精品解析：江苏省扬州市仪征市2024-2025学年八年级上学期11月期中数学试题

2024~2025学年度第一学期期中试题 八年级 数学 （考试时间：120分钟 总分：150分） 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分，下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的，请将正确选项前的字母填涂在答题卡中相应的位置上） 1. 汉字是中华文明的标志，从甲骨文到后来的金文、小篆、隶书、楷书、草书、行书等多种字体，每种字体都有着各自鲜明的艺术特征．下面的小篆是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此进行判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、是轴对称图形，故此选项符合题意； C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 2. 已知图中的两个三角形全等，则的度数为（ ） A. B. C. D. 、、都可以 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的性质解答即可，熟练掌握全等三角形的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵图中的两个三角形全等， ∴， 故选：A． 3. 下列几组数，不能作为直角三角形三边长的是（ ） A. 3，4，5 B. 5，12，13 C. 20，30，40 D. 15，20，25 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，根据三角形两短边的平方和等于长边的平方的三角形为直角三角形逐项分析即可得解，熟练掌握勾股定理逆定理是解此题的关键． 【详解】解：A、∵，∴3，4，5能作为直角三角形三边长，故不符合题意； B、∵，∴5，12，13能作为直角三角形三边长，故不符合题意； C、∵，∴20，30，40不能作为直角三角形三边长，故符合题意； D、∵，∴15，20，25能作为直角三角形三边长，故不符合题意； 故选：C． 4. 如图是一个平分角的简单仪器，其中，，将点A放在角的顶点，和沿着角的两边放下，沿画一条射线，则就是的平分线．在这个过程中与全等，全等的理由是（ ） A. 边角边 B. 角角边 C. 角边角 D. 边边边 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，根据证明即可得解． 【详解】解：在与中， ， ∴， ∴， ∴就是的平分线， 故选：D． 5. 如图，是等边三角形，，是的平分线，延长到E，使，则的长为（ ） A. 7 B. 8 C. D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要查了等边三角形的性质．根据等边三角形的性质，可得，，即可求解． 【详解】解：由题意可知：， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 6. 如图，中，，，要求用圆规和直尺作图，把它分成两个三角形，其中一个三角形是等腰三角形，其作法错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查尺规作图和等腰三角形的判定，对各项的尺规作图分析，再根据等腰三角形的判定判断即可，解题的关键是掌握基本的尺规作图，熟练掌握垂直平分线的性质的应用． 【详解】、由图可知，以点为圆心，为半径画弧，交于点， ∴， ∴是等腰三角形，不合题意； 、由图可知，分别以点，点为圆心，大于为半径画圆弧，连接弧线，交于点，交于点， ∴和不一定等腰三角形，符合题意； 、由图可知，分别以点，点为圆心，大于为半径画圆弧，连接弧线，交于点，交于点， ∴是等腰三角形，不符合题意； 、由图可知，分别以点，点为圆心，大于为半径画圆弧，连接弧线，交于点，交于点， ∴和是等腰三角形，不符合题意； 故选：． 7. 《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”意思是：“今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分还有3尺，拉着绳索沿地面退行，在离木柱根部8尺处时，绳索用尽，如图，问绳索长多少？”设绳索长x尺，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理得应用，设绳索长x尺，由题意并结合勾股定理即可列出方程，熟练掌握勾股定理是解此题的关键． 【详解】解：设绳索长x尺， 由题意并结合勾股定理可得：， 故选：A． 8. 如图，中，和的平分线相交于点G，过点G作交于E，交于F，过点G作于D，下列正确的结论数量是（ ） ①； ②； ③点G到三边的距离相等；④设，，则． A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理、三角形内心、角平分线的定义，由角平分线的定义结合平行线的性质可得，，由等角对等边可得，，即可判断①；由角平分线的定义可得，，再由三角形内角和定理即可判断②；由题意可得点G是的内心，即可判断③；连接，根据计算即可判断④． 【详解】解：∵和的平分线相交于点G， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，故①正确； ∵和的平分线相交于点G， ∴，， ∴ ，故②错误； ∵和的平分线相交于点G， ∴点G是的内心，即点G到三边的距离相等，故③正确； 连接， ∵点G是的内心，，， ∴，故④错误； 综上所述，正确的有①③，共2个， 故选：C． 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分） 9. 等腰三角形的一个底角为，则它的顶角的度数是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理．根据等腰三角形两底角相等，结合三角形的内角和定理，进行求解即可． 【详解】解：∵等腰三角形的一个底角为， ∴另一个底角的度数也为， ∴它的顶角的度数是； 故答案为：． 10. 如图，∠1＝∠2，要使△ABC≌△BAD，还需添加一个条件是_____（只需写出一种情况） 【答案】BC=AD或∠C=∠D或∠CAB=∠DBA或∠CAD=∠DBC 【解析】 【分析】由于∠1＝∠2，加上公共边AB，则根据全等三角形的判定方法可添加条件． 