专题07 立体几何-2025年高三数学寒假作业

夏津县双语中学高三数学寒假作业 班级_______________ 姓名_______________ 07 立体几何（B卷） 1、 单选题 1．设，向量，，，且，，则 ） A． B． C． D． 2．在棱长为4的正方体中，分别是棱，的中点，过作平面，使得，则点到平面的距离是（ ） A. B． C． D． 3．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．如图，在四面体中，，，，，，且（   ） A． B． C． D． 5．在棱长为2的正方体中，M，N分别是棱CD，AD的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）   A. B． C． D． 6．已知圆台的上、下底面的圆周都在半径为2的球面上，圆台的下底面过球心，上底面半径为1，则圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 7．若正四棱锥的高为6，且所有顶点都在半径为4的球面上，则该正四棱锥的侧面积为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 8．已知向量，，分别是直线，的方向向量，若，则 . 9．已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为 . 10.在棱长为的正方体中，，分别是线段上的动点，直线和平面所成的角为，则点到直线的最大距离为 ． 三、解答题 10．如图，在直三棱柱中，，，点E，F分别为棱，的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与直线的夹角的余弦值． 07 平面解析几何（A卷） 一、多选题 1．关于空间向量，以下说法正确的是（    ） A．若非零向量，，满足，，则 B．若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面 C．若空间向量，，则在上的投影向量为 D．已知直线的方向向量为，平面的法向量为，则或 2．已知正方体的棱长为2，动点满足，，下列说法正确的是（  ） A．当，，时，的最小值为 B．当，，时，三棱锥的体积为3 C．当，，时，经过，，三点截正方体所得截面面积的取值范围是 D．当，且时，则的轨迹总长度为 二、解答题(立体几何) 4．如图所示，在四棱锥中，底面为梯形，且满足，，平面平面. (1)求证：； (2)若，点在线段上，当二面角大小为时，求四棱锥的体积. 5．如图，在底面为正方形的四棱锥中，，，. (1)求证：平面. (2)若（），且三棱锥的 体积是四棱锥体积的一半. ①求点C到平面的距离； ②求平面与平面所成二面角的正弦值. 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 07 立体几何（解析版） 一、单选题 1．设，向量，，，且，，则    A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】空间向量的坐标运算、空间向量模长的坐标表示、空间向量平行的坐标表示、空间向量垂直的坐标表示 【分析】根据给定条件，利用空间向量垂直的坐标表示及向量共线的坐标表示求出，再利用坐标运算及模的坐标表示计算得解. 【详解】由，及，得，解得， 由及，得，解得，则， 所以. 故选：C 2．在棱长为4的正方体中，分别是棱，的中点，过作平面，使得，则点到平面的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】空间位置关系的向量证明、点到平面距离的向量求法 【分析】设平面的一个法向量为，根据，由求得，再利用空间向量的距离公式求解. 【详解】解：如图所示： 以原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， ， ， 设平面的一个法向量为， ， ， 则，令，则， 即为平面的一个法向量， 点到平面的距离. 故选：D 3．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】线面关系有关命题的判断、面面关系有关命题的判断、判断面面是否垂直 【分析】根据各项给定的线面、面面的位置关系，结合平面的的基本性质及空间想象判断正误即可. 【详解】A：若，则、可能平行或相交，故A错； B：若，则或，故B错； C：若，则或，故C错； D：若，则存在直线，使得， 又，所以，所以.故D对. 故选：D 4．如图，在四面体中，，，，，，且（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】用空间基底表示向量 【分析】根据已知条件，结合空间向量的线性运算法则，即可求解． 【详解】，， ， 即. 故选：D. 5．在棱长为2的正方体中，M，N分别是棱CD，AD的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】异面直线夹角的向量求法 【分析】建立空间直角坐标系，利用异面直线夹角的向量方法求解即可. 【详解】根据题意，建立如图所示的空间直角坐标系，    因为在棱长为2的正方体中，M，N分别是棱CD，AD的中点， 可知，，，，，，，， 所以，， 所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故选：D. 6．已知圆台的上、下底面的圆周都在半径为2的球面上，圆台的下底面过球心，上底面半径为1，则圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】球的截面的性质及计算、台体体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】由已知求得圆台的高，再由圆台的体积公式即可求解. 【详解】由题意，圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，则高为，如下图所示：    则圆台的体积为. 故选：A. 7．若正四棱锥的高为6，且所有顶点都在半径为4的球面上，则该正四棱锥的侧面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】正棱锥及其有关计算、棱锥表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】设在底面的投影为，确定球心位置，求，由此可求侧棱和侧面三角形的高，再求侧面积. 【详解】如下图，设在底面的投影为，易知正四棱锥的外接球球心在上， 由题设，球体半径，则， 所以，，， 中边上的高为，故正四棱锥的侧面积为. 故选：C 二、填空题 12．已知向量，，分别是直线，的方向向量，若，则 . 【答案】 【难度】0.94 【知识点】由空间向量共线求参数或值 【分析】根据可得，再利用空间向量共线的充要条件计算即可. 【详解】由得， 即存在唯一实数，使， 即， 所以，解得：，所以， 故答案为： 13．已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】圆柱表面积的有关计算、圆锥表面积的有关计算、锥体体积的有关计算 【分析】设圆柱的底面半径为，根据圆锥和圆柱的侧面积相等可得半径的方程，求出解后可求圆锥的体积. 【详解】设圆柱的底面半径为，则圆锥的母线长为， 而它们的侧面积相等，所以，即， 故，故圆锥的体积为. 故答案为：. 14．在棱长为的正方体中，，分别是线段上的动点，直线和平面所成的角为，则点到直线的最大距离为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】条件等式求最值、线面角的向量求法、求点到直线的距离 【分析】以为原点，为轴正方向，建立空间直角坐标系，设，，，由条件利用向量方法求直线和平面所成的角的正弦，列方程可得关系，再在平面上，建立平面直角坐标系，利用点到直线距离公式求点到直线的距离，结合关系，根据基本不等式求最值. 【详解】    以为原点，为轴正方向，建立空间直角坐标系， 则，，，，， ， 设平面的一个法向量为， 则，故， 取，则，， 故为平面的一个法向量， 又，直线和平面所成的角为， 所以， 所以，即， 在平面上，以方向为的正方向，建立平面直角坐标系，    则，， 直线的方程为， 点到直线的距离为， 因为， 所以， 由基本不等式可得，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立， 所以， 当且仅当时等号成立， 所以点到直线的最大距离为. 故答案为：. 三、多选题 8．关于空间向量，以下说法正确的是（    ） A．若非零向量，，满足，，则 B．若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面 C．若空间向量，，则在上的投影向量为 D．已知直线的方向向量为，平面的法向量为，则或 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】求投影向量、空间位置关系的向量证明、判定空间向量共面 【分析】根据，的方向不确定判断A；根据空间向量共面定理判断B；根据投影向量定义判断C；利用，可得从而判断D． 【详解】对于A，非零向量，，满足，，，的方向不确定， 则，不一定平行，故A错误； 对于B，，， 故，，，四点共面，故B正确； 对于C，因为，， 所以在上的投影向量为，故C正确； 对于D，因为直线的方向向量为，平面的法向量为， 所以，所以，则或，故D正确． 故选：BCD． 9．已知正方体的棱长为2，动点满足，，下列说法正确的是（    ） A．当，，时，的最小值为 B．当，，时，三棱锥的体积为3 C．当，，时，经过，，三点截正方体所得截面面积的取值范围是 D．当，且时，则的轨迹总长度为 【答案】AD 【难度】0.65 【知识点】判断正方体的截面形状、组合体表面两点间的最短路径、锥体体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】对于A，由条件证明点在上，将面与面沿着展开到同一平面内，结合两点之间线段最短判断A；对于B，由条件证明为的中点，建立空间直角坐标系，利用向量方法求点到平面的距离，结合锥体体积公式求体积，判断B；对于C，求 时截面面积，再求时截面面积，说明时截面面积的变化规律，判断C；对于D，由条件确定点的轨迹，再求轨迹总长度. 【详解】对于A，因为，，，即，故点在上， 将面与面沿着展开到同一平面内，如图： 连接交于，此时，，三点共线，取到最小值即， 即，A正确； 对于B，由于，时，则为的中点， 以为空间直角坐标原点，以，，所在直线分别为，，轴建系，如图，      则， 所以， 所以， 是平面的一个法向量，， 则点到平面的距离为， 所以，B错误； 对于C，当时，点与点重合， 此时经过三点截正方体所得截面是矩形， 其面积； 当时，点与点重合， 经过三点截正方体所得截面是三角形， 其面积， 当时，设经过三点截正方体所得截面是梯形， 梯形的面积随的增大而减小，故截面面积的取值范围是，C错误； 对于D，当时，可得四点共面， 所以点的轨迹在内（包括边界）， 由选项B知，，是平面的一个法向量， 设点在平面的内的投影为， 因为，所以为的中心， 所以点到平面的距离为， 若，则， 即点落在以为圆心，为半径的圆上（如上右图）， 点到三边的距离为， 此时，点轨迹是以为圆心，为半径的圆的一部分， 其轨迹长度为，即D正确； 故选：AD. 四、解答题 15．如图，在直三棱柱中，，，点E，F分别为棱，的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与直线的夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.85 【知识点】证明线面平行、异面直线夹角的向量求法 【分析】（1）先证为平行四边形，再由线线平行证明线面平行即可； （2）由题意建立空间直角坐标系，求出相关点和向量的坐标，利用空间向量的夹角公式计算即得． 【详解】（1）∵是直三棱柱，∴， 又点E，F分别为棱的中点，∴， ∴四边形是平行四边形，所以， 又平面，平面， 故平面． （2）如图，直三棱柱中， 以为原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 不妨设，则， 于是， 设直线与直线的夹角为， 则， 则直线与直线的夹角的余弦值为． 16．如图所示，在四棱锥中，底面为梯形，且满足，，平面平面. (1)求证：； (2)若，点在线段上，当二面角大小为时，求四棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】锥体体积的有关计算、证明线面垂直、面面垂直证线面垂直、面面角的向量求法 【分析】（1）由面面垂直的性质定理得到，再由线面垂直的判定定理证明平面可得到； （2）建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面和平面的一个法向量，代入空间二面角公式解出，再由棱锥的体积公式求解即可. 【详解】（1）证明：连接BD，在直角梯形ABCD中，易得， 又， 又平面平面，平面平面，平面， 平面平面， ，又，平面， 平面平面， . （2）如图，取的中点的中点，连接， 由题意可得， 平面平面平面平面，平面， 平面， 以为坐标原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 设，则， 设平面的一个法向量为， 则， 令得， 又平面平面的一个法向量， ，令，解得或（舍）. 即为的靠近的三等分点时，二面角的平面角为， 平面，且， 到平面的距离为，又四边形的面积为3， 四棱锥的体积. 18．如图，正方形所在的平面与平面垂直，点为的中点，，，． (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)． 【难度】0.65 【知识点】求点面距离、面面角的向量求法 【分析】(1)根据垂直关系，建立空间直角坐标系，写出相应点的坐标和平面的法向量，证明即可. (2)求得平面和平面的法向量，代入夹角公式计算; (3)根据已求得的平面的法向量，利用点到面的距离公式，求解. 【详解】（1） 因为平面平面，交线为，平面且，所以平面， 又因为，所以． 以点为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如下图所示的空间直角坐标系． 所以，，，，，，． 因为，平面的法向量为， ，所以，又因为平面，所以平面． （2）因为，，设平面的法向量为， 则，令，则， 设平面与平面的夹角为，， ， 则平面与平面夹角的余弦值为． （3）因为， 则点到平面的距离为． 19．如图，在底面为正方形的四棱锥中，，，. (1)求证：平面. (2)若（），且三棱锥的体积是四棱锥体积的一半. ①求点C到平面的距离； ②求平面与平面所成二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)①；②. 【难度】0.65 【知识点】证明线面垂直、面面角的向量求法、点到平面距离的向量求法 【分析】（1）利用勾股定理或向量的数量积证明，进而根据线面垂直的判定定理证明即可； （2）①建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标表示求出点坐标，利用体积关系求出点坐标，最后根据空间向量点到平面的距离公式求解即可；②求出平面与平面的法向量，利用空间向量法求解即可. 【详解】（1）解法一：因为四棱锥的底面为正方形，所以， 因为，， 所以在中，根据余弦定理得： ， 所以，所以， 又，，平面，所以平面. 解法二：因为， ， 所以，所以， 因为四棱锥的底面为正方形，所以， 又，，平面，所以平面. （2）①在底面为正方形的四棱锥中， 以D为坐标原点，，分别为x，y轴， 过D且垂直于平面的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 设（），则，，， 所以，， 因为，， 所以，所以， 因为， 所以，解得， 所以， 则， 又，所以， 所以，， 连接，因为三棱锥的体积是四棱锥体积的一半， 所以， 又（），平面， 所以，且， 所以，， 设平面的法向量为， 则，得，取，则， 设点C到平面的距离为d， 因为，所以， 即点C到平面的距离为. ②由①知，平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 易知，， 由，得，取，则， 所以， 设平面与平面所成二面角为， 则， 所以平面与平面所成二面角的正弦值为. 20．如图，在三棱锥中，侧面PAC是边长为2的正三角形，，，E，F分别为PC，PB的中点，平面AEF与底面ABC的交线为l.    (1)证明：l∥平面PBC. (2)已知平面平面，若在直线l上存在点Q，使得直线PQ与平面AEF所成角为，异面直线PQ，EF所成角为，且满足，求. 【答案】(1)证明见解析 (2)1 【难度】0.65 【知识点】证明线面平行、面面垂直证线面垂直、已知线线角求其他量、已知线面角求其他量 【分析】（1）由已知可推得.根据线面平行的判定定理，可得平面.然后根据线面平行的性质定理，可得.进而即可得出证明； （2）取的中点记为，连接，根据平面平面可得出平面，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【详解】（1）证明：因为分别为的中点， 所以. 又平面，平面， 所以平面. 又平面，平面与底面的交线为， 所以，，从而. 而平面，平面， 所以，平面. （2）取的中点记为，连接， 因为是边长为2的正三角形，所以， 所以，. 又平面平面，平面平面，且平面， 所以平面， 由（1）可知，在底面内过点作的平行线，即平面与底面的交线. 由题意可得，即， 取的中点记为，连接，则. 因为，所以. 以为坐标原点，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 设，则，，， 设平面的一个法向量为， 则， 即， 取，则，，即是平面的一个法向量， 所以. 又直线与平面所成角为， 于是. 又， 而异面直线所成角为，于是. 假设存在点满足题设，则， 即，所以. 当时，，此时有； 当时，，此时有. 综上所述，这样的点存在，且有.    试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$