6.4.1～6.4.2平面向量的应用（人教A版必修二）-2024-2025学年寒假高一数学同步练习（全国通用）

6.4平面向量的应用 1．在△ABC中，∠C＝90°，＝(k，1)，＝(2，3)，则k的值是(　　) A.　　　　　　 B．－ C．5 D．－5 答案　C 解析　＝－＝(2，3)－(k，1)＝(2－k，2)． ∵∠C＝90°，∴⊥，∴·＝0. ∴(2，3)·(2－k，2)＝0，即2(2－k)＋6＝0，∴k＝5. 2．已知点A(2，3)，B(－2，6)，C(6，6)，D(10，3)，则以A，B，C，D为顶点的四边形是(　　) A．梯形 B．邻边不等的平行四边形 C．菱形 D．两组对边均不平行的四边形 答案　B 解析　＝(－4，3)，＝(－4，3)，＝(8，0)，所以＝.又因为||≠||.故选B. 3．在四边形ABCD中，若＝(1，2)，＝(－4，2)，则该四边形的面积为(　　) A. B．2 C．5 D．10 答案　C 解析　∵·＝0，∴AC⊥BD. ∴四边形ABCD的面积S＝||||＝××2＝5. 4．一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态，已知F1，F2成90°角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小为(　　) A．6 B．2 C．2 D．2 答案　C 解析　由题意知F3＝－(F1＋F2)，所以|F3|2＝(F1＋F2)2＝F12＋F22＋2F1·F2＝4＋16＝20，∴|F3|＝2. 5．已知A，B，C是平面上的三点，其坐标分别为(1，2)，(4，1)，(0，－1)，则△ABC的形状为(　　) A．直角(非等腰)三角形 B．等腰(非等边)三角形 C．等腰直角三角形 D．以上均不正确 答案　C 解析　由题意，得＝(3，－1)，＝(－1，－3)，∴·＝3×(－1)＋(－1)×(－3)＝0，且||＝||＝，∴△ABC为等腰直角三角形． 6．点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足·＝·＝·，则点O是△ABC的(　　) A．三个内角的角平分线的交点(内心) B．三条边的垂直平分线的交点(外心) C．三条中线的交点(重心) D．三条高线的交点(垂心) 答案　D 7．一物体在力F1＝(3，－4)，F2＝(2，－5)，F3＝(3，1)的共同作用下从点A(1，1)移动到点B(0，5)．在这个过程中三个力的合力所做的功为________． 答案　－40 解析　∵F1＝(3，－4)，F2＝(2，－5)，F3＝(3，1)， ∴合力F＝F1＋F2＋F3＝(8，－8)． 又∵＝(0－1，5－1)＝(－1，4)， ∴F·＝8×(－1)＋(－8)×4＝－40， 即三个力的合力做的功等于－40. 8．已知a＝，＝a－b，＝a＋b.若△OAB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，则△AOB的面积是________． 答案　1 解析　∵⊥，∴·＝(a－b)·(a＋b)＝0，∴a2－b2＝0，∴|a|＝|b|. ∵||＝||，∴|a－b|＝|a＋b|，∴a2＋b2－2a·b＝a2＋b2＋2a·b，∴a·b＝0，又|a|＝1，∴a，b是互相垂直的单位向量，∴||＝||＝，∴S△OAB＝||×||＝1. 9．设平面上有四个互异的点A，B，C，D，已知(＋－2)·(－)＝0，则△ABC的形状一定是________． 答案　等腰三角形 解析　∵(＋－2)·(－)＝[(－)＋(－)]·(－) ＝(＋)·(－)＝－＝||2－||2＝0， ∴||＝||，∴△ABC是等腰三角形． 10.如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝3，点D在线段BC上，且BD＝DC.求： (1)AD的长； (2)∠DAC的大小． 解析　(1)设＝a，＝b，则＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b. ∴||2＝2＝＝a2＋2×a·b＋b2＝×9＋2××3×3×cos 120°＋×9＝3，∴AD＝. (2)设∠DAC＝θ(0°<θ<120°)，则θ为与的夹角． ∴cos θ＝＝＝＝＝0.∴θ＝90°，即∠DAC＝90°. 11．在△ABC中，若＝a，＝b，＝c，且a·b＝b·c＝c·a，则△ABC的形状为(　　) A．等边三角形 B．直角(非等腰)三角形 C．等腰(非等边)三角形 D．以上都不对 答案　A 解析　如图，以BA，BC为邻边作▱ABCE，连接BE.由a·b＝b·c，得b·(a－c)＝0，而a－c＝－＝＋＝， ∴·＝0，∴AC⊥BE，∴▱ABCE为菱形， ∴AB＝BC， 同理可证BC＝AC，∴△ABC为等边三角形． 12．已知锐角三角形ABC的外接圆的圆心为O，半径为，且·＝－1，则A＝(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　因为·＝||·||·cos∠BOC＝2cos∠BOC＝－1，所以cos∠BOC＝－，所以∠BOC＝，所以A＝.故选A. 13.如图，一个力F作用在小车G上，使小车G发生了40米的位移，F的大小为50 N，且与小车的位移方向的夹角为60°，e是与小车位移方向相同的单位向量，则F在小车位移上的投影向量为________，力F做的功为________． 答案　25e　1 000 J 解析　∵|F|＝50，且F与小车的位移方向的夹角为60°， ∴F在小车位移上的投影向量为|F|·cos 60°·e＝25e. ∵力F作用于小车G，使小车G发生了40米的位移，∴力F做的功W＝25×40＝1 000(J)． 14．(高考真题·北京卷)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则·的值为________；·的最大值为________． 答案　1　1 解析　以D为坐标原点，建立平面直角坐标系如图所示． 则D(0，0)，A(1，0)，B(1，1)，C(0，1)， 设E(1，a)(0≤a≤1)． 所以·＝(1，a)·(1，0)＝1， ·＝(1，a)·(0，1)＝a≤1，故·的最大值为1. 15．【多选题】定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的a＝(m，n)，b＝(p，q)，令a⊙b＝mq－np.下面说法正确的是(　　) A．若a与b共线，则a⊙b＝0 B．a⊙b＝b⊙a C．对任意的λ∈R，有(λa)⊙b＝λ(a⊙b) D．(a⊙b)2＋(a·b)2＝|a|2|b|2 答案　ACD 解析　根据题意可知若a，b共线，可得mq＝np，所以a⊙b＝mq－np＝0，所以A正确．因为a⊙b＝mq－np，b⊙a＝np－mq，故二者不等，所以B错误．对于任意的λ∈R，(λa)⊙b＝λ(a⊙b)＝λmq－λnp，所以C正确．(a⊙b)2＋(a·b)2＝m2q2＋n2p2－2mnpq＋m2p2＋n2q2＋2mnpq＝(m2＋n2)(p2＋q2)＝|a|2|b|2，所以D正确．故选ACD. 1．(2024·新高考Ⅰ卷)已知向量a＝(0，1)，b＝(2，x)，若b⊥(b－4a)，则x＝(　　) A．－2　　　　 B．－1 C．1 D．2 答案　D 解析　因为b⊥(b－4a)，所以b·(b－4a)＝0， 所以b2－4a·b＝0，即4＋x2－4x＝0，故x＝2. 2．(2024·新高考Ⅱ卷)已知向量a，b满足|a|＝1，|a＋2b|＝2，且(b－2a)⊥b，则|b|＝(　　) A. B. C. D．1 答案　B 解析　因为(b－2a)⊥b，所以(b－2a)·b＝0，即b2＝2a·b， 又因为|a|＝1，|a＋2b|＝2， 所以1＋4a·b＋4b2＝1＋6b2＝4，从而|b|＝. 3．(2024·北京)已知向量a，b，则“(a＋b)·(a－b)＝0”是“a＝b或a＝－b”的(　　) A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件 C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　A 解析　因为(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝0，可得a2＝b2，即|a|＝|b|， 可知(a＋b)·(a－b)＝0等价于|a|＝|b|， 若a＝b或a＝－b，可得|a|＝|b|，即(a＋b)·(a－b)＝0，可知必要性成立； 若(a＋b)·(a－b)＝0，即|a|＝|b|，无法得出a＝b或a＝－b， 例如a＝(1，0)，b＝(0，1)，满足|a|＝|b|，但a≠b且a≠－b，可知充分性不成立． 综上所述，“(a＋b)·(a－b)＝0”是“a＝b或a＝－b”的必要不充分条件． 4．(2024·全国甲卷，理)已知向量a＝(x＋1，x)，b＝(x，2)，则(　　) A．“x＝－3”是“a⊥b”的必要条件 B．“x＝－3”是“a∥b”的必要条件 C．“x＝0”是“a⊥b”的充分条件 D．“x＝－1＋”是“a∥b”的充分条件 答案　C 解析　对A，当a⊥b时，则a·b＝0，所以x·(x＋1)＋2x＝0，解得x＝0或x＝－3，即必要性不成立，故A错误；对B，当a∥b时，则2(x＋1)＝x2，解得x＝1±，即必要性不成立，故B错误；对C，当x＝0时，a＝(1，0)，b＝(0，2)，故a·b＝0，所以a⊥b，即充分性成立，故C正确；对D，当x＝－1＋时，不满足2(x＋1)＝x2，所以a∥b不成立，即充分性不成立，故D错误． 5．(2023·北京)已知向量a，b满足a＋b＝(2，3)，a－b＝(－2，1)，则|a|2－|b|2＝(　　) A．－2　　　 B．－1 C．0 D．1 答案　B 解析　向量a，b满足a＋b＝(2，3)，a－b＝(－2，1)，所以|a|2－|b|2＝(a＋b)·(a－b)＝2×(－2)＋3×1＝－1.故选B. 6．(2023·全国甲卷，文)已知向量a＝(3，1)，b＝(2，2)，则cos〈a＋b，a－b〉＝(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　因为a＝(3，1)，b＝(2，2)，所以a＋b＝(5，3)，a－b＝(1，－1)， 则|a＋b|＝＝，|a－b|＝＝，(a＋b)·(a－b)＝5×1＋3×(－1)＝2， 所以cos〈a＋b，a－b〉＝＝＝.故选B. 7．(2023·全国乙卷，文)正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，则·＝(　　) A. B．3 C．2 D．5 答案　B 解析　方法一：以{，}作为平面内所有向量的一个基底，可知||＝||＝2，·＝0， 则＝＋＝＋，＝＋＝－＋， 所以·＝·＝－2＋2＝－1＋4＝3. 方法二：如图，以A为坐标原点建立平面直角坐标系， 则E(1，0)，C(2，2)，D(0，2)，可得＝(1，2)，＝(－1，2)， 所以·＝－1＋4＝3. 8．(2022·新高考Ⅰ卷)在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA.记＝m，＝n，则＝(　　) A．3m－2n　　　 B．－2m＋3n C．3m＋2n D．2m＋3n 答案　B 解析　因为BD＝2DA，所以＝3，所以＝＋＝＋3＝＋3(－)＝－2＋3＝－2m＋3n.故选B. 9．(2022·新高考Ⅱ卷)已知向量a＝(3，4)，b＝(1，0)，c＝a＋tb，若〈a，c〉＝〈b，c〉，则t＝(　　) A．－6 B．－5 C．5 D．6 答案　C 解析　由题意，得c＝a＋tb＝(3＋t，4)，所以a·c＝3×(3＋t)＋4×4＝25＋3t，b·c＝1×(3＋t)＋0×4＝3＋t.因为〈a，c〉＝〈b，c〉，所以cos〈a，c〉＝cos〈b，c〉，即＝，即＝3＋t，解得t＝5，故选C. 10．(2022·全国乙卷，理)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝，|a－2b|＝3，则a·b＝(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 答案　C 解析　由|a－2b|＝3，可得|a－2b|2＝a2－4a·b＋4b2＝9，又|a|＝1，|b|＝，所以a·b＝1，故选C. 11．(2021·浙江)已知非零向量a，b，c，则“a·c＝b·c”是“a＝b”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　B 解析　由a·c＝b·c可得(a－b)·c＝0，所以(a－b)⊥c或a＝b，所以“a·c＝b·c”是“a＝b”的必要不充分条件．故选B. 12．【多选题】(2021·新高考Ⅰ卷)已知O为坐标原点，点P1(cos α，sin α)，P2(cos β，－sin β)，P3(cos(α＋β)，sin(α＋β))，A(1，0)，则(　　) A．||＝|| B．||＝|| C.·＝· D.·＝· 答案　AC 解析　由题可知，||＝＝1，||＝＝1，所以||＝||，故A正确；取α＝，则P1，取β＝，则P2，则||≠||，故B错误；因为·＝cos(α＋β)，·＝cos αcos β－sin αsin β＝cos(α＋β)，所以·＝·，故C正确；因为·＝cos α，·＝cos βcos(α＋β)－sin βsin(α＋β)＝cos(α＋2β)，取α＝，β＝，则·＝，·＝cos ＝－，所以·≠·，故D错误．故选AC. 13．(2022·全国甲卷，理)设向量a，b的夹角的余弦值为，且|a|＝1，|b|＝3，则(2a＋b)·b＝________． 答案　11 解析　(2a＋b)·b＝2a·b＋b2＝2|a|·|b|·cos〈a，b〉＋|b|2＝2×1×3×＋32＝11. 14．(2020·北京)已知正方形ABCD的边长为2，点P满足＝(＋)，则||＝________；·＝________． 答案　　－1 解析　以A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x轴、y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0，0)，B(2，0)，C(2，2)，D(0，2)，∴＝(＋)＝(2，1)， ∴P(2，1)，∴＝(－2，1)，＝(0，－1)， ∴||＝，·＝(0，－1)·(－2，1)＝－1. 7 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6.4平面向量的应用 1．在△ABC中，∠C＝90°，＝(k，1)，＝(2，3)，则k的值是(　　) A.　　　　　　 B．－ C．5 D．－5 2．已知点A(2，3)，B(－2，6)，C(6，6)，D(10，3)，则以A，B，C，D为顶点的四边形是(　　) A．梯形 B．邻边不等的平行四边形 C．菱形 D．两组对边均不平行的四边形 3．在四边形ABCD中，若＝(1，2)，＝(－4，2)，则该四边形的面积为(　　) A. B．2 C．5 D．10 4．一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态，已知F1，F2成90°角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小为(　　) A．6 B．2 C．2 D．2 5．已知A，B，C是平面上的三点，其坐标分别为(1，2)，(4，1)，(0，－1)，则△ABC的形状为(　　) A．直角(非等腰)三角形 B．等腰(非等边)三角形 C．等腰直角三角形 D．以上均不正确 6．点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足·＝·＝·，则点O是△ABC的(　　) A．三个内角的角平分线的交点(内心) B．三条边的垂直平分线的交点(外心) C．三条中线的交点(重心) D．三条高线的交点(垂心) 7．一物体在力F1＝(3，－4)，F2＝(2，－5)，F3＝(3，1)的共同作用下从点A(1，1)移动到点B(0，5)．在这个过程中三个力的合力所做的功为________． 8．已知a＝，＝a－b，＝a＋b.若△OAB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，则△AOB的面积是________． 9．设平面上有四个互异的点A，B，C，D，已知(＋－2)·(－)＝0，则△ABC的形状一定是________． 10.如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝3，点D在线段BC上，且BD＝DC.求： (1)AD的长； (2)∠DAC的大小． 11．在△ABC中，若＝a，＝b，＝c，且a·b＝b·c＝c·a，则△ABC的形状为(　　) A．等边三角形 B．直角(非等腰)三角形 C．等腰(非等边)三角形 D．以上都不对 12．已知锐角三角形ABC的外接圆的圆心为O，半径为，且·＝－1，则A＝(　　) A. B. C. D. 13.如图，一个力F作用在小车G上，使小车G发生了40米的位移，F的大小为50 N，且与小车的位移方向的夹角为60°，e是与小车位移方向相同的单位向量，则F在小车位移上的投影向量为________，力F做的功为________． 14．(高考真题·北京卷)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则·的值为________；·的最大值为________． 15．【多选题】定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的a＝(m，n)，b＝(p，q)，令a⊙b＝mq－np.下面说法正确的是(　　) A．若a与b共线，则a⊙b＝0 B．a⊙b＝b⊙a C．对任意的λ∈R，有(λa)⊙b＝λ(a⊙b) D．(a⊙b)2＋(a·b)2＝|a|2|b|2 1．(2024·新高考Ⅰ卷)已知向量a＝(0，1)，b＝(2，x)，若b⊥(b－4a)，则x＝(　　) A．－2　　　　 B．－1 C．1 D．2 2．(2024·新高考Ⅱ卷)已知向量a，b满足|a|＝1，|a＋2b|＝2，且(b－2a)⊥b，则|b|＝(　　) A. B. C. D．1 3．(2024·北京)已知向量a，b，则“(a＋b)·(a－b)＝0”是“a＝b或a＝－b”的(　　) A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件 C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．(2024·全国甲卷，理)已知向量a＝(x＋1，x)，b＝(x，2)，则(　　) A．“x＝－3”是“a⊥b”的必要条件 B．“x＝－3”是“a∥b”的必要条件 C．“x＝0”是“a⊥b”的充分条件 D．“x＝－1＋”是“a∥b”的充分条件 5．(2023·北京)已知向量a，b满足a＋b＝(2，3)，a－b＝(－2，1)，则|a|2－|b|2＝(　　) A．－2　　　 B．－1 C．0 D．1 6．(2023·全国甲卷，文)已知向量a＝(3，1)，b＝(2，2)，则cos〈a＋b，a－b〉＝(　　) A. B. C. D. 7．(2023·全国乙卷，文)正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，则·＝(　　) A. B．3 C．2 D．5 8．(2022·新高考Ⅰ卷)在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA.记＝m，＝n，则＝(　　) A．3m－2n　　　 B．－2m＋3n C．3m＋2n D．2m＋3n 9．(2022·新高考Ⅱ卷)已知向量a＝(3，4)，b＝(1，0)，c＝a＋tb，若〈a，c〉＝〈b，c〉，则t＝(　　) A．－6 B．－5 C．5 D．6 10．(2022·全国乙卷，理)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝，|a－2b|＝3，则a·b＝(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 11．(2021·浙江)已知非零向量a，b，c，则“a·c＝b·c”是“a＝b”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 12．【多选题】(2021·新高考Ⅰ卷)已知O为坐标原点，点P1(cos α，sin α)，P2(cos β，－sin β)，P3(cos(α＋β)，sin(α＋β))，A(1，0)，则(　　) A．||＝|| B．||＝|| C.·＝· D.·＝· 13．(2022·全国甲卷，理)设向量a，b的夹角的余弦值为，且|a|＝1，|b|＝3，则(2a＋b)·b＝________． 14．(2020·北京)已知正方形ABCD的边长为2，点P满足＝(＋)，则||＝________；·＝________． 3 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$