【详解】解：∵∠1＝∠2，AB＝BA， ∴当添加BC＝AD时，可根据“SAS”判断△ABC≌△BAD； 当添加∠C＝∠D时，可根据“AAS”判断△ABC≌△BAD； 当添加∠CAB＝∠DBA时，可根据“ASA”判断△ABC≌△BAD； 当添加∠CAD＝∠DBC时，则∠C＝∠D或∠CAB＝∠DBA，可根据“AAS”或“SAS”判断△ABC≌△BAD； 故答案为：BC＝AD或∠C＝∠D或∠CAB＝∠DBA或∠CAD＝∠DBC． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键.选用哪一种判定方法，取决于题目中的已知条件． 11. 若三角形三边之比为3：4：5，周长为24，则三角形面积_____________. 【答案】24 【解析】 【分析】设三角形的三边是3 ，4，5，根据周长公式可求得三边的长，证明三角形为直角三角形，再根据面积公式即可求得其面积． 【详解】解：设三角形的三边是3 ，4，5，则3+4+5＝24，解得＝2， ∴三角形的三边是6，8，10 ∵ ∴三角形是直角三角形，两直角边长分别为6,8 ∴三角形的面积＝×6×8＝24 故答案为：24 【点睛】能够根据三边的比值和周长计算三角形的三边，再根据勾股定理的逆定理判定三角形的形状，从而计算其面积即可． 12. 如图，点B、C、D在同一直线上，若，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，线段的和差，根据全等三角形的性质得到，，再根据线段的和差即可求解，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 如图，在中，的垂直平分线交边，于点D和点E，连接．若，，则周长为_______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质可得，再由周长为计算即可得解． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∴周长为， 故答案为：． 14. 如图，，是的中点，平分，若，则_______． 【答案】##40度 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的判定和性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．作于，根据平行线的性质求出，根据角平分线的判定定理得到，计算即可． 【详解】解：作于． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵平分，，， ∴． ∵是的中点， ∴， ∴， 又，， ∴． 故答案为:． 15. 如图，在中，，点M在的延长线上，于点N，交于点O，若，，则的长度为_______． 【答案】11 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理，由等腰三角形的性质可得，求出，得到，即可得解，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：∵在中，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 如图，在四边形中，，若平分，则四边形的面积为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质．熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 作的延长线于，则，根据，计算求解即可． 【详解】解：如图，作的延长线于， ∵平分，，， ∴， ∴， 故答案为：． 17. 直角三角形直角边之和为，面积为，则斜边长为_______． 【答案】2.5 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用、完全平方公式的应用，设一直角边为，另一条直角边为，斜边长为，由题意可得：，，即，再由勾股定理结合完全平方公式计算即可得解． 【详解】解：设一直角边为，另一条直角边为，斜边长为， 由题意可得：， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 18. 如图，，M为内部一定点且，E、F分别为、边上的动点，当周长最小时，的度数为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形内角和定理，作点关于的对称点，点关于的对称点，连接交于，交于，连接、、、， 【详解】解：如图，作点关于的对称点，点关于的对称点，连接交于，交于，连接、、、， ， 由对称的性质可得：，，，，， 由两点之间线段最短可得，此时周长最小，为， ∴，，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 三、解答题（本大题共有10小题，共96分） 19. 小正方形网格中，三个顶点均在格点上的三角形叫做格点三角形．设每个小正方形边长为1．如下图，格点， （1）图中格点的面积是_______； （2）按要求画图： ①在图1中画一个与全等且有一条公共边的格点三角形； ②在图2中画一个与全等且只有唯一公共点A的格点三角形； ③在图3中画一个面积为5的格点直角三角形且直角边为网格图中的斜格点线段． 【答案】（1） （2）①见解析②见解析③见解析 【解析】 【分析】本题考查作图-应用与设计，三角形的面积，全等三角形的判定和性质，直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）利用三角形面积公式求解即可． （2）①根据全等三角形的判定，画出图形即可． ②利用轴对称法画出图形即可． ③画出直角三角形即可． 【小问1详解】 解：的面积， 故答案为：； 【小问2详解】 解：①如图，即为所画（答案不唯一） ②如图，即为所画（答案不唯一） ③如图，即为所画（答案不唯一） 20. 如图，点，，，在同一条直线上，，，．求证： 【答案】 证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，由可得，进而由可证明，即可得证． 【详解】略 21. 已知：如图，．求证：．（本题求解不得使用全等） 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本条考查等腰三角形的判定与性质，连接，由得到，再根据，推出，即可得出结论． 