第5章：二元一次方程组章末重点题型复习-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（北师大版）

（北师大版）八年级上册 第5章：二元一次方程组章末重点题型复习 题型一 二元一次方程（组）的识别 1．（2024春•长兴县期末）下列方程是二元一次方程的是（　　） A．x+2y B．x﹣3y＝2 C． D．x2+2y＝1 2．（2023秋•金凤区校级期末）下列各式中属于二元一次方程的有（　　） ①x﹣2y＝1；②；③y﹣z＝4；④xy＝1；⑤5x﹣3y；⑥． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．（2024秋•双流区校级期中）下列方程组是二元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 4．（2024春•北湖区校级期中）下列方程组为二元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 5．（2024秋•南海区校级月考）下列方程组是二元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 题型二 利用二元一次方程的解求字母参数的值 1．（2024秋•灞桥区校级期中）已知（2﹣a）x+y|a|﹣1＝3是关于x，y的二元一次方程，则a的值是（　　） A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D．1 2．（2024春•沈丘县期末）已知（a﹣2）y＝1是一个二元一次方程，则a的值为（　　） A．±2 B．﹣2 C．2 D．无法确定 3．（2024春•宿城区校级期末）若（m﹣2）x+3y|m﹣1|＝12是关于x，y的二元一次方程，则m的值是（　　） A．2 B．2或0 C．0 D．任何数 4．（2024秋•碑林区校级月考）已知方程（a﹣3）x|a﹣2|﹣y＝1是关于x，y的二元一次方程，则a＝ 　 　． 5．（2024秋•沙坪坝区校级期中）方程2xm+1+3y2n﹣1＝7是关于x，y的二元一次方程，则m﹣2n的值为　 　． 6．（2023春•贵州期中）已知方程（m﹣2）x|m|﹣1+（n+3）6是关于x，y的二元一次方程． （1）求m，n的值； （2）求x时，y的值． 题型三 直接代入二元一次方程的解字母参数的值 1．（2024春•恩施市校级期末）已知是关于x，y的方程3x﹣ky＝2的一组解，那么k的值为（　　） A． B． C． D．2 2．（2024秋•沙坪坝区校级期中）已知是关于x，y的二元一次方程2xa﹣2+my＝4的一个解，则a+m的值为（　　） A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4 3．（2024秋•杏花岭区校级月考）下面4组数值中，哪一个是二元一次方程组的解？（　　） A． B． C． D． 4．（2023秋•岳阳楼区校级期末）已知是关于x、y的二元一次方程kx﹣y＝5的一个解，则k＝　 　． 5．（2024秋•怀远县月考）若是方程2x﹣3y＝2的解，则﹣4m+5+6n＝ 　 　． 6． （2023秋•神木市期末）已知关于x、y的二元一次方程6x+5y＝a的一组解为，求﹣4a的平方根． 题型四 求二元一次方程的特殊解 1．（2024春•公主岭市期末）写出二元一次方程x+y＝5的一组整数解 　 　． 2．（2024秋•耒阳市校级月考）二元一次方程4x+y＝10共有 　 　组正整数解． 3．（2024春•榆树市期中）二元一次方程2x+y＝3的非负整数解有 　 　组． 4．（2023春•滦南县期中）已知二元一次方程5x+3y＝18． （1）把方程写成用含x的代数式表示y的形式； （2）填表，使x、y的值是方程5x+3y＝18的解； x 0 1 2 3 4 y 6 （3）根据表格，请直接写出方程的非负整数解． 5．（2023秋•九江月考）定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次不定方程．例：x+2y＝3是二元一次不定方程． （1）求二元一次不定方程x+2y＝3的正整数解； （2）若笔记本7元一本，水笔4元一支，乐乐用30元恰好买了若干笔记本和水笔，求笔记本和水笔的数量． 题型五 解二元一次方程组 1．（2024秋•怀远县月考）若单项式2amb2与﹣a4bn是同类项，则方程组的解为（　　） A． B． C． D． 2．（2024秋•驿城区校级月考）在解关于x，y的方程组时，可以用①×2+②消去未知数x，也可以用①+②×5消去未知数y，则m﹣n＝（　　） A．4 B． C． D． 3．（2024春•北湖区校级期中）解以下两个方程组：①②较为简便方法的是（　　） A．①②均用代入法 B．①②均用加减法 C．①用代入法，②用加减法 D．①用加减法，②用代入法 4．（2024秋•雁塔区校级月考）解方程组： （1）； （2）． 5．（2024秋•青山区校级期末）解方程组： （1）； （2）． 6．（2024秋•迎泽区校级月考）（1）观察发现： 材料：解方程组， 将①整体代入②，得3×4+y＝14， 解得y＝2， 把y＝2代入①，得x＝2， 所以 这种解法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答， 请直接写出方程组的解为 　 ． （2） 实践运用：请用“整体代入法”解方程组． 题型六 方程组的解满足的条件求字母参数的值 1．（2024秋•固镇县期中）若方程组的解中x与y的值互为相反数，则m的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2023秋•青原区期末）若关于x、y的方程组的解满足x+y＝2023，则k等于（　　） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 3．（2023秋•三原县期末）若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程2x+3y＝6的解，则k的值为（　　） A． B． C． D． 4．（2023春•兰溪市校级期中）关于x，y的二元一次方程组的解满足x+y＝a+3，求x2﹣y2的值． 5．（2024春•兰考县期中）已知关于x、y的二元一次方程组的解为． （1）求a、b的值； （2）求2024a﹣b的值． 题型七 二元一次方程组的同解问题 1．（2023春•西平县期末）如果方程组的解与方程组的解相同，则a、b的值是（　　） A． B． C． D． 2．（2024秋•温江区校级月考）已知关于x、y的方程组和有相同的解，则（2a+3b）2024的值为 　 　． 3．（2024春•北湖区校级期中）已知方程组与有相同的解，求m、n的值． 4．（2024春•扬州期末）已知方程组和有相同的解，求（2a+3b）2023的值． 5．（2023春•禹州市期末）已知关于x，y的方程组和有相同的解． （1）求这个相同的解； （2）求的值． 题型八 二元一次方程组的看错解问题 1．（2023秋•七里河区校级期末）小明在解方程组时，得到的解是，小英同样解这个方程组，由于把c抄错而得到的解是，求a，b，c的值． 2．（2023春•大安市期末）在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，得到的解为，乙看错了方程组中的b，得到的解为． （1）求正确的a，b的值； （2）求原方程组的解． 3．（2023春•肃宁县期末）小明和小丽同解一个二元一次方程组，小明正确解得，小丽因抄错了c，解得．已知小丽除抄错c外没有发生其他错误，求a+b+c的值． 4．（2023春•铜梁区月考）已知方程组，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为；乙看错了②中的b，得到方程组的解为． （1）求a、b的值； （2）求原方程组的正确解． 题型九 由实际问题列二元一次方程组 1．（2023秋•光明区期末）在新年来临之际，梅梅打算去花店为妈妈挑选新年礼物．已知康乃馨每枝6元，百合每枝5元．梅梅购买这两种花18枝恰好用去100元，设她购买x枝康乃馨，y枝百合，可列出方程组为（　　） A． B． C． D． 2．（2024秋•麒麟区校级期中）我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，绳多一尺，本长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条短1尺．木条长多少尺？如果设木条长x尺，绳子长y尺，那么可列方程组为（　　） A． B． C． D． 3．（2024秋•杏花岭区校级月考）如图，8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，大长方形的宽为60cm，每块小长方形地砖的长和宽分别是多少？如果设每块小长方形地砖的长和宽分别是x cm和y cm，则下列哪个方程组是错误的？（　　） A． B． C． D． 4．（2024春•恩施市校级期末）古书中有一个“隔沟计算”的问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详．甲云得乙九只羊，多乙一倍之上，乙说得甲九只，两家之数相当．”翻译成现代文，其大意如下：甲乙两人隔一条沟放牧，二人心里暗中合计．甲对乙说：“我得到你的九只羊，我的羊就比你多一倍．”乙对甲说：“我得到你的九只羊，咱俩的羊一样多．”设甲有羊x只，乙有羊y只，则符合题意的方程组是（　　） A． B． C． D． 5．（2024秋•沈阳月考）从甲地到乙地有一段上坡与一段平路．如果保持上坡每小时走3km，平路每小时走4km，下坡每小时走5km，那么从甲地到乙地需54min，从乙地到甲地需42min．设从甲地到乙地上坡与平路分别为x km，y km，依题意，所列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 题型十 用二元一次方程组解决实际问题 1．图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项．把图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来，就是，在图2所示的算筹图中有一个图形被墨水覆盖了，如果图2所表示的方程组中x的值为3，则被墨水所覆盖的图形为（　　） A．| B．|| C．||| D．|||| 2．（2024春•黔江区期末）小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图所示．若小明把30个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是 　 　cm． 3．（2023秋•姜堰区校级月考）一个两位数，个位上的数字与十位上的数字的和为13，若把个位上的数字与十位上的数字对调，则所得的数比原数的2倍小4，求原来的两位数． 4．（2024春•聊城期中）黄玉骑自行车去香山，她先以8千米/时的速度走平路，而后又以4千米/时的速度上坡到达香山，共用了1.5小时，返回时，先以12千米/时的速度下坡，而后以9千米/时的速度经过平路，回到原出发点，共用去55分钟，求从出发点到香山的路程是多少千米？ 5．（2023秋•青原区期末）红星服装厂要生产一批某种型号的学生服装，已知3米长的布料可做上衣2件或裤子3条，一件上衣和一条裤子为一套，计划用600米长的这种布料生产，应分别用多少布料生产上衣和裤子才能恰好配套？共能生产多少套？ 6．（2024秋•雁塔区校级月考）某商场用14600元购进甲、乙两种矿泉水共500箱，矿泉水的成本价与销售价如下表所示： 类别 成本价（元/箱） 销售价（元/箱） 甲 22 36 乙 34 58 （1）购进甲、乙两种矿泉水各多少箱？ （2）该商场售完这500箱矿泉水，甲获利多少元？ 7．（2024秋•灞桥区校级月考）某超市从厂家购进A、B两种型号的水杯，两次购进水杯的情况如表； 进货批次 A型水杯（个） B型水杯（个） 总费用（元） 一 100 200 4000 二 40 60 1300 （1）求A、B两种型号的水杯进价各是多少元？ （2）第三次进货用8000元钱购进这两种水杯，如果每销售出一个A型水杯可获利8元，售出一个B型水杯可获利6元，超市决定每售出一个A型水杯就为当地“爱心捐赠”活动捐b元．若A、B两种型号的水杯在全部售出的情况下，捐款后所得的利润始终不变，此时b为多少？利润为多少？ 8．（2024春•海曙区期末）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元 （1）求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ （2）若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案； （3）若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利8000元，销售1辆B型汽车可获利5000元，在（2）中的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？ 题型十一 二元一次方程（组）与一次函数 1．（2023秋•汉台区期末）如图，直线y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）与直线y＝x+4相交于点P，若点P的纵坐标为8，则关于x、y的二元一次方程组的解为（　　） A． B． C． D． 2．（2024秋•迎泽区校级月考）如图中的两直线l1、l2的交点坐标可以看作哪个方程组的解（　　） A． B． C． D． 3．（2024秋•江苏期末）如图，直线l1：y＝3x﹣1与直线l2：y＝mx+n相交于点P（1，b），则关于x，y的方程组的解为（　　） A． B． C． D． 4．（2023秋•汝州市期末）如图，一次函数y＝kx+b与y＝x+2的图象相交于点P（m，4），则方程组的解是 　 ． 5．（2023秋•汝州市期末）如图，一次函数y＝kx+b与y＝x+2的图象相交于点P（m，4），则方程组的解是 　 ． 6．（2024秋•乌当区月考）如图，已知一次函数y＝kx+b的图象经过点A（0，2），B（4，0），C为直线AB上的动点，正比例函数y＝mx的图象经过点C． （1）求一次函数的表达式； （2）若点C（1，a），求方程组的解． 题型十二 用二元一次方程组确定一次函数 1．（2023春•西昌市校级月考）若y﹣2与x+3成正比例，且当x＝0时，y＝5，则当x＝1时，y等于（　　） A．1 B．6 C．4 D．3 2．（2023秋•锡山区校级月考）一次函数y＝kx+b的图象经过A（1，1），B（2，﹣1）两点，则这个函数的表达式为 　 　． 3．（2023秋•长兴县期末）已知y是x的一次函数，且当x＝0时，y＝3；当x＝﹣2时，y＝6． （1）求这个一次函数的表达式； （2）当x＝3时，求出对应y的值． 4．（2023秋•平桂区 期末）已知一次函数的图象经过A（2，0），B（0，4）两点． （1）求此一次函数表达式； （2）试判断点（﹣1，6）是否在此一次函数的图象上． 5．已知y+a与x﹣b成正比例（其中a、b都是常数）． （1）试说明y是x的一次函数； （2）如果x＝﹣1时，y＝﹣15；x＝7时，y＝1，求这个一次函数的解析式． 6．（2023秋•西湖区校级期中）已知y＝y1+y2，y1与x﹣1成正比，y2与x成正比．当x＝2时，y＝4；当x＝﹣1时，y＝﹣5． （1）求y与x的函数关系式； （2）当x＝﹣5时，求y的值； （3）当y＞0时，求x的取值范围． 题型十三 二元一次方程组与一次函数的综合应用 1．（2024春•西湖区校级月考）如图，已知点A（0，4），C（﹣2，0）在直线l：y＝kx+b上，l和函数y＝﹣4x+a的图象交于点B． （1）求直线l的函数表达式； （2）若点B的横坐标是1，求关于x，y的方程组的解及a的值． 2．（2023秋•渭城区期末）已知点A（0，4），C（﹣2，0）在直线l：y＝kx+b的图象上，直线l和一次函数y＝﹣4x+a的图象交于点B． （1）求直线l的表达式； （2）若点B的横坐标是1，求点B的坐标，并直接写出关于x，y的方程组的解； （3）在（2）的条件下，若点A关于x轴的对称点为P，求△BPC的面积． 3．（2024春•南阳月考）如图，已知一次函数y＝kx+b的图象经过点A（0，2），B（4，0），C为直线AB上的动点，正比例函数y＝mx的图象经过点C． （1）求一次函数的表达式； （2）若点C（1，a），请直接写出方程组的解； （3）若S△BOC＝3S△AOC，求m的值． 4．（2024春•垫江县期末）如图，直线l1：y＝x+5交y轴，x轴于A，B两点，直线l2：yx﹣1交y轴，x轴于C，D两点，直线l1，l2相交于P点． （1）方程组的解是 　 ； （2）求直线l1，l2与x轴围成的三角形面积； （3）过P点的直线把△PAC面积两等分，直接写出这条直线的解析式． 5．（2023秋•靖边县期末）如图，正比例函数y＝﹣3x的图象与一次函数y＝kx+b的图象交于点P（m，3），一次函数图象经过点B（1，1），与y轴的交点为D，与x轴的交点为C． （1）求一次函数表达式； （2）求D点的坐标； （3）求△COP的面积； （4）不解关于x、y的方程组，直接写出方程组的解． 题型十四 解三元一次方程组 1．（2024春•南安市期中）解方程组时，要使解法较为简便，应（　　） A．先消去x B．先消去y C．先消去z D．先消去常数 2．（2024•拱墅区一模）已知方程组，则x+y+z的值是（　　） A．9 B．8 C．7 D．6 3．（2023春•岚山区期末）解三元一次方程组，若先消去z，组成关于x、y的方程组，则应对方程组进行的变形是（　　） A．①﹣②，②+③ B．①×2+③，②×2+③ C．①+②，②×2+③ D．①+③，②+③ 4．（2023春•宝山区期末）解方程组：． 5．（2023春•牟平区期中）解三元一次方程组：． 6．解下列三元一次方程组： （1）； （2） 题型十五 三元一次方程组的解的简单应用 1．（2024春•台江县校级期中）若方程组的解x、y的值相等，则a的值为（　　） A．﹣4 B．4 C．2 D．1 2．（2023•拱墅区三模）若方程组的解也是方程3x+ky＝10的解，则k的值是（　　） A．6 B．10 C．9 D． 3．（2023春•荣县校级期中）对于实数x，y定义新运算：x⊗y＝ax+by+c，其中a，b，c均为常数，且已知3⊗5＝15，4⊗7＝28，则2⊗3的值为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 4．如果方程组的解使代数式kx+2y﹣z的值为10，那么k的值为（　　） A． B．3 C． D．﹣3 5．（2023春•米易县校级月考）已知代数式ax2+bx+c，当x＝0时，它的值为﹣3；当x＝﹣3时，它的值为0；当x＝2时，它的值为5． （1）求a，b，c的值． （2）求当时代数式的值． 7． 已知x、y、z都不为零，且，求式子的值． 题型十六 三元一次方程组的实际应用 1．（2023春•西湖区校级期中）为确保信息安全，信息需要加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密），已知加密规则为：明文a，b，c，对应密文a+1，﹣a+2b+4，b+3c+9，如果接收方收到密文7，12，22，则解密得到的明文为（　　） A．6，2，7 B．2，6，7 C．6，7，2 D．7，2，6 2．（2023秋•青山区校级月考）小梦在某购物平台上购买甲、乙、丙三种商品，当购物车内选择3件甲，2件乙，1件丙时显示的价格为420元；当购物车内选择2件甲，3件乙，4件丙时显示的价格为580元，那么购买甲、乙、丙各两件应该付款（　　） A．200元 B．400元 C．500元 D．600元 3．（2023•沂水县二模）某商店将巧克力包装成甲、乙两种礼盒出售，且每盒甲种礼盒的价钱相同，每盒乙种礼盒的价钱相同，晓雨原先想购买2盒甲种礼盒和5盒乙种礼盒，但他身上的钱还差3元，如果改成购买5盒甲种礼盒和2盒乙种礼盒，他身上的钱会剩下3元，若晓雨最后购买7盒甲种礼盒，则他身上剩下的钱数是（　　） A．1元 B．3元 C．5元 D．7元 4．（2023•天河区开学）甲、乙，丙三人合买一台电视机，甲付的钱数等于乙付的钱数的2倍，也等于丙付的钱数的3倍．已知甲比丙多付了680元，请问： （1）甲、乙、丙三人所付的钱数之比是多少？ （2）这台电视机的售价是多少元？ 5．一个三位数，个位、百位上的数字的和等于十位上数字的2倍，百位上的数字的3倍等于个位、十位上的数字的和，个位、十位、百位上的数字的和是12．求这个三位数． 6．（2024春•凤凰县期末）某学校计划用104 000元购置一批电脑（这批款项须恰好用完，不得剩余或追加）．经过招标，其中平板电脑每台1600元，台式电脑每台4000元，笔记本电脑每台4600元． （1）若学校同时购进其中两种不同类型的电脑共50台，请你帮学校设计该如何购买； （2）若学校同时购进三种不同类型的电脑共26台（三种类型的电脑都有），并且要求笔记本电脑的购买量不少于15台，请你帮学校设计购买方案． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ （北师大版）八年级上册 第5章：二元一次方程组章末重点题型复习 题型一 二元一次方程（组）的识别 1．（2024春•长兴县期末）下列方程是二元一次方程的是（　　） A．x+2y B．x﹣3y＝2 C． D．x2+2y＝1 【分析】根据二元一次方程的定义解答即可． 【解答】解：A、x+2y是整式，不是方程，不符合题意； B、x﹣3y＝2是二元一次方程，符合题意； C、y＝0是分式方程，不符合题意； D、x2+2y＝1是二元二次方程，不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查的是二元一次方程的定义，熟知含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程是解题的关键． 2．（2023秋•金凤区校级期末）下列各式中属于二元一次方程的有（　　） ①x﹣2y＝1；②；③y﹣z＝4；④xy＝1；⑤5x﹣3y；⑥． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】根据二元一次方程的定义进行判断即可． 【解答】解：根据二元一次方程的概念知，①③两个方程是二元一次方程；②是一元一次方程；④中项的次数是二次，不是一次，不是二元一次方程；⑤不是方程，故不是二元一次方程；⑥是分式方程； 综上所述，是二元一次方程的有两个， 故选：A． 【点评】本题考查了二元一次方程的定义，关键掌握含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程． 3．（2024秋•双流区校级期中）下列方程组是二元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 【分析】由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组，据此进行判断即可． 【解答】解：符合二元一次方程组的定义，则A符合题意； 中不是整式，则B不符合题意； 中xy的次数不是1，则C不符合题意； 中x2的次数不是1，则D不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查二元一次方程组的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 4．（2024春•北湖区校级期中）下列方程组为二元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二元一次方程组的定义，逐一分析四个选项中的方程组，即可得出结论． 【解答】解：A.是二元二次方程组，选项A不符合题意； B.是分式方程组，选项B不符合题意； C.是三元一次方程组，选项C不符合题意； D.是二元一次方程组，选项D符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了二元一次方程组的定义，牢记“由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组”是解题的关键． 5．（2024秋•南海区校级月考）下列方程组是二元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 【分析】利用二元一次方程组的定义，逐一分析四个选项中的方程组，即可得出结论． 【解答】解：A．方程组是二元一次方程组，选项A符合题意； B．方程组含有三个未知数，选项B不符合题意； C．方程组中xy﹣1＝0是二次方程，选项C不符合题意； D．方程组中x2不是整式方程，选项D不符合题意． 故选：A． 【点评】本题考查了二元一次方程组的定义，牢记“①方程组中的两个方程都是整式方程；②方程组中共含有两个未知数；③每个方程都是一次方程”是解题的关键． 题型二 利用二元一次方程的解求字母参数的值 1．（2024秋•灞桥区校级期中）已知（2﹣a）x+y|a|﹣1＝3是关于x，y的二元一次方程，则a的值是（　　） A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D．1 【分析】先根据二元一次方程的定义得出关于a的不等式和方程，求出a的值即可． 【解答】解：∵方程（2﹣a）x+y|a|﹣1＝3是关于x，y的二元一次方程， ∴|a|﹣1＝1且2﹣a≠0， 解得a＝﹣2． 故选：B． 【点评】本题考查的是二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程． 2．（2024春•沈丘县期末）已知（a﹣2）y＝1是一个二元一次方程，则a的值为（　　） A．±2 B．﹣2 C．2 D．无法确定 【分析】根据二元一次方程未知数x的指数为1，系数不为0判断即可． 【解答】解：∵（a﹣2）y＝1是一个二元一次方程， ∴， 解得：a＝﹣2， 故选：B． 【点评】主要考查二元一次方程的概念，要求熟悉二元一次方程的形式及其特点：只含有2个未知数，且含有未知数的项的次数是1的整式方程． 3．（2024春•宿城区校级期末）若（m﹣2）x+3y|m﹣1|＝12是关于x，y的二元一次方程，则m的值是（　　） A．2 B．2或0 C．0 D．任何数 【分析】从二元一次方程满足的条件：含有2个未知数和最高次项的次数是1这两个方面考虑． 【解答】解：∵（m﹣2）x+3y|m﹣1|＝12是关于x，y的二元一次方程， ∴|m﹣1|＝1且m﹣2≠0， 解得：m＝0， 故选：C． 【点评】本题主要考查二元一次方程的定义，解答本题的关键要明确二元一次方程必须符合以下三个条件：（1）方程中只含有2个未知数；（2）含未知数项的最高次数为一次；（3）方程是整式方程． 4．（2024秋•碑林区校级月考）已知方程（a﹣3）x|a﹣2|﹣y＝1是关于x，y的二元一次方程，则a＝ 　 　． 【分析】根据二元一次方程的定义，从二元一次方程的未知数次数为1这一方面考虑，先求出a的值，再进一步根据a﹣3≠0即可得出最后答案． 【解答】解：∵方程（a﹣3）x|a﹣2|﹣y＝1是关于x，y的二元一次方程， ∴a﹣3≠0，|a﹣2|＝1， 解得a＝1， 故答案为：1． 【点评】本题考查了二元一次方程的定义，绝对值，熟练掌握二元一次方程的定义是解题的关键． 5．（2024秋•沙坪坝区校级期中）方程2xm+1+3y2n﹣1＝7是关于x，y的二元一次方程，则m﹣2n的值为　 　． 【分析】只含有两个未知数，且含未知数的项的次数为1的整式方程叫做二元一次方程，据此可得m+1＝1，2n﹣1＝1，则m＝0，n＝1，再代值计算即可． 【解答】解：∵方程2xm+1+3y2n﹣1＝7是关于x，y的二元一次方程， ∴m+1＝1，2n﹣1＝1， ∴m＝0，n＝1， ∴m﹣2n＝0﹣2×1＝﹣2， 故答案为：﹣2． 【点评】本题主要考查了二元一次方程的定义，关键是二元一次方程定义的熟练掌握． 6．（2023春•贵州期中）已知方程（m﹣2）x|m|﹣1+（n+3）6是关于x，y的二元一次方程． （1）求m，n的值； （2）求x时，y的值． 【分析】二元一次方程是含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程，当所含未知数的系数有待定字母时，则必须保证两个未知数的系数都不为零，由此入手列不等式组即可求解． 【解答】解：（1）因为，已知方程（m﹣2）x|m|﹣1+（n+3）6是关于x，y的二元一次方程， 所以， 解这个不等式组得：m＝﹣2，n＝3 即：m＝﹣2，n＝3 （2）因为，当m＝﹣2，n＝3时，二元一次方程可化为：﹣4x+6y＝6 所以，当x时，有： ﹣46y＝6 y 即：求x时，y的值为 【点评】本题考查了二元一次方程的定义，解题的关键是能够将定义所限制的条件“翻译”成对应的数学式子． 题型三 直接代入二元一次方程的解字母参数的值 1．（2024春•恩施市校级期末）已知是关于x，y的方程3x﹣ky＝2的一组解，那么k的值为（　　） A． B． C． D．2 【分析】把x、y的值代入方程3x﹣ky＝2，求出k的值即可． 【解答】解：∵是关于x，y的方程3x﹣ky＝2的一组解， ∴﹣3﹣2k＝2， 解得． 故选：B． 【点评】本题考查的是二元一次方程的解，熟知一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解是解题的关键． 2．（2024秋•沙坪坝区校级期中）已知是关于x，y的二元一次方程2xa﹣2+my＝4的一个解，则a+m的值为（　　） A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4 【分析】把x与y的值代入方程计算即可求出a、m的值． 【解答】解：∵是关于x，y的二元一次方程2xa﹣2+my＝4的一个解， ∴a﹣2＝1且2+2m＝4． ∴a＝3，m＝1， ∴a+m＝3+1＝4． 故选：D． 【点评】此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 3．（2024秋•杏花岭区校级月考）下面4组数值中，哪一个是二元一次方程组的解？（　　） A． B． C． D． 【分析】根据方程组的解的定义求解． 【解答】解：解方程组得：， 故选：C． 【点评】本题考查了二元一次方程组的解，理解解的定义，会解方程组是解题的关键． 4．（2023秋•岳阳楼区校级期末）已知是关于x、y的二元一次方程kx﹣y＝5的一个解，则k＝　 　． 【分析】根据二元一次方程的解的定义把代入关于x、y的二元一次方程kx﹣y＝5中即可求出k的值． 【解答】解：把代入关于x、y的二元一次方程kx﹣y＝5中，得 2k﹣（﹣1）＝5， 解得k＝2， 故答案为：2． 【点评】本题考查了二元一次方程的解，熟知方程的解的定义是解题的关键． 5．（2024秋•怀远县月考）若是方程2x﹣3y＝2的解，则﹣4m+5+6n＝ 　 　． 【分析】根据二元一次方程的解的定义把代入方程2x﹣3y＝2中，得到2m﹣3n＝2，然后将要求的式子变形为﹣2（2m﹣3n）+5，代入计算即可． 【解答】解：把代入方程2x﹣3y＝2中，得2m﹣3n＝2， ∴﹣4m+5+6n＝﹣2（2m﹣3n）+5＝﹣2×2+5＝1， 故答案为：1． 【点评】本题考查了二元一次方程的解，代数式求值，熟练掌握整体思想是解题的关键． 6．（2023秋•神木市期末）已知关于x、y的二元一次方程6x+5y＝a的一组解为，求﹣4a的平方根． 【分析】将x，y的值代入原方程，可求出a的值，再求﹣4a的平方根即可． 【解答】解：将代入原方程，得6×3+5×（﹣5）＝a， ∴a＝﹣7， ∴﹣4a＝﹣4×（﹣7）＝28， ∴﹣4a的平方根是±2． 【点评】本题考查了二元一次方程的解以及平方根，掌握方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键． 题型四 求二元一次方程的特殊解 1．（2024春•公主岭市期末）写出二元一次方程x+y＝5的一组整数解 　 　． 【分析】用x表示出y，确定出整数解即可． 【解答】解：方程x+y＝5， 解得：y＝﹣x+5， 当x＝2时，y＝3， 则二元一次方程的一组整数解为（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 【点评】此题考查了解二元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 2．（2024秋•耒阳市校级月考）二元一次方程4x+y＝10共有 　 　组正整数解． 【分析】先求出y＝10﹣4x，再根据x、y都是正整数，确定x的值，进而确定y的值即可． 【解答】解：∵4x+y＝10， ∴y＝10﹣4x， ∵x、y都是正整数， ∴当x＝1时，y＝10﹣4×1＝6， 当x＝2时，y＝10﹣4×2＝2， 当x＝3时，y＝10﹣4×3＝﹣2（不符合题意，舍去）， ∴二元一次方程4x+y＝10共有2组正整数解． 故答案为：2． 【点评】本题主要考查了解二元一次方程，解决本题的关键是应用“x、y都是正整数”这一条件解答． 3．（2024春•榆树市期中）二元一次方程2x+y＝3的非负整数解有 　 　组． 【分析】分别令x＝0，1，2，3…，然后代入方程2x+y＝3中，求出y值，再进行判断即可． 【解答】解：∵当x＝0时，y＝3； 当x＝1时，2+y＝3，y＝1； 当x＝2时，4+y＝3，y＝﹣1， 当x＝3时，6+y＝3，y＝﹣3； …， ∴二元一次方程2x+y＝3的非负整数解为：，共2组， 故答案为：2． 【点评】本题主要考查了二元一次方程的解，解题关键是熟练掌握二元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值． 4．（2023春•滦南县期中）已知二元一次方程5x+3y＝18． （1）把方程写成用含x的代数式表示y的形式； （2）填表，使x、y的值是方程5x+3y＝18的解； x 0 1 2 3 4 y 6 （3）根据表格，请直接写出方程的非负整数解． 【分析】（1）要用含x的代数式表示y，就要把方程中含有x的项和常数项移到方程的右边，再把y的系数化为1即可； （2）将x的值1，3，4分别代入，求出y的值即可； （3）根据表格，直接写出方程的非负整数解即可． 【解答】解：（1）5x+3y＝18， 得3y＝18﹣5x， 所以； （2）将x的值1，3，4分别代入中得到y的值分别为：，1，； ∴填表如下： x 0 1 2 3 4 y 6 1 故答案为：，1，； （3）由上表可知：方程的非负整数解为：或． 【点评】本题考查了二元一次方程的解，以及方程的非负整数解，学会用含一个未知数的代数式表示另一个未知数是解题的关键． 5．（2023秋•九江月考）定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次不定方程．例：x+2y＝3是二元一次不定方程． （1）求二元一次不定方程x+2y＝3的正整数解； （2）若笔记本7元一本，水笔4元一支，乐乐用30元恰好买了若干笔记本和水笔，求笔记本和水笔的数量． 【分析】（1）由x+2y＝3得x＝3﹣2y，再根据x、y为正整数，可得出方程的解； （2）设买笔记本x本，买水笔y支，根据金额＝单价×数量，列出方程，再求出方程的正整数解即可． 【解答】解：（1）∵x+2y＝3， ∴x＝3﹣2y， ∵x、y为正整数， ∴x＝1，y＝1． （2）设买笔记本x本，买水笔y支，根据题意，得 7x+4y＝30， ∴， ∵x、y为正整数， ∴x＝2，y＝4． 答：买笔记本2本，买水笔4支． 【点评】本题考查二元一次方程的应用，求二元一次方程的正整数解是关键． 题型五 解二元一次方程组 1．（2024秋•怀远县月考）若单项式2amb2与﹣a4bn是同类项，则方程组的解为（　　） A． B． C． D． 【分析】先根据同类项的定义求出m、n的值，再根据代入消元法解二元一次方程组即可． 【解答】解：若单项式2amb2与﹣a4bn是同类项， 则m＝4，n＝2， 所以方程组为， 把①代入②，得2×4y+y＝8， 解得y， 把y代入①，得x， 所以方程组的解为， 故选：A． 【点评】本题考查了同类项，解二元一次方程组，熟练掌握同类项的定义以及代入消元法是解题的关键． 2．（2024秋•驿城区校级月考）在解关于x，y的方程组时，可以用①×2+②消去未知数x，也可以用①+②×5消去未知数y，则m﹣n＝（　　） A．4 B． C． D． 【分析】根据可以用①×2+②消去未知数x，得到2m+2+n＝0③，根据可以用①+②×5消去未知数y，得到5m﹣n＝0④，据此建立关于m、n的方程组，解方程组即可得到答案． 【解答】解：①×2+②整理得得：（2m+2+n）x+（m﹣2n）y＝27， ∵可以用①×2+②消去未知数x， ∴2m+2+n＝0③， ①+②×5整理得得：（m+1+5n）x+（5m﹣n）y＝63， ∵可以用①+②×5消去未知数y， ∴5m﹣n＝0④， 联立③④得， 解得， ∴， 故选：D． 【点评】本题主要考查了加减消元法解二元一次方程组，熟练掌握消元法解方程组是关键． 3．（2024春•北湖区校级期中）解以下两个方程组：①②较为简便方法的是（　　） A．①②均用代入法 B．①②均用加减法 C．①用代入法，②用加减法 D．①用加减法，②用代入法 【分析】根据方程的特点进行解答． 【解答】解：①中的方程中含y的项互为相反数，用加减法比较合适；②是用t表示s的形式，用代入法解答合适； 故选D． 【点评】本题考查了解二元一次方程组，熟悉解方程是解题的关键． 4．（2024秋•雁塔区校级月考）解方程组： （1）； （2）． 【分析】（1）利用代入消元法即可解方程求解； （2）利用代入消元法即可解方程求解． 【解答】解：（1）， 把②代入①，得2（2﹣y）+4y＝9， 解得：， 把代入②，得， 所以原方程组的解为：； （2）， 由①，得2x﹣3y＝﹣4 x③， 把③代入②，得y+3×（）＝5， 解得：y＝2， 把y＝2代入③，得x＝1， 所以原方程组的解为：． 【点评】本题考查解二元一次方程组，掌握代入消元法和加减消元法解二元一次方程组是解题的关键． 5．（2024秋•青山区校级期末）解方程组： （1）； （2）． 【分析】（1）根据代入消元法解方程组即可； （2）根据加减消元法解方程组即可． 【解答】解：（1）， 由②变形为：y＝2x﹣5③， 把③代入①得：x＝2， 把x＝2代入③得：y＝﹣1， 所以方程组的解为：； （2）， 由①变形为：3x﹣2y＝﹣1③， 把②变形为：2x+y＝8④， ③+④×2得：x， 把x代入④得：y， 所以方程组的解为：． 【点评】此题考查解二元一次方程组，关键是根据加减消元法解方程组解答． 6．（2024秋•迎泽区校级月考）（1）观察发现： 材料：解方程组， 将①整体代入②，得3×4+y＝14， 解得y＝2， 把y＝2代入①，得x＝2， 所以 这种解法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答， 请直接写出方程组的解为 　 ． （2）实践运用：请用“整体代入法”解方程组． 【分析】（1）将第一个方程变形为x﹣y＝1，利用整体代入法解方程组即可； （2）将第一个方程变形为2x﹣3y＝2，利用整体代入法解方程组即可． 【解答】解：（1）， 由①得：x﹣y＝1③， 将③代入②得：4﹣y＝5， 解得：y＝﹣1， 将y＝﹣1代入③得：x+1＝1， 解得：x＝0， 则原方程组的解为， 故答案为：； （2）， 由（1）得：2x﹣3y＝2③， 将③代入②得：2y＝9， 解得：y＝4， 将y＝4代入③得：2x﹣12＝2， 解得：x＝7， 故原方程组的解为． 【点评】本题考查整体代入法解二元一次方程组，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键． 题型六 方程组的解满足的条件求字母参数的值 1．（2024秋•固镇县期中）若方程组的解中x与y的值互为相反数，则m的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】先根据该方程组的解中x与y的值互为相反数得x＝﹣y，再将其代入2x﹣y＝6中求出x＝2，y＝﹣2，然后再将x，y的值代入mx﹣（m+1）y＝10中即可求出m的值． 【解答】解：根据题意可知，方程组的解中x＝﹣y， 把x＝﹣y代入2x﹣y＝6， 可得，﹣2y﹣y＝6， 解得：y＝﹣2， ∴x＝2， ∵mx﹣（m+1）y＝10， ∴2m+2（m+1）＝10， 解得：m＝2． 故选：B． 【点评】此题主要考查了二元一次方程组的解，相反数，掌握解二元一次方程组的方法是关键． 2．（2023秋•青原区期末）若关于x、y的方程组的解满足x+y＝2023，则k等于（　　） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 【分析】让方程组中的两个方程直接相加得到5x+5y＝5k﹣5，化简得x+y＝k﹣1，结合已知即可求出k的值． 【解答】解：， ①+②得，5x+5y＝5k﹣5， 即x+y＝k﹣1， 因为x+y＝2023， 所以k﹣1＝2023， 所以k＝2024， 故选：D． 【点评】本题考查了解二元一次方程组及二元一次方程组的解，得出x+y＝k﹣1是解题的关键． 3．（2023秋•三原县期末）若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程2x+3y＝6的解，则k的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】先求出方程组的解，把x、y的值代入方程2x+3y＝6，即可求出k． 【解答】解：， ①+②，得 2x＝14k， ∴x＝7k， 把x＝7k代入①，得 7k+y＝5k， ∴y＝﹣2k， ∴， ∵关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程2x+3y＝6的解， ∴2×7k+3×（﹣2k）＝6， 解得k， 故选：A． 【点评】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程的解等知识点，能得出关于k的方程是解此题的关键． 4．（2023春•兰溪市校级期中）关于x，y的二元一次方程组的解满足x+y＝a+3，求x2﹣y2的值． 【分析】运用加减消元法解出x＝a+2，y＝a﹣2，得出x+y＝2a，根据x+y＝a+3，得出a＝3，求出x＝5，y＝1，进而可求出答案． 【解答】解：， ①×2+②得：5x＝5a+10， 解得x＝a+2， ②×2﹣①得：5y＝5a﹣10， 解得y＝a﹣2， ∴x+y＝2a， ∵x+y＝a+3， ∴2a＝a+3， ∴a＝3， ∴x＝5，y＝1， ∴x2﹣y2＝24． 【点评】本题考查的是二元一次方程组的解，灵活运用加减消元法解方程组是解题的关键． 5．（2024春•兰考县期中）已知关于x、y的二元一次方程组的解为． （1）求a、b的值； （2）求2024a﹣b的值． 【分析】（1）把代入关于x、y的二元一次方程组得关于a，b的方程组，解方程组求出a，b即可； （2）把（1）中所求a，b代入所求代数式进行计算即可． 【解答】解：把代入关于x、y的二元一次方程组得： ， ①+②得：b＝﹣3， 把b＝﹣3代入①得：a＝1， ∴a＝1，b＝﹣3； （2）由（1）得：a＝1，b＝﹣3， ∴2024a﹣b ＝2024×1﹣（﹣3） ＝2024+3 ＝2027， ∴2024a﹣b的值为2027． 【点评】本题主要考查了二元一次方程组的解，解题关键是熟练掌握二元一次方程组的解是使每个方程左右两边相等的未知数的值． 题型七 二元一次方程组的同解问题 1．（2023春•西平县期末）如果方程组的解与方程组的解相同，则a、b的值是（　　） A． B． C． D． 【分析】因为方程组有相同的解，所以只需求出一组解代入另一组，即可求出未知数的值． 【解答】解：由题意得：是的解， 故可得：，解得：． 故选：A． 【点评】本题考查了同解方程组的知识，解答此题的关键是熟知方程组有公共解的含义，考查了学生对题意的理解能力． 2．（2024秋•温江区校级月考）已知关于x、y的方程组和有相同的解，则（2a+3b）2024的值为 　 　． 【分析】求出第一个方程组的解，然后将第一个方程组的解代入第二个方程组求出2a+3b＝﹣1，再代入求出即可． 【解答】解：， 解得：， 将其代入方程组得， 解得：， 则2a+3b＝﹣4+3＝﹣1， 那么原式＝（﹣1）2024＝1， 故答案为：1． 【点评】本题考查了二元一次方程组的解，求出第一个方程组的解是解题的关键． 3．（2024春•北湖区校级期中）已知方程组与有相同的解，求m、n的值． 【分析】根据两个方程组解相同，可先求出x、y的值，再将x、y的值代入其余两个方程即可求出m、n的值． 【解答】解：根据题意，得 解得 把x、y的值代入方程组， 解得 答：m、n的值为、． 【点评】本题考查了二元一次方程组的解，解决本题的关键是先求出x、y的值． 4．（2024春•扬州期末）已知方程组和有相同的解，求（2a+3b）2023的值． 【分析】首先把4x﹣y＝5和3x+y＝9组成方程组，解方程组可得x、y的值，再把x、y的值代入ax+by＝﹣1，然后可求出答案． 【解答】解：解方程组， 解得． 将x＝2，y＝3代入方程ax+by＝﹣1得2a+3b＝﹣1， 则（2a+3b）2023＝﹣1． 【点评】此题主要考查了二元一次方程组的解，关键是掌握二元一次方程组的解一定能使方程左右相等． 5．（2023春•禹州市期末）已知关于x，y的方程组和有相同的解． （1）求这个相同的解； （2）求的值． 【分析】将两方程组中的第一个方程联立求出x与y的值，将第二个方程联立，把x与y的值代入求出a与b的值，进而求出所求式子的值． 【解答】解：（1）由题意得：， 解得：， （2）把代入，得：， 解得：， ∴（a+b）2023＝（2﹣3）2023＝﹣1． 【点评】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组两方程成立的未知数的值．也考查了解二元一次方程组以及代数式求值． 题型八 二元一次方程组的看错解问题 1．（2023秋•七里河区校级期末）小明在解方程组时，得到的解是，小英同样解这个方程组，由于把c抄错而得到的解是，求a，b，c的值． 【分析】把小明求得的解代入方程组的第二个方程可求出c的值，代入第一个方程可以得到a、b的方程，再把小英的解代入第一个方程得到关于a、b的值，组成一个关于a、b的方程组，求解即可． 【解答】解： 把代入cx﹣3y＝﹣2可得：c+3＝﹣2，解得c＝﹣5， 把代入ax+by＝2可得a﹣b＝2①， 把代入ax+by＝2可得2a﹣6b＝2，即a﹣3b＝1②， 由①②可得方程组，解这个方程组可得， 所以a、b、c的值分别为：a，b，c＝﹣5． 【点评】本题主要考查二元一次方程组的解，把两组x、y的值代入方程得到关于a、b的值是解题的关键． 2．（2023春•大安市期末）在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，得到的解为，乙看错了方程组中的b，得到的解为． （1）求正确的a，b的值； （2）求原方程组的解． 【分析】（1）把甲的结果代入第二个方程求出b的值，把乙的结果代入第一个方程求出a的值即可； （2）将a与b的值代入方程组，求出解即可． 【解答】解：（1）由题意得：， 解得：； （2）把代入方程组得：， 解得：． 【点评】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值． 3．（2023春•肃宁县期末）小明和小丽同解一个二元一次方程组，小明正确解得，小丽因抄错了c，解得．已知小丽除抄错c外没有发生其他错误，求a+b+c的值． 【分析】因为小明的解正确，所以可以代入任何一个方程，代入①可求c的值，代入②得a﹣b＝2；因为小丽抄错了c，因此可以代入②中，得a﹣3b＝1，建立方程组，可以得出a、b的值，从而求出结论． 【解答】解：将代入cx﹣3y＝﹣2①得，c+3＝﹣2，c＝﹣5， 将代入ax+by＝2②得，a﹣b＝2③， 将代入②得，2a﹣6b＝2，a﹣3b＝1④， 将③，④联立，， 解之得， 所以． 【点评】本题考查了二元一次方程组的解，要求方程组的字母系数，通常采用代入法，将正确的解代入即可． 4．（2023春•铜梁区月考）已知方程组，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为；乙看错了②中的b，得到方程组的解为． （1）求a、b的值； （2）求原方程组的正确解． 【分析】（1）将甲得到的方程组的解代入第二个方程，将乙得到方程组的解代入第一个方程，联立两个方程求出a，b； （2）确定出正确的方程组，求出方程组的解即可得到正确的解． 【解答】解：（1）将x＝1，y＝﹣2代入方程组中的第二个方程得：a+2b＝﹣5①， 将x＝1，y＝﹣1代入方程组中的第一个方程得：a﹣b＝4②， 联立①② 解得：； （2）则方程组为， ①+②得：2x＝﹣1， 解得：x， 将x代入①得：y， 则方程组的正确解为． 【点评】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值． 题型九 由实际问题列二元一次方程组 1．（2023秋•光明区期末）在新年来临之际，梅梅打算去花店为妈妈挑选新年礼物．已知康乃馨每枝6元，百合每枝5元．梅梅购买这两种花18枝恰好用去100元，设她购买x枝康乃馨，y枝百合，可列出方程组为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据梅梅购买这两种花18枝恰好用去100元，列出二元一次方程组即可． 【解答】解：由题意得：， 故选：A． 【点评】本题主要考查由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 2．（2024秋•麒麟区校级期中）我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，绳多一尺，本长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条短1尺．木条长多少尺？如果设木条长x尺，绳子长y尺，那么可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据题意可知：“绳长＝木条+4.5，绳长＝木条+1”，列出二元一次方程组即可． 【解答】解：设木条长x尺，绳子长y尺，那么可列方程组为： ， 故选：C． 【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程组． 3．（2024秋•杏花岭区校级月考）如图，8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，大长方形的宽为60cm，每块小长方形地砖的长和宽分别是多少？如果设每块小长方形地砖的长和宽分别是x cm和y cm，则下列哪个方程组是错误的？（　　） A． B． C． D． 【分析】首先设每块小长方形地砖的长和宽分别是x cm和y cm，由图示可得等量关系：①2个长＝1个长+3个宽，则1个长＝3个宽，②一个长+一个宽＝60cm，则4个宽＝60cm，根据等量关系列出方程组，再解即可． 【解答】解：由图示可得：①2个长＝1个长+3个宽，则1个长＝3个宽，即2x＝x+3y，x＝3y， ②一个长+一个宽＝60cm，则4个宽＝60cm，x+y＝60，4y＝60， ∴A，B，C三个方程组是正确的，不符合题意；D选项的方程组是错误的，符合题意； 故选：D． 【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程组． 4．（2024春•恩施市校级期末）古书中有一个“隔沟计算”的问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详．甲云得乙九只羊，多乙一倍之上，乙说得甲九只，两家之数相当．”翻译成现代文，其大意如下：甲乙两人隔一条沟放牧，二人心里暗中合计．甲对乙说：“我得到你的九只羊，我的羊就比你多一倍．”乙对甲说：“我得到你的九只羊，咱俩的羊一样多．”设甲有羊x只，乙有羊y只，则符合题意的方程组是（　　） A． B． C． D． 【分析】设甲有羊x只，乙有羊y只，根据“甲得到乙的九只羊后，甲的羊就比乙多一倍；乙得到甲的九只羊后，两人的羊一样多”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【解答】解：设甲有羊x只，乙有羊y只． ∵甲对乙说：“我得到你的九只羊，我的羊就比你多一倍．” ∴x+9＝2（y﹣9）； ∵乙对甲说：“我得到你的九只羊，咱俩的羊就一样多．” ∴x﹣9＝y+9． 联立两方程组成方程组． 故选：C． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 5．（2024秋•沈阳月考）从甲地到乙地有一段上坡与一段平路．如果保持上坡每小时走3km，平路每小时走4km，下坡每小时走5km，那么从甲地到乙地需54min，从乙地到甲地需42min．设从甲地到乙地上坡与平路分别为x km，y km，依题意，所列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】利用时间＝路程÷速度，结合“从甲地到乙地需54min，从乙地到甲地需42min”，即可列出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【解答】解：∵从甲地到乙地需54min， ∴； ∵从乙地到甲地需42min， ∴， ∴根据题意得可列方程组． 故选：B． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 题型十 用二元一次方程组解决实际问题 1．图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项．把图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来，就是，在图2所示的算筹图中有一个图形被墨水覆盖了，如果图2所表示的方程组中x的值为3，则被墨水所覆盖的图形为（　　） A．| B．|| C．||| D．|||| 【分析】设被墨水所覆盖的图形表示的数据为a，根据题意列出方程组，把x＝3代入，求得a的值便可． 【解答】解：设被墨水所覆盖的图形表示的数据为a，根据题意得， ， 把x＝3代入，得 由③得，y＝5， 把y＝5代入④得，12+5a＝27， ∴a＝3， 故选：C． 【点评】本题主要考查了二元一次方程组的应用，此题是一道材料分析题，先要读懂材料所给出的用算筹表示二元一次方程组的方法，再解方程组． 2．（2024春•黔江区期末）小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图所示．若小明把30个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是 　 　cm． 【分析】设每个纸杯的高度是x cm，每增加一个纸杯高度增加y cm，根据3个纸杯整齐叠放在一起的高度及8个纸杯整齐叠放在一起的高度，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之可得出x，y的值，再将其代入x+（30﹣1）y中，即可求出结论． 【解答】解：设每个纸杯的高度是x cm，每增加一个纸杯高度增加y cm， 根据题意得：， 解得：， ∴x+（30﹣1）y＝7+（30﹣1）×1＝36（cm）， ∴若小明把30个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是36cm． 故答案为：36． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 3．（2023秋•姜堰区校级月考）一个两位数，个位上的数字与十位上的数字的和为13，若把个位上的数字与十位上的数字对调，则所得的数比原数的2倍小4，求原来的两位数． 【分析】根据题意设个位数字为x，十位数字为y，利用已知条件列出二元一次方程组，由此得到答案． 【解答】解：设个位数字为x，十位数字为y， 根据题意，得， 解得：， ∴原来的两位数为：4×10+9＝49， 答：原来的两位数是49． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，读懂题意，找到合适的等量关系，列出方程组，是解答本题的关键． 4．（2024春•聊城期中）黄玉骑自行车去香山，她先以8千米/时的速度走平路，而后又以4千米/时的速度上坡到达香山，共用了1.5小时，返回时，先以12千米/时的速度下坡，而后以9千米/时的速度经过平路，回到原出发点，共用去55分钟，求从出发点到香山的路程是多少千米？ 【分析】设平路为x千米，坡路为y千米，根据往返的用时不同可得到两个关于x、y的方程，求方程组的解即可，然后求x、y的和即得从出发点到香山的路程． 【解答】解：设平路为x千米，坡路为y千米，根据题意得： ， 解得：． 则x+y＝6+3＝9（千米）． 答：从出发点到香山的路程是9千米． 【点评】本题考查了二元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解． 5．（2023秋•青原区期末）红星服装厂要生产一批某种型号的学生服装，已知3米长的布料可做上衣2件或裤子3条，一件上衣和一条裤子为一套，计划用600米长的这种布料生产，应分别用多少布料生产上衣和裤子才能恰好配套？共能生产多少套？ 【分析】设用x米布料生产上衣，y米布料生产裤子才能配套． 等量关系：①共用布600米；②上衣的件数和裤子的条数相等． 【解答】解：设用x米布料生产上衣，y米布料生产裤子才能配套． 根据题意，得 ， 解，得 ． 则用360米生产上衣，240米生产裤子才能配套，共能生产240套． 【点评】本题考查二元一次方程组的应用，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 6．（2024秋•雁塔区校级月考）某商场用14600元购进甲、乙两种矿泉水共500箱，矿泉水的成本价与销售价如下表所示： 类别 成本价（元/箱） 销售价（元/箱） 甲 22 36 乙 34 58 （1）购进甲、乙两种矿泉水各多少箱？ （2）该商场售完这500箱矿泉水，甲获利多少元？ 【分析】（1）设购进甲矿泉水x箱，购进乙矿泉水y箱，根据该商场用14600元购进甲、乙两种矿泉水共500箱，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）根据总利润＝单箱利润×销售数量，即可求出结论． 【解答】解：（1）设购进甲矿泉水x箱，购进乙矿泉水y箱， ∴， ∴． 答：购进甲矿泉水200箱，购进乙矿泉水300箱； （2）（36﹣22）×200＝2800（元）． 答：获利2800元． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，有理数的混合运算，正确进行计算是解题关键． 7．（2024秋•灞桥区校级月考）某超市从厂家购进A、B两种型号的水杯，两次购进水杯的情况如表； 进货批次 A型水杯（个） B型水杯（个） 总费用（元） 一 100 200 4000 二 40 60 1300 （1）求A、B两种型号的水杯进价各是多少元？ （2）第三次进货用8000元钱购进这两种水杯，如果每销售出一个A型水杯可获利8元，售出一个B型水杯可获利6元，超市决定每售出一个A型水杯就为当地“爱心捐赠”活动捐b元．若A、B两种型号的水杯在全部售出的情况下，捐款后所得的利润始终不变，此时b为多少？利润为多少？ 【分析】（1）设A种型号的水杯进价为x元，B种型号的水杯进价为y元，根据进货情况，可得二元一次方程，解之即可得出结论； （2）设总利润为w元，购进A种水杯a个，依据三次进货用8000元钱购进这两种水杯，如果每销售出一个A型水杯可获利8元，售出一个B型水杯可获利6元，列方程解答即可． 【解答】解：（1）设A种型号的水杯进价为x元，B种型号的水杯进价为y元，根据题意得： ， 解得， 答：A种型号的水杯进价为10元，B种型号的水杯进价为15元； （2）设总利润为w元，购进A种水杯a个，依题意得： w＝（8﹣b）a+6（4﹣b）a+3200， ∵捐款后所得的利润始终不变， ∴w值与a值无关， ∴4﹣b＝0， 解得：b＝4， ∴w＝3200， 答：捐款后所得的利润始终不变，此时b为4元，利润为3200元． 【点评】本题主要考查二元一次方程组的应用，理解题意准确抓住相等关系，据此列出方程是解答本题的关键． 8．（2024春•海曙区期末）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元 （1）求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ （2）若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案； （3）若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利8000元，销售1辆B型汽车可获利5000元，在（2）中的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？ 【分析】（1）设A型汽车每辆的进价为x万元，B型汽车每辆的进价为y万元，根据“2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进A型汽车m辆，购进B型汽车n辆，根据总价＝单价×数量，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出结论； （3）利用总价＝单价×数量，即可求出三种购车方案获得的利润，比较后即可得出结论． 【解答】解：（1）设A型汽车每辆的进价为x万元，B型汽车每辆的进价为y万元， 依题意，得：， 解得：． 答：A型汽车每辆的进价为25万元，B型汽车每辆的进价为10万元． （2）设购进A型汽车m辆，购进B型汽车n辆， 依题意，得：25m+10n＝200， 解得：m＝8n． ∵m，n均为正整数， ∴，，， ∴共3种购买方案，方案一：购进A型车6辆，B型车5辆；方案二：购进A型车4辆，B型车10辆；方案三：购进A型车2辆，B型车15辆． （3）方案一获得利润：8000×6+5000×5＝73000（元）； 方案二获得利润：8000×4+5000×10＝82000（元）； 方案三获得利润：8000×2+5000×15＝91000（元）． ∵73000＜82000＜91000， ∴购进A型车2辆，B型车15辆获利最大，最大利润是91000元． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程；（3）利用总价＝单价×数量求出三种购车方案获得的利润． 题型十一 二元一次方程（组）与一次函数 1．（2023秋•汉台区期末）如图，直线y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）与直线y＝x+4相交于点P，若点P的纵坐标为8，则关于x、y的二元一次方程组的解为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据方程组的解就是交点坐标写出即可． 【解答】解：∵点P的纵坐标为8， ∴把y＝8代入y＝x+4得x＝4， ∴P（4，8）， ∴关于x、y的二元一次方程组的解为， 故选：C． 【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 2．（2024秋•迎泽区校级月考）如图中的两直线l1、l2的交点坐标可以看作哪个方程组的解（　　） A． B． C． D． 【分析】根据图象，用待定系数法求出两条直线的解析式即可得到答案． 【解答】解：直线l1经过（0，﹣1），（4，﹣2）， 设直线l1解析式为y＝kx﹣1， 则﹣2＝4k﹣1， 解得k， ∴直线l1解析式为yx﹣1， 直线l2经过（3，0），（4，﹣2）， 设直线l2解析式为y＝k'x+b， 则， 解得， ∴直线l2解析式为y＝﹣2x+6， ∴两直线l1、l2的交点坐标可以看作方程组的解； 故选：A． 【点评】本题考查一次函数与二元一次方程，解题的关键是掌握待定系数法求出两条直线的解析式． 3．（2024秋•江苏期末）如图，直线l1：y＝3x﹣1与直线l2：y＝mx+n相交于点P（1，b），则关于x，y的方程组的解为（　　） A． B． C． D． 【分析】首先把P（1，b）代入直线l1：y＝3x﹣1即可求出b的值，从而得到P点坐标，再根据两函数图象的交点就是两函数组成的二元一次去方程组的解可得答案． 【解答】解：由条件可知：b＝3﹣1＝2， ∴P（1，2）， ∴关于x，y的方程组的解为． 故选：A． 【点评】此题主要考查了二元一次方程组与一次函数的关系，关键是掌握两函数图象的交点就是两函数组成的二元一次方程组的解． 4．（2023秋•汝州市期末）如图，一次函数y＝kx+b与y＝x+2的图象相交于点P（m，4），则方程组的解是 　 ． 【分析】由两条直线的交点坐标（m，4），先求出m，再求出方程组的解即可． 【解答】解：∵y＝x+2的图象经过P（m，4）， ∴4＝m+2， ∴m＝2， ∴一次函数y＝kx+b与y＝x+2的图象相交于点P（2，4）， ∴方程组的解是， 故答案为． 【点评】本题考查一次函数的交点与方程组的解的关系、待定系数法等知识，解题的关键是理解方程组的解就是两个函数图象的交点坐标． 5．（2023秋•汝州市期末）如图，一次函数y＝kx+b与y＝x+2的图象相交于点P（m，4），则方程组的解是 　 ． 【分析】由两条直线的交点坐标（m，4），先求出m，再求出方程组的解即可． 【解答】解：∵y＝x+2的图象经过P（m，4）， ∴4＝m+2， ∴m＝2， ∴一次函数y＝kx+b与y＝x+2的图象相交于点P（2，4）， ∴方程组的解是， 故答案为． 【点评】本题考查一次函数的交点与方程组的解的关系、待定系数法等知识，解题的关键是理解方程组的解就是两个函数图象的交点坐标． 6．（2024秋•乌当区月考）如图，已知一次函数y＝kx+b的图象经过点A（0，2），B（4，0），C为直线AB上的动点，正比例函数y＝mx的图象经过点C． （1）求一次函数的表达式； （2）若点C（1，a），求方程组的解． 【分析】（1）直接利用待定系数法解答，即可求解； （2）求出点C的坐标，将方程组整理为，可得方程组的解为一次函数y＝kx+b与正比例函数y＝mx的交点坐标，即可求解． 【解答】解：（1）∵一次函数图象过点A（0，2），B（4，0）， ，解得， ∴一次函数的表达式为：． （2）将C（1，a）代入得： ， ∴， 将方程组整理为， ∴方程组的解为一次函数y＝kx+b与正比例函数y＝mx的交点坐标， ∴方程组的解为． 【点评】本题主要查了一次函数与二元一次方程、一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握求一次函数图象的交点坐标问题是关键． 题型十二 用二元一次方程组确定一次函数 1．（2023春•西昌市校级月考）若y﹣2与x+3成正比例，且当x＝0时，y＝5，则当x＝1时，y等于（　　） A．1 B．6 C．4 D．3 【分析】根据正比例函数的定义，设y﹣2＝k（x+3），再把x＝0，y＝5代入求出k＝1，从而得到y与x的函数关系式，然后计算自变量为1所对应的函数值即可． 【解答】解：设y﹣2＝k（x+3）， ∵x＝0时，y＝5， ∴5﹣2＝k×（0+3）， 解得k＝1， ∴y﹣2＝x+3， 即y＝x+5， 当x＝1时，y＝x+5＝1+5＝6． 故选：B． 【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：求一次函数y＝kx+b，则需要两组x，y的值． 2．（2023秋•锡山区校级月考）一次函数y＝kx+b的图象经过A（1，1），B（2，﹣1）两点，则这个函数的表达式为 　 　． 【分析】用待定系数法，把A（1，1），B（2，﹣1）两点代入y＝kx+b，得到关于k，b的方程组，解方程组即可得到一次函数的解析式． 【解答】解：∵一次函数y＝kx+b的图像经过A（1，1），B（2，﹣1）两点， ∴， 解得：， ∴该一次函数的解析式为：y＝﹣2x+3． 【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 3．（2023秋•长兴县期末）已知y是x的一次函数，且当x＝0时，y＝3；当x＝﹣2时，y＝6． （1）求这个一次函数的表达式； （2）当x＝3时，求出对应y的值． 【分析】（1）设一次函数解析式为y＝kx+b，然后把两组对应值分别代入得到k、b的方程组，解方程组求出k、b即可求解； （2）把x＝3代入一次函数的表达式即可求解． 【解答】解：（1）设一次函数解析式为y＝kx+b， 根据题意得，解得， 所以这个一次函数的表达式为yx+3； （2）当x＝3时， y3+3． 【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：先设出函数的一般形式y＝kx+b；将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式． 4．（2023秋•平桂区 期末）已知一次函数的图象经过A（2，0），B（0，4）两点． （1）求此一次函数表达式； （2）试判断点（﹣1，6）是否在此一次函数的图象上． 【分析】（1）设一次函数的解析式为y＝kx+b（k≠0），再把A（2，0），B（0，4）代入求出k的值即可； （2）把x＝﹣1代入（1）中函数解析式进行检验即可． 【解答】解：（1）设一次函数的解析式为y＝kx+b（k≠0）， ∵A（2，0），B（0，4）在函数图象上， ∴，解得， ∴一次函数的解析式为：y＝﹣2x+4； （2）由（1）知，函数解析式为：y＝﹣2x+4， ∴当x＝﹣1时，y＝6， ∴点（﹣1，6）在一次函数的图象上． 【点评】本题考查的是待定系数法求一次函数的解析式，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键． 5．已知y+a与x﹣b成正比例（其中a、b都是常数）． （1）试说明y是x的一次函数； （2）如果x＝﹣1时，y＝﹣15；x＝7时，y＝1，求这个一次函数的解析式． 【分析】（1）因为y+a与x﹣b成正比例，设比例系数为k，列等式后变形进行说明； （2）把“x＝﹣1时，y＝﹣15；x＝7时，y＝1”分别代入一次函数解析式，列出关于系数的方程组，通过解方程求得它们的值即可． 【解答】解：（1）∵y+a与x﹣b成正比例， 设比例系数为k，则y+a＝k（x﹣b）， 整理得：y＝kx﹣kb﹣a， ∴y是x的一次函数； （2）把x＝﹣1时，y＝﹣15；x＝7时，y＝1分别代入y＝kx﹣kb﹣a，得 ， 解得， 则该一次函数为：y＝2x﹣13． 【点评】本题考查了一次函数解析式的一般形式，关键是根据y+a与x﹣b成正比例，设比例系数为k，列等式． 6．（2023秋•西湖区校级期中）已知y＝y1+y2，y1与x﹣1成正比，y2与x成正比．当x＝2时，y＝4；当x＝﹣1时，y＝﹣5． （1）求y与x的函数关系式； （2）当x＝﹣5时，求y的值； （3）当y＞0时，求x的取值范围． 【分析】（1）y1与x﹣1成正比例，可设y1＝k1（x﹣1），y2与x成正比例，设y2＝k2x，利用待定系数法即可求解． （2）直接把x的值代入（1）中的函数关系式即可； （3）由y＞0得到一元一次不等式，解不等式即可得到x的取值范围． 【解答】解：（1）设y1＝k1（x﹣1），设y2＝k2x，则y＝k1（x﹣1）+k2x， 根据题意得，， 解得． ∴y＝2×（x﹣1）+x， 即y＝3x﹣2； （2）把x＝﹣5代入y＝3x﹣2中：y＝﹣15﹣2＝﹣17； （3）∵y＞0， ∴3x﹣2＞0， 解得：x． 【点评】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，解答本题的关键是掌握要求y与x之间的关系，先找y1与x、y2与x的关系，再根据条件，求出y与x之间的关系． 题型十三 二元一次方程组与一次函数的综合应用 1．（2024春•西湖区校级月考）如图，已知点A（0，4），C（﹣2，0）在直线l：y＝kx+b上，l和函数y＝﹣4x+a的图象交于点B． （1）求直线l的函数表达式； （2）若点B的横坐标是1，求关于x，y的方程组的解及a的值． 【分析】（1）由于点A、C在直线上，可用待定系数法确定直线l的表达式； （2）先求出点B的坐标，即得方程组的解．代入组中方程求出a即可． 【解答】解：（1）∵点A（0，4）、C（﹣2，0）在直线l：y＝kx+b上， ∴，解得， 所以直线l的表达式为：y＝2x+4； （2）由于点B在直线l上，当x＝1时，y＝2+4＝6， 所以点B的坐标为（1，6）， 所以关于x、y的方程组的解为， 因为点B是直线l与直线y＝﹣4x+a的交点， 把x＝1，y＝6代入y＝﹣4x+a中， 解得a＝10． 【点评】本题考查了待定系数法确定函数解析式、三角形的面积、直线与方程组的关系等知识点．方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 2．（2023秋•渭城区期末）已知点A（0，4），C（﹣2，0）在直线l：y＝kx+b的图象上，直线l和一次函数y＝﹣4x+a的图象交于点B． （1）求直线l的表达式； （2）若点B的横坐标是1，求点B的坐标，并直接写出关于x，y的方程组的解； （3）在（2）的条件下，若点A关于x轴的对称点为P，求△BPC的面积． 【分析】（1）由于点A、C在直线上，可用待定系数法确定直线l的表达式； （2）先求出点B的坐标，即得方程组的解； （3）由于S△BPC＝S△PAB+S△PAC，分别求出△PBC和△PAC的面积即可． 【解答】解：（1）∵点A（0，4）、C（﹣2，0）在直线l：y＝kx+b上， ∴， 解得， 所以直线l的表达式为：y＝2x+4； （2）由于点B在直线l上，当x＝1时，y＝2+4＝6， ∴点B的坐标为（1，6）， ∴关于x，y的方程组的解为； （3）∵点A与点P关于x轴对称， ∴点P（0，﹣4）， ∴AP＝4+4＝8，OC＝2， ∴S△BPC＝S△PAB+S△PAC 8×18×2 ＝4+8 ＝12． 【点评】本题考查了待定系数法确定函数解析式、三角形的面积、直线与方程组的关系等知识点．熟知待定系数法是解题的关键． 3．（2024春•南阳月考）如图，已知一次函数y＝kx+b的图象经过点A（0，2），B（4，0），C为直线AB上的动点，正比例函数y＝mx的图象经过点C． （1）求一次函数的表达式； （2）若点C（1，a），请直接写出方程组的解； （3）若S△BOC＝3S△AOC，求m的值． 【分析】（1）待定系数法求一次函数解析式即可； （2）求得C点的坐标，根据函数与方程组的关系即可求解； （3）设点C（a，ma），代入，求得点C坐标为，根据三角形的面积求得，，根据题意推得，解方程即可求得． 【解答】解：（1）将点A（0，2），B（4，0）代入y＝kx+b得： ， 解得， ∴一次函数的解析式为：． （2）∵一次函数经过点C， 将C（1，a）代入得， ∴ 将方程组整理为，即方程组的解为一次函数y＝kx+b与正比例函数y＝mx的交点坐标， 故方程组的解为， （3）设点C（a，ma），则将（a，ma）代入，解得， 故， ， ∵S△BOC＝3S△AOC， 即 当时，正比例函数与一次函数平行，则不存在，故； 则整理为|8m|＝12， 故， 即m的值为． 【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与二元一次方程组的关系，三角形的面积，解一元二次方程等，熟练掌握一次函数的相关性质是解题的关键． 4．（2024春•垫江县期末）如图，直线l1：y＝x+5交y轴，x轴于A，B两点，直线l2：yx﹣1交y轴，x轴于C，D两点，直线l1，l2相交于P点． （1）方程组的解是 　 ； （2）求直线l1，l2与x轴围成的三角形面积； （3）过P点的直线把△PAC面积两等分，直接写出这条直线的解析式． 【分析】（1）根据函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解即可； （2）利用一次函数的解析式求得B、D的坐标，根据三角形面积公式求得即可； （3）根据三角形的直线吧三角形分成面积相等的两部分，首先求得A、C的坐标，进而求得AC的中点坐标，再利用待定系数法即可求得． 【解答】解：（1）∵直线l1：y＝x+5和直线l2：yx﹣1都经过点（﹣4，1）， ∴两条直线的交点P（﹣4，1）， ∴方程组的解是， 故答案为：； （2）把y＝0分别代入y＝x+5和yx﹣1， 解得x＝﹣5和x＝﹣2， ∴B（﹣5，0），D（﹣2，0）， ∵P（﹣4，1）， ∴直线l1，l2与x轴围成的三角形面积为：（﹣2+5）×1； （3）把x＝0分别代入y＝x+5和yx﹣1， 解得y＝5和y＝﹣1， ∴A（0，5），C（0，﹣1）， ∴AC的中点为（0，2）， 设过P点且把△PAC面积两等分的直线的解析式为y＝kx+b， 把点（﹣4，1），（0，2）代入得， 解得， ∴这条直线的解析式为yx+2． 【点评】本题考查的是一次函数与二元一次方程组的关系，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，三角形面积，待定系数法求一次函数的解析式，求得交点坐标是解题的关键． 5．（2023秋•靖边县期末）如图，正比例函数y＝﹣3x的图象与一次函数y＝kx+b的图象交于点P（m，3），一次函数图象经过点B（1，1），与y轴的交点为D，与x轴的交点为C． （1）求一次函数表达式； （2）求D点的坐标； （3）求△COP的面积； （4）不解关于x、y的方程组，直接写出方程组的解． 【分析】（1）将点P（m，3）代入y＝﹣3x，求出m，得到P（﹣1，3）．把P、B两点的坐标代入y＝kx+b，利用待定系数法即可求出一次函数解析式； （2）根据一次函数的解析式即可求出D点的坐标； （3）根据三角形的面积公式列式即可求出△COP的面积； （4）两函数图象的交点坐标即为两函数解析式组成的二元一次方程组的解． 【解答】解：（1）∵正比例函数y＝﹣3x的图象与一次函数y＝kx+b的图象交于点P（m，3）， ∴﹣3m＝3，m＝﹣1， ∴P（﹣1，3）． 把（1，1）和（﹣1，3）代入一次函数y＝kx+b， 得， 解得，， ∴一次函数解析式是y＝﹣x+2； （2）由（1）知一次函数表达式是y＝﹣x+2， 令x＝0，则y＝2， 即点D（0，2）； （3）由（1）知一次函数解析式是y＝﹣x+2， 令y＝0，得﹣x+2＝0，解得x＝2， ∴点C（2，0）， ∴OC＝2， ∵P（﹣1，3）， ∴△COP的面积OC•|yp|2×3＝3； （4）由图象可知，正比例函数y＝﹣3x的图象与一次函数y＝kx+b的图象交于点P（﹣1，3）， 所以方程组的解为． 【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程组：方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．也考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积． 题型十四 解三元一次方程组 1．（2024春•南安市期中）解方程组时，要使解法较为简便，应（　　） A．先消去x B．先消去y C．先消去z D．先消去常数 【分析】根据第一个方程缺少未知数y，所以利用第二个，第三个方程消去y，解方程组比较简单． 【解答】解：第二个，第三个方程消去y，把三元方程组转化为二元方程组，比较简单． 故选：B． 【点评】本题考查解三元方程组，解题的关键是熟练掌握解三元方程组的方法． 2．（2024•拱墅区一模）已知方程组，则x+y+z的值是（　　） A．9 B．8 C．7 D．6 【分析】利用解方程中的整体思想，进行计算即可解答． 【解答】解：， ①+②+③得：2x+2y+2z＝4+6+8， 解得：x+y+z＝9， 故选：A． 【点评】本题考查了解三元一次方程组，熟练掌握解方程中的整体思想是解题的关键． 3．（2023春•岚山区期末）解三元一次方程组，若先消去z，组成关于x、y的方程组，则应对方程组进行的变形是（　　） A．①﹣②，②+③ B．①×2+③，②×2+③ C．①+②，②×2+③ D．①+③，②+③ 【分析】利用加减消元法进行计算，即可解答． 【解答】解：， ①+②得：5x﹣2y＝16， ②×2得：4x﹣2y﹣2z＝24④， ③+④得：5x﹣y＝30， 即， 故选：C． 【点评】本题考查了解三元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解题的关键． 4．（2023春•宝山区期末）解方程组：． 【分析】利用加减消元法进行计算，即可解答． 【解答】解：， ②+③得：3x﹣y＝7④， ③×2得：2x﹣4y﹣2z＝﹣4⑤， ①+⑤得：3x﹣3y＝3， 即：x﹣y＝1⑥， ④﹣⑥得：2x＝6， 解得：x＝3， 把x＝3代入④得：9﹣y＝7， 解得：y＝2， 把x＝3，y＝2代入①得：3+2+2z＝7， 解得：z＝1， ∴原方程组的解为：． 【点评】本题考查了解三元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解题的关键． 5．（2023春•牟平区期中）解三元一次方程组：． 【分析】利用加减消元法进行计算，即可解答． 【解答】解：， ②×3得：9y﹣6z﹣3＝0④， ①﹣④得：4x+6z﹣9＝0⑤， ③×4得：28x+20z﹣19＝0⑥， ⑤×7得：28x+42z﹣63＝0⑦， ⑦﹣⑥得：22z﹣44＝0， 解得：z＝2， 把z＝2代入②得：3y﹣4﹣1＝0， 解得：y， 把y代入①得：4x+15﹣12＝0， 解得：x， ∴原方程组的解为：． 【点评】本题考查了解三元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解题的关键． 6．解下列三元一次方程组： （1）； （2） 【分析】（1）由①+②和①+③分别消去y，再解关于x和z的二元一次方程组，再将解得的x和z值代入③，解出y即可； （2）先将①和②分别用y表示出x和z，再代入③即可解出y，进而求出x和z即可． 【解答】解：（1） ①+②得5x﹣z＝14 ④ ①+③得4x+3z＝15 ⑤ ④×3+⑤得19x＝57 ∴x＝3 ⑥ 将⑥代入④得15﹣z＝14 ∴z＝1 ⑦ 将⑥⑦代入③得y＝8 ∴原方程组的解为：． （2） 由①得x④ 由②得z⑤ 将④⑤代入③得y60 ∴y＝20 ⑥ 将⑥分别代入④⑤得x＝30，z＝10 ∴原方程组的解为：． 【点评】本题是三元一次方程组的求解问题，分别可以用加减消元法和代入消元法化简成二元一次方程组，进而得解． 题型十五 三元一次方程组的解的简单应用 1．（2024春•台江县校级期中）若方程组的解x、y的值相等，则a的值为（　　） A．﹣4 B．4 C．2 D．1 【分析】根据题意可得x＝y，将此方程和原方程组联立，组成三元一次方程组进行求解，即可求出x，y，a的值． 【解答】解：由题意可得方程x＝y，将此方程代入原方程组的第二个方程得：4x+3x＝14，则x＝y＝2； 然后代入第一个方程得：2a+2（a﹣1）＝6； 解得：a＝2． 故选：C． 【点评】本题关键在于根据题意等出第三个方程，此方程和原方程组的第二个方程可得出x，y的值，将x，y的值代入第一个方程即可得出a值． 2．（2023•拱墅区三模）若方程组的解也是方程3x+ky＝10的解，则k的值是（　　） A．6 B．10 C．9 D． 【分析】由题意知方程组，可将方程3x+5y＝6乘以2减去方程6x+15y＝15，得到一个关于y的方程从而解出y值，再代入方程3x+5y＝6求出x的值，又方程组的解也是方程3x+ky＝10的解，把方程组的解代入即可求出k值． 【解答】解：由题意知，， 将方程①×2﹣②得， ﹣5y＝﹣3， ∴y， 把y代入①得， 3x+3＝6， ∴x＝1， 把代入方程3x+ky＝10，得 3+k10， ∴k； 故选：D． 【点评】此题考查二元一次方程解的定义和解法，解二元一次方程首先要消元，然后再求解，同时也考查的方程的同解，比较简单． 3．（2023春•荣县校级期中）对于实数x，y定义新运算：x⊗y＝ax+by+c，其中a，b，c均为常数，且已知3⊗5＝15，4⊗7＝28，则2⊗3的值为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【分析】根据所给的条件，可得到3a+5b+c＝15，4a+7b+c＝28，从而可求得a+2b＝13，7a+12b+2c＝43，整理可求得b﹣c＝24，从而可求解． 【解答】解：∵3⊗5＝15，4⊗7＝28， ∴3a+5b+c＝15①，4a+7b+c＝28②， ②﹣①得：a+2b＝13， ①+②得：7a+12b+2c＝43， 则7（a+2b）﹣2（b﹣c）＝43， 整理得：b﹣c＝24， ∴2⊗3 ＝2a+3b+c ＝2（a+2b）﹣（b﹣c） ＝2×13﹣24 ＝26﹣24 ＝2． 故选：A． 【点评】本题主要考查解三元一次方程组，整体思想，解答的关键是由所给的条件得出：a+2b＝13，b﹣c＝24． 4．如果方程组的解使代数式kx+2y﹣z的值为10，那么k的值为（　　） A． B．3 C． D．﹣3 【分析】方程组中前两个方程相减消去y得到x与z的方程，与第三个方程联立求出z与x的值，进而求出y的值，将x，y及z的值代入已知的等式中，即可求出k的值． 【解答】解：， ①﹣②得：x﹣z＝2④， ③+④得：2x＝6， 解得：x＝3， 将x＝3代入④得：z＝1， 将z＝1代入②得：y＝5， ∴， 代入kx+2y﹣z中得：3k+10﹣1＝10， 解得：k． 故选：A． 【点评】此题考查了解三元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法；加减消元法． 5．（2023春•米易县校级月考）已知代数式ax2+bx+c，当x＝0时，它的值为﹣3；当x＝﹣3时，它的值为0；当x＝2时，它的值为5． （1）求a，b，c的值． （2）求当时代数式的值． 【分析】（1）根据题意得：，然后按照解三元一次方程组的步骤，进行计算即可解答； （2）把x的值代入x2+2x﹣3，进行计算即可解答． 【解答】解：（1）由题意得： ， 解得：； （2）当x时，x2+2x﹣3＝（）2+2×（）﹣3 （﹣1）﹣3 ＝﹣3． 【点评】本题考查