重难点25 圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题（举一反三专项训练）（全国通用）【上好课】2027年高考数学一轮复习举一反三系列

重难点25 圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题 【全国通用】 【题型1 直线过定点问题】 2 【题型2 存在定点满足某条件问题】 8 【题型3 面积定值问题】 16 【题型4 斜率的和差商积定值问题】 22 【题型5 线段定值问题】 28 【题型6 圆锥曲线中其他定值问题】 35 【题型7 圆锥曲线中的定直线问题】 42 1、圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题 圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题是高考的重点、热点内容。从近三年的高考情况来看，此类问题考查频率较高，此类问题一般有直线过定点问题、满足某条件的定点问题、定值问题以及定直线问题等热点问题，主要在解答题中进行考查，在选择、填空题中考查较少，在解答题中考查时综合性强，难度较高，复习时要加强这方面的训练，学会灵活求解。 考点1 圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题 知识点1 圆锥曲线中的定点、定值问题 1．圆锥曲线中的定点、定值问题 圆锥曲线中的定点定值问题一般与圆锥曲线的基本量和题设条件中的给定的点或值有关，曲线过定点问题以直线过定点居多，定点问题其实也可以归结到定值问题(定点的横纵坐标为定值).这类问题用函数的思想方法来处理，具体操作流程如下： (1)变量——选择合适的参变量； (2)函数——要证明为定值的量表示出参数的函数； (3)定值——化简函数解析式，消去参数得定值. 一些存在性问题，是否存在定点使得某一个量为定值，是否存在定值使得某一量为定值，是否存在定点使得曲线过定点，是否存在定值使得曲线过定点，可以看做定点定值问题的延伸. 2．定点问题的求解思路： 一是从特殊入手，求出定点，再证明这个点与变量无关； 二是直接推理、计算，并在计算过程中消去变量，从而得到定点. 3．过定点问题的两大类型及解法 (1)动直线l过定点问题 解法：设动直线方程（斜率存在）为，由题设条件将t用k表示为，得，故动直线过定点； (2)动曲线C过定点问题 解法：引入参变量建立曲线C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点． 4．定值问题的求解思路： 将问题涉及的几何式转化为代数式或三角式，证明该式的值与参数无关. 5．求解定值问题的三个步骤 (1)由特例得出一个值，此值一般就是定值； (2)证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数（某些变量）无关；也可令系数等于零，得出定值； (3)得出结论． 知识点2 圆锥曲线中的定直线问题 1．圆锥曲线中的定直线问题 定直线问题是指因图形变化或点的移动而产生的动点在定直线上的问题.这类问题的核心在于确定定点的轨迹，主要方法有： (1)设点法：设点的轨迹，通过已知点轨迹，消去参数，从而得到轨迹方程； (2)待定系数法：设出含参数的直线方程、待定系数法求解出系数； (3)验证法：通过特殊点位置求出直线方程，对一般位置再进行验证. 【题型1 直线过定点问题】 【例1】（2026·北京·三模）已知椭圆：的离心率为，为椭圆上一点，且点到椭圆的两个焦点的距离之和等于． (1)求椭圆的方程； (2)设，，过点的直线与椭圆交于，两点，连接，分别交椭圆于，两点，求证：直线过定点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）根据椭圆的定义和离心率公式求出的值,进而得到椭圆方程； （2）设出直线的方程,联立椭圆方程,利用韦达定理得到,两点坐标的关系,再求出直线,的方程,联立椭圆方程求出,两点坐标,最后根据直线的方程证明其过定点. 【解答过程】（1）由椭圆的定义可得,解得. 已知椭圆的离心率,将代入可得. 在椭圆中有,将, 代入可得. 所以椭圆的方程为. （2）证明：设直线的方程为,,. 联立直线与椭圆的方程,消去可得：,展开并整理得. 由韦达定理可得 ， 直线的方程为,即. 联立直线与椭圆的方程,消去可得： ,展开并整理得 . 因为是方程的一个根,所以, 将代入可得. 同理可得. 直线的斜率,直线的方程为 令,可得. 将,代入上式并化简,结合,可得. 所以直线过定点. 【变式1-1】（2026·贵州贵阳·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，离心率为2，且过点. (1)求双曲线的方程； (2)过的直线与双曲线交于A，B两点，过点作直线的垂线，垂足为.求证：直线BD过定点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）利用双曲线离心率公式即可求解； （2）设过的直线方程为，与双曲线方程联立，由韦达定理可得，表示出直线BD的方程化简即可求解，注意讨论斜率为零的情形. 【解答过程】（1）因为，所以. 又因为双曲线经过点 ，所以 ，解得. 所以双曲线的方程为： . （2）证明：由题意得，故， 过的直线的斜率不为零，则设过的直线方程为， 联立，得， 则， 所以， 因为，    故直线BD的斜率为，直线BD方程为， 由对称性分析可知直线BD过的定点在 轴上， 故中，令得 ， 又， 将其代入上式中得，， 故此时直线BD过定点. 若过的直线的斜率为零，则此时即为 轴，此时也过， 综上，直线BD过定点. 【变式1-2】（2026·陕西榆林·模拟预测）已知A，B是抛物线上异于坐标原点O的两点． (1)若C的焦点恰好是的垂心，求； (2)若直线OA与直线OB的斜率之积为． （ⅰ）求证：直线AB恒过定点； （ⅱ）已知点G是线段AB的中点，点关于直线AB的对称点N在C上，求的面积． 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）． 【解题思路】（1）根据题意，结合图形可得，，设，由求出的值，即得； （2）（ⅰ）依题设直线AB的方程为，与抛物线方程联立，写出韦达定理，利用直线OA与直线OB的斜率之积为，列方程求得，即可得证； （ii）由（ⅰ）结合条件可得，求得点的坐标，写出直线MN的方程，与直线直线AB的方程联立，求得点的坐标，进而得到点的坐标，利用三角形的面积公式即可求得答案. 【解答过程】（1）记C的焦点为F，因为C的焦点恰好是的垂心，所以，， 设，则，又，由可得 ， 解得或，所以． （2）（ⅰ）显然直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为，，， 由，得，所以 ，，， 又直线OA与直线OB的斜率之积为，所以 ，解得， 所以直线AB的方程为，故直线AB过定点． （ⅱ）由题意知，可得，即，所以或， 当时，MN的中点为，直线MN的斜率为，方程为． 此时直线AB的方程为，由，得，解得或， 即，或，， 故，又，点到直线MN的距离为， 所以； 当时，同理可得． 综上，的面积为． 【变式1-3】（2026·湖南邵阳·模拟预测）已知椭圆的短轴长为，离心率为． (1)求椭圆的标准方程； (2)设点分别为椭圆的上、下顶点，直线与椭圆交于两点，点不在上，直线，的斜率分别为，．若， （ⅰ）证明：直线过定点； （ⅱ）过点作直线的垂线，垂足为点．当的面积取得最大值时，求直线的斜率． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析 （ii） 【解题思路】（1）由短轴长得，离心率，结合求出，得标准方程； （2）（ⅰ）设，联立椭圆得韦达定理，由代入化简，得，解得，故直线恒过定点； （ⅱ）中固定，面积最大等价于到距离最大，即为椭圆左右顶点，由 求斜率，得的斜率为. 【解答过程】（1）由离心率，得．又短轴长为，故． 由，代入得：，故． 所以椭圆的标准方程：． （2）（ⅰ）证明：由（1）得：, 当直线的斜率不存在时，易知直线，的斜率同号，不合题意； 所以直线的斜率存在，设直线． 联立，消去得：． 则，化简得：． 设，，由韦达定理得：，． 因为，则． 代入，，得：． 展开整理得：， 将韦达定理代入，化简得：． 解得（舍去，直线过点）或． 故直线方程为，恒过定点． （ⅱ）在（ⅰ）的条件下，直线可写为 点到直线的垂足为． 当时，在轴上显然不合，则． 由于，直线的方程为 与联立，得所以 因为，且在轴上，所以 由得 当且仅当时取等号． 因此，当面积取得最大值时，直线的斜率为 【题型2 存在定点满足某条件问题】 【例2】（2026·山东聊城·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上． (1)求椭圆的标准方程． (2)若过点的动直线与椭圆交于，两点，是否存在与点不同的定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【解题思路】（1）借助焦距可得，再将定点代入计算即可得解； （2）当直线垂直于轴时，可得符合题意，再证明当直线不平行于坐标轴时，也符合题意即可得，当直线不平行于坐标轴时，设出直线方程，联立曲线方程，可得与交点横坐标有关韦达定理，取点关于轴的对称点，计算可得三点共线，即可得证. 【解答过程】（1），， 又因为点在椭圆上，， 即， 又，代入，解得， 可得椭圆的标准方程为； （2）当直线垂直于轴时，椭圆关于轴对称， 点关于轴对称，， 轴上任意不同于点的点，均满足， 设，当直线与轴重合时，点是椭圆的长轴端点， 不妨设， ，即，解得（舍去）或， 存在不同于点的定点满足条件，且点的坐标为； 下面证明：当直线不平行于坐标轴时，点满足， 设直线的方程为， 由，消去，整理得， 直线恒过椭圆内的定点，恒成立， ， 点关于轴的对称点为， 直线的斜率， 直线的斜率， ， ， ，即，三点共线， ． 综上，存在与点不同的定点，使得恒成立. 【变式2-1】（2026·陕西安康·三模）已知抛物线经过点，其焦点为，过点的直线交于M，N两点． (1)求的方程； (2)若的斜率为1，分别求在点M，N处的切线方程； (3)直线上是否存在定点，使得DB平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)存在定点 【解题思路】（1）将的坐标代入方程，求即可； （2）由条件结合点斜式确定的方程，联立方程组求出的坐标，结合导数的几何意义求切线方程； （3）设的方程为，，，联立方程组求，取特殊情况可得对应的点的坐标，再验证该点对任意均满足关系DB平分即可. 【解答过程】（1）因为抛物线经过点， 所以， 所以的方程为．       （2）由题得的方程为，即， 联立，取， 由，得， 所以点处的切线的斜率为2， 则在点处的切线方程为， 即， 所以点处的切线的斜率为， 则在点处的切线方程为， 即， 所以在点处的切线方程为． （3）由题可知的斜率存在， 设，， 联立，得， 则． 当时，，此时点为线段的中点， 过点作的垂线，其方程为， 与直线的交点即为，满足平分．       下面证明点满足题意： 当直线的斜率不存在时，， 此时，则，直线的斜率为， 易得， 所以平分， 根据对称性，当直线DN的斜率为0时，直线DM的斜率不存在， 同理可得平分；       当直线的斜率存在且不为时，， 设直线，直线， 点到直线，的距离分别为， 又 成立， 所以，   所以平分． 综上，直线上存在定点，使得平分． 【变式2-2】（2026·湖北武汉·模拟预测）已知椭圆（）经过点，两点，过点的直线与C交于M，N两点，且直线，与直线分别交于点P和点Q. (1)求C的方程； (2)求的面积的最大值； (3)证明：存在定点E，使得以为直径的圆恒过点E. 【答案】(1) (2) (3)存在，证明见解析. 【解题思路】（1）把点，代入即可求出椭圆的方程即可求解； （2）设直线的方程，与椭圆的方程联立，利用韦达定理表示出的面积，再求出的面积的最大值； （3）若以为直径的圆恒过点E，则，进而通过韦达定理求出定点坐标. 【解答过程】（1）把点，代入椭圆的方程， 得，所以椭圆的方程为. （2）显然直线的斜率不为0，设直线的方程为， 联立， 则， 所以 ， 设，则，即， 那么， 由于，函数在上单调递增， 所以， 故， 则的面积的最大值为. （3）设，直线，直线， 令，得， ，则， 由于以为直径的圆恒过点E，则， 所以，而， 则， 化简，得， 则， 由于， 所以， 则， 即， 令，解得或 所以定点坐标为或， 因此，存在定点E，使得以为直径的圆恒过点E. 【变式2-3】（2026·湖北宜昌·二模）已知双曲线的焦点到一条渐近线的距离为，且点在双曲线上． (1)求双曲线的方程； (2)斜率为的直线与双曲线的右支交于、两点（异于点）． ①求直线、的斜率之和； ②若的外接圆圆心为，试问在轴上是否存在定点使为定值，若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②存在，且点. 【解题思路】（1）利用点到直线的距离公式求出的值，将点的坐标代入双曲线的方程，求出的值，即可得出双曲线的方程； （2）①设点、，设直线的方程为，将该直线方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，结合斜率公式可求得直线、的斜率之和； ②设的外接圆方程为，分析可知方程与方程为同解方程，可得出关于、、的方程组，解出、，可得出点的坐标，求出直线的方程，当时，求出直线的方程，取点为直线与轴的交点，结合勾股定理可得出结论. 【解答过程】（1）双曲线的右焦点为，双曲线的渐近线方程为，即， 所以焦点到一条渐近线的距离为， 因为点在双曲线上，所以，解得， 故双曲线的标准方程为. （2）①设点、，设直线的方程为， 因为点不在直线上，则，可得， 联立，可得， 则，解得或， 由题意可得，所以且， 所以 ， 即直线、的斜率之和为. ②设的外接圆方程为， 则， 由代入， 可得， 可得， 同理可得， 所以、为关于的方程的两根， 又因为、为关于的方程的两根， 所以方程与方程为同解方程， 所以，解得， 易知点，即点，， 所以直线的方程为，即， 当时，直线的方程为，即， 直线与轴的交点为，不妨取点，此时， 则， 故在轴上存在定点，使得为定值. 【题型3 面积定值问题】 【例3】（2026·福建厦门·模拟预测）已知椭圆的左右焦点分别为，，离心率为，且，直线l过点且与C相交于A，B两点． (1)求C的方程； (2)若的面积为，求； (3)过点A作直线的垂线，垂足为P，求证：为定值． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【解题思路】（1）由题设求出，进而求解即可； （2）设，由的面积为可得，进而结合平面向量的数量积的坐标表示求解即可； （3）当直线的斜率不为0时，设，利用韦达定理得到，，且，利用距离公式和弦长公式表示，，所以；当直线的斜率为0时，不满足题意，故为定值． 【解答过程】（1）由题意得，，所以， 又因为离心率，所以， 所以，所以椭圆的方程为． （2）设，所以，将代入椭圆方程， 所以，所以． （3）证明：当直线的斜率不为0时，设， 联立椭圆方程，得到， 则， 设，，则，由韦达定理可得，， 因为，原点到的距离为， 所以， 又因为点到的距离为，， 所以， 所以， 由，，得到， 所以； 当直线的斜率为0时，，，，四点共线无法构成三角形，故舍去； 综上，为定值． 【变式3-1】（2026·全国·模拟预测）已知动点与定点的距离与它到定直线的距离的比是常数． (1)求动点的轨迹方程； (2)过上述轨迹上一点作轨迹的切线与两直线分别交于，两点，证明：三角形的面积是定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）依据题设的距离比值等式，对式子移项后两边平方展开化简，消去同类项，整理得到动点的双曲线轨迹方程； （2）设切点，分切线斜率存在与不存在两类，联立切线与双曲线方程利用判别式求得双曲线切线方程，再联立切线与直线求出、横坐标，结合双曲线条件计算面积，证得其为定值. 【解答过程】（1）根据题意得， 则可得， 将上式两边平方，得， 整理得， 所以，所以， 故动点的轨迹方程为． （2）证明：设点的坐标为，当切线斜率存在时，，设曲线在点处的切线方程为， 与双曲线方程联立，消去，可得， 整理得， 所以且， 解得，代入，得， 所以切线方程为， 与联立得，与联立得， 故，为定值． 当切线的斜率不存在时，，易得． 综上，的面积是定值． 【变式3-2】（2026·贵州安顺·模拟预测）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过且垂直于轴的直线与及其渐近线自上而下交于点，，，，且，双曲线的渐近线方程为. (1)求的标准方程. (2)设的左、右顶点分别为，，过点且与轴不垂直的直线交于，两点，直线与相交于点，则的面积是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2)是定值， 【解题思路】（1）由渐近线斜率得比例关系，求出处渐近线交点间距、双曲线交点间距，结合线段差条件得的值，再联立双曲线求出参数，写出双曲线标准方程. （2）设过定点的直线方程与双曲线联立，利用韦达定理得到根与系数关系，写出两顶点与动点连线方程并联立，借助韦达关系式化简求得交点恒在定直线上，再以竖线段为底、点到该竖直线的距离为高，算出三角形面积为定值. 【解答过程】（1）设双曲线的半焦距为，由题意，得，， 所以，将代入，得，. 所以，因为双曲线的渐近线方程为，所以， 所以，所以， 即，又，所以，，， 所以的标准方程为. （2）的面积为定值，理由如下 由题可知过点的直线与双曲线交于不同的两点，且均不是双曲线的顶点. 依题意可设直线的方程为， 设，，由 整理得，， 则，， 所以，则. 直线的方程为， 直线的方程为， 因为是直线与直线的交点，所以 整理得 ， 所以，解得，故点在定直线上. 设中边上的高为，则， 则.    【变式3-3】（2026·山东聊城·模拟预测）已知抛物线的焦点为，准线与抛物线对称轴的交点为为抛物线上的动点，当的纵坐标为时，取得最小值. (1)求抛物线的方程； (2)设点为坐标原点，过点作直线与曲线交于两点，作直线与曲线交于两点，分别为的中点，直线与的斜率满足.试判断与的面积之比是否为定值？若是，求出此定值；若不是，说明理由. 【答案】(1) (2)是定值， 【解题思路】（1）利用抛物线的定义，得到，从而有与抛物线相切时，取得最小值，再利用导数的几何意义及过两点切线的斜率，即可求解； （2）设直线的方程，联立直线与抛物线方程，利用根与系数间的关系，求得，同理可得，法一，设直线的方程为，结合条件，利用，在直线上，得，从而直线过定点，即可求解；法二，利用及两点间的斜率公式得，再利用点斜式得直线的方程，进而可得直线过定点，即可求解. 