【详解】证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 22. 有一块四边形空地，如图，经测量，米，米，米，米．求这块四边形空地的面积． 【答案】84平方米 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理、勾股定理逆定理，作于，由等腰三角形的性质可得米，由勾股定理可得米，再由勾股定理逆定理得出，最后由计算即可得解． 【详解】解：如图，作于， ， ∵米，米， ∴米， ∴米， ∵，即， ∴为直角三角形，即， ∴（平方米）． 23. 数学课上，老师布置如下任务： 如图，已知，点是射线上的一个定点，在射线上求作点，使．下面是小李同学设计的尺规作图过程： 作法：①作线段的垂直平分线，直线交射线于点； ②以点为圆心，长为半径作弧，交射线于另一点，则点即为所求． 根据小李同学设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明： 证明：连接． 直线为线段的垂直平分线， _____（_____）（填推理的依据） ， ． ， _____（_____）（填推理的依据） ． 【答案】（1）见解析 （2）；线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；；等边对等角； 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线和线段的尺规作图，线段垂直平分线的性质，等边对等角和三角形外角的性质，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据题意作图即可； （2）根据线段垂直平分线的性质得到，根据等边对等角和三角形外角的性质得到，再由等边对等角可得，据此可证明结论． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 证明：连接． 直线为线段的垂直平分线， （线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）， ， ． ， （等边对等角） ． 24. 如图，已知，，，点B、D、E，在同一条直线上． （1）求证：； （2）写出、、之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）见解析 （2），证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形外角的定义及性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）先证明，再利用即可证明； （2）由全等三角形的性质可得，再由三角形外角的定义及性质即可得解． 【小问1详解】 证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴； 【小问2详解】 解：，证明如下： ∵， ∴， ∵， ∴． 25. 已知：如图1，中，，D是边上的点，且． （1）证明：； （2）若E、F分别是的中点且，如图2，求的长． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了三角形外角的性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）由，得到，再根据三角形外角的性质得到，从而得到，即可得出结论； （2）连接，先得到是直角三角形，再由F是的中点，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接， 由（1）知，， 又∵E是的中点， ∴， ∴是直角三角形， ∵F是的中点，， ∴． 26. 若直角三角形存在一边上的中线恰好等于这边的长，则我们称这个直角三角形为“等边中三角形”． 如图，中，． （1）若，，求证：是“等边中三角形”； （2）若且是“等边中三角形”，求的值． 【答案】（1）证明见解析 （2）或 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，理解“等边中三角形”的定义是解此题的关键． （1）取的中点，连接，则，再由勾股定理计算出的长，即可得解； （2）根据“等边中三角形”的定义，分两种情况，分别结合勾股定理计算即可得解． 【小问1详解】 证明：如图，取的中点，连接， ， 则， ∴由勾股定理可得：， ∴， ∴是“等边中三角形”； 【小问2详解】 解：∵是“等边中三角形”， ∴如图，取的中点，连接，则，当时， ， 此时， 如图，取的中点，连接，则，， ， 由勾股定理可得： ∴， ∴， 综上所述，或． 27. 【问题发现】如图1，中，，，D是边上一点，作交过点A且与垂直的直线l于点E．则_______，_______，_______；（填“>”、“<”或“=”） 【问题逆用】如图2，四边形满足，，，请你求出四边形的面积； 【问题延伸】如图3，四边形满足，，，，M是线段上一点，且恰好平分四边形的面积，直接写出此时的长度． 【答案】问题发现：，，；问题逆用：8；问题延伸：2.5 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，添加适当的辅助线是解此题的关键． 问题发现：证明，得出，，，即可得解； 问题逆用：作交的延长线于，证明，得出，，再结合计算即可得解； 问题延伸：连接，作交的延长线于，则， ∴，即，证明，得出，，再由恰好平分四边形的面积，得出，从而得出，即，求解即可． 【详解】解：问题发现：∵中，，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，，， ∴， ∴； 问题逆用：如图，作交的延长线于， ， 则， ∴，即， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，； ∴； 问题延伸：如图，连接，作交的延长线于， ， 则， ∴，即， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵恰好平分四边形的面积， ∴， ∴， ∴， ∴． 28. 等边，D是边上任意一点（不与端点重合），连接，在下方作，再作于点M． （1）当点D是的中点时，如图1，则_______；和的数量关系是_______； （2）当点D在边上运动时， ①证明：； ②直接写出线段、、之间的数量关系式． 【答案】（1）； （2） ①证明：如图，作于， ， ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，，， ∴， ∴； ② 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）由等边三角形的性质可得，，，证明，，得出，，再证明，得出，，最后由直角三角形的性质即可得解； （2）①作于，证明，得出，，证明，即可得证；②由全等三角形的性质可得，即可得解． 【小问1详解】 解：∵为等边三角形，点D是的中点， ∴，，，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 ②∵， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年度第一学期期中试题 八年级 数学 （考试时间：120分钟 总分：150分） 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分，下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的，请将正确选项前的字母填涂在答题卡中相应的位置上） 1. 汉字是中华文明的标志，从甲骨文到后来的金文、小篆、隶书、楷书、草书、行书等多种字体，每种字体都有着各自鲜明的艺术特征．下面的小篆是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知图中的两个三角形全等，则的度数为（ ） A. B. C. D. 、、都可以 3. 下列几组数，不能作为直角三角形三边长的是（ ） A. 3，4，5 B. 5，12，13 C. 20，30，40 D. 15，20，25 4. 如图是一个平分角的简单仪器，其中，，将点A放在角的顶点，和沿着角的两边放下，沿画一条射线，则就是的平分线．在这个过程中与全等，全等的理由是（ ） A. 边角边 B. 角角边 C. 角边角 D. 边边边 5. 如图，是等边三角形，，是的平分线，延长到E，使，则的长为（ ） A. 7 B. 8 C. D. 9 6. 如图，中，，，要求用圆规和直尺作图，把它分成两个三角形，其中一个三角形是等腰三角形，其作法错误的是（ ） A. B. C. D. 7. 《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”意思是：“今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分还有3尺，拉着绳索沿地面退行，在离木柱根部8尺处时，绳索用尽，如图，问绳索长多少？”设绳索长x尺，可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，中，和的平分线相交于点G，过点G作交于E，交于F，过点G作于D，下列正确的结论数量是（ ） ①； ②； ③点G到三边的距离相等；④设，，则． A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分） 9. 等腰三角形的一个底角为，则它的顶角的度数是______． 10. 如图，∠1＝∠2，要使△ABC≌△BAD，还需添加一个条件是_____（只需写出一种情况） 11. 若三角形三边之比为3：4：5，周长为24，则三角形面积_____________. 12. 如图，点B、C、D在同一直线上，若，则_______． 13. 如图，在中，的垂直平分线交边，于点D和点E，连接．若，，则周长为_______． 14. 如图，，是的中点，平分，若，则_______． 15. 如图，在中，，点M在的延长线上，于点N，交于点O，若，，则的长度为_______． 16. 如图，在四边形中，，若平分，则四边形的面积为_________． 17. 直角三角形直角边之和为，面积为，则斜边长为_______． 18. 如图，，M为内部一定点且，E、F分别为、边上的动点，当周长最小时，的度数为_______． 三、解答题（本大题共有10小题，共96分） 19. 小正方形网格中，三个顶点均在格点上的三角形叫做格点三角形．设每个小正方形边长为1．如下图，格点， （1）图中格点的面积是_______； （2）按要求画图： ①在图1中画一个与全等且有一条公共边的格点三角形； ②在图2中画一个与全等且只有唯一公共点A的格点三角形； ③在图3中画一个面积为5的格点直角三角形且直角边为网格图中的斜格点线段． 20. 如图，点，，，在同一条直线上，，，．求证： 21. 已知：如图，．求证：．（本题求解不得使用全等） 22. 有一块四边形空地，如图，经测量，米，米，米，米．求这块四边形空地的面积． 23. 数学课上，老师布置如下任务： 如图，已知，点是射线上的一个定点，在射线上求作点，使．下面是小李同学设计的尺规作图过程： 作法：①作线段的垂直平分线，直线交射线于点； ②以点为圆心，长为半径作弧，交射线于另一点，则点即为所求． 根据小李同学设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明： 证明：连接． 直线为线段的垂直平分线， _____（_____）（填推理的依据） ， ． ， _____（_____）（填推理的依据） ． 24. 如图，已知，，，点B、D、E，在同一条直线上． （1）求证：； （2）写出、、之间的数量关系，并证明． 25. 已知：如图1，中，，D是边上的点，且． （1）证明：； （2）若E、F分别是的中点且，如图2，求的长． 26. 若直角三角形存在一边上的中线恰好等于这边的长，则我们称这个直角三角形为“等边中三角形”． 如图，中，． （1）若，，求证：是“等边中三角形”； （2）若且是“等边中三角形”，求的值． 27. 【问题发现】如图1，中，，，D是边上一点，作交过点A且与垂直的直线l于点E．则_______，_______，_______；（填“>”、“<”或“=”） 【问题逆用】如图2，四边形满足，，，请你求出四边形的面积； 【问题延伸】如图3，四边形满足，，，，M是线段上一点，且恰好平分四边形的面积，直接写出此时的长度． 28. 等边，D是边上任意一点（不与端点重合），连接，在下方作，再作于点M． （1）当点D是的中点时，如图1，则_______；和的数量关系是_______； （2）当点D在边上运动时， ①证明：； ②直接写出线段、、之间的数量关系式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $