第五章　二元一次方程组 期末复习训练 2024-2025学年北师大版八年级数学上册

第五章　二元一次方程组 考点1　二元一次方程（组）的概念 1.观察所给的4个方程组：①②③④其中，符合二元一次方程组定义的是　　　　　　　　　（写出所有正确的序号）. 2.已知关于x，y的方程（m＋2）x｜m｜－1＋y2n＋m＝5是二元一次方程，则m＝　　　　，n＝　　　　. 考点2　已知二元一次方程的解求参数或代数式的值 1.若是二元一次方程组的解，则2m－n的算术平方根是（　　） A.2 B.4 C.±2 D.±4 2.若是方程2x＋y＝5的一个解，则2 019－12a＋2b＝　　　　. 3.已知关于x，y的方程组的解满足x＋y＝1，则a的值为（　　） A.－1 B.3 C.1 D.2 考点3　二元一次方程组的解法 1.解方程组. （1）　　　　　　 （2）　　　　　　 （3） 2.上数学课时，陈老师让同学们解一道关于x，y的方程组并请小方和小龙两位同学到黑板上板演.可是小方同学看错了方程①中的a，得到方程组的解为小龙同学看错了方程②中的b，得到方程组的解为你能按正确的a，b值求出方程组的解吗？ 3.已知方程组与方程组的解相同，求a，b的值. 考点4　二元一次方程组与一次函数 1.若直线y＝kx－3与直线y＝x－2相交于点（4，2），则关于x，y的方程组的解是（　　） A. B. C. D. 2.已知一次函数的图象过点（－1，3）与（2，－3），则这个一次函数的表达式为　　　　　　　. 考点5　二元一次方程（组）的实际应用 1.《九章算术》中记载了一道数学问题，其译文为：有大、小两种盛酒的桶，已知6个大桶加上4个小桶可以盛酒48斛（斛，音hú，是古代一种容量单位），5个大桶加上3个小桶可以盛酒38斛.1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？设1个大桶可以盛酒x斛，1个小桶可以盛酒y斛.根据题意，可列方程组为（　　） A. B. C. D. 2.如果两个两位数的差是10，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数，若这两个四位数的和是5 050，设较大的两位数为x，较小的两位数为y，根据题意列方程组为　　　　　　　　　　　　. 3.现欲将一批荔枝运往外地销售，若用2辆A型车和1辆B型车载满荔枝一次可运走10吨；1辆A型车和2辆B型车载满荔枝一次可运走11吨.现有荔枝31吨，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物.根据以上信息，解答下列问题： （1）1辆A型车和1辆B型车都载满荔枝一次可分别运送多少吨？ （2）请你帮该物流公司设计租车方案. 4.某工厂去年的利润（总产值－总支出）为200万元，今年总产值比去年增加了20％，总支出比去年减少了10％，今年的利润为780万元.去年的总产值、总支出各是多少万元？ 5.李明进行自行车和长跑专项训练.已知李明骑自行车的平均速度为每分钟600米，跑步的平均速度为每分钟200米，自行车路段和长跑路段共5千米，用时15分钟.求自行车路段和长跑路段的长度. 6.如图，直线l1：y＝－2x与直线l2：y＝2x＋m交于点P（－1，n），l2与x轴、y轴分别交于点A和点B. （1）n＝　　　　　. （2）点C是y轴上一点，当AC＋PC的值最小时，点C的坐标为　　　　. 【课后作业】 一、选择题 1.小明在解关于x，y的二元一次方程组时，解得则△和★代表的数分别是（　　） A.3，－1 B.1，5 C.－1，3 D.5，1 2.有一首歌谣是这样说的：“栖树一群鸦，鸦树不知数，三只栖一树，五只没去处，五只栖一树，闲了一棵树，请你仔细数，鸦树各几何？”大意是：“一群乌鸦在树上栖息，若每棵树上有3只，则5只没地方去，若每棵树上有5只，则多了一棵树.”若歌谣中谈到的鸦为x只，树为y棵，则可列出方程组为（　　） A. B. C. D. 3.已知和都满足方程y＝kx－b，则k，b的值分别为（　　） A.－5，－7 B.－5，－5 C.5，3 D.5，7 二、填空题 4.如图，已知函数y＝ax－b和y＝kx的图象交于点P，则根据图象可得关于x，y的二元一次方程组的解是　　　　. 5.若（k＋1）x＋8y｜k｜＋3＝0是关于x，y的二元一次方程，则k＝　　　　. 6.请欣赏我国古典文学名著《西游记》描述孙悟空追妖精的数学诗：悟空顺风探妖踪，千里只行四分钟，归时四分行六百，风速多少才称雄？解释：孙悟空顺风去查妖精的行踪，4分钟就飞跃1 000里，逆风返回时4分钟走了600里.若设孙悟空的速度为x里/分钟，风速为y里/分钟，则可列方程组　　　　　　　. 7.八块相同的长方形地砖拼成一个矩形，则每块长方形地砖的长和宽分别是　　　　，　　　　. 8.已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为6和9两部分，则它的底边长是　　　　. 三、解答题 9.解方程组： （1）　　　　　 （2）　　　　 （3） 10.已知一次函数y＝kx＋b的图象过点A（3，0），B（－1，2）. （1）求直线AB的表达式； （2）在给出的直角坐标系中，画出y＝和y＝kx＋b的图象，并根据图象写出方程组的解. 11.阅读材料：善于思考的乐乐同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法，把m＋5，n＋3分别看成一个整体，设m＋5＝x，n＋3＝y，则原方程组可化为解得即解得 请你模仿乐乐同学的“整体换元”的方法，解下列方程组： （1）　　　　　　　　　　（2） 12.为迎接“创城活动”，某市环卫局准备购买A，B两种型号的垃圾箱，买2个A型垃圾箱和1个B型垃圾箱共需100元，且B型垃圾箱比A型垃圾箱贵10元. （1）每个A型垃圾箱和B型垃圾箱各多少元？ （2）需购买A，B两种型号的垃圾箱共30个，其中A型垃圾箱不超过16个，求购买垃圾箱的总费用w（元）与A型垃圾箱a（个）之间的函数关系式，并说明总费用至少要多少元. 13.湖滨学校的小明同学计划参加下一届的半程马拉松，爸爸鼓励小明积极训练，并且作为陪练帮助记录训练数据.某日，小明从家出发，匀速跑向与家相距4 800米的公园，10分钟后爸爸从家里出发沿着相同的路线骑共享单车追上小明后，继续往前途经公园，再往前骑行到达还车点，然后立即以平均150米/分的速度跑了1 200米返回公园，刚好与小明同时到达公园门口.假设家、公园和还车点均在同一条笔直的公路上，设小明出发时间为x（分），如图所示为爸爸离家的距离y（米）与x（分）的关系的部分图象，如表所示为小明离家的距离g（米）与x（分）的部分数据，请解答下列问题： x（分） … 5 15 t … g（米） … 800 2 400 4 800 … （1）t＝　　　　. （2）请在图中把爸爸离家的距离y（米）与小明出发时间x（分）关系的图象补充完整. （3）请问小明出发后多少分钟与爸爸第一次相遇？ （4）若用s（米）表示小明、爸爸两人之间的距离，请直接写出两人第一次相遇后，s关于x的函数表达式，并求出两人相距1 800米时的时间. 第五章　二元一次方程组 考点1　二元一次方程（组）的概念 1.观察所给的4个方程组：①②③④其中，符合二元一次方程组定义的是　①②④　（写出所有正确的序号）. 2.已知关于x，y的方程（m＋2）x｜m｜－1＋y2n＋m＝5是二元一次方程，则m＝　2　，n＝　－　. 考点2　已知二元一次方程的解求参数或代数式的值 1.若是二元一次方程组的解，则2m－n的算术平方根是（　A　） A.2 B.4 C.±2 D.±4 2.若是方程2x＋y＝5的一个解，则2 019－12a＋2b＝　2 009　. 3.已知关于x，y的方程组的解满足x＋y＝1，则a的值为（　C　） A.－1 B.3 C.1 D.2 考点3　二元一次方程组的解法 1.解方程组. （1）　　　　　　 解：（1） ①－②，得12y＝－36，解得y＝－3， 把y＝－3代入②中，解得x＝， ∴原方程组的解为 （2）　　　　　　 解：（2）原方程组可化为 ①－②，得y＝5， 把y＝5代入①中，解得x＝7， ∴原方程组的解为 （3） 解：（3） ②化简得2（x－2）－3（y－2）＝6，即2x－3y＝4③， ①＋③，得3x＝18，解得x＝6， 将x＝6代入①，得6＋3y＝14，解得y＝， ∴原方程组的解为 2.上数学课时，陈老师让同学们解一道关于x，y的方程组并请小方和小龙两位同学到黑板上板演.可是小方同学看错了方程①中的a，得到方程组的解为小龙同学看错了方程②中的b，得到方程组的解为你能按正确的a，b值求出方程组的解吗？ 解：由题意，得 解得 所以解得 3.已知方程组与方程组的解相同，求a，b的值. 解：由两方程组的解相同，联立得 ①×7－②，得17x＝34，解得x＝2， 把x＝2代入①，得y＝1， 把代入得解得 考点4　二元一次方程组与一次函数 1.若直线y＝kx－3与直线y＝x－2相交于点（4，2），则关于x，y的方程组的解是（　A　） A. B. C. D. 2.已知一次函数的图象过点（－1，3）与（2，－3），则这个一次函数的表达式为　y＝－2x＋1　. 考点5　二元一次方程（组）的实际应用 1.《九章算术》中记载了一道数学问题，其译文为：有大、小两种盛酒的桶，已知6个大桶加上4个小桶可以盛酒48斛（斛，音hú，是古代一种容量单位），5个大桶加上3个小桶可以盛酒38斛.1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？设1个大桶可以盛酒x斛，1个小桶可以盛酒y斛.根据题意，可列方程组为（　A　） A. B. C. D. 2.如果两个两位数的差是10，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数，若这两个四位数的和是5 050，设较大的两位数为x，较小的两位数为y，根据题意列方程组为　　. 3.现欲将一批荔枝运往外地销售，若用2辆A型车和1辆B型车载满荔枝一次可运走10吨；1辆A型车和2辆B型车载满荔枝一次可运走11吨.现有荔枝31吨，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物.根据以上信息，解答下列问题： （1）1辆A型车和1辆B型车都载满荔枝一次可分别运送多少吨？ 解：（1）设1辆A型车载满荔枝一次可运送x吨，1辆B型车载满荔枝一次可运送y吨， 由题意，得解得 答：1辆A型车载满荔枝一次可运送3吨，1辆B型车载满荔枝一次可运送4吨. （2）请你帮该物流公司设计租车方案. 解：（2）由题意，得3a＋4b＝31，∴a＝. ∵a，b均为非负整数， ∴或或 ∴该物流公司共有3种租车方案： 方案1，租用9辆A型车，1辆B型车； 方案2，租用5辆A型车，4辆B型车； 方案3，租用1辆A型车，7辆B型车. 4.某工厂去年的利润（总产值－总支出）为200万元，今年总产值比去年增加了20％，总支出比去年减少了10％，今年的利润为780万元.去年的总产值、总支出各是多少万元？ 解：设去年的总产值为x万元，总支出为y万元， 根据题意，得 解得 答：去年的总产值为2 000万元，总支出为1 800万元. 5.李明进行自行车和长跑专项训练.已知李明骑自行车的平均速度为每分钟600米，跑步的平均速度为每分钟200米，自行车路段和长跑路段共5千米，用时15分钟.求自行车路段和长跑路段的长度. 解：设自行车路段的长度为x米，长跑路段的长度为y米，则 解得 答：自行车路段的长度为3 000米，长跑路段的长度为2 000米. 6.如图，直线l1：y＝－2x与直线l2：y＝2x＋m交于点P（－1，n），l2与x轴、y轴分别交于点A和点B. （1）n＝　2　. （2）点C是y轴上一点，当AC＋PC的值最小时，点C的坐标为　　. 【课后作业】 一、选择题 1.小明在解关于x，y的二元一次方程组时，解得则△和★代表的数分别是（　D　） A.3，－1 B.1，5 C.－1，3 D.5，1 2.有一首歌谣是这样说的：“栖树一群鸦，鸦树不知数，三只栖一树，五只没去处，五只栖一树，闲了一棵树，请你仔细数，鸦树各几何？”大意是：“一群乌鸦在树上栖息，若每棵树上有3只，则5只没地方去，若每棵树上有5只，则多了一棵树.”若歌谣中谈到的鸦为x只，树为y棵，则可列出方程组为（　C　） A. B. C. D. 3.已知和都满足方程y＝kx－b，则k，b的值分别为（　A　） A.－5，－7 B.－5，－5 C.5，3 D.5，7 二、填空题 4.如图，已知函数y＝ax－b和y＝kx的图象交于点P，则根据图象可得关于x，y的二元一次方程组的解是　　. 5.若（k＋1）x＋8y｜k｜＋3＝0是关于x，y的二元一次方程，则k＝　1　. 6.请欣赏我国古典文学名著《西游记》描述孙悟空追妖精的数学诗：悟空顺风探妖踪，千里只行四分钟，归时四分行六百，风速多少才称雄？解释：孙悟空顺风去查妖精的行踪，4分钟就飞跃1 000里，逆风返回时4分钟走了600里.若设孙悟空的速度为x里/分钟，风速为y里/分钟，则可列方程组　　. 7.八块相同的长方形地砖拼成一个矩形，则每块长方形地砖的长和宽分别是　45 cm　，　15 cm　. 8.已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为6和9两部分，则它的底边长是　7或3　. 三、解答题 9.解方程组： （1）　　　　　 解：（1） 整理得 ①×2＋②，得11x＝22，∴x＝2， 把x＝2代入①，得y＝－1， ∴方程组的解是 （2）　　　　 解：（2） ②＋①×2，得9x＝9，解得x＝1， 将x＝1代入①，得2＋3y＝1，解得y＝－， ∴方程组的解为 （3） 解：（3）方程组整理，得 ①＋②×5得46y＝46，即y＝1， 把y＝1代入②，得x＝7， ∴方程组的解为 10.已知一次函数y＝kx＋b的图象过点A（3，0），B（－1，2）. （1）求直线AB的表达式； 解：（1）根据题意，得解得 所以直线AB的表达式为y＝－x＋. （2）在给出的直角坐标系中，画出y＝和y＝kx＋b的图象，并根据图象写出方程组的解. （2）画出函数y＝｜x｜和函数y＝－x＋的图象如图所示，它们的交点坐标为（－3，3），（1，1）， 所以方程组的解为和 11.阅读材料：善于思考的乐乐同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法，把m＋5，n＋3分别看成一个整体，设m＋5＝x，n＋3＝y，则原方程组可化为解得即解得 请你模仿乐乐同学的“整体换元”的方法，解下列方程组： （1）　　　　　　　　　　 解：设x＋y＝m，6x－y＝n，则原方程组可化为 ①＋②×2，得5m＝15，解得m＝3， 将m＝3代入②，得3＋n＝7，解得n＝4， 即即解得 （2） 解：设x＋y＝6m，x－y＝12n， 则原方程组可化为 ①×3＋②×4，得17m＝17，解得m＝1， 将m＝1代入②，得2－3n＝－1，解得n＝1， 即即解得 12.为迎接“创城活动”，某市环卫局准备购买A，B两种型号的垃圾箱，买2个A型垃圾箱和1个B型垃圾箱共需100元，且B型垃圾箱比A型垃圾箱贵10元. （1）每个A型垃圾箱和B型垃圾箱各多少元？ 解：（1）设每个A型垃圾箱x元，每个B型垃圾箱y元. 根据题意，得解得 答：每个A型垃圾箱30元，每个B型垃圾箱40元. （2）需购买A，B两种型号的垃圾箱共30个，其中A型垃圾箱不超过16个，求购买垃圾箱的总费用w（元）与A型垃圾箱a（个）之间的函数关系式，并说明总费用至少要多少元. 解：（2）w＝30a＋40（30－a）＝－10a＋1 200. ∵－10＜0， ∴w随a的增大而减小. ∵a≤16， ∴当a＝16时，w最小＝－10×16＋1 200＝1 040. ∴总费用至少要1 040元. 13.湖滨学校的小明同学计划参加下一届的半程马拉松，爸爸鼓励小明积极训练，并且作为陪练帮助记录训练数据.某日，小明从家出发，匀速跑向与家相距4 800米的公园，10分钟后爸爸从家里出发沿着相同的路线骑共享单车追上小明后，继续往前途经公园，再往前骑行到达还车点，然后立即以平均150米/分的速度跑了1 200米返回公园，刚好与小明同时到达公园门口.假设家、公园和还车点均在同一条笔直的公路上，设小明出发时间为x（分），如图所示为爸爸离家的距离y（米）与x（分）的关系的部分图象，如表所示为小明离家的距离g（米）与x（分）的部分数据，请解答下列问题： x（分） … 5 15 t … g（米） … 800 2 400 4 800 … （1）t＝　　　　. 解：（1）小明的速度为＝160（米/分）， ∴t＝＝30（分）， 故答案为30. （2）请在图中把爸爸离家的距离y（米）与小明出发时间x（分）关系的图象补充完整. 解：（2）小明爸爸返回公园所需要的时间为＝8（分）， ∴小明爸爸返回公园时，x＝22＋8＝30（分）， ∴当22≤x≤30时，y＝6 000－150（x－22）＝－150x＋9 300， ∴y＝－150x＋9 300（22≤x≤30）. 补充图象如图所示. （3）请问小明出发后多少分钟与爸爸第一次相遇？ 解：（3）由图可知，当10≤x＜22时，爸爸的速度为＝500（米/分）. 设小明出发后t分钟与爸爸第一次相遇， 根据题意，得160t＝500（t－10）， 解得t＝， ∴小明出发后分钟与爸爸第一次相遇. （4）若用s（米）表示小明、爸爸两人之间的距离，请直接写出两人第一次相遇后，s关于x的函数表达式，并求出两人相距1 800米时的时间. 解：（4）根据题意，得g＝160x（0≤x≤30）； 当10≤x＜22时，设y＝kx＋b（k，b为常数，且k≠0）. ∵当x＝10时，y＝0；当x＝22时，y＝6 000， ∴解得 ∴y＝500x－5 000（10≤x＜22）， ∴两人第一次相遇后，g＝160x， y＝ ∴当＜x≤22时，s＝500x－5 000－160x＝340x－5 000； 当22＜x≤30时，s＝－150x＋9 300－160x＝－310x＋9 300. 综上，s＝ 当340x－5 000＝1 800时，解得x＝20； 当－310x＋9 300＝1 800时，解得x＝. ∴两人第一次相遇后，s关于x的函数表达式为s＝两人相距1 800米时的时间为20分或分. 学科网（北京）股份有限公司 $$