精品解析：天津市红桥区2024-2025学年上学期九年级期末考试数学试题

九年级数学 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）、第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷为第1页至第3页，第Ⅱ卷为第4页至第8页．试卷满分120分．考试时间100分钟． 答卷前，请你务必将自己的姓名、考生号、考点校、考场号、座位号填写在“答题纸”上．答题时，务必将答案涂写在“答题纸”上，答案答在试卷上无效．考试结束后，将本试卷和“答题纸”一并交回． 祝你考试顺利！ 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列标志中，可以看作是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 小星同学通过大量重复的定点投篮练习，用频率估计他投中的概率为0.4，下列说法正确的是（ ） A. 小星定点投篮1次，不一定能投中 B. 小星定点投篮1次，一定可以投中 C. 小星定点投篮10次，一定投中4次 D. 小星定点投篮4次，一定投中1次 3. 用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（ ） A. B. C. D. 4. 方程的两个根为（ ） A. B. C. D. 5. 将抛物线向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 6. 抛物线的对称轴为（ ） A 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 7. 如图，在中，弦相交于点P，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 8. 如图，为的直径，直线与相切于点C，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 若点都在二次函数的图象上，则，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 10. 数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出，则圆形工件的半径为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，将以点A为中心逆时针旋转得到，点B，C的对应点分别为D，E，交于点F．当点E落在边上时，下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 12. 已知抛物线（a，b，c为常数，且）对称轴为直线，其与x轴的一个交点为，与y轴的交点C在点之间（不含端点），有下列结论： ①； ②； ③； ④若方程的两根分别为，则． 其中，正确结论的个数是（ ） A 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13. 不透明袋子中装有10个球，其中有2个红球、5个绿球、3个蓝球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是蓝球的概率是______． 14. 已知是关于的一元二次方程的两个根，若，则的值为______． 15. 若抛物线（m为常数）与x轴有两个不同的交点，则m的取值范围是______． 16. 如图，四边形是的内接四边形，是的直径，若，则的度数为____． 17. 当时，二次函数的最大值为______． 18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点A在格点上，顶点B，C均在网格线上，以为直径的经过点C． （1）的大小等于 （度）； （2）若P为边上动点，当取得最小值时，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明） ． 三、解答题（本大题共7小题，共66分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19. 解一元二次方程． 20. 一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为，，，．随机摸取一个小球然后放回，再随机摸出一个小球．求下列事件的概率： （1）两次取出小球的标号相同； （2）两次取出的小球标号的和小于． 21. 已知的半径为5，四边形内接于，． （1）如图①，若，求弦和的长； （2）如图②，连接，若，求弦的长和的大小． 22. 如图，为的直径，切于点C，交的延长线于点D． （1）如图①，若，求的大小； （2）如图②，若，求的大小． 23. 如图，在平面直角坐标系中，从点O处抛出一个小球，落到斜坡上的点处．小球在空中所经过的路线是抛物线的一部分． （1）求该抛物线的顶点坐标； （2）在斜坡上的点B处（不与点O，A重合）有一棵树，小球恰好经过树的顶端C． ①当点B的横坐标为1时，求树的高度； ②求树的高度的最大值． 24. 在平面直角坐标系中，O为原点，四边形是矩形，点，点，以点A为中心，顺时针旋转矩形，得矩形，点B，C，O的对应点分别为D，E，F，记旋转角为，其中． （1）填空：如图①，当时，与相交于点G，点F的坐标为 ，点G的坐标为 ； （2）如图②，当点E落在的延长线上时，求点E，F的坐标； （3）连接，M为线段的中点，连接，求线段的长的取值范围（直接写出结果即可）． 25. 抛物线（b，c为常数）的顶点为P，其与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），点，O为原点． （1）若抛物线经过点M， ①当点A的坐标为时，求点B的坐标； ②连接，当时，求b的值； （2）若，连接，，当取得最小值时，求b的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）、第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷为第1页至第3页，第Ⅱ卷为第4页至第8页．试卷满分120分．考试时间100分钟． 答卷前，请你务必将自己的姓名、考生号、考点校、考场号、座位号填写在“答题纸”上．答题时，务必将答案涂写在“答题纸”上，答案答在试卷上无效．考试结束后，将本试卷和“答题纸”一并交回． 祝你考试顺利！ 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列标志中，可以看作是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形的定义是解题的关键：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 根据中心对称图形的定义逐项分析判断即可． 【详解】解：A、不是中心对称图形，故选项不符合题意； B、不是中心对称图形，故选项不符合题意； C、不是中心对称图形，故选项不符合题意； D、是中心对称图形，故选项符合题意； 故选：D． 2. 小星同学通过大量重复的定点投篮练习，用频率估计他投中的概率为0.4，下列说法正确的是（ ） A. 小星定点投篮1次，不一定能投中 B. 小星定点投篮1次，一定可以投中 C. 小星定点投篮10次，一定投中4次 D. 小星定点投篮4次，一定投中1次 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了概率的意义，概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，机会大也不一定发生，据此求解即可． 【详解】解：小星同学通过大量重复的定点投篮练习，用频率估计他投中的概率为0.4，则由概率的意义可知，小星定点投篮1次，不一定能投中，故选项A正确，选项B错误； 小星定点投篮10次，不一定投中4次，故选项C错误； 小星定点投篮4次，不一定投中1次，故选项D错误 故选；A． 3. 用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】方程两边同时加上一次项系数一半的平方即计算即可． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴， 故选D． 【点睛】本题考查了配方法，熟练掌握配方法的基本步骤是解题的关键． 4. 方程的两个根为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】方程利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解． 此题考查了解一元二次方程−因式分解法，熟练掌握因式分解法是解本题的关键． 【详解】解： ∴或 解得： 故选：B． 5. 将抛物线向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的平移．根据二次函数的平移规律“左加右减，上加下减”进行解答即可． 【详解】解：将抛物线向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线是． 故选：A 6. 抛物线的对称轴为（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数的对称轴直线是解题的关键． 根据对称轴公式即可得出答案． 【详解】解：， ∴对称轴为直线：， 故选：B． 7. 如图，在中，弦相交于点P，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆周角定理，可以得到的度数，再根据三角形外角的性质，可以求出的度数． 详解】解：， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查圆周角定理、三角形外角的性质，解答本题的关键是求出的度数． 8. 如图，为的直径，直线与相切于点C，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，先根据圆的切线的性质可得，从而可得，再根据等腰三角形的性质即可得． 【详解】解：如图，连接， 直线与相切， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了圆的切线的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握圆的切线的性质是解题关键． 9. 若点都在二次函数的图象上，则，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据得出开口向下，越靠近对称轴的所对应的函数值越大，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：∵， ∴开口向下，越靠近对称轴的所对应的函数值越大， 则对称轴， ∵，且， ∴， 故选：C． 10. 数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出，则圆形工件的半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理等知识．由垂径定理，可得出的长；设圆心为O，连接，在中，可用半径表示出的长，进而可根据勾股定理求出得出轮子的半径，即可得出轮子的直径长． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴直线经过圆心，设圆心为，连接． 中，， 根据勾股定理得： ，即： ， 解得：； 故轮子的半径为， 故选：C． 11. 如图，将以点A为中心逆时针旋转得到，点B，C的对应点分别为D，E，交于点F．当点E落在边上时，下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质和三角形外角运用是解题的关键．根据旋转的性质即可解答． 【详解】解：以点A为中心逆时针旋转得到， ， A、B、C都无法得出， 是等边三角形， ， ， 故选：D． 12. 已知抛物线（a，b，c为常数，且）的对称轴为直线，其与x轴的一个交点为，与y轴的交点C在点之间（不含端点），有下列结论： ①； ②； ③； ④若方程的两根分别为，则． 其中，正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象和系数之间的关系，根据对称性求出抛物线与轴的另一个交点坐标，结合点的位置，判断抛物线的开口方向，进行判断的符号，对称轴判断的符号，进而判断①，特殊点判断②和③，图象法判断方程的根的情况，判断④． 