8.6.2直线与平面垂直（第3课时）（人教A版必修二）-2024-2025学年寒假高一数学同步练习（全国通用）

8.6.2直线与平面垂直（第3课时） 1．棱长为2的正方体ABCD－A′B′C′D′中，P是平面ABCD内一点，则点P到平面A′B′C′D′的距离是(　　) A．1　　　　　 B．2 C．3 D．4 2.如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在截面A1DB上(含边界)，则线段AP的最小值等于(　　) A. B. C. D. 3．已知正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝1，则点A到平面BCC1B1的距离等于(　　) A．1 B. C. D. 4.如图，四面体A－BCD中，AB，BC，BD两两垂直，BC＝BD＝2，点E是CD的中点，若直线AB与平面ACD所成角的正弦值为，则B到平面ACD的距离为(　　) A. B. C. D. 5.若正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面边长为1，AB1与底面ABCD所成角的大小为60°，则A1C1到底面ABCD的距离为(　　) A. B．1 C．2 D. 6.【多选题】如图，四棱锥S－ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，下列结论中正确的是(　　) A．AC与SB不可能垂直 B．AB∥平面SCD C．SA与平面ABD所成的角等于SC与平面ABD所成的角 D．AC⊥SO 7.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥平面AB1C1，AA1＝1，底面△ABC是边长为2的正三角形，则此三棱柱的体积为________． 8.如图，圆锥的高为2，侧面积为4π，P为顶点，O为底面中心，A，B在底面圆周上，M为PA中点，MB⊥OA，则点O到平面PAB的距离为________． 9.如图，在四棱锥P－ABCD中，PA垂直于菱形ABCD所在的平面，∠ABC＝60°，E是BC的中点，M是PD的中点． (1)求证：AE⊥平面PAD； (2)若AB＝AP＝2，求三棱锥P－ACM的体积． 10.如图，已知AF⊥平面ABCD，四边形ABEF为矩形，四边形ABCD为直角梯形，∠DAB＝90°，AB∥CD，AD＝AF＝CD＝2，AB＝4. (1)求证：AC⊥平面BCE； (2)求点C到平面ADE的距离． 11．有如下命题，其中错误的是(　　) A．若直线a⊂α，且α∥β，则直线a到平面β的距离等于平面α，β间的距离 B．若平面α∥平面β，点A∈α，则点A到平面β的距离等于平面α，β间的距离 C．两条平行直线分别在两个平行平面内，则这两条直线间的距离等于这两个平行平面间的距离 D．两条异面直线分别在两个平行平面内，则这两条直线间的距离等于这两个平行平面间的距离 12.【多选题】如图，直线PA垂直于圆O所在的平面，△ABC内接于圆O，且AB为圆O的直径，点M为线段PB的中点．下列结论正确的是(　　) A．BC⊥PC B．OM∥平面PAC C．点B到平面PAC的距离等于线段BC的长 D．三棱锥M－PAC的体积等于三棱锥P－ABC体积的 13．已知平面α∥平面β，点A，C∈α，点B，D∈β，若AB＋CD＝33，且AB，CD在β内射影长分别为5和16，则α与β间的距离为________． 14.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC为正三角形，AB＝AA1，点D在棱BC上，且CD＝3BD，点E，F分别为棱AB，BB1的中点． (1)求证：DE⊥平面BCC1B1； (2)若AB＝4，求点C1到平面DEF的距离． 15．【多选题】如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，H为EF的中点，沿AE，EF，FA将正方形折起，使B，C，D重合于点O，在构成的三棱锥O－AEF中，下列结论正确的是(　　) A．AO⊥平面EOF B．三棱锥O－AEF的体积为 C．直线AH与平面EOF所成角的正切值为2 D．AE⊥平面OAH 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 8.6.2直线与平面垂直（第3课时） 1．棱长为2的正方体ABCD－A′B′C′D′中，P是平面ABCD内一点，则点P到平面A′B′C′D′的距离是(　　) A．1　　　　　 B．2 C．3 D．4 答案　B 解析　在正方体ABCD－A′B′C′D′中，平面ABCD∥平面A′B′C′D′， 又AA′⊥平面A′B′C′D′，且当两平面平行时，一个平面内任意一点到另一个平面的距离都相等， 所以点P到平面A′B′C′D′的距离等于棱长2. 2.如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在截面A1DB上(含边界)，则线段AP的最小值等于(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　当AP⊥平面A1DB时，线段AP取最小值，设为h，易知A1D＝BD＝A1B＝2，S△A1DB＝×2×2×sin＝2，由VA1－ABD＝VA－A1DB，得××2＝×2×h，解得h＝，所以线段AP的最小值等于. 3．已知正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝1，则点A到平面BCC1B1的距离等于(　　) A．1 B. C. D. 答案　D 解析　取BC的中点O，连接AO， 由于三棱柱ABC－A1B1C1为正三棱柱，则△ABC为等边三角形， ∵O为BC的中点，∴AO⊥BC，可得AO＝ABsin 60°＝.在正三棱柱ABC－A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，∵AO⊂平面ABC，∴AO⊥BB1，又∵BC∩BB1＝B，∴AO⊥平面BB1C1C， 因此，点A到平面BB1C1C的距离为. 4.如图，四面体A－BCD中，AB，BC，BD两两垂直，BC＝BD＝2，点E是CD的中点，若直线AB与平面ACD所成角的正弦值为，则B到平面ACD的距离为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　连接AE.∵AB⊥BC，AB⊥BD，BC∩BD＝B，∴AB⊥平面BCD，∵CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD，∵BC＝BD，E为CD的中点，∴CD⊥BE，又CD⊥AB，AB∩BE＝B，∴CD⊥平面ABE， ∴AB在平面ADC上的射影在直线AE上， ∴∠BAE就是直线AB与平面ACD所成的角． 在Rt△ABE中，由BE＝，sin∠BAE＝，可得AE＝3，AB＝4. 易证AE⊥CD，S△ACD＝6，设点B到平面ACD的距离为h，∵VA－BCD＝VB－ACD，∴S△BCD×AB＝S△ACD×h， 整理得2AB＝6h，解得h＝.故选B. 5.若正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面边长为1，AB1与底面ABCD所成角的大小为60°，则A1C1到底面ABCD的距离为(　　) A. B．1 C．2 D. 答案　D 解析　由题意，B1B⊥平面ABCD，所以∠B1AB是AB1与底面ABCD所成的角，则∠B1AB＝60°，因为正四棱柱ABCD－A1B1C1D1底面边长为1，所以B1B＝AB×tan 60°＝，即正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的侧棱长为.又因为A1C1∥平面ABCD，A1A⊥平面ABCD，所以A1C1到底面ABCD的距离为A1A＝. 6.【多选题】如图，四棱锥S－ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，下列结论中正确的是(　　) A．AC与SB不可能垂直 B．AB∥平面SCD C．SA与平面ABD所成的角等于SC与平面ABD所成的角 D．AC⊥SO 答案　BCD 解析　因为四棱锥S－ABCD的底面为正方形，所以AC⊥BD.因为SD⊥底面ABCD，所以SD⊥AC，因为SD∩BD＝D，所以AC⊥平面SBD.因为SB⊂平面SBD，所以AC⊥SB，故A错误．因为AB∥CD，AB⊄平面SCD，CD⊂平面SCD，所以AB∥平面SCD，故B正确．因为SD⊥底面ABCD，所以∠SAD和∠SCD分别是SA与平面ABD所成的角，SC与平面ABD所成的角，因为AD＝CD，SD＝SD，所以∠SAD＝∠SCD，故C正确．因为AC⊥平面SBD，SO⊂平面SBD，所以AC⊥SO，故D正确． 7.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥平面AB1C1，AA1＝1，底面△ABC是边长为2的正三角形，则此三棱柱的体积为________． 答案　 解析　连接B1C，则V三棱锥A－BB1C＝V三棱锥A－B1C1C， 且V三棱锥A－BB1C＝V三棱锥B1－ABC＝V三棱锥A－A1B1C1，所以V三棱柱ABC－A1B1C1＝3V三棱锥A－A1B1C1.因为AA1⊥平面AB1C1，AA1＝1，底面△ABC是边长为2的正三角形，所以V三棱柱ABC－A1B1C1＝3V三棱锥A－A1B1C1＝3·S△AB1C1·AA1＝3×××2××1＝. 8.如图，圆锥的高为2，侧面积为4π，P为顶点，O为底面中心，A，B在底面圆周上，M为PA中点，MB⊥OA，则点O到平面PAB的距离为________． 答案　 解析　如图所示，设N为OA的中点，圆锥底面圆的半径为r，连接MN，OB，BN. 圆锥的高为2，侧面积为4π， 即πr＝4π，r＝2， ∵M为PA的中点，N为OA的中点， ∴MN∥OP， 故MN⊥OA. 又MB⊥OA，MN∩MB＝M，所以OA⊥平面MNB，故OA⊥BN. 故△OAB为等边三角形． ∴VP－OAB＝×2××22×＝， 设点O到平面PAB的距离为h，在△ABP中，AP＝BP＝2，AB＝2，AB边上的高为， ∴S△ABP＝×2×＝， ∵VO－ABP＝h×S△ABP＝VP－ OAB＝， ∴h＝. 9.如图，在四棱锥P－ABCD中，PA垂直于菱形ABCD所在的平面，∠ABC＝60°，E是BC的中点，M是PD的中点． (1)求证：AE⊥平面PAD； (2)若AB＝AP＝2，求三棱锥P－ACM的体积． 解析　(1)证明：因为底面ABCD为菱形，∠ABC＝60°，所以△ABC为正三角形． 因为E是BC的中点，所以AE⊥BC. 因为AD∥BC，所以AE⊥AD. 因为PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD， 所以PA⊥AE. 又因为PA∩AD＝A，所以AE⊥平面PAD. (2)因为AB＝AP＝2，所以AD＝2，AE＝， 所以VP－ACM＝VC－PAM＝S△PAM·AE＝×××2×2×＝. 10.如图，已知AF⊥平面ABCD，四边形ABEF为矩形，四边形ABCD为直角梯形，∠DAB＝90°，AB∥CD，AD＝AF＝CD＝2，AB＝4. (1)求证：AC⊥平面BCE； (2)求点C到平面ADE的距离． 解析　(1)证明：在直角梯形ABCD中，AD＝CD＝2，AB＝4， 所以AC＝2，又易得BC＝2， 所以AC2＋BC2＝AB2，所以AC⊥BC. 因为AF⊥平面ABCD，AF∥BE， 所以BE⊥平面ABCD，又AC⊂平面ABCD，所以BE⊥AC. 又BE⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，BE∩BC＝B，所以AC⊥平面BCE. (2)由(1)知，BE⊥平面ABCD，V三棱锥E－ACD＝EB·S△ACD＝.因为AF⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以AF⊥AD. 又AB⊥AD，AB∩AF＝A，AB，AF⊂平面ABEF，所以AD⊥平面ABEF. 又AE⊂平面ABEF，所以AD⊥AE. 又AE＝＝2， 所以S△ADE＝AD·AE＝2. 设h为点C到平面ADE的距离， 则V三棱锥C－ADE＝h·S△ADE＝h. 又V三棱锥E－ACD＝V三棱锥C－ADE，所以h＝， 即点C到平面ADE的距离为. 11．有如下命题，其中错误的是(　　) A．若直线a⊂α，且α∥β，则直线a到平面β的距离等于平面α，β间的距离 B．若平面α∥平面β，点A∈α，则点A到平面β的距离等于平面α，β间的距离 C．两条平行直线分别在两个平行平面内，则这两条直线间的距离等于这两个平行平面间的距离 D．两条异面直线分别在两个平行平面内，则这两条直线间的距离等于这两个平行平面间的距离 答案　C 解析　点到平面的距离是指空间内一点到平面内一点的最小长度；两条异面直线间的距离指的是两条异面直线的公垂线与这两条异面直线相交的点所形成的线段的长度；两平行平面间的距离指的是其中一个平面内一点到另外一个平面的最短距离，两个平行平面的公垂线段都相等，其长度等于两个平行平面的距离，所以A、B、D都正确，两条平行直线间的距离不一定等于两个平行平面的公垂线段的长，所以C错误． 12.【多选题】如图，直线PA垂直于圆O所在的平面，△ABC内接于圆O，且AB为圆O的直径，点M为线段PB的中点．下列结论正确的是(　　) A．BC⊥PC B．OM∥平面PAC C．点B到平面PAC的距离等于线段BC的长 D．三棱锥M－PAC的体积等于三棱锥P－ABC体积的 答案　ABC 解析　因为PA垂直于圆O所在的平面，BC⊂圆O所在的平面，所以PA⊥BC，而BC⊥AC，PA∩AC＝A，所以BC⊥平面PAC，因为PC⊂平面PAC，所以BC⊥PC，故A正确；因为点M为线段PB的中点，点O为AB的中点，所以OM∥PA，因为OM⊄平面PAC，PA⊂平面PAC，所以OM∥平面PAC，故B正确；因为BC⊥平面PAC，所以点B到平面PAC的距离等于线段BC的长，故C正确；三棱锥M－PAC和三棱锥P－ABC均可以以平面PAC为底面，此时M到底面的距离是B到底面距离的一半，故三棱锥M－PAC的体积等于三棱锥P－ABC体积的一半，故D错误． 13．已知平面α∥平面β，点A，C∈α，点B，D∈β，若AB＋CD＝33，且AB，CD在β内射影长分别为5和16，则α与β间的距离为________． 答案　12 解析　如图，过点A作AE⊥β，垂足为E，过点C作CF⊥β，垂足为F， 由题意可知，BE＝5，DF＝16. 设AB＝x，CD＝33－x，则x2－25＝(33－x)2－256，解得x＝13， ∴平面α与平面β间的距离为AE＝＝12. 14.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC为正三角形，AB＝AA1，点D在棱BC上，且CD＝3BD，点E，F分别为棱AB，BB1的中点． (1)求证：DE⊥平面BCC1B1； (2)若AB＝4，求点C1到平面DEF的距离． 解析　(1)证明：方法一：取CB的中点为G，连接AG， 因为E为AB的中点，点D在棱BC上，且CD＝3BD， 所以AG∥DE. 因为△ABC为正三角形，所以AG⊥BC，故DE⊥BC. 直三棱柱ABC－A1B1C1中，BB1⊥平面ABC. 又DE⊂平面ABC，所以BB1⊥DE， 因为BC∩BB1＝B，BC⊂平面BCC1B1，BB1⊂平面BCC1B1， 所以DE⊥平面BCC1B1. 方法二：因为BB1⊥平面ABC，DE⊂平面ABC， 所以BB1⊥DE，且∠B1BC＝∠B1BA＝90°. 设AB＝4a，因为AB＝AA1，则AA1＝4a，因为CD＝3BD，所以BD＝a. 因为点E，F分别为棱AB，BB1的中点，所以BE＝BF＝2a， 因为△ABC为正三角形，所以∠ABC＝60°，在△BDE中，根据余弦定理，得DE2＝BD2＋BE2－2BD·BE·cos 60°＝a2＋(2a)2－2a×2a×＝3a2， 在Rt△BDF中，DF2＝BD2＋BF2＝a2＋(2a)2＝5a2. 在Rt△BEF中，EF2＝BE2＋BF2＝(2a)2＋(2a)2＝8a2. 所以EF2＝DE2＋DF2，所以DE⊥DF. 又DF∩BB1＝F，DF⊂平面BCC1B1，BB1⊂平面BCC1B1， 所以DE⊥平面BCC1B1. (2)因为AB＝4，所以四边形BCC1B1是以4为边长的正方形， 连接C1D，C1F，C1E， 则S△C1DF＝S正方形BCC1B1－(S△DBF＋S△C1CD＋S△C1B1F)＝42－＝5. 由(1)知，DE⊥平面BCC1B1，易得DE＝， 所以三棱锥E－C1DF的体积V＝S△C1DF×DE＝×5×＝. 在Rt△DEF中，S△DEF＝×DE×DF＝××＝. 设点C1到平面DEF的距离为h. 因为V三棱锥E－C1DF＝V三棱锥C1－DEF， 所以＝×S△DEF×h， 所以＝××h，解得h＝2， 即C1到平面DEF的距离为2. 15．【多选题】如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，H为EF的中点，沿AE，EF，FA将正方形折起，使B，C，D重合于点O，在构成的三棱锥O－AEF中，下列结论正确的是(　　) A．AO⊥平面EOF B．三棱锥O－AEF的体积为 C．直线AH与平面EOF所成角的正切值为2 D．AE⊥平面OAH 答案　ABC 解析　对选项A，翻折前，AB⊥BE，AD⊥DF，故翻折后，OA⊥OE，OA⊥OF.又OE∩OF＝O，OE，OF⊂平面EOF，∴OA⊥平面EOF，故正确． 对选项B，∵OA⊥平面EOF，∴VO－AEF＝VA－OEF＝S△OEF·AO＝××1×1×2＝，故正确． 对选项C，易知∠OHA为AH与平面EOF所成的角． ∵OE＝OF＝1，H是EF的中点，OE⊥OF， ∴OH＝EF＝. 又OA＝2，∴tan∠OHA＝＝2，故正确． 对选项D，∵OA⊥平面EOF，EF⊂平面EOF，∴OA⊥EF.又OH⊥EF，OA∩OH＝O，OA，OH⊂平面OAH，∴EF⊥平面OAH. ∴EA不可能与平面OAH垂直，故错误．故选ABC. 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$