【解答过程】（1）过点作准线的垂线，垂足为，如图所示, 由抛物线的定义知，，则， 所以，当取得最小值，取得最小值，此时与抛物线相切于点， 不妨设，又， 则，解得， 所以抛物线的方程为. （2）解法1：设，由题意知，直线的方程为， 则，消去得，所以， 则，同理可得， 设直线的方程为，则，即， 同理，所以是方程的两个根， 所以，解得， 则直线的方程为，所以直线过定点， 设点与到直线的距离分别为和，所以， 所以，故与的面积之比是定值，定值为. 解法2：设，由题意知，直线的方程为， 则，消去得，所以， 则，同理可得， 又，用代换得，， 易知直线的斜率必存在，， 则直线的方程为， 令，则，则直线过定点， 设点与到直线的距离分别为和，所以， 所以， 故与的面积之比是定值，定值为. 【题型4 斜率的和差商积定值问题】 【例4】（2026·安徽阜阳·二模）已知双曲线C：的焦距为8，点在双曲线C的一条渐近线上.过双曲线C的左焦点F作直线l交双曲线C的左支于A，B两点. (1)求双曲线C的方程； (2)已知点，直线交直线于点Q，设直线，的斜率分别为，，求证：为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）由已知条件，列方程求出，可得双曲线标准方程； （2）设直线的方程与双曲线联立方程组，设两点坐标，表示出直线，得点坐标，表示出，结合韦达定理，证明为定值. 【解答过程】（1）由题意知，则，所以， 因为点在双曲线的一条渐近线上， 所以点在双曲线的渐近线上，所以， 综上可得， 故双曲线的方程为. （2）证明：由（1）知双曲线的左焦点为， 由题意设直线的方程为， 由直线，得， 设，则，又， 所以 ， 由，得，其中， 则，，，所以. 因为，所以， 所以 . 即为定值. 【变式4-1】（2026·广东佛山·模拟预测）已知椭圆：的上下顶点分别为，，右焦点的坐标为．点是椭圆上位于第一象限或正半轴上的动点，设直线，的斜率为，，且． (1)求椭圆的方程； (2)过点作圆的切线交椭圆于点（点位于点的下方）． （ⅰ）求线段的最大值； （ⅱ）设直线的斜率为，请判断是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）是定值，定值为 【解题思路】（1）根据椭圆性质、直线斜率公式及已知的值，结合联立方程求解，. （2）（ⅰ）利用切线性质得直线参数约束，联立切线与椭圆方程得弦长表达式，结合的范围即可求最值. （ⅱ）联立切线与椭圆方程，结合斜率公式和韦达定理化简等式，得到，再结合即可求解. 【解答过程】（1）由椭圆性质可得：上下顶点为、，右焦点为， 故，设椭圆上动点，所以，即， 根据直线斜率公式可得：​，，则， 将代入可得：，进一步化简可得： ，又因为，所以，由可得： ，解得，因此椭圆方程为. （2）（i）设点，由题意可知， 设直线的方程为，因为直线与圆相切， 可得：，即， 联立直线与椭圆方程消去得：， 故， 由弦长公式 代入韦达定理得： 平方得， 令得 此时， 此时， 当切线斜率不存在时，切线方程为，代入椭圆方程可得： ，化简可得：，即， 取上交点，下交点， 则，综上可得取得最大值：.​​ （ii）根据斜率的定义可得： ， 其中， 又，结合几何意义可得， 又，代入可得：， 化简可得：，又， 所以是个定值. 【变式4-2】（2026·甘肃白银·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，点在C上，且，其中O为坐标原点，过点的直线l与C相交. (1)求C的方程； (2)若l与C仅有一个公共点且斜率存在，求l的斜率； (3)若l与C交于M，N两点，记直线OM与直线ON的斜率分别为，，证明： 为定值，并求出该定值. 【答案】(1) (2)0或 (3)证明见解析，为定值 【解题思路】（1）由抛物线的定义可得，再将点的坐标代入抛物线方程，即可得到结果； （2）联立直线与抛物线方程，分与讨论，即可得到结果； （3）联立直线与抛物线方程，结合韦达定理代入计算，即可得到结果. 【解答过程】（1）由抛物线的定义可知， 又，则. 即.所以. 又在抛物线上. 所以.且. 解得.则C的方程为. （2）设直线l的斜率为k，则. 联立， 可得， 当时，，符合题意； 当时，则有，解得. 综上，直线l的斜率为0或. （3）证明：由题得l的斜率存在且不为零. 设l的方程为.，， 联立，可得， .即. 可得，. 故，. 则， 所以为定值. 【变式4-3】（2026·浙江·模拟预测）已知椭圆：（）的离心率为，其右顶点为，直线过抛物线：的焦点，且与交于，两点，直线，分别与椭圆在轴的右侧部分交于，两点（为坐标原点）． (1)求椭圆的标准方程； (2)记直线，的斜率分别为，，求证：为定值； (3)记，的面积分别为，，求的最大值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)． 【解题思路】（1）根据离心率求出，再由可得解； （2）设直线：，联立抛物线方程，利用韦达定理即可得证； （3）分别求出三角形面积，记，平方后利用基本不等式求最值即可. 【解答过程】（1）因为，又， 所以，所以， 故所求椭圆的标准方程为． （2）证明：可设直线：，代入抛物线，整理得； 记，，则，， 所以（定值）． （3）因为，，显然，． 联立消去，解得，同理，可解得， 由（2）知，故得； 因为，，记，则， 故，即， 即，即，当且仅当时取到等号． 综上，的最大值为． 【题型5 线段定值问题】 【例5】（2026·江苏·模拟预测）已知椭圆的焦距为，过点的直线与交于两点，为的中点，为坐标原点.设的斜率为，直线的斜率为，. (1)求椭圆的方程； (2)若为直角三角形，求的值； (3)直线交轴于点，点关于轴的对称点为，直线交轴于点，探究：是否为定值？ 【答案】(1) (2)或 (3) 【解题思路】（1）由点差法和斜率的关系可得椭圆的基本量，进而可得椭圆方程； （2）根据三角形为直角三角形进行分三类情况讨论，若时结合根与系数关系可得斜率值；若或时，分别可得或的坐标，进而可得斜率值； （3）分别用直线的斜率为表示出点的横坐标，进而可证明定值. 【解答过程】（1）设，则，两式相减，得，即. 因为为的中点，所以， 所以直线的斜率为，所以， 所以，即. 因为椭圆的焦距为，所以，又因为， 解得，所以椭圆的方程为. （2）设直线的方程为.设，如图： 将代入方程，消得， ，解得. 则. 若时，有，即，, 即， 所以，化简整理得，解得，符合； 若时，则，即，所以. 又因为，联立方程组解得或（舍去）， 所以，所以，符合. 若时，则，即，所以. 又因为，联立方程组解得或（舍去）， 所以，所以，符合. 综上，或. （3）由直线的方程，知. 因为点为点关于轴的对称点，所以，所以直线的方程为， 令，得点的横坐标为，因为， 所以 ， 所以为定值. 【变式5-1】（2026·甘肃·二模）已知抛物线过点. (1)求抛物线的方程； (2)过作抛物线的切线，连接，作的平行线交于两点，交于点，若，判断是否为定值，若是，求出此定值；若不是，说明理由. 【答案】(1)； (2)是定值. 【解题思路】（1）将点坐标代入抛物线方程，直接解出参数p，即可确定抛物线的表达式； （2）先求切线方程，再由平行关系设直线方程，与抛物线联立得到根与系数的关系；结合长度条件进行代数代换与化简，最终证明比值为常数，完成定值判断. 【解答过程】（1）由于过点，则， 所以抛物线的方程为； （2）由得， 所以过的切线的方程为，即， 设，可知， , 则， 在切线上，， 在直线上， ， 又， ， 由得 ， 由可得： 同理， 所以是定值. 【变式5-2】（2026·贵州毕节·三模）动点与定点的距离和D到定直线的距离的比是常数. (1)求动点D的轨迹方程； (2)设动点D的轨迹为曲线，，是曲线过原点O的两条弦，且，求证：为定值； (3)在（2）的条件下，求的面积的取值范围. 【答案】(1) (2)证明见解析，定值为 (3) 【解题思路】（1）根据已知条件列出等式然后进行化简，即可得到轨迹方程； （2）当直线，其中一个斜率不存在时，可得为定值，当直线，均存在时，设直线方程和直线方程，分别与椭圆方程联立求出，，由椭圆的对称性知，，进而得到的表达式即可证明； （3）当直线，其中一个斜率不存在时，可得，当直线，斜率均存在时，由（2）知和，则可得，令，换元后根据均值不等式即可求解. 【解答过程】（1）由已知得 ， 化简得 ， ， 即点 的轨迹方程为: . （2）若直线，其中一个斜率不存在， 则易知: ， 若直线，斜率均存在， 设直线方程: ，， 联立 ，整理得 ，解得: ， 同理，设直线方程: ，， 联立 ，整理得 ，解得: ， 所以 ，， 由椭圆的对称性知， ，， 所以 ， 综上，为定值，且定值为. （3）由（2）知若直线，斜率均存在， ，， ， 则， 令，则， 令，， ， 因为，当且仅当，即时等号成立， 所以， 所以， 所以，即， 若直线，其中一个斜率不存在，， 综上，的面积的取值范围. 【变式5-3】（2026·湖南长沙·三模）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，虚轴长为2，且点在双曲线上． (1)求双曲线的方程． (2)斜率为的直线与双曲线的右支交于，两点（异于点）． ①若直线，的斜率分别记为，，，求的值． ②若的外接圆圆心为，试问在轴上是否存在定点使为定值？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①1；②在轴上存在定点，使得为定值2． 【解题思路】(1)通过虚轴长度确定后再将点代入方程求解. (2)①设出直线后与双曲线联立通过韦达定理表示出后带入条件求解. ②通过联立椭圆与直线以及圆与直线判断为两者共同的根，因此联立后的方程应相同，以此求解出斜率以及方程，最后通过定值这一条件求出点. 【解答过程】（1）由条件，，所以， 又点在双曲线上，所以，解得， 故双曲线的标准方程为． （2）①设点，，设直线的方程为， 因为点不在直线上，则，可得， 联立可得， 则 ，解得或， 由题意可得所以且， 所以， ， ， 即 ，． ②设的外接圆方程为，代入坐标， 则 将代入， 可得， 即， 同理 ， 所以，为关于的方程 的两根， 又因为，为关于的方程的两根， 所以方程 与方程为同解方程， 所以解得 易知点，即点，， 所以直线的方程为，即， 设，，， 因此， 要使其为定值，只需即可. ， 故在轴上存在定点，使得为定值2． 【题型6 圆锥曲线中其他定值问题】 【例6】（2026·宁夏银川·三模）已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，实轴长为，点到双曲线的渐近线的距离为1，过的直线与交右支于，两点. (1)求双曲线的方程； (2)证明：存在轴上的一点，使得为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）求出双曲线的基本量后可得双曲线的方程； （2）设，，联立直线方程和双曲线方程，结合韦达定理化，根据该值为定值可求的坐标； 【解答过程】（1）解：因为实轴长为，故， 而点到双曲线C的渐近线的距离为1，故， 故双曲线的方程为：. （2）证明：设为半焦距，则，故， 因为与双曲线的右支相交于两个不同的点，故可设，， 由可得即， 故且， 所以，又. 设，则，， 故 为定值当且仅当，故， 故存在轴上的一点，使得为定值且定值为. 【变式6-1】（2026·河北邯郸·二模）已知椭圆的下、上焦点分别为，，点，，四边形的面积为4，椭圆E的长轴长是短轴长的倍，椭圆E上有一动点M，连接MP并延长与椭圆E交于点R，连接MQ并延长与椭圆E交于点S（与R不重合），记，． (1)求椭圆E的方程； (2)求面积的最大值； (3)试判断是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)是定值， 【解题思路】（1）根据条件列方程组求解； （2）设，根据得出，，再将，作差得，即可求出，求出的最大值即可； （3）同（2）得出即可求出. 【解答过程】（1）因为四边形的面积为4，所以，则， 因为椭圆E的长轴长是短轴长的倍，所以， 由得， 故椭圆E的方程为； （2）设，则，， 因为，，则， 则，，则， 因为，，所以， 故， 则， 若，则，则重合，显然不成立； 若，则重合，显然不成立，故且， 则， 联立，解得， 则， 则 ， 因为，所以， 因为在上单调递减，在上单调递增， ，，， 所以， 令，则， 则当时有最大值， 故面积的最大值为； （3）设，则，， 因为，，则， 则，，则， 因为，，所以， 故， 则， 同（2）可知且，则， 联立，解得，则， 故，是定值. 【变式6-2】（2026·重庆·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，过点的圆与直线相切，设圆心的轨迹为曲线． (1)求的方程； (2)已知点，过点的直线与有两个不同的交点，，记直线交轴于点，直线交轴于点N，若，试判断是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)为定值2 【解题思路】（1）根据两点间距离公式及条件，列出方程，整理即可得答案. （2）设出直线的方程，与曲线C联立，根据韦达定理，可得的表达式，写出直线的方程，即可得点M的纵坐标的表达式，同理可得点N的纵坐标的表达式，结合条件可得的表达式，整理计算，即可得答案. 【解答过程】（1）设点为上任意一点，因为圆过点且与直线相切， 所以与点到直线的距离相等，故，整理得， 即的方程为． （2）由题意可知直线的斜率存在且不为0， 设直线的方程为，， 由，得， 此时，即且, 又， 则直线的方程为， 令，得点的纵坐标为． 同理得点的纵坐标为． 由，，得，． 所以 ．即为定值2. 【变式6-3】（2026·广东深圳·模拟预测）已知角的顶点为，在的两边上截取，连接，在线段上取一点，使得，记的中点为，以为中心，为顶点作离心率为2的双曲线，以为圆心，为半径作圆，与双曲线左支交于点（射线在内部），则.在上述作法中，以为原点，直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，若，点在轴的上方. (1)求双曲线的方程； (2)若过点且与轴垂直的直线交轴于点，点到直线的距离为. 证明：①为定值； ②. 【答案】(1) (2)①证明见解析；②证明见解析 【解题思路】（1）根据题设直接求出，即可求出结果； （2）①根据条件得到直线的方程为，设，则，利用两点间的距离公式及，即可证明结果；②根据条件得到，从而得到，再利用几何关系，即可证明结果. 【解答过程】（1）设双曲线的方程为， 由及，可得，所以， 因为双曲线的离心率为2，所以，解得， 所以双曲线的方程为. （2）①由题可得， 因为，所以直线的方程为， 设，则， 所以， ， 所以，为定值. ②因为，由①得， 因为，所以， 又都是锐角，所以， 所以，所以. 【题型7 圆锥曲线中的定直线问题】 【例7】（2026·河北·二模）已知双曲线 的离心率为点在上. (1)求的方程. (2)已知A，B分别为的左、右顶点，过点的直线与Γ的右支交于C，D两点. （i）若直线BC和BD的斜率分别为，求; （ii）若直线BC交直线于点N，直线AD和直线MN的交点为Q，证明：点Q在定直线上. 【答案】(1) (2)（i）； （ii）证明见解析 【解题思路】（1）通过离心率与点在曲线上的条件求解双曲线方程； （2）（i）联立直线与双曲线方程，利用韦达定理计算斜率乘积； （ii）联立直线方程，结合韦达定理关系化简，确定交点横坐标为定值. 【解答过程】（1）由双曲线离心率，得. 结合，得，故. 将点代入双曲线方程，得， 解得，则. 故双曲线的方程为. （2）（i）双曲线的左右顶点为，. 设过的直线为，与交于，. 联立方程，消去得，， 由韦达定理，，. 直线、的斜率分别为，，则， 代入，， 得 ， 因此. （ii）证明：直线的方程为，令，得. 直线的方程为， 直线的方程为. 联立两直线方程：， 代入，，结合， 即， 所以， ， ， ， ， ，即， 因在右支，不恒为，故. 即点在定直线上. 【变式7-1】（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知抛物线焦点为，，，为抛物线上的三个动点，且. (1)求拋物线的方程； (2)过分别作抛物线的三条切线，分别为，，，，交于点，，交于点E，，交于点. （i）证明：的垂心在一条定直线上； （ii）已知G点在曲线（）上，求的面积的最大值. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析 （ii） 【解题思路】（1）利用抛物线标准方程的焦点坐标公式，建立方程求解参数，从而确定抛物线方程； （2）（i）通过求导得到切线方程，联立求出交点坐标，并利用垂心定义与斜率关系推导出垂心的纵坐标为定值，证明其在定直线上；（ii）由切线交点坐标与椭圆条件建立面积表达式，结合二次函数最值求得三角形面积的最大值. 【解答过程】（1）抛物线的焦点坐标为，已知焦点，故， 因此抛物线方程为：. （2）（i）证明：由方程，故在点处切线的方程为， 则方程为方程为， 联立解得， 同理可得 则过点与垂直的直线为：，① 过点点与垂直的直线：，② ①－②可得： 故的垂心在定直线上 （ii）设，由（i）可知：的直线方程为， 将代入可得：， 同理可得， 故的直线方程为， 联立直线与抛物线得， 由弦长公式， 为了使的面积最大，必须保证处的切线与直线平行， 所以， 从而，又G点在曲线（）上，所以， 故的面积为： ， 所以当时，. 【变式7-2】（2026·河北邯郸·一模）已知是的两个顶点，是的重心，分别是边的中点，且．记点的轨迹为曲线． (1)求的方程． (2)若的面积为24，求点的坐标． (3)已知点，过的直线与曲线交于两点，直线与交于点，试判断是否在一条定直线上．若是，求出该直线方程；若不是，说明理由． 【答案】(1) (2)或或或 (3)是，直线 【解题思路】（1）根据已知及双曲线的定义写出的方程； （2）根据已知三角形面积及在双曲线上求出的坐标，结合重心的坐标性质确定点的坐标； （3）设的方程为，联立双曲线并应用韦达定理得，，写出直线与的方程，联立求出的轨迹，即可得. 【解答过程】（1）由题可知，，则． 又三点不共线，所以点的轨迹是以为焦点，4为实轴长的双曲线（不包含顶点）， 故的方程为； （2）设．因为的面积为24， 所以，得． 由，得． 因为是的重心， 所以或或或； （3）由题可知的斜率存在，可设的方程为． 由，得， 则，得，则，． 直线的方程为，直线的方程为， 则． 由，，得， 则，得， 故点在定直线上. 【变式7-3】（2026·北京朝阳·模拟预测）已知椭圆的离心率为，右焦点，且，直线交椭圆于，两点，交轴于点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线过右焦点，设，，求的值； (3)若已知，椭圆上下顶点分别为C，D，直线交直线于点，证明：点在定直线上． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【解题思路】（1）根据条件列方程组求解； （2）设直线的方程为，根据向量的坐标运算以及韦达定理化简； （3）直线的方程为，联立直线、的方程求出点的坐标，结合韦达定理化简得出. 【解答过程】（1）依题意可得，解得， 所以椭圆的标准方程为． （2）由（1）可得椭圆的右焦点， 由题意知直线的斜率存在，则设直线的方程为， ， ，， 联立，得， ∴，， 又，，，， ，， 则，， ∴，， ∴ ． （3）证明：依题意直线的斜率存在，设直线的方程为， 由（1）可得，， 设， ， 由，得， ∴，，， 则，， 又直线的方程为，直线的方程为， 解，即， 即， 得，所以，即， 所以 ， 所以点在定直线上． 一、单选题 1．（2026·云南红河·模拟预测）已知直线与抛物线相交于，两点，为坐标原点，若则直线过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】设直线，，将直线与抛物线方程联立，得到，，根据列出方程，解得，即可确定直线所过定点. 【解答过程】显然直线的斜率不为，且不经过坐标原点， 故设直线的方程为，，． 联立方程消去得， 则，所以． 因为，所以，即， 解得， 所以直线的方程为，则直线过定点． 故选：C． 2．（2026·江苏南通·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，如图，已知椭圆的左、右顶点为A、B，右焦点为F.设过点的直线TA、TB与此椭圆分别交于点M（x1，y1）、N（x2，y2），其中.则直线MN必过一定点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】通过联立方程组求得两点的坐标，进而确定定点的坐标. 【解答过程】依题意得， 直线的方程为， 由消去并化简得， ， 则， 所以. 直线的方程为， 由消去并化简得， ， 所以， 所以. 若，即， 即，即， ，则，所以， 此时直线过点. 若，依题意， 所以直线的方程为， ， ， 所以直线过点， 综上所述，直线过定点. 故选：A.    3．（2026·甘肃定西·一模）已知椭圆的离心率为是上任意一点，为坐标原点，到轴的距离为，则（    ） A．为定值 B．为定值 C．为定值 D．为定值 【答案】D 【解题思路】观察选项，设，从而表示出，再利用椭圆离心率的定义求得，进而得到椭圆方程，从而配凑出关于的式子，由此得解. 【解答过程】依题意，设，则， 因为椭圆的离心率为， 所以，解得， 所以的方程为，即，即， 所以，故D正确，显然ABC错误. 故选：D. 4．（2026·四川巴中·一模）两直线 和 分别与抛物线 相交于不同于原点的 两点， 则直线 恒过的点是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】联立直线与抛物线方程，求出的坐标，然后求出直线的方程，进而可求出结果. 【解答过程】因为两直线 和 分别与抛物线 相交于不同于原点的 两点， 所以分别联立直线与抛物线为： ，化简得和. 解得和，所以. 所以直线的斜率为，所以直线的方程为. 化简得，所以直线 恒过的点是. 故选：D. 5．（2026·山东泰安·三模）设双曲线C：的左、右焦点分别为，，P为C上一动点，则P到y轴的距离与P到，距离之和的比值（   ） A．恒为定值 B．恒为定值 C．不为定值但有最小值 D．不为定值但有最大值 【答案】A 【解题思路】设点，由两点间的距离公式得到P到y轴的距离与P到，距离之和的比为，再结合双曲线的定义即可判断. 【解答过程】不妨设点，且易有，，且，， 代入得P到y轴的距离与P到，距离之和的比值为 ， 由于P为双曲线C上一点，故等价于点到与的距离之差的绝对值，由双曲线定义知其等于2， 故原式等价于，为定值. 故选：A. 6．（25-26高二上·上海浦东新·期末）已知双曲线：，点P为曲线在第三象限一个动点，以下两个命题，则（    ） ①点P到双曲线两条渐近线的距离为，，则为定值. ②已知A、B是双曲线上关于原点对称不同于P的两个点，若PA、PB的斜率存在且分别为，，则为定值. A．①真②真 B．①假②真 C．①真②假 D．①假②假 【答案】A 【解题思路】根据给定条件，求出双曲线的渐近线方程，借助点到直线距离计算判断①，利用斜率坐标公式计算判断②作答. 【解答过程】依题意，设，且有，双曲线的渐近线为， 因此为定值，①真； 设，则，且，显然， 否则，之一垂直于y轴，由双曲线对称性知另一条必垂直于x轴，其斜率不存在，不符合题意， 则为定值，②真， 所以①真②真. 故选：A. 7．（2026·浙江台州·二模）已知点，，点P是抛物线上的动点（异于A，B两点），记直线AP的斜率为，直线BP的斜率为，则下列结论正确的是（   ） A．为定值 B．为定值 C．为定值 D．为定值 【答案】C 【解题思路】设（），利用两点斜率公式求，再分别求即可判断. 【解答过程】因为点是抛物线上异于的动点， 故设（）， 则，， 对于选项A，，不是定值，A错误； 对于选项B，，不是定值，B错误； 对于选项C，，为定值，C正确； 对于选项D，，不是定值，D错误. 故选：C． 8．（2026·河南信阳·模拟预测）已知椭圆C：的下顶点为A，斜率不为0的直线与C交于B，D两点，记线段的中点为E，若，则（    ） A．点E在定直线上 B．点E在定直线上 C．点E在定直线上 D．点E在定直线上 【答案】A 【解题思路】先设直线，然后根据韦达定理求出E点坐标，根据直线垂直列出方程求解,最后代入E点即可求出E所在直线. 【解答过程】由题意知,设直线l的方程为,设, 联立消去得, 所以 ， 所以 所以的中点， 因为, 所以 ， 即, 整理得, 所以E在定直线上， 故选:A. 二、多选题 9．（2026·浙江金华·模拟预测）已知椭圆为原点，过第一象限内椭圆外一点作椭圆的两条切线，切点分别为.记直线的斜率分别为，若，则（    ） A．直线过定点 B．为定值 C．的最大值为2 D．的最小值为4 【答案】BD 【解题思路】设直线的方程为，联立椭圆方程，得到两根之和，两根之积，由得到方程，求出，证明椭圆在处的切线方程为，从而得到椭圆在点和的切线方程，得到切点弦方程为，即可判断A；对照系数结合得到的轨迹方程，计算出，，求出，即可判断B；得到点轨迹的渐近线，即可判断C；先得到，设，则，联立双曲线方程，由根的判别式得到不等式，即可判断D. 【解答过程】由于，故不关于轴对称且的横纵坐标不为0， 所以直线方程斜率一定存在， 设直线的方程为，联立得， ， 设，则， 故 ， 其中， 故，即， 所以，解得， 下面证明椭圆在处的切线方程为， 理由如下： 当时，故切线的斜率存在，设切线方程为， 代入椭圆方程得：， 由，化简得：， 所以， 把代入，得：， 于是， 则椭圆的切线斜率为，切线方程为， 整理得到， 其中，故，即， 当时，此时或， 当时，切线方程为，满足， 当时，切线方程为，满足， 综上：椭圆在处的切线方程为； 故椭圆在点的切线方程为， 在点的切线方程为， 由于点为与的交点， 故，， 所以直线为， 因为直线的方程为，对照系数可得， 又，故，整理得， 又在第一象限， 故点的轨迹为双曲线位于第一象限的部分， A选项，直线为，所以直线不过定点，故A错误； B选项，，同理可得， 则， 为定值，故B正确； C选项，由于，，，故双曲线的一条渐近线为， 设，则，故无最大值，故C错误； D选项，由于，，，故， 设，则， 则两式联立得， 由得，， 检验，当时，，又， 解得，满足要求， 故的最小值为4，D正确. 故选：BD. 10．（2026·安徽阜阳·二模）已知抛物线 的焦点为，过F的直线与T交于A，B两点，点，直线，分别交T于C，D两点，则下列说法正确的是（   ）. A． B．（O为坐标原点）是钝角三角形 C．直线过定点 D． 【答案】BCD 【解题思路】由题设得抛物线，设直线为，联立方程并应用韦达定理得，，应用抛物线的定义判断A，由向量数量积的坐标表示确定夹角余弦值的符号判断B，设，，直线为，并联立抛物线，应用韦达定理，进而确定定点的存在性判断C，根据上述分析及三角形的面积表示判断D. 【解答过程】因为，所以T的方程为， 如图，由题意知直线的斜率不为0， 设直线的方程为，联立，消去x得， 设，，则，， A，由抛物线的定义可得，， 所以，， 易知，，显然，错误； B，因为点，在抛物线上， 所以，，故， 故， 又A，B，O三点不共线，所以为钝角，即为钝角， 所以为钝角三角形，正确； C，设，，直线的方程为， 由，消去x得， 所以，故，同理可得， 所以. 当直线的斜率存在时，， 所以直线的方程为， 化简得，即， 令，得，所以直线过定点. 当直线的斜率不存在时，易知， 所以，此时直线的方程为. 综上，直线过定点，正确； D，， ， 所以，正确. 故选：BCD. 11．（2026·山东·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为、，为坐标原点，左顶点为，点是的右支上一点，过点向双曲线两渐近线作垂线，垂足分别为、，则（   ） A．双曲线的离心率为 B．若直线与交于另一点，则的最小值为 C．为定值 D．若为的内心，则为定值 【答案】ACD 【解题思路】求出、的值，利用双曲线的离心率公式可判断A选项；设出直线的方程，将该直线方程与双曲线的方程联立，利用韦达定理和弦长公式可判断B选项；利用点到直线的距离公式可判断C选项；求出内心的坐标，分析可知点在双曲线上，结合双曲线的定义可判断D选项. 【解答过程】对于A选项，，，则， 故双曲线的离心率为，故A正确； 对于B选项，由题意可知，若直线的斜率不存在，此时直线的方程为， 联立可得，此时， 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，设点、， 联立，可得， 所以，解得， 由韦达定理可得，， 所以， 当时，， 当时，； 当时，， 综上所述，，故B错误； 对于C选项，设点，则， 双曲线的两渐近线方程分别为、， 则为定值，故C正确； 对于D选项，如下图所示： 设、，其中，易知点，， 则， ，， 因为为的内心，则与向量共线， 且， 所以①， 同理可知与向量共线，且， ， 所以②， 联立①②解得，， 因为 ， 所以在双曲线上，易知在双曲线的右支上， 故为定值，故D正确． 故选：ACD． 三、填空题 12．（2026高二·全国·专题练习）已知双曲线的右焦点为，过点作双曲线的两条互相垂直的弦，设的中点分别为.则直线过定点__________. 【答案】 【解题思路】设出直线的方程，点和点的坐标，求出点的坐标，联立求出韦达定理，分和两种情况即可求解. 【解答过程】 由题意可设，， 则，由得：， 与双曲线有两个交点，，则，， 当时，点与点重合，此时直线为轴， 当时，将上式点坐标中的换成，可得， ①当直线不垂直于轴时，， 则直线，化简得：，直线过定点， ②当直线垂直于轴时，，解得：，此时直线也过定点. 综上所述：直线过定点. 故答案为：. 13．（25-26高二上·湖北·阶段检测）已知，是抛物线上的两点，的焦点为，为坐标原点，上一点到焦点的距离为，若，则直线过定点__________. 【答案】 【解题思路】由抛物线的定义及焦半径公式求出，即可得到抛物线方程，设直线的方程为 ，，，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，由，得到，即可求出的值，从而得解. 【解答过程】抛物线的准线方程为， 根据抛物线的定义得，解得，所以抛物线， 依题意直线，，的斜率必存在， 设直线的方程为 ，，， 联立方程，消去整理得， 则，，， 因为， 所以， 即 ， 解得或（舍去），满足，此时直线的方程为， 所以直线过定点. 故答案为：. 14．（25-26高二下·四川泸州·开学考试）已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过两点，设过点的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足，则直线HN过定点___________． 【答案】 【解题思路】设出椭圆方程，将两给定点代入待定系数求解可得椭圆方程；再设出直线方程，与椭圆C的方程联立，设，分斜率是否存在两种情况讨论，依次用坐标表示出坐标，求解直线方程，进而利用韦达定理关系式探求定点可得. 【解答过程】设椭圆E的方程为， 由椭圆过点， 则，解得，， 所以椭圆E的方程为：. 直线的方程为，即. ①若过点的直线斜率不存在，则直线方程为， 方程中，令， 可得，，在直线AB方程中， 令可得， 由得到. 则HN方程：，直线过点. ②若过点的直线斜率存在，设. 联立得， ， 解得或. 由韦达定理可得， 所以， 且 ， 联立可得 则直线， 将点代入整理得， 将韦达定理所得各式代入可得 ， 即， 化简得显然成立， 综上可得，直线HN过定点 故答案为：.    四、解答题 15．（2026·吉林长春·模拟预测）已知椭圆：过点，且，为坐标原点，平行于的直线交椭圆于，两个不同的点. (1)求椭圆方程. (2)判断直线，斜率的和是否为定值，若是，求出定值；若不是，说明理由. 【答案】(1) (2)为定值零． 【解题思路】（1）由已知条件得关于的方程组，联立求解即可； （2）设、，将直线方程与椭圆联立，消元，得，由根与系数关系得：，再由斜率公式计算即可． 【解答过程】（1）由题意可得，解得， 所以椭圆方程为. （2）因为且直线平行于，所以可设直线的方程为． 由得 ， 设、，则 又 故， 又， 所以上式分子为 ， 故. 16．（2026·浙江·三模）已知双曲线的左顶点到其渐近线的距离为，过右焦点的任意直线与双曲线的右支交于M，N两点，且直线AM，AN与直线分别交于P，Q两点． (1)求双曲线的标准方程； (2)设直线FP，FQ的斜率分别为，则是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)是， 【解题思路】（1）根据题意列方程求出即可； （2）直线，联立双曲线方程，结合韦达定理表示出化简即可得解. 【解答过程】（1）由渐近线方程为得， 左顶点坐标为，则点到渐近线的距离， 解得，则， 双曲线的标准方程为 （2）设点， 依题意知直线的斜率不为0，设直线，与双曲线联立， 化简得， 则，， 根据韦达定理，可得 点坐标为 直线与直线的交点坐标为， 同理可得点. . 17．（2026·湖南湘潭·一模）已知椭圆：，过右焦点垂直于轴的直线被所截线段长为1． (1)求椭圆的离心率； (2)过直线上一点作椭圆的两条切线，，切点分别为，． （ⅰ）证明：直线过定点； （ⅱ）求面积的最大值． 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析 （ⅱ） 【解题思路】（1）利用椭圆通径公式求出基本量，计算离心率； （2）（i）借助切点处切线方程，利用点在两条切线上，得到切点弦的直线方程，证明直线过定点； （ii）将三角形面积表达为参数t的函数，通过换元，结合对勾函数性质求解面积的最大值. 【解答过程】（1）此椭圆，过焦点垂直于轴的弦即通径， 长为，得，，故． （2）（i）证明：由（1）．设，，设切线的方程为， 联立整理得， 由，得， 因为在椭圆上，所以，则，则， 所以过与相切的直线方程为，即的方程为， 同理的方程为， 又因为，都经过点，所以， 显然，在直线上，即直线方程为， 所以直线过定点. （ii）联立直线与椭圆方程得． ，. ， 设，原式 ， 所以当即，点，切线，关于轴对称时， 取最大值为． 18．（2026·黑龙江哈尔滨·三模）已知分别是双曲线：的左、右顶点，点是双曲线上的一点，且． (1)求双曲线的方程； (2)已知过点的直线：，交双曲线的左、右两支于两点（异于）. （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）设直线与直线交于点，求证：点在定直线上． 【答案】(1) (2)（i）的取值范围为； （ii）证明见解析 【解题思路】（1）根据求出或，验证后不符合题意舍去，然后求出，得到双曲线方程； （2）（i）由题意知，直线的方程为，设，，联立双曲线和直线方程，结合根的判别式和得到不等式组，从而求出的取值范围； （ii）在（i）的基础上，得到两根之和，两根之积，得到，表达出直线与直线的方程，联立得到，将代入，化简得到即可得证． 【解答过程】（1） 由题意可知，，， 因为，解得或， 若，则双曲线的方程为， 因为是上一点，所以，解得，不满足题意； 若，则双曲线的方程为， 因为是上一点，所以，解得，满足题意； 所以双曲线的方程为； （2） （ⅰ）由题意知，直线的方程为，设，， 联立，化简得， 因为直线与双曲线左右两支相交，所以， 所以，解得或， 所以的取值范围为； （ⅱ）证明：，，则， 直线的方程为①，直线的方程为②， 联立①②得，所以， 化简得， 所以， 所以点的横坐标始终为，故点在定直线上． 19．（2026·甘肃金昌·二模）已知抛物线，过抛物线上一点作两条直线分别交抛物线于两点，直线的斜率分别为，且. (1)求抛物线的方程. (2)证明：直线过定点. (3)记直线经过的定点为为直线上一点（异于点），且满足，证明点在某定直线上，并求出该定直线的方程. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析，定直线的方程为 【解题思路】（1）将点的坐标代入抛物线方程得出，进而得出抛物线； （2）设， 求出直线的方程为，结合，化简计算可得 ，即可得到结论. （3）由（2）知，，设，设直线的方程为.代入抛物线联立方程组，将转化为，化简计算可得到结论. 【解答过程】（1）将点的坐标代入抛物线的方程可得，解得（舍去）或，故抛物线的方程为. （2）证明：由（1）可知点的坐标，设， 则. 由，得，所以， . .所以直线的方程为， 即，整理得. 又， 从而直线的方程为，化简得， 因此直线过定点. （3）由（2）知，设，易知直线的斜率不为0， 设直线的方程为.由消去. 得.则. 因为.所以. 即， 当时，，化简得， 与直线的斜率不为0矛盾，不合题意； 当时，化简得， . 即.又. 可得，所以，即， 所以点在直线上. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点25 圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题 【全国通用】 【题型1 直线过定点问题】 2 【题型2 存在定点满足某条件问题】 3 【题型3 面积定值问题】 5 【题型4 斜率的和差商积定值问题】 6 【题型5 线段定值问题】 8 【题型6 圆锥曲线中其他定值问题】 9 【题型7 圆锥曲线中的定直线问题】 11 1、圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题 圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题是高考的重点、热点内容。从近三年的高考情况来看，此类问题考查频率较高，此类问题一般有直线过定点问题、满足某条件的定点问题、定值问题以及定直线问题等热点问题，主要在解答题中进行考查，在选择、填空题中考查较少，在解答题中考查时综合性强，难度较高，复习时要加强这方面的训练，学会灵活求解。 考点1 圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题 知识点1 圆锥曲线中的定点、定值问题 1．圆锥曲线中的定点、定值问题 圆锥曲线中的定点定值问题一般与圆锥曲线的基本量和题设条件中的给定的点或值有关，曲线过定点问题以直线过定点居多，定点问题其实也可以归结到定值问题(定点的横纵坐标为定值).这类问题用函数的思想方法来处理，具体操作流程如下： (1)变量——选择合适的参变量； (2)函数——要证明为定值的量表示出参数的函数； (3)定值——化简函数解析式，消去参数得定值. 一些存在性问题，是否存在定点使得某一个量为定值，是否存在定值使得某一量为定值，是否存在定点使得曲线过定点，是否存在定值使得曲线过定点，可以看做定点定值问题的延伸. 2．定点问题的求解思路： 一是从特殊入手，求出定点，再证明这个点与变量无关； 二是直接推理、计算，并在计算过程中消去变量，从而得到定点. 3．过定点问题的两大类型及解法 (1)动直线l过定点问题 解法：设动直线方程（斜率存在）为，由题设条件将t用k表示为，得，故动直线过定点； (2)动曲线C过定点问题 解法：引入参变量建立曲线C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点． 4．定值问题的求解思路： 将问题涉及的几何式转化为代数式或三角式，证明该式的值与参数无关. 5．求解定值问题的三个步骤 (1)由特例得出一个值，此值一般就是定值； (2)证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数（某些变量）无关；也可令系数等于零，得出定值； (3)得出结论． 知识点2 圆锥曲线中的定直线问题 1．圆锥曲线中的定直线问题 定直线问题是指因图形变化或点的移动而产生的动点在定直线上的问题.这类问题的核心在于确定定点的轨迹，主要方法有： (1)设点法：设点的轨迹，通过已知点轨迹，消去参数，从而得到轨迹方程； (2)待定系数法：设出含参数的直线方程、待定系数法求解出系数； (3)验证法：通过特殊点位置求出直线方程，对一般位置再进行验证. 【题型1 直线过定点问题】 【例1】（2026·北京·三模）已知椭圆：的离心率为，为椭圆上一点，且点到椭圆的两个焦点的距离之和等于． (1)求椭圆的方程； (2)设，，过点的直线与椭圆交于，两点，连接，分别交椭圆于，两点，求证：直线过定点． 【变式1-1】（2026·贵州贵阳·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，离心率为2，且过点. (1)求双曲线的方程； (2)过的直线与双曲线交于A，B两点，过点作直线的垂线，垂足为.求证：直线BD过定点. 【变式1-2】（2026·陕西榆林·模拟预测）已知A，B是抛物线上异于坐标原点O的两点． (1)若C的焦点恰好是的垂心，求； (2)若直线OA与直线OB的斜率之积为． （ⅰ）求证：直线AB恒过定点； （ⅱ）已知点G是线段AB的中点，点关于直线AB的对称点N在C上，求的面积． 【变式1-3】（2026·湖南邵阳·模拟预测）已知椭圆的短轴长为，离心率为． (1)求椭圆的标准方程； (2)设点分别为椭圆的上、下顶点，直线与椭圆交于两点，点不在上，直线，的斜率分别为，．若， （ⅰ）证明：直线过定点； （ⅱ）过点作直线的垂线，垂足为点．当的面积取得最大值时，求直线的斜率． 【题型2 存在定点满足某条件问题】 【例2】（2026·山东聊城·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上． (1)求椭圆的标准方程． (2)若过点的动直线与椭圆交于，两点，是否存在与点不同的定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式2-1】（2026·陕西安康·三模）已知抛物线经过点，其焦点为，过点的直线交于M，N两点． (1)求的方程； (2)若的斜率为1，分别求在点M，N处的切线方程； (3)直线上是否存在定点，使得DB平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式2-2】（2026·湖北武汉·模拟预测）已知椭圆（）经过点，两点，过点的直线与C交于M，N两点，且直线，与直线分别交于点P和点Q. (1)求C的方程； (2)求的面积的最大值； (3)证明：存在定点E，使得以为直径的圆恒过点E. 【变式2-3】（2026·湖北宜昌·二模）已知双曲线的焦点到一条渐近线的距离为，且点在双曲线上． (1)求双曲线的方程； (2)斜率为的直线与双曲线的右支交于、两点（异于点）． ①求直线、的斜率之和； ②若的外接圆圆心为，试问在轴上是否存在定点使为定值，若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由． 【题型3 面积定值问题】 【例3】（2026·福建厦门·模拟预测）已知椭圆的左右焦点分别为，，离心率为，且，直线l过点且与C相交于A，B两点． (1)求C的方程； (2)若的面积为，求； (3)过点A作直线的垂线，垂足为P，求证：为定值． 【变式3-1】（2026·全国·模拟预测）已知动点与定点的距离与它到定直线的距离的比是常数． (1)求动点的轨迹方程； (2)过上述轨迹上一点作轨迹的切线与两直线分别交于，两点，证明：三角形的面积是定值． 【变式3-2】（2026·贵州安顺·模拟预测）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过且垂直于轴的直线与及其渐近线自上而下交于点，，，，且，双曲线的渐近线方程为. (1)求的标准方程. (2)设的左、右顶点分别为，，过点且与轴不垂直的直线交于，两点，直线与相交于点，则的面积是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 【变式3-3】（2026·山东聊城·模拟预测）已知抛物线的焦点为，准线与抛物线对称轴的交点为为抛物线上的动点，当的纵坐标为时，取得最小值. (1)求抛物线的方程； (2)设点为坐标原点，过点作直线与曲线交于两点，作直线与曲线交于两点，分别为的中点，直线与的斜率满足.试判断与的面积之比是否为定值？若是，求出此定值；若不是，说明理由. 【题型4 斜率的和差商积定值问题】 【例4】（2026·安徽阜阳·二模）已知双曲线C：的焦距为8，点在双曲线C的一条渐近线上.过双曲线C的左焦点F作直线l交双曲线C的左支于A，B两点. (1)求双曲线C的方程； (2)已知点，直线交直线于点Q，设直线，的斜率分别为，，求证：为定值. 【变式4-1】（2026·广东佛山·模拟预测）已知椭圆：的上下顶点分别为，，右焦点的坐标为．点是椭圆上位于第一象限或正半轴上的动点，设直线，的斜率为，，且． (1)求椭圆的方程； (2)过点作圆的切线交椭圆于点（点位于点的下方）． （ⅰ）求线段的最大值； （ⅱ）设直线的斜率为，请判断是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【变式4-2】（2026·甘肃白银·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，点在C上，且，其中O为坐标原点，过点的直线l与C相交. (1)求C的方程； (2)若l与C仅有一个公共点且斜率存在，求l的斜率； (3)若l与C交于M，N两点，记直线OM与直线ON的斜率分别为，，证明： 为定值，并求出该定值. 【变式4-3】（2026·浙江·模拟预测）已知椭圆：（）的离心率为，其右顶点为，直线过抛物线：的焦点，且与交于，两点，直线，分别与椭圆在轴的右侧部分交于，两点（为坐标原点）． (1)求椭圆的标准方程； (2)记直线，的斜率分别为，，求证：为定值； (3)记，的面积分别为，，求的最大值． 【题型5 线段定值问题】 【例5】（2026·江苏·模拟预测）已知椭圆的焦距为，过点的直线与交于两点，为的中点，为坐标原点.设的斜率为，直线的斜率为，. (1)求椭圆的方程； (2)若为直角三角形，求的值； (3)直线交轴于点，点关于轴的对称点为，直线交轴于点，探究：是否为定值？ 【变式5-1】（2026·甘肃·二模）已知抛物线过点. (1)求抛物线的方程； (2)过作抛物线的切线，连接，作的平行线交于两点，交于点，若，判断是否为定值，若是，求出此定值；若不是，说明理由. 【变式5-2】（2026·贵州毕节·三模）动点与定点的距离和D到定直线的距离的比是常数. (1)求动点D的轨迹方程； (2)设动点D的轨迹为曲线，，是曲线过原点O的两条弦，且，求证：为定值； (3)在（2）的条件下，求的面积的取值范围. 【变式5-3】（2026·湖南长沙·三模）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，虚轴长为2，且点在双曲线上． (1)求双曲线的方程． (2)斜率为的直线与双曲线的右支交于，两点（异于点）． ①若直线，的斜率分别记为，，，求的值． ②若的外接圆圆心为，试问在轴上是否存在定点使为定值？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【题型6 圆锥曲线中其他定值问题】 【例6】（2026·宁夏银川·三模）已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，实轴长为，点到双曲线的渐近线的距离为1，过的直线与交右支于，两点. (1)求双曲线的方程； (2)证明：存在轴上的一点，使得为定值. 【变式6-1】（2026·河北邯郸·二模）已知椭圆的下、上焦点分别为，，点，，四边形的面积为4，椭圆E的长轴长是短轴长的倍，椭圆E上有一动点M，连接MP并延长与椭圆E交于点R，连接MQ并延长与椭圆E交于点S（与R不重合），记，． (1)求椭圆E的方程； (2)求面积的最大值； (3)试判断是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由． 【变式6-2】（2026·重庆·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，过点的圆与直线相切，设圆心的轨迹为曲线． (1)求的方程； (2)已知点，过点的直线与有两个不同的交点，，记直线交轴于点，直线交轴于点N，若，试判断是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【变式6-3】（2026·广东深圳·模拟预测）已知角的顶点为，在的两边上截取，连接，在线段上取一点，使得，记的中点为，以为中心，为顶点作离心率为2的双曲线，以为圆心，为半径作圆，与双曲线左支交于点（射线在内部），则.在上述作法中，以为原点，直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，若，点在轴的上方. (1)求双曲线的方程； (2)若过点且与轴垂直的直线交轴于点，点到直线的距离为. 证明：①为定值； ②. 【题型7 圆锥曲线中的定直线问题】 【例7】（2026·河北·二模）已知双曲线 的离心率为点在上. (1)求的方程. (2)已知A，B分别为的左、右顶点，过点的直线与Γ的右支交于C，D两点. （i）若直线BC和BD的斜率分别为，求; （ii）若直线BC交直线于点N，直线AD和直线MN的交点为Q，证明：点Q在定直线上. 【变式7-1】（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知抛物线焦点为，，，为抛物线上的三个动点，且. (1)求拋物线的方程； (2)过分别作抛物线的三条切线，分别为，，，，交于点，，交于点E，，交于点. （i）证明：的垂心在一条定直线上； （ii）已知G点在曲线（）上，求的面积的最大值. 【变式7-2】（2026·河北邯郸·一模）已知是的两个顶点，是的重心，分别是边的中点，且．记点的轨迹为曲线． (1)求的方程． (2)若的面积为24，求点的坐标． (3)已知点，过的直线与曲线交于两点，直线与交于点，试判断是否在一条定直线上．若是，求出该直线方程；若不是，说明理由． 【变式7-3】（2026·北京朝阳·模拟预测）已知椭圆的离心率为，右焦点，且，直线交椭圆于，两点，交轴于点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线过右焦点，设，，求的值； (3)若已知，椭圆上下顶点分别为C，D，直线交直线于点，证明：点在定直线上． 一、单选题 1．（2026·云南红河·模拟预测）已知直线与抛物线相交于，两点，为坐标原点，若则直线过定点（    ） A． B． C． D． 2．（2026·江苏南通·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，如图，已知椭圆的左、右顶点为A、B，右焦点为F.设过点的直线TA、TB与此椭圆分别交于点M（x1，y1）、N（x2，y2），其中.则直线MN必过一定点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 3．（2026·甘肃定西·一模）已知椭圆的离心率为是上任意一点，为坐标原点，到轴的距离为，则（    ） A．为定值 B．为定值 C．为定值 D．为定值 4．（2026·四川巴中·一模）两直线 和 分别与抛物线 相交于不同于原点的 两点， 则直线 恒过的点是（ ） A． B． C． D． 5．（2026·山东泰安·三模）设双曲线C：的左、右焦点分别为，，P为C上一动点，则P到y轴的距离与P到，距离之和的比值（   ） A．恒为定值 B．恒为定值 C．不为定值但有最小值 D．不为定值但有最大值 6．（25-26高二上·上海浦东新·期末）已知双曲线：，点P为曲线在第三象限一个动点，以下两个命题，则（    ） ①点P到双曲线两条渐近线的距离为，，则为定值. ②已知A、B是双曲线上关于原点对称不同于P的两个点，若PA、PB的斜率存在且分别为，，则为定值. A．①真②真 B．①假②真 C．①真②假 D．①假②假 7．（2026·浙江台州·二模）已知点，，点P是抛物线上的动点（异于A，B两点），记直线AP的斜率为，直线BP的斜率为，则下列结论正确的是（   ） A．为定值 B．为定值 C．为定值 D．为定值 8．（2026·河南信阳·模拟预测）已知椭圆C：的下顶点为A，斜率不为0的直线与C交于B，D两点，记线段的中点为E，若，则（    ） A．点E在定直线上 B．点E在定直线上 C．点E在定直线上 D．点E在定直线上 二、多选题 9．（2026·浙江金华·模拟预测）已知椭圆为原点，过第一象限内椭圆外一点作椭圆的两条切线，切点分别为.记直线的斜率分别为，若，则（    ） A．直线过定点 B．为定值 C．的最大值为2 D．的最小值为4 10．（2026·安徽阜阳·二模）已知抛物线 的焦点为，过F的直线与T交于A，B两点，点，直线，分别交T于C，D两点，则下列说法正确的是（   ）. A． B．（O为坐标原点）是钝角三角形 C．直线过定点 D． 11．（2026·山东·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为、，为坐标原点，左顶点为，点是的右支上一点，过点向双曲线两渐近线作垂线，垂足分别为、，则（   ） A．双曲线的离心率为 B．若直线与交于另一点，则的最小值为 C．为定值 D．若为的内心，则为定值 三、填空题 12．（2026高二·全国·专题练习）已知双曲线的右焦点为，过点作双曲线的两条互相垂直的弦，设的中点分别为.则直线过定点__________. 13．（25-26高二上·湖北·阶段检测）已知，是抛物线上的两点，的焦点为，为坐标原点，上一点到焦点的距离为，若，则直线过定点__________. 14．（25-26高二下·四川泸州·开学考试）已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过两点，设过点的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足，则直线HN过定点___________． 四、解答题 15．（2026·吉林长春·模拟预测）已知椭圆：过点，且，为坐标原点，平行于的直线交椭圆于，两个不同的点. (1)求椭圆方程. (2)判断直线，斜率的和是否为定值，若是，求出定值；若不是，说明理由. 16．（2026·浙江·三模）已知双曲线的左顶点到其渐近线的距离为，过右焦点的任意直线与双曲线的右支交于M，N两点，且直线AM，AN与直线分别交于P，Q两点． (1)求双曲线的标准方程； (2)设直线FP，FQ的斜率分别为，则是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 17．（2026·湖南湘潭·一模）已知椭圆：，过右焦点垂直于轴的直线被所截线段长为1． (1)求椭圆的离心率； (2)过直线上一点作椭圆的两条切线，，切点分别为，． （ⅰ）证明：直线过定点； （ⅱ）求面积的最大值． 18．（2026·黑龙江哈尔滨·三模）已知分别是双曲线：的左、右顶点，点是双曲线上的一点，且． (1)求双曲线的方程； (2)已知过点的直线：，交双曲线的左、右两支于两点（异于）. （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）设直线与直线交于点，求证：点在定直线上． 19．（2026·甘肃金昌·二模）已知抛物线，过抛物线上一点作两条直线分别交抛物线于两点，直线的斜率分别为，且. (1)求抛物线的方程. (2)证明：直线过定点. (3)记直线经过的定点为为直线上一点（异于点），且满足，证明点在某定直线上，并求出该定直线的方程. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $