，问该校有多少名教师？共准备了多少张桌子？ 2．小红家以两种储蓄方式分别存了2000元和1000元，一年到期，扣除利息税后可得利息43.92元．如果这两笔钱的两种储蓄方式交换一下，则到期扣除利息税后只能得到利息33.84元．已知利息税的税率为20%，问当时这两种储蓄的年利率各是多少？ 3．通过一次对某校七年级学生的问卷调查，得知最喜爱观看体育节目的人数占，最喜爱观看文艺节目的人数占，最喜爱观看文艺节目的人数比最喜爱观看新闻节目的人数多48人，问最喜爱观看文艺节目、新闻节目的各有多少人？接受问卷调查的学生共有多少人？ 4．一条铁路线上有A，B，C三个车站，其中B站在A站和C站之间，已知B，C两站之间相距520千米．火车从B站出发，向C站方向匀速行驶，经过30分钟，距A站150千米；经过2小时，距A站345千米．问火车从B站开出多少时间后可到达C站？ 5．一块锡铅合金，在空气中称得重为115kg，浸没在水中称得重为103kg．已知在空气中称得15kg的锡在水中称得13kg，在空气中称得35kg的铅在水中称得32kg，问这块合金中含锡和铅各多少千克？ 6．某蔬菜公司收购到某种蔬菜140吨，准备加工后上市销售．该公司的加工能力是：每天可以精加工6吨或者粗加工16吨． （1）现计划用15天完成加工任务，该公司应安排几天粗加工，几天精加工，才能按期完成任务？ （2）如果每吨蔬菜粗加工后的利润为1000元，精加工后为2000元，那么该公司出售这些加工后的蔬菜共可获利多少元？ 7．某同学在A、B两购物中心发现他看中的运动服的单价相同，球鞋的单价也相同，运动服和球鞋的单价之和为452元，且运动服的单价比球鞋的单价的4倍少8元． （1）求该同学看中的运动服和球鞋的单价各是多少元？ （2）某一天该同学上街，恰好赶上商家促销，A所有的商品打八折销售，B全场每购物满100元返购物券30元销售（不足100元不返券，购物券全场通用），他只带了400元钱，如果他只在一家购物中心购买这两种物品，你能说明他可以选择哪一家购买更省钱吗？还有哪些购买方式？哪种方式更划算？ ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$