【详解】解：∵抛物线（a，b，c为常数，且）的对称轴为直线，其与x轴的一个交点为， ∴，抛物线与轴的另一个交点坐标为：， ∴， ∵抛物线与y轴的交点C在点之间， ∴，抛物线的开口向上， ∴， ∴， ∴，故①错误； ∵点在抛物线上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故③正确； ∴，故②错误； ∵， ∴， ∴的根可以看作抛物线与直线的交点的横坐标， ∵直线过点和，如图， ∴由图可知：方程的两个根的范围为：；故④正确； 故选B 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13. 不透明袋子中装有10个球，其中有2个红球、5个绿球、3个蓝球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是蓝球的概率是______． 【答案】##0.3 【解析】 【分析】此题主要考查了概率，关键是掌握随机事件A的概率事件A可能出现的结果数所有可能出现的结果数． 利用概率公式可直接得到答案． 【详解】袋子中装有10个球，其中有2个红球、5个绿球和3个蓝球， 从袋子中随机取出1个球，它是蓝球的概率是：， 故答案为：． 14. 已知是关于的一元二次方程的两个根，若，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．根据根与系数的关系得到，，然后结合已知条件，即可解题． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的两个根， ∴，， ∵，即， ∴， 故答案为：． 15. 若抛物线（m为常数）与x轴有两个不同的交点，则m的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与x轴交点问题，解题关键是明确与x轴有两个不同的交点，，列出不等式求解即可． 【详解】解：抛物线（m为常数）与x轴有两个不同的交点，则， 解得，， 故答案为：． 16. 如图，四边形是的内接四边形，是的直径，若，则的度数为____． 【答案】##110度 【解析】 【分析】此题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 连接，由是的直径得到，根据圆周角定理得到，得到，再由圆内接四边形对角互补得到答案． 【详解】解：如图，连接， ∵是的直径， ， ， ， ， ∵四边形是的内接四边形， ， 故答案为：． 17. 当时，二次函数的最大值为______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数在一定范围内的最大值，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 先根据二次函数的图象和性质判断出对称轴为直线，然后再找最大值即可． 【详解】解：∵二次函数， ∴对称轴为直线， ∵，，， ∴当时，二次函数，此时最大， 故答案为：10． 18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点A在格点上，顶点B，C均在网格线上，以为直径的经过点C． （1）的大小等于 （度）； （2）若P为边上的动点，当取得最小值时，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明） ． 【答案】（1）90 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理的推论，相似三角形的判定和性质，轴对称的性质，利用数形结合的思想是解题关键． （1）由直径所对圆周角为直角解答即可； （2）取圆与网格线的交点E和格点F，连接与相交于点O，根据90度的角所对的弦为直径，即得出其与的交点O即为圆心．延长与网格线相交于点G，连接与相交于点P，则点P即为所求（如图，作垂直于网格线，通过证明，证明点G与点B关于直线对称）． 【小问1详解】 解：∵为的直径， ∴； 【小问2详解】 解：如图，取圆与网格线的交点E和格点F，连接与相交于点O．延长与网格线相交于点G；连接与相交于点P，则点P即为所求． 三、解答题（本大题共7小题，共66分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19. 解一元二次方程． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了利用公式法解一元二次方程，先将方程变形，然后根据可得出根的情况，直接利用求根公式求解即可． 【详解】解：原方程化为． 可得． ． 方程有两个不等的实数根．有． 即． 20. 一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为，，，．随机摸取一个小球然后放回，再随机摸出一个小球．求下列事件的概率： （1）两次取出的小球的标号相同； （2）两次取出的小球标号的和小于． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了列表法求概率．解决本题的关键是根据题意列表，把所有可能出现的情况都列出来，找出要求的事件出现的次数，从而得到这个事件出现的概率． （1）列表得到一共有种结果，其中两次取出的小球的标号相同的情况有种，从而得到两次取出的小球的标号相同的概率； （2）列表得到一共有种结果，从表中可以看出，两次取出的小球的标号的和小于的情况有种，从而得到该事件的概率． 【小问1详解】 解：根据题意，所得的结果列表如下： 第一次 第二次 共有种等可能的结果． 两次取出的小球的标号相同的情况有种， 两次取出的小球的标号相同的概率； 【小问2详解】 解：从表中可以看出，两次取出的小球的标号的和小于的情况有种， 两次取出的小球的标号的和小于的概率． 21. 已知的半径为5，四边形内接于，． （1）如图①，若，求弦和的长； （2）如图②，连接，若，求弦的长和的大小． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）连接．由已知得，为直径，则得，在中，由勾股定理求得．在中，由勾股定理即可求得； （2）连接．由及直径对的圆周角是直角得，，进而有，则有．在中，由勾股定理求得．由，得是等边三角形，则可求得的度数． 【小问1详解】 解：如图，连接． ， ． 为的直径． ． 的半径为5， ． 又， 在中，． 在中，由， 解得． 【小问2详解】 解：如图，连接． ， ． ． ． 在中，． ， ∴是等边三角形， ． ． 【点睛】本题考查了90度角对的弦是直径，同弧对的圆周角相等，相等的圆周角对的弦也相等，等边三角形的判定与性质，勾股定理，含30度直角三角形的性质等知识，熟练掌握这些知识是解题的关键． 22. 如图，为的直径，切于点C，交的延长线于点D． （1）如图①，若，求的大小； （2）如图②，若，求的大小． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了切线的性质、等边对等角、三角形外角的性质等知识． （1）连接．由切线的性质得到．求出．由等边对等角得到．则．即可得到的大小； （2）连接．由等边对等角得．进一步得到．由得到．则．即可得到． 【小问1详解】 解：连接． 是的切线， ． ． ． ． ． 【小问2详解】 连接． 是的切线， ． ． ． ． ． ． 23. 如图，在平面直角坐标系中，从点O处抛出一个小球，落到斜坡上的点处．小球在空中所经过的路线是抛物线的一部分． （1）求该抛物线的顶点坐标； （2）在斜坡上的点B处（不与点O，A重合）有一棵树，小球恰好经过树的顶端C． ①当点B的横坐标为1时，求树的高度； ②求树的高度的最大值． 【答案】（1） （2）①树的高度为2；②树的高度的最大值为 【解析】 【分析】本考查了二次函数的应用，其中涉及到待定系数法求二次函数的解析式，二次函数顶点坐标的求解方法，难度适中利用数形结合是解题的关键． （1）配成顶点式，利用二次函数的性质即可求解； （2）①过点作轴的垂线，点在直线，求出直线的解析式，进而求B、的纵坐标，据此求解即可； ②设B点坐标为，则C的坐标为，，配成顶点式，利用二次函数的性质即可求解 【小问1详解】 由点在抛物线上，得，解得． 由，得该抛物线的顶点坐标为 【小问2详解】 ①如图，过点分别作轴的垂线，垂足是点, 设直线的解析式为, 直线解析式为, 点的横坐标为1， 点的横坐标为1. 将代入, 的坐标为点的坐标为 答：这棵树的高度是2． ②点B在直线上，且直线的解析式为 设B点坐标为，则C的坐标为 ∴， 当时，树的高度的最大值为． 24. 在平面直角坐标系中，O为原点，四边形是矩形，点，点，以点A为中心，顺时针旋转矩形，得矩形，点B，C，O的对应点分别为D，E，F，记旋转角为，其中． （1）填空：如图①，当时，与相交于点G，点F的坐标为 ，点G的坐标为 ； （2）如图②，当点E落在的延长线上时，求点E，F的坐标； （3）连接，M为线段的中点，连接，求线段的长的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】（1）， （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）过点F作轴于点M，由得到，由旋转的性质得，得到，，即可求出点F的坐标；在中，由求出，得到点G的坐标； （2）由旋转性质得，，在中，，即可得到点E的坐标为；过点F作轴于点N，证明，得到，，即可得到点F的坐标； （3）取中点，连接，，，则，是的中位线，得到，，再根据，求线段的长的取值范围． 【小问1详解】 解：如图，过点F作轴于点M， ∵，即， ∴， ∴，， 由旋转的性质得， ∵点， ∴， ∴，， ∴， ∴点F的坐标为， ∵， ∴在中，，， ∴， ∴点G的坐标为， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：∵点，点， ∴，， 由旋转的性质得，， ∵是矩形， ∴， ∴在中，， ∴点E的坐标为， 如图，过点F作轴于点N， ∵是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴在和中，，，， ∴， ∴，即， ∴， 在中，， ∴， 点F的坐标为； 【小问3详解】 解：取中点，连接，，， 由旋转的性质得，， ∵是矩形， ∴， 在中，， ∵M为线段的中点，的中点， ∴，是的中位线， ∴，， ∵在中，，当三点共线时取等号， ∴， ∴． 【点睛】本题考查旋转的性质，相似三角形的判定与性质，三角形的中位线的性质，矩形的性质，点的坐标． 25. 抛物线（b，c为常数）的顶点为P，其与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），点，O为原点． （1）若抛物线经过点M， ①当点A的坐标为时，求点B的坐标； ②连接，当时，求b的值； （2）若，连接，，当取得最小值时，求b的值． 【答案】（1）①；②或 （2） 【解析】 【分析】（1）①先根据待定系数法求出抛物线的解析式，然后再求出点B的坐标即可； ②先求出顶点，过点作轴，垂足为，求出，，根据，得出，求出结果即可； （2）先求出点的坐标为，得出点的坐标为，将点向右平移2个单位，向上平移1个单位，得点，连接，得出四边形为平行四边形，从而得出，作点关于轴的对称点，得出，说明当点共线时，取得最小值，求出直线的解析式为，得出当时，，求出，得出，求出结果即可． 【小问1详解】 解：①根据题意，得：， 解得， 该抛物线的解析式为：． 由，得， ∴点的坐标为． ②根据题意，得该抛物线的解析式为：，其中， 又， 可得顶点， 过点作轴，垂足为， 可得，， ， ∴为等腰直角三角形， ， 则， 或， 解得或． 【小问2详解】 解：当时，， 顶点的坐标为， 由，得， 解得， 点在点的左侧， 点的坐标为， ∴将点向右平移2个单位，向上平移1个单位，得点， 连接， ∵将点P向右平移2个单位，向上平移1个单位，得点， ∴四边形为平行四边形， ∴， 作点关于轴对称点， ∴， ∴， 当点共线时，取得最小值， 设直线的解析式为 ， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为． 当时，， 解得， 此时点的坐标为， ， 解得：． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合应用，轴对称的性质，平移的性质，求一次函数解析式，求二次函数解析式，解题的关键是数形结合，熟练掌握二次函数的性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $