高三数学春季开学考卷（A卷）-2025年高三数学寒假作业

2024-2025学年高三数学春季开学考卷（A卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围： 除立体几何高考范围。 4．难度系数：0.7。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】集合 ，，故选项A错误； 显然且，故选项B错误； ，故选项C正确； ，选项D错误. 故选：C 2．“数列 为等差数列” 是 “ ”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【详解】如果数列是等差数列，根据等差中项的扩展可得一定有， 反之成立，不一定有数列是等差数列. 故选：A. 3．已知函数与的图象分别向右平移个单位长度和个单位长度后，所得图象重合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意，得， 所以或， 得或（不恒成立，舍去）， 故选：A. 4．2023年入冬以来流感高发，某医院统计了一周中连续5天的流感就诊人数与第天的数据如表所示. 1 2 3 4 5 21 95 109 根据表中数据可知具有较强的线性相关关系，其经验回归方程为，则以下说法错误的是（    ） A．该样本相关系数在内 B．当时，残差为 C．点在经验回归直线上 D．第6天到该医院的流感就诊人数预测值为130 【答案】B 【详解】由题意可知x，y具有较强的正相关关系，故样本相关系数在内，故A正确； 根据题意得， 故，解得， 故当时，，残差为，故B错误； 点即点，当时，， 即点在经验回归直线上，故C正确； 当时，，即第6天到该医院就诊人数的预测值为130，故D正确, 故选：B. 5．已知为抛物线上任意一点，为抛物线的焦点，为圆上任意一点，则的最小值为（    ） A．6 B．10 C．4 D．8 【答案】D 【详解】如图，过点作垂直准线于点，连接交于点. 由题意可得的准线方程为. 因为，所以， 当三点共线时，取得最小值，最小值为， 所以的最小值为. 故选：D 6．某单位安排甲、乙、丙、丁4人在国庆7天假期值班，要求每天只有1人值班，甲连续值班3天，乙连续值班2天，丙、丁各值班1天，则不同的值班安排方法种数为（    ） A．28 B．24 C．20 D．16 【答案】B 【详解】记国庆7天假期的编号依次为，则甲、乙值班安排方法的情况及相应值班安排方法种数如下表： 甲 乙 不同的值班安排方法种数 1，2，3 4，5 5，6 6，7 2，3，4 5，6 6，7 3，4，5 1，2 6，7 4，5，6 1，2 2，3 5，6，7 1，2 2，3 3，4 根据分类加法计数原理可知共有种不同的值班安排方法. 故选：B． 7．已知双曲线的焦点为，，以为直径的圆与双曲线的一个交点为M，且有，则双曲线的离心率（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【详解】 如图，，， 由，得，所以， 得，故，又， 即，得， 由，得，即双曲线的离心率为. 故选：D. 8．已知过点可以作函数的三条切线，如果，则和应该满足的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设切点，由，求导得， 则切线方程为，由切线过点， 得，整理得， 令函数，求导得，而， 当或时，，当时，， 因此函数在，上单调递减，在上单调递增， 函数在处取得极小值，在处取得极大值， 由过点可以作函数的三条切线，得有3个不等实根， 即函数有3个零点，所以. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知复数满足是的共轭复数，则下列说法正确的是（    ） A．的虚部为 B．复数在复平面中对应的点在第三象限 C． D． 【答案】BC 【详解】的虚部为5，故A错误； 在复平面中对应的点在第三象限，故B正确； ，故C正确； 虚数不能比较大小，故D错误， 故选：BC. 10．袋子中有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中随机取出两个球，设事件“取出的球的数字之积为奇数”，事件“取出的球的数字之积为偶数”，事件“取出的球的数字之和为偶数”，则（   ） A． B． C．事件与是互斥事件 D．事件与相互独立 【答案】AC 【详解】因为“取出的求的数字之积为奇数”，就是“取出的两个数都是奇数”， 所以；故A正确； “取出的球的数字之积为偶数”就是“取出的两个数不能都是奇数”， 所以； “取出的两个数之和为偶数”就是“取出的两个数都是奇数或都是偶数”， 所以； 表示“取出的两个数的积可以是奇数，也可以是偶数”，所以； 表示“取出的两个数的积与和都是偶数”，就是“取出的两个数都是偶数”， 所以. 因为，故B错误； 因为，所以互斥，故C正确； 因为，所以不独立，故D错误. 故选：AC 11．在人工神经网络中，单个神经元输入与输出的函数关系可以称为激励函数．双曲正切函数是一种激励函数．定义双曲正弦函数，双曲余弦函数，双曲正切函数．则（   ） A．双曲正弦函数是增函数 B．双曲余弦函数是增函数 C．双曲正切函数是增函数 D． 【答案】ACD 【详解】对A：令， 则恒成立，故双曲正弦函数是增函数，故A正确； 对B：令， 则，由A知，为增函数，又， 故当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增，故B错误； 对C：， 由在上单调递增，且， 故是增函数，故C正确； 对D：由C知，则， ， 故，故D正确. 故选：ACD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．的展开式中的系数为 ．（用数字作答） 【答案】 【详解】， 由题意只需求中含项和项． 的通项公式为， 令，得，令，得， 所以展开式中的系数为． 故答案为： 13．有8张卡片，分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，现从这8张卡片中随机抽出3张，则抽出的3张卡片上的数字之和与其余5张卡片上的数字之和相等的概率为 ． 【答案】 【详解】从8张卡片中随机抽出3张，则样本空间中总的样本点数为， 因为， 所以要使抽出的3张卡片上的数字之和与其余5张卡片上的数字之和相等， 则抽出的3张卡片上的数字之和应为， 则抽出的3张卡片上的数字的组合有或或共3种， 所以符合抽出的3张卡片上的数字之和为的样本点个数共3个， 所以抽出的3张卡片上的数字之和与其余5张卡片上的数字之和相等的概率为. 故答案为：. 14．已知是各项均为正数，公差不为0的等差数列，其前n项和为，且成等比数列.则数列的通项公式为 ；若定义在数列中，使为整数的叫做“调和数”，则在区间内所有“调和数”之和为 . 【答案】 1086 【详解】因为成等比数列，所以， 因为是各项均为正数，公差不为0的等差数列，设其公差为， 所以，所以，所以. 设，所以，令，且b为整数， 又由，， 所以b可以取1，2，3，4，5，6，此时分别为， 所以区间内所有“调和数”之和 故答案为：；1086 4、 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知锐角三角形中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量，，． (1)求； (2)求的取值范围． 【详解】（1），且， ， ， ， ， ， 由正弦定理可得， ， ， ，． （2）由（1）知，， 为锐角三角形，，． ． ，，， ，， 的取值范围为． 16．为了适应市场需求，同时兼顾企业盈利的预期，某科技公司决定增加一定数量的研发人员，经过调研，得到年收益增量（单位：亿元）与研发人员增量（人）的10组数据．现用模型①，②分别进行拟合，由此得到相应的经验回归方程，并进行残差分析，得到如图所示的残差图． 根据收集到的数据，计算得到下表数据，其中. 7.5 2.25 82.50 4.50 12.14 2.88 (1)根据残差图，判断应选择哪个模型；（无需说明理由） (2)根据（1）中所选模型，求出关于的经验回归方程；并用该模型预测，要使年收益增量超过8亿元，研发人员增量至少多少人？（精确到1） 【详解】（1）选择模型②，理由如下： 由于模型②残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，且带状区域的宽度比模型②带状宽度窄， 所以模型②的拟合精度更高，回归方程的预报精度相应就会越高，所以选模型②比较合适； （2）根据模型②，令与可用线性回归来拟合，有， 则， 所以， 则关于的经验回归方程为． 所以关于的经验回归方程为， 由题意，，解得，又为整数，所以， 所以，要使年收益增量超过8亿元，研发人员增量至少为10人． 17．已知椭圆经过点，离心率为. (1)求的方程； (2)若，为上的两点，且直线与直线的斜率之积为，求证：直线过定点. 【详解】（1）依题意可得，解得， 所以椭圆的方程为； （2）①当直线的斜率不存在时，设． 则，， ，不合题意． ②当直线的斜率存在时，设，,， 联立方程，得． ，，． 又， 即． 将，代入上式， 得，即， 解得或， 当时，，恒过点，不符合题意，故舍去； 当时，，恒过点，符合题意； 直线过定点. 18．已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若，求的取值范围. 【详解】（1）， 当时，在上是减函数. 当时，是增函数.令，解得. 当时，； 当 所以在上单调递减，在上单调递增. 综上，当时，在上是减函数； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2），即. 令函数，则，所以， 因为在上单调递增， 所以，即. 令函数，则. 当时，；当. 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以. 故的取值范围为. 19．集合为集合的子集，若数列满足：恒为的倍数，则称与“相关”. (1)若，请写出一个不同于数列且首项为1的等差数列，使得与“相关”.（无需证明）; (2)若数列满足：. （i）证明：数列为等比数列，并求出; （ii）若与"相关"，求所有满足条件的集合. 【详解】（1），（满足要求即可） （2）（ⅰ）． 是以6为首项，2为公比的等比数列， 即． 两边同除以，有．而． 因此是以为首项，为公比的等比数列，则． （ⅱ）当时，不是9的倍数 当时， 故只需为整数． ①时，，不是整数． ②时，，不是整数． ③时，． 而． 当为偶数，，即． 此时． 当为奇数，． 综上，满足条件集合是的子集． 第 1 页 共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高三数学春季开学考卷（A卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围： 除立体几何高考范围。 4．难度系数：0.7。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．“数列 为等差数列” 是 “ ”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 3．已知函数与的图象分别向右平移个单位长度和个单位长度后，所得图象重合，则（    ） A． B． C． D． 4．2023年入冬以来流感高发，某医院统计了一周中连续5天的流感就诊人数与第天的数据如表所示. 1 2 3 4 5 21 95 109 根据表中数据可知具有较强的线性相关关系，其经验回归方程为，则以下说法错误的是（    ） A．该样本相关系数在内 B．当时，残差为 C．点在经验回归直线上 D．第6天到该医院的流感就诊人数预测值为130 5．已知为抛物线上任意一点，为抛物线的焦点，为圆上任意一点，则的最小值为（    ） A．6 B．10 C．4 D．8 6．某单位安排甲、乙、丙、丁4人在国庆7天假期值班，要求每天只有1人值班，甲连续值班3天，乙连续值班2天，丙、丁各值班1天，则不同的值班安排方法种数为（    ） A．28 B．24 C．20 D．16 7．已知双曲线的焦点为，，以为直径的圆与双曲线的一个交点为M，且有，则双曲线的离心率（    ） A． B． C．2 D． 8．已知过点可以作函数的三条切线，如果，则和应该满足的关系是（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知复数满足是的共轭复数，则下列说法正确的是（    ） A．的虚部为 B．复数在复平面中对应的点在第三象限 C． D． 10．袋子中有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中随机取出两个球，设事件“取出的球的数字之积为奇数”，事件“取出的球的数字之积为偶数”，事件“取出的球的数字之和为偶数”，则（   ） A． B． C．事件与是互斥事件 D．事件与相互独立 11．在人工神经网络中，单个神经元输入与输出的函数关系可以称为激励函数．双曲正切函数是一种激励函数．定义双曲正弦函数，双曲余弦函数，双曲正切函数．则（   ） A．双曲正弦函数是增函数 B．双曲余弦函数是增函数 C．双曲正切函数是增函数 D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．的展开式中的系数为 ．（用数字作答） 13．有8张卡片，分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，现从这8张卡片中随机抽出3张，则抽出的3张卡片上的数字之和与其余5张卡片上的数字之和相等的概率为 ． 14．已知是各项均为正数，公差不为0的等差数列，其前n项和为，且成等比数列.则数列的通项公式为 ；若定义在数列中，使为整数的叫做“调和数”，则在区间内所有“调和数”之和为 . 4、 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15． （13分） 已知锐角三角形中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量，，． (1)求； (2)求的取值范围． 16． （15分） 为了适应市场需求，同时兼顾企业盈利的预期，某科技公司决定增加一定数量的研发人员，经过调研，得到年收益增量（单位：亿元）与研发人员增量（人）的10组数据．现用模型①，②分别进行拟合，由此得到相应的经验回归方程，并进行残差分析，得到如图所示的残差图． 根据收集到的数据，计算得到下表数据，其中. 7.5 2.25 82.50 4.50 12.14 2.88 (1)根据残差图，判断应选择哪个模型；（无需说明理由） (2)根据（1）中所选模型，求出关于的经验回归方程；并用该模型预测，要使年收益增量超过8亿元，研发人员增量至少多少人？（精确到1） 17． （15分） 已知椭圆经过点，离心率为. (1)求的方程； (2)若，为上的两点，且直线与直线的斜率之积为，求证：直线过定点. 18． （17分） 已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若，求的取值范围. 19． （17分） 集合为集合的子集，若数列满足：恒为的倍数，则称与“相关”. (1)若，请写出一个不同于数列且首项为1的等差数列，使得与“相关”.（无需证明）; (2)若数列满足：. （i）证明：数列为等比数列，并求出; （ii）若与"相关"，求所有满足条件的集合. 第 1 页 共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$