专题04 数列-2025年高三数学寒假作业

夏津县双语中学高三数学寒假作业 班级_______________ 姓名_______________ 04数列（B卷） 1、 单选题 1．记为等差数列的前项和．若，则（    ） A．25 B．22 C．20 D．15 2． 数列中，，对任意 ，若，则 （ ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a5–a3=12，a6–a4=24，则=（    ） A．2n–1 B．2–21–n C．2–2n–1 D．21–n–1 4．《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出，中国共产党党旗为旗面缀有金黄色党徽图案的红旗，通用规格有五种.这五种规格党旗的长(单位:cm)成等差数列，对应的宽为(单位: cm),且长与宽之比都相等，已知，，，则 A．64 B．96 C．128 D．160 5．已知是各项均为整数的递增数列，且，若，则的最大值为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 6．已知数列是等差数列，数列是等比数列，若，则（    ） A．2 B． C． D． 7．设数列的前项之积为，满足（），则（    ） A． B． C． D． 二、填空题 8．我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，则 ；数列所有项的和为 ． 9．已知数列满足，且，则数列的通项公式为 ． 三、解答题 10．已知等比数列的各项均为正数，其前项和为，且，，成等差数列，． (1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和． 04数列（A卷） 一、多选题 1．已知数列满足，则下列结论正确的有（　　） A．为等比数列 B．的通项公式为 C．为递增数列 D．的前n项和 2．等差数列中，，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，则， 3．如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，….设第层有个球，从上往下层球的总数为，则（    ） A． B． C．， D． 二、解答题 4．设数列的前项和为，已知. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，数列的前项和为，都有，求的取值范围. 5．记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S9=－a5． （1）若a3=4，求{an}的通项公式； （2）若a1>0，求使得Sn≥an的n的取值范围． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 04数列（B）解析 一、单选题 1．记为等差数列的前项和．若，则（    ） A．25 B．22 C．20 D．15 【答案】C 【知识点】利用等差数列的性质计算、求等差数列前n项和、等差数列前n项和的基本量计算 【分析】方法一：根据题意直接求出等差数列的公差和首项，再根据前项和公式即可解出； 方法二：根据等差数列的性质求出等差数列的公差，再根据前项和公式的性质即可解出． 【详解】方法一：设等差数列的公差为，首项为，依题意可得， ，即, 又，解得：， 所以． 故选：C. 方法二：，，所以，， 从而，于是， 所以． 故选：C. 2．数列中，，对任意 ，若，则 （ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【知识点】等比数列前n项和的其他性质 【分析】取，可得出数列是等比数列，求得数列的通项公式，利用等比数列求和公式可得出关于的等式，由可求得的值. 【详解】在等式中，令，可得，， 所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，则， ， ，则，解得. 故选：C. 【点睛】本题考查利用等比数列求和求参数的值，解答的关键就是求出数列的通项公式，考查计算能力，属于中等题. 3．记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a5–a3=12，a6–a4=24，则=（    ） A．2n–1 B．2–21–n C．2–2n–1 D．21–n–1 【答案】B 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、求等比数列前n项和 【分析】根据等比数列的通项公式，可以得到方程组，解方程组求出首项和公比，最后利用等比数列的通项公式和前项和公式进行求解即可. 【详解】设等比数列的公比为， 由可得：， 所以， 因此. 故选：B. 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式的基本量计算，考查了等比数列前项和公式的应用，考查了数学运算能力. 4．《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出，中国共产党党旗为旗面缀有金黄色党徽图案的红旗，通用规格有五种.这五种规格党旗的长(单位:cm)成等差数列，对应的宽为(单位: cm),且长与宽之比都相等，已知，，，则 A．64 B．96 C．128 D．160 【答案】C 【知识点】求等差中项 【分析】设等差数列公差为，求得，得到，结合党旗长与宽之比都相等和，列出方程，即可求解. 【详解】由题意，五种规格党旗的长(单位:cm)成等差数列，设公差为， 因为，，可得， 可得， 又由长与宽之比都相等，且，可得，所以. 故选：C. 5．已知是各项均为整数的递增数列，且，若，则的最大值为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、求等差数列前n项和 【分析】使数列首项、递增幅度均最小，结合等差数列的通项及求和公式求得可能的最大值，然后构造数列满足条件，即得到的最大值． 【详解】 若要使n尽可能的大，则，递增幅度要尽可能小， 不妨设数列是首项为3，公差为1的等差数列，其前n项和为， 则，， 所以. 对于，， 取数列各项为(，, 则， 所以n的最大值为11． 故选：C． 6．已知数列是等差数列，数列是等比数列，若，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用等差数列的性质计算、等比数列下标和性质及应用 【分析】根据等差、等比数列的性质分析求解. 【详解】由题意可得，解得， 所以. 故选：C. 7．设数列的前项之积为，满足（），则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由递推关系式求通项公式、利用定义求等差数列通项公式、由递推关系证明数列是等差数列 【分析】由已知递推式可得数列是等差数列，从而可得，进而可得的值． 【详解】因为， 所以，即，所以， 所以，显然， 所以， 所以数列是首项为，公差为2的等差数列， 所以， 即，所以． 故选：C． 二、填空题 8．我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，则 ；数列所有项的和为 ． 【答案】 48 384 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等比中项的应用、等比数列通项公式的基本量计算、求等比数列前n项和 【分析】方法一：根据题意结合等差、等比数列的通项公式列式求解，进而可求得结果；方法二：根据等比中项求，在结合等差、等比数列的求和公式运算求解. 【详解】方法一：设前3项的公差为，后7项公比为， 则，且，可得， 则，即，可得， 空1：可得， 空2： 方法二：空1：因为为等比数列，则， 且，所以； 又因为，则； 空2：设后7项公比为，则，解得， 可得，所以. 故答案为：48；384. 9．已知数列满足，且，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、构造法求数列通项 【详解】在等式两边取到数，推导出数列为等差数列，确定该数列的首项和公差，即可求得数列的通项公式，进而可求得数列的通项公式. 【分析】因为数列满足，且，则， ，， 以此类推可知，对任意的，， 在等式两边取倒数可得，则， 所以数列是首项为，公差为的等差数列. 所以，，所以，. 故答案为：. 三、解答题 10．已知等比数列的各项均为正数，其前项和为，且，，成等差数列，． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【知识点】写出等比数列的通项公式、等比数列通项公式的基本量计算、错位相减法求和 【分析】（1）利用，，成等差数列以及求出首项和公比，再利用等比数列的通项公式写出即可； （2）由（1）将数列的通项公式代入中化简，再利用错位相减法求和即可. 【详解】（1）设数列的公比为， 因为，，成等差数列， 所以， 即， 解得或， 因为各项均为正数， 所以， 所以， 由， 得， 解得， 所以. （2）由（1）知，， 则， 所以， 两式相减可得， 整理可得． 04数列（A）解析 一、多选题 1．已知数列满足，则下列结论正确的有（　　） A．为等比数列 B．的通项公式为 C．为递增数列 D．的前n项和 【答案】ABD 【分析】根据已知证明为定值即可判断A；由A选项结合等比数列的通项即可判断B；作差判断的符号即可判断C；利用分组求和法即可判断D. 【详解】因为， 所以+3，所以， 又因为， 所以数列是以4为首项，2为公比的等比数列，故A正确； ，即，故B正确； 因为， 因为，所以， 所以，所以为递减数列，故C错误； ， 则，故D正确. 故选：ABD. 2．等差数列中，，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，则， 【答案】ACD 【分析】根据给定条件，结合等差数列的性质、前n项和公式逐项分析判断即得. 【详解】等差数列中，， 对于A，，，A正确； 对于B，，则，， 则，，因此，即，B错误； 对于C，，则，C正确； 对于D，设的公差为，由，得，解得， 则，，D正确. 故选：ACD 3．如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，….设第层有个球，从上往下层球的总数为，则（    ） A． B． C．， D． 【答案】ACD 【分析】根据，，的值，可得，利用累加法可得，再计算前项的和可判断A；由递推关系可判断B；由可判断C；利用裂项求和可判断D，进而可得正确选项. 【详解】因为， ， ， ……， ， 以上个式子累加可得：， 所以，故选项A正确； 由递推关系可知：，故选项B不正确； 当，，故选项C正确； 因为， 所以 ，故选项D正确； 故选：ACD. 二、解答题 4．设数列的前项和为，已知. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，数列的前项和为，都有，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先可以根据已知得到，其次注意到，结合等比数列的定义即可求解. （2）由（1）可知，先将数列的通项公式裂项得，从而可求得其前项和为，若，都有，则只需，研究的单调性即可得到其最小值，从而解不等式即可求解. 【详解】（1）一方面：因为，所以， 所以，即； 另一方面：又时，有，即，且， 所以此时； 结合以上两方面以及等比数列的概念可知数列是首先为，公比为的等比数列， 所以数列的通项公式为. （2）由（1）可知， 又由题意， 数列的前项和为， 又，都有，故只需， 而关于单调递增， 所以关于单调递减，关于单调递增， 所以当时，有， 因此，即，解得， 综上所述：的取值范围为. 5．记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S9=－a5． （1）若a3=4，求{an}的通项公式； （2）若a1>0，求使得Sn≥an的n的取值范围． 【答案】（1）； （2）. 【分析】（1）首项设出等差数列的首项和公差，根据题的条件，建立关于和的方程组，求得和的值，利用等差数列的通项公式求得结果； （2）根据题意有，根据，可知，根据，得到关于的不等式，从而求得结果. 【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为， 根据题意有， 解答，所以， 所以等差数列的通项公式为； （2）由条件，得，即， 因为，所以，并且有，所以有， 由得，整理得， 因为，所以有，即， 解得， 所以的取值范围是： 【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等差数列的通项公式，等差数列的求和公式，在解题的过程中，需要认真分析题意，熟练掌握基础知识是正确解题的关键. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$