第七章　平行线的证明 期末复习训练 2024-2025学年北师大版八年级数学上册

第七章　平行线的证明 考点1　定义与命题 1.下列命题正确的是（　　） A.数轴上的每一个点都表示一个有理数 B.甲、乙两人五次考试平均成绩相同，且＝0.9，＝1.2，则乙的成绩更稳定 C.三角形的一个外角大于任意一个内角 D.在平面直角坐标系中，点（4，－2）与点（4，2）关于x轴对称 2.下列选项中，可以用来证明命题“若a2＞1，则a＞1”是假命题的反例是（　　） A.a＝0 B.a＝－2 C.a＝－1 D.a＝2 3.将“全等三角形的对应边相等”改写成“如果……那么……”的形式：　　　　　　　. 考点2　平行线的判定与性质 1.如图，∠1＝100°，要使a∥b，必须具备的另一个条件是（　　） 第1题图 A.∠2＝100° B.∠3＝80° C.∠3＝100° D.∠4＝80° 2.如图，已知AB∥CD，AF与CD交于点E，BE⊥AF，∠B＝50°，则∠DEF的度数是（　　） 第2题图 A.10° B.20° C.30° D.40° 3.如图，将一个长方形纸条折成如图所示的形状，若∠2＝50°，则∠1＝　　　　. 第3题图 4.如图，如果AB∥CF，DE∥CF，∠DCB＝40°，∠D＝30°，求∠B的度数. 考点3　三角形内角和定理与外角定理 1.具备下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（　　） A.∠A＋∠B＝∠C B.∠A＝32°，∠B＝58° C.a＝1，b＝1，c＝2 D.a＝1，b＝2，c＝ 2.如图，在三角形ABC中，∠A＝60°，D，E分别为AB，AC上的点，则∠1＋∠2的度数为（　　） 第2题图 A.180° B.200° C.220° D.240° 3.如图，∠1，∠2，∠3，∠4满足的关系是（　　） 第3题图 A.∠1＋∠2＝∠3＋∠4 B.∠1＋∠2＝∠4－∠3 C.∠1＋∠4＝∠2＋∠3 D.∠1＋∠4＝∠2－∠3 4.如图，已知∠B＝38°，∠C＝56°，ME∥AD，∠BFE＝∠M，则∠BEF＝　　　　. 第4题图 考点4　综合运用 1.如图，已知△ABC中，若∠A＝80°，∠C＝60°，D是AB边上一点，DE∥BC，则∠BDE等于（　　） A.30° B.40° C.50° D.70° 2.如图，直线EF分别交直线AB，CD于点E，F，EP平分∠AEF交CD于点P，点N是射线PC上一点，延长EP到点M，使得PM＝PN，连接MN. （1）若AB∥CD，∠EFD＝80°，求∠AEP的度数； （2）若∠PMN＝72.5°，∠AEF＝70°，判断直线AB与CD是否平行，并说明理由. 3.如图1，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB. 　　　　　　　　　 （1）若∠A＝60°，则∠BDC的度数为　　　　. （2）若∠A＝α，直线MN经过点D. ①如图2，若MN∥AB，则∠NDC－∠MDB＝　　　　（用含α的代数式表示）. ②如图3，若MN绕点D旋转，分别交线段BC，AC于点M，N，试问在旋转过程中∠NDC－∠MDB的度数是否会发生改变？若不变，求出∠NDC－∠MDB的度数（用含α的代数式表示），若改变，请说明理由. ③如图4，继续旋转直线MN，与线段AC交于点N，与CB的延长线交于点M，请直接写出∠NDC与∠MDB的关系（用含α的代数式表示）. 【课后作业】 一、选择题 1.下列命题中是真命题的是（　　） A.的值为8 B.两条直线被第三条直线所截，同位角相等 C.－2是4的一个平方根 D.若a＞b，则－a＞－b 2.如图，AB∥CD，AC与BD相交于点O，∠A＝30°，∠COD＝105°，则∠D的大小是（　　） 第2题图 A.30° B.45° C.65° D.75° 3.将三角尺按如图所示放置在一张矩形纸片上，∠EGF＝90°，∠FEG＝30°，∠1＝130°，则∠BFG的度数为（　　） 第3题图 A.130° B.120° C.110° D.100° 4.如图，三角形纸片ABC中，点D，E，F分别在边BC，AB，AC上，连接DE，DF，将△BDE，△CDF分别沿DE，DF对折，使点B，C落在点B'，C'处，若B'D恰好平分∠EDC'，且∠EDF＝99.5°，则∠EDC'的度数为（　　） 第4题图 A.37° B.38° C.39° D.40° 5.如图，D，E，F分别为△ABC边AC，AB，BC上的点，∠A＝∠1＝∠C，DE＝DF，下面的结论一定成立的是（　　） 第5题图 A.AE＝FC B.AE＝DE C.AE＋FC＝AC D.AD＋FC＝AB 二、填空题 1.将“等角的补角相等”改写成“如果……那么……”的形式：　　　　　　　. 2.已知△ABC中，∠A＝∠B＝∠C，则△ABC为　　　　三角形. 3.如图，已知∠A＋∠D＝180°，∠ABE＝3∠DCE，∠DCE＝28°，则∠E的度数为　　　　. 第3题图 4.等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为45°，则这个等腰三角形的顶角的度数为　　　　　. 5.如图，在长方形ABCD中，AB＝10，BC＝8，点E为线段AD上的一点，且满足AE＝3ED，连接BE，将△ABE沿BE折叠得到△BEF，延长EF交BC的延长线于点G，则△BEG的面积是　　　　. 第5题图 三、解答题 1.探究问题：已知∠ABC，画一个角∠DEF，使DE∥AB，EF∥BC，且DE交BC于点P.∠ABC与∠DEF有怎样的数量关系？ （1）我们发现∠ABC与∠DEF有两种位置关系：如图1与图2所示. ①图1中∠ABC与∠DEF的数量关系为　　　　；图2中∠ABC与∠DEF的数量关系为　　　　　； 请选择其中一种情况说明理由. ②由①得出一个真命题（用文字叙述）：　　　　　　　　　　　　　. （2）应用②中的真命题，解决以下问题： 若两个角的两边互相平行，且一个角比另一个角的2倍少30°，则这两个角为　　　　. 2.在△ABC中，∠C＝90°，BD是△ABC的角平分线，P是射线AC上任意一点（不与A，D，C三点重合），过点P作PQ⊥AB，垂足为Q，交直线BD于点E. （1）如图，当点P在线段AC上时，说明∠PDE＝∠PED. （2）作∠CPQ的平分线交直线AB于点F，则PF与BD有怎样的位置关系？画出图形并说明理由. 3.将一副直角三角板如图1摆放在直线MN上（直角三角板ABC和直角三角板EDC，∠EDC＝90°，∠DEC＝60°，∠ABC＝90°，∠BAC＝45°），保持三角板EDC不动，将三角板ABC绕点C以每秒5°的速度顺时针方向旋转，旋转时间为t秒，当AC与射线CN重合时停止旋转. （1）如图2，当CA为∠DCE的平分线时，请求出此时t的值； （2）当AC旋转至∠DCE的内部时，求∠DCA与∠ECB的数量关系. （3）在旋转过程中，当三角板ABC的其中一边与ED平行时，请在备用图中画图并求出相应的t值. 第七章　平行线的证明 考点1　定义与命题 1.下列命题正确的是（　D　） A.数轴上的每一个点都表示一个有理数 B.甲、乙两人五次考试平均成绩相同，且＝0.9，＝1.2，则乙的成绩更稳定 C.三角形的一个外角大于任意一个内角 D.在平面直角坐标系中，点（4，－2）与点（4，2）关于x轴对称 2.下列选项中，可以用来证明命题“若a2＞1，则a＞1”是假命题的反例是（　B　） A.a＝0 B.a＝－2 C.a＝－1 D.a＝2 3.将“全等三角形的对应边相等”改写成“如果……那么……”的形式：　如果两个三角形为全等三角形，那么它们的对应边相等　. 考点2　平行线的判定与性质 1.如图，∠1＝100°，要使a∥b，必须具备的另一个条件是（　C　） 第1题图 A.∠2＝100° B.∠3＝80° C.∠3＝100° D.∠4＝80° 2.如图，已知AB∥CD，AF与CD交于点E，BE⊥AF，∠B＝50°，则∠DEF的度数是（　D　） 第2题图 A.10° B.20° C.30° D.40° 3.如图，将一个长方形纸条折成如图所示的形状，若∠2＝50°，则∠1＝　100°　. 第3题图 4.如图，如果AB∥CF，DE∥CF，∠DCB＝40°，∠D＝30°，求∠B的度数. 解：∵DE∥CF，∠D＝30°， ∴∠DCF＝∠D＝30°， ∴∠BCF＝∠DCF＋∠BCD＝30°＋40°＝70°. 又∵AB∥CF， ∴∠B＋∠BCF＝180°， ∴∠B＝180°－70°＝110°. 考点3　三角形内角和定理与外角定理 1.具备下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（　C　） A.∠A＋∠B＝∠C B.∠A＝32°，∠B＝58° C.a＝1，b＝1，c＝2 D.a＝1，b＝2，c＝ 2.如图，在三角形ABC中，∠A＝60°，D，E分别为AB，AC上的点，则∠1＋∠2的度数为（　D　） 第2题图 A.180° B.200° C.220° D.240° 3.如图，∠1，∠2，∠3，∠4满足的关系是（　D　） 第3题图 A.∠1＋∠2＝∠3＋∠4 B.∠1＋∠2＝∠4－∠3 C.∠1＋∠4＝∠2＋∠3 D.∠1＋∠4＝∠2－∠3 4.如图，已知∠B＝38°，∠C＝56°，ME∥AD，∠BFE＝∠M，则∠BEF＝　99°　. 第4题图 考点4　综合运用 1.如图，已知△ABC中，若∠A＝80°，∠C＝60°，D是AB边上一点，DE∥BC，则∠BDE等于（　B　） A.30° B.40° C.50° D.70° 2.如图，直线EF分别交直线AB，CD于点E，F，EP平分∠AEF交CD于点P，点N是射线PC上一点，延长EP到点M，使得PM＝PN，连接MN. （1）若AB∥CD，∠EFD＝80°，求∠AEP的度数； 解：（1）∵AB∥CD，∠EFD＝80°， ∴∠AEF＝∠EFD＝80°. ∵EP平分∠AEF， ∴∠AEP＝∠AEF＝40°. （2）若∠PMN＝72.5°，∠AEF＝70°，判断直线AB与CD是否平行，并说明理由. 解：（2）AB∥CD，理由如下： ∵PN＝PM，∠PMN＝72.5°， ∴∠PNM＝∠PMN＝72.5°， ∴∠MPN＝35°， ∴∠EPF＝∠MPN＝35°. ∵EM平分∠AEF，∠AEF＝70°， ∴∠AEM＝∠AEF＝35°， ∴∠AEM＝∠EPF， ∴AB∥CD. 3.如图1，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB. 　　　　　　　　　 （1）若∠A＝60°，则∠BDC的度数为　　　　. 解：（1）如图1，∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB， ∴∠DBC＝∠ABC，∠DCB＝∠ACB， ∴∠BDC＝180°－（∠DBC＋∠DCB） ＝180°－（∠ABC＋∠ACB） ＝180°－（180°－∠A） ＝90°＋∠A. ∵∠A＝60°， ∴∠BDC＝90°＋×60°＝120°. 故答案为120°. （2）若∠A＝α，直线MN经过点D. ①如图2，若MN∥AB，则∠NDC－∠MDB＝　　　　（用含α的代数式表示）. 解：（2）①如图2，∵MN∥AB， ∴∠A＝∠DNC，∠ABD＝∠BDM， ∴∠NDC－∠MDB ＝180°－∠A－∠ACB－∠ABC ＝180°－α－（180°－α） ＝90°－α. ②如图3，若MN绕点D旋转，分别交线段BC，AC于点M，N，试问在旋转过程中∠NDC－∠MDB的度数是否会发生改变？若不变，求出∠NDC－∠MDB的度数（用含α的代数式表示），若改变，请说明理由. 解：②度数不变.理由如下： 如图3，∵∠NDC－∠MDB ＝∠DMC＋∠DCM－∠MDB ＝∠DBM＋∠BDM＋∠DCM－∠MDB ＝∠ABC＋∠ACB ＝（180°－α） ＝90°－α， ∴度数不变，为90°－α. ③如图4，继续旋转直线MN，与线段AC交于点N，与CB的延长线交于点M，请直接写出∠NDC与∠MDB的关系（用含α的代数式表示）. 解：③∠NDC＋∠MDB＝90°－α. 理由如下： 如图4，∵∠NDC＋∠MDB＝180°－∠BDC，∠BDC＝90°＋α， ∴∠NDC＋∠MDB＝90°－α. 【课后作业】 一、选择题 1.下列命题中是真命题的是（　C　） A.的值为8 B.两条直线被第三条直线所截，同位角相等 C.－2是4的一个平方根 D.若a＞b，则－a＞－b 2.如图，AB∥CD，AC与BD相交于点O，∠A＝30°，∠COD＝105°，则∠D的大小是（　B　） 第2题图 A.30° B.45° C.65° D.75° 3.将三角尺按如图所示放置在一张矩形纸片上，∠EGF＝90°，∠FEG＝30°，∠1＝130°，则∠BFG的度数为（　C　） 第3题图 A.130° B.120° C.110° D.100° 4.如图，三角形纸片ABC中，点D，E，F分别在边BC，AB，AC上，连接DE，DF，将△BDE，△CDF分别沿DE，DF对折，使点B，C落在点B'，C'处，若B'D恰好平分∠EDC'，且∠EDF＝99.5°，则∠EDC'的度数为（　B　） 第4题图 A.37° B.38° C.39° D.40° 5.如图，D，E，F分别为△ABC边AC，AB，BC上的点，∠A＝∠1＝∠C，DE＝DF，下面的结论一定成立的是（　C　） 第5题图 A.AE＝FC B.AE＝DE C.AE＋FC＝AC D.AD＋FC＝AB 二、填空题 1.将“等角的补角相等”改写成“如果……那么……”的形式：　如果两个角为等角的补角，那么这两个角相等　. 2.已知△ABC中，∠A＝∠B＝∠C，则△ABC为　直角　三角形. 3.如图，已知∠A＋∠D＝180°，∠ABE＝3∠DCE，∠DCE＝28°，则∠E的度数为　56°　. 第3题图 4.等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为45°，则这个等腰三角形的顶角的度数为　45°或135°　. 5.如图，在长方形ABCD中，AB＝10，BC＝8，点E为线段AD上的一点，且满足AE＝3ED，连接BE，将△ABE沿BE折叠得到△BEF，延长EF交BC的延长线于点G，则△BEG的面积是　　. 第5题图 三、解答题 1.探究问题：已知∠ABC，画一个角∠DEF，使DE∥AB，EF∥BC，且DE交BC于点P.∠ABC与∠DEF有怎样的数量关系？ （1）我们发现∠ABC与∠DEF有两种位置关系：如图1与图2所示. ①图1中∠ABC与∠DEF的数量关系为　　　　；图2中∠ABC与∠DEF的数量关系为　　　　　； 请选择其中一种情况说明理由. 解：（1）①∠ABC＋∠DEF＝180°，∠ABC＝∠DEF. 理由：如图1， ∵BC∥EF， ∴∠DPB＝∠DEF. ∵AB∥DE， ∴∠ABC＋∠DPB＝180°， ∴∠ABC＋∠DEF＝180°. 如图2，∵BC∥EF， ∴∠DPC＝∠DEF. ∵AB∥DE， ∴∠ABC＝∠DPC， ∴∠ABC＝∠DEF. ②由①得出一个真命题（用文字叙述）：　②如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补.　. （2）应用②中的真命题，解决以下问题： 若两个角的两边互相平行，且一个角比另一个角的2倍少30°，则这两个角为　　　　. 解：（2）设这两个角分别为x和2x－30°， 由题意得x＝2x－30°或x＋2x－30°＝180°， 解得x＝30°或x＝70°， ∴这两个角的度数为30°，30°或70°，110°. 2.在△ABC中，∠C＝90°，BD是△ABC的角平分线，P是射线AC上任意一点（不与A，D，C三点重合），过点P作PQ⊥AB，垂足为Q，交直线BD于点E. （1）如图，当点P在线段AC上时，说明∠PDE＝∠PED. 解：（1）∵PQ⊥AB， ∴∠EQB＝∠C＝90°， ∴∠BEQ＋∠EBQ＝90°，∠CBD＋∠CDB＝90°. ∵∠CDB＝∠PDE，∴∠CBD＋∠PDE＝90°. ∵BD为∠ABC的平分线， ∴∠CBD＝∠EBQ，∴∠PDE＝∠BEQ. ∵∠PED＝∠BEQ， ∴∠PDE＝∠PED. （2）作∠CPQ的平分线交直线AB于点F，则PF与BD有怎样的位置关系？画出图形并说明理由. 解：（2）当P在线段AC上时，如图1所示，此时PF∥BD. 理由：∵∠PDE＝∠PED， ∴PD＝PE. ∵PF为∠CPQ的平分线，∠CPQ为△PDE的外角， ∴∠CPF＝∠QPF＝∠PDE＝∠PED， ∴PF∥BD. 当P在线段AC的延长线上时，如图2所示，PF⊥BD. 理由：∵∠PDE＝∠PED， ∴PD＝PE. ∵PM为∠CPQ的平分线， ∴PF⊥BD. 3.将一副直角三角板如图1摆放在直线MN上（直角三角板ABC和直角三角板EDC，∠EDC＝90°，∠DEC＝60°，∠ABC＝90°，∠BAC＝45°），保持三角板EDC不动，将三角板ABC绕点C以每秒5°的速度顺时针方向旋转，旋转时间为t秒，当AC与射线CN重合时停止旋转. （1）如图2，当CA为∠DCE的平分线时，请求出此时t的值； 解：（1）∵∠EDC＝90°，∠DEC＝60°， ∴∠DCE＝30°. ∵CA平分∠DCE， ∴∠ACE＝∠DCE＝15°， ∴t＝＝3， 即此时t的值是3. （2）当AC旋转至∠DCE的内部时，求∠DCA与∠ECB的数量关系. 解：（2）当AC旋转至∠DCE的内部时，∠DCA与∠ECB的数量关系是∠ECB－∠DCA＝15°. 理由：由旋转得∠ACE＝5°t， ∴∠DCA＝30°－5°t，∠ECB＝45°－5°t， ∴∠ECB－∠DCA＝（45°－5°t）－（30°－5°t）＝15°. （3）在旋转过程中，当三角板ABC的其中一边与ED平行时，请在备用图中画图并求出相应的t值. 解：（3）分三种情况： ①当AB∥DE时，如图1，∠ACE＝45°＋30°＝75°， t＝75÷5＝15； ②当AC∥DE时，如图2， ∵AC∥DE， ∴∠ACD＝∠D＝90°， ∴∠ACE＝90°＋30°＝120°， t＝120÷5＝24； ③当BC∥DE时，如图3，则∠DCB＝∠D＝90°， ∠ACE＝30°＋90°＋45°＝165°， t＝165÷5＝33. 综上，t的值是15或24或33. 学科网（北京）股份有限公司 $$