高三数学春季开学考卷（B卷）-2025年高三数学寒假作业

2024-2025学年高三数学春季开学考卷（B卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围： 除立体几何高考范围。 4．难度系数：0.8 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．已知复数，为虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．已知向量，满足，，，，则（   ） A． B． C． D． 4．已知等比数列的公比为，若，且，，成等差数列，则（   ） A． B．3 C．0或3 D． 5．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（    ） A． B． C． D． 6．曲线的周长为（   ） A． B． C． D． 7．如图所示，椭圆的中心在原点，焦点在轴上，是椭圆的顶点，是椭圆上一点，且轴，，则此椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 8．给出定义：若函数在D上可导，即存在，且导函数在D上也可导，则称在D上存在二阶导数，记.若在D上恒成立，则称在D上为凸函数.以下四个函数在上不是是凸函数的是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列结论正确的是（   ） A．随机变量X服从二项分布，则 B．数据的平均数为2，则的平均数为6 C．数据2，4，6，8，10，12，14的第60百分位数是10 D．随机变量X服从正态分布，且，则 10．设函数的图象关于直线对称，它的最小正周期是，则以下结论正确的是（    ） A．的图象过点 B．在上是减函数 C．的最大值与的取值有关 D．的一个对称中心是 11．设，定义在R上的函数满足，且，，则（   ） A． B． C．为偶函数 D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．的二项展开式中的系数为 ． 13．已知实数满足，则的最小值为 . 14．已知抛物线的焦点为，点在上，以为圆心的圆过原点，直线与交于两点，与交于两点，其中在第一象限，则 ． 4、 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15． （13分） 在平面四边形ABCD中，. (1)求AB； (2)求的面积. 16． （15分） 已知动点分别与定点和连线的斜率乘积. (1)求动点的轨迹方程； (2)是的右焦点，若过点，与曲线交于两点，是否存在轴上的点，使得直线绕点无论怎么转动，都有成立？若存在，求出的坐标：若不存在，请说明理由. 17． （15分） 某大学数理教学部为提高学生的身体素质，并加强同学间的交流，特组织以“让心灵沐浴阳光，让快乐充满胸膛”为主题的趣味运动比赛，其中A、B两名学生进入趣味运动比赛的关键阶段，该比赛采取累计得分制，规则如下：每场比赛不存在平局，获胜者得1分，失败者不得分，其中累计得分领先对方2分即可赢得最终胜利，但本次比赛最多进行6场．假设每场比赛中A同学获胜的概率均为，且各场比赛的结果相互独立． (1)求趣味比赛进行到第2场时比赛就结束的概率； (2)此次趣味比赛中记比赛停止时已比赛的场数为X，求X的分布列及数学期望． 18． （17分） 已知，函数，（是自然对数的底数）． (1)讨论函数极值点的个数； (2)若对任意的恒成立，求实数的值； (3)在第（2）小题的条件下，若存在，使得，求实数的取值范围． 19． （17分） 已知给定数列，从第二项起后项与前项作差，得到新数列，定义这个新数列为数列的阶差数列，记为，继续上述操作，得到新数列，称为的阶差数列，记为，一般地，对任意，称数列为数列的阶差数列． (1)写出数列的阶差数列； (2)若数列的首项阶差数列，求的通项公式； (3)若数列的首项，且，求数列的最小值． 第 1 页 共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高三数学春季开学考卷（B卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围： 除立体几何高考范围。 4．难度系数：0.8 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解不等式，得，则， 解不等式，得或，则， 所以. 故选：B 2．已知复数，为虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【详解】解：法一：复数， 其在复平面内所对应的点位于第四象限， 法二：复数， 其在复平面内所对应的点位于第四象限， 故选：D． 3．已知向量，满足，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，两边平方可得，即. 因为，所以；，所以. 那么. 又因为，所以，解得. 根据公式，可得，解得. 故选：A. 4．已知等比数列的公比为，若，且，，成等差数列，则（   ） A． B．3 C．0或3 D． 【答案】B 【详解】因为，，成等差数列，所以，即， 因为，所以，即， 因为，，所以. 故选：B 5．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】不超过30的所有素数为2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个， 随机选取两个不同的数，共有种情况， 而和为30的有，，这3种情况， 所以所求概率. 故选：C. 6．曲线的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】曲线 曲线的图像如图所示： 该图是以四个点为圆心，半径为的四个半圆，所以该图的周长为：. 故选：B 7．如图所示，椭圆的中心在原点，焦点在轴上，是椭圆的顶点，是椭圆上一点，且轴，，则此椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为椭圆的中心在原点，焦点在轴上， 故可设椭圆方程为， 因为，则点的坐标为， 又，，， 于是，， 因为，所以， 得，即， 所以， 故，． 故选：B. 8．给出定义：若函数在D上可导，即存在，且导函数在D上也可导，则称在D上存在二阶导数，记.若在D上恒成立，则称在D上为凸函数.以下四个函数在上不是是凸函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A：，，， 则在上恒有，故A错误； 对于B：，，， 则在上恒有，故B错误； 对于C：，，， 则在上恒有，故C错误； 对于D：，，， 则在上恒有，故D正确. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列结论正确的是（   ） A．随机变量X服从二项分布，则 B．数据的平均数为2，则的平均数为6 C．数据2，4，6，8，10，12，14的第60百分位数是10 D．随机变量X服从正态分布，且，则 【答案】AC 【详解】对选项A，，. 故A正确. 对选项B，因为，的平均数为， 故B错误. 对选项C，，所以第60百分位数是第五个数10，故C正确. 对选项D，X服从正态分布，， 所以，故D错误. 故选：AC 10．设函数的图象关于直线对称，它的最小正周期是，则以下结论正确的是（    ） A．的图象过点 B．在上是减函数 C．的最大值与的取值有关 D．的一个对称中心是 【答案】ACD 【详解】函数的最小正周期是，，， 又的图象关于直线对称，，， 又，，， ，图象过，故A正确； 的正负未知，故无法确定的单调性，故B错误； 显然的最大值与的取值有关，故C正确； ，是的一个对称中心，故D正确． 故选：ACD 11．设，定义在R上的函数满足，且，，则（   ） A． B． C．为偶函数 D． 【答案】ABD 【详解】对于A，令，，得， 因为，所以，故A正确； 对于B，令，代入可得， 因为，，所以， 从而，故B正确； 对于C，令，代入得， 又因为对，恒成立且不恒为0， 所以，从而得为奇函数， 又不恒等于0，故C错误； 对于D，因为，所以， 所以为的周期， 所以，故D正确． 故选：ABD． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．的二项展开式中的系数为 ． 【答案】35 【详解】二项式展开式的通项为（且）， 令，解得，所以， 所以二项展开式中的系数为. 故答案为： 13．已知实数满足，则的最小值为 . 【答案】 【详解】因为，则， 所以， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，的最小值为. 故答案为：. 14．已知抛物线的焦点为，点在上，以为圆心的圆过原点，直线与交于两点，与交于两点，其中在第一象限，则 ． 【答案】 【详解】将点代入的方程，得，， 则抛物线，，所以， 如图，设，， 联立，得， 所以，，且， 所以，，又的半径为， 而直线过， 则，结合抛物线定义得， 又， 所以．    故答案为： 4、 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．在平面四边形ABCD中，. (1)求AB； (2)求的面积. 【详解】（1）因为，，， 所以在直角中，，， 所以中，因为，， 由余弦定理得，， 所以． （2）由（1）知，，，， 所以，则，即， 所以， 所以的面积为. 16．已知动点分别与定点和连线的斜率乘积. (1)求动点的轨迹方程； (2)是的右焦点，若过点，与曲线交于两点，是否存在轴上的点，使得直线绕点无论怎么转动，都有成立？若存在，求出的坐标：若不存在，请说明理由. 【详解】（1）由题意有：， 所以动点的轨迹方程为：. （2）假设存在点，使恒成立， 由已知有：， 当直线斜率存在时，设直线方程为，， 联立 所以 则 则， 即 若恒成立，则恒成立， 所以 当直线的斜率不存在时，直线的方程为代入，解得 不妨设则 又 综上所述， 所以存在点，使恒成立. 17．某大学数理教学部为提高学生的身体素质，并加强同学间的交流，特组织以“让心灵沐浴阳光，让快乐充满胸膛”为主题的趣味运动比赛，其中A、B两名学生进入趣味运动比赛的关键阶段，该比赛采取累计得分制，规则如下：每场比赛不存在平局，获胜者得1分，失败者不得分，其中累计得分领先对方2分即可赢得最终胜利，但本次比赛最多进行6场．假设每场比赛中A同学获胜的概率均为，且各场比赛的结果相互独立． (1)求趣味比赛进行到第2场时比赛就结束的概率； (2)此次趣味比赛中记比赛停止时已比赛的场数为X，求X的分布列及数学期望． 【详解】（1）由题可知，A同学连胜2场或连败2场，则其概率． （2）由题可知，的取值可能是， 由（1）知，， 当时，前2场打平，后两场连胜或连败， 则， ， 所以分布列为： 2 4 6 所以数学期望． 18．已知，函数，（是自然对数的底数）． (1)讨论函数极值点的个数； (2)若对任意的恒成立，求实数的值； (3)在第（2）小题的条件下，若存在，使得，求实数的取值范围． 【详解】（1）当时，由知单调递增，所以极值点的个数为； 当时，对有，对有， 所以在上递减，在上递增，所以恰有个极值点. 综上，当时，极值点的个数为； 当时，极值点的个数为； （2）根据已知有，所以，故. 此时由（1）中得到的单调性，可知仅在处取得最小值. 假设，则，但，这导致矛盾，所以，即. 当时，由（1）中得到的单调性知在处取得最小值，所以，确实满足条件. 综上，的值为. （3）此时，，根据（2）的结论，我们有. 设，则. 再设，则. 情况一：若，则对有，故在上递增，从而对有. 从而在上递增，这就意味着对都有. 从而对任意，都有，不满足条件； 情况二：若，令是两个正数和中较小的一个，则对有. 故在上递减，从而对有. 从而在上递减，这就意味着，所以存在使得，满足条件. 综合以上两种情况，可知的取值范围是. 19．已知给定数列，从第二项起后项与前项作差，得到新数列，定义这个新数列为数列的阶差数列，记为，继续上述操作，得到新数列，称为的阶差数列，记为，一般地，对任意，称数列为数列的阶差数列． (1)写出数列的阶差数列； (2)若数列的首项阶差数列，求的通项公式； (3)若数列的首项，且，求数列的最小值． 【详解】（1）由题意，得，； ，所以2阶数列为． （2）因为，又，所以， 所以， 累加得，即， 所以． （3）因为，及，得， 又，所以，两边同除，得， 当时， ， 所以，时也满足， 所以， 令，则， 当时，函数单调递减，当时，函数单调递增 而，所以，即时，取得最小值为． 第 1 页 共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$