专题05 平面解析几何-2025年高三数学寒假作业

夏津县双语中学高三数学寒假作业 班级_______________ 姓名_______________ 05 平面解析几何（B卷） 1、 单选题 1．直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．圆与的公共弦长为（    ） A． B． C． D． 3．若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．已知双曲线的标准方程为，其焦点到渐近线的距离为（    ） A． B．3 C．4 D．5 5．抛物线的准线方程是（    ） A． B． C． D． 6．已知抛物线的焦点到准线的距离为，过焦点且斜率为的直线与抛物线交于，两点，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．若动点满足，则动点P的轨迹为（     ） A．椭圆 B．双曲线 C．直线 D．抛物线 二、填空题 8．已知圆与抛物线的准线交于两点，且，则的值为 ． 9．若双曲线与的焦距相等，则椭圆的焦点坐标为 . 三、解答题 10．已知椭圆经过点且离心率为，设直线与椭圆相交于两点. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线的斜率为1，求线段中点的轨迹方程； 05 平面解析几何（A卷） 一、多选题 1．在平面直角坐标系中，已知圆，圆，是圆的一条直径，点在圆上，设直线为两圆的公切线，则（    ） A．圆和圆外切 B．直线斜率的最小值为0 C．直线斜率的最大值为 D．面积的最大值为7 2．设椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与交于A，B两点，若，且的周长为8，则（    ） A． B．的离心率为 C．可以为 D．可以为直角 3．已知曲线，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则曲线表示两条直线 B．若，则曲线是椭圆 C．若，则曲线是双曲线 D．若，则曲线的离心率为 二、解答题 4．已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为. (1)求双曲线的方程； (2)设直线与双曲线、圆相切，切点分别为，与渐近线相交于.两点. （i）证明：为定值； （ii）若，求直线的方程. 5．已知抛物线：经过点，直线：与的交点为A，B，且直线与倾斜角互补. (1)求抛物线在点处的切线方程； (2)求的值； (3)若，求面积的最大值. 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 05 平面解析几何（B卷） 一、单选题 1．直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为直线的斜率为，故该直线的倾斜角为. 故选：A. 2．圆与的公共弦长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】已知圆，圆， 两圆方程作差，得到其公共弦的方程为：， 而圆心到直线的距离为， 圆的半径为，所以，所以. 故选：D 3．若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意有：. 故选：A. 4．已知双曲线的标准方程为，其焦点到渐近线的距离为（    ） A． B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】在双曲线中，，，， 该双曲线的焦点为，渐近线方程为，即， 因此，该双曲线焦点到渐近线的距离为. 故选：B 5．抛物线的准线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】的标准方程为，故准线方程为， 故选：B 6．已知抛物线的焦点到准线的距离为，过焦点且斜率为的直线与抛物线交于，两点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 由已知抛物线焦点到准线的距离为， 即， 则抛物线方程为，， 所以直线方程为，即， 设直线与抛物线交点，， 联立直线与抛物线， 得， 则，， 又由抛物线可知，， 所以， 故选：A. 7．若动点满足，则动点P的轨迹为（     ） A．椭圆 B．双曲线 C．直线 D．抛物线 【答案】B 【详解】由等式可得 ， 即动点P到定点与定直线的距离之比为且大于1， 而定点不在定直线上，所以动点P的轨迹为双曲线. 故选：B 二、填空题 8．已知圆与抛物线的准线交于两点，且，则的值为 ． 【答案】4 【详解】设圆的圆心坐标为，连接， 抛物线准线与轴交于点，则， 所以， 所以圆心到准线的距离为， 解得，或（舍去）. 故答案为：4. 9．若双曲线与的焦距相等，则椭圆的焦点坐标为 . 【答案】 【详解】因为双曲线与的焦距相等， 则，可得，即， 对于椭圆可知其焦点在y轴上，且， 所以椭圆的焦点坐标为. 故答案为：. 三、解答题 10．已知椭圆经过点且离心率为，设直线与椭圆相交于两点. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线的斜率为1，求线段中点的轨迹方程； 【详解】（1）由题可得：，解得：， 所以椭圆的标准方程为：； （2）因为直线的斜率为1，所以可设直线的方程为，， 联立 ，化简得， 则， 解得：， 所以，设弦中点， 则， 消去，得，而， 所以点的轨迹方程为. 05 平面解析几何（A卷） 一、多选题 1．在平面直角坐标系中，已知圆，圆，是圆的一条直径，点在圆上，设直线为两圆的公切线，则（    ） A．圆和圆外切 B．直线斜率的最小值为0 C．直线斜率的最大值为 D．面积的最大值为7 【答案】BCD 【详解】A选项，的圆心为，半径为， 的圆心为，半径为， ，因为，所以和外离，选项错误； B选项，画出两圆如下：    可以看出共有4条公切线，其中内公切线的斜率最小， 其中：与和均相切，所以直线斜率的最小值为正确； C选项，由B选项可知，：，内公切线的斜率最大，设其倾斜角为， 直线的斜率，即， 则， 所以直线斜率的最大值为．C选项正确； D选项，易知，此时三点共线，    当时，面积取得最大值，最大值为，选项正确， 故选：． 2．设椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与交于A，B两点，若，且的周长为8，则（    ） A． B．的离心率为 C．可以为 D．可以为直角 【答案】AC 【详解】由，如下图周长为，故， 所以，椭圆离心率为，A对，B错； 当轴，即为通径时，且， 所以，故可以为，C对； 由椭圆性质知：当为椭圆上下顶点时最大，此时， 且，故，即不可能为直角，D错. 故选：AC 3．已知曲线，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则曲线表示两条直线 B．若，则曲线是椭圆 C．若，则曲线是双曲线 D．若，则曲线的离心率为 【答案】ACD 【详解】由题意，曲线，， 若，则，此时曲线，表示两条直线，故A正确； 若，又，则， 曲线，可化为， 当时，则曲线表示圆， 当时，则曲线表示椭圆，故B错误； 若，又，则，则曲线表示双曲线，故C正确； 若，又， 所以， 则曲线为， 则曲线为等轴双曲线，离心率为，故D正确. 故选：ACD. 二、解答题 4．已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为. (1)求双曲线的方程； (2)设直线与双曲线、圆相切，切点分别为，与渐近线相交于.两点. （i）证明：为定值； （ii）若，求直线的方程. 【详解】（1）由， 解得，故双曲线的标准方程为． （2）（i）①当与轴垂直时，，解得． ②当与轴不垂直时，设． 设与联立可得：， 且有，故， 且． 将与联立可得：． ， 而，故． 综上所述，． （ii）由与圆相切可知：． 设直线为，与联立解得． 由（1）可知，则． 而． 消去可得：， 故． 5．已知抛物线：经过点，直线：与的交点为A，B，且直线与倾斜角互补. (1)求抛物线在点处的切线方程； (2)求的值； (3)若，求面积的最大值. 【详解】（1）由题意可知，，所以，所以抛物线的方程为， 即，则， 则抛物线在P点的切线斜率为， 则切线方程为， 故切线方程为. （2）如图所示： 设，，将直线的方程代入， 得，所以，， 因为直线与倾斜角互补， 所以， 即， 所以， 即，所以. （3）由（1）（2）可知，，所以，， 则， 因为，所以，即， 又点到直线的距离为， 所以， 因为 ， 所以，当且仅当，即时，等号成立， 所以面积最大值为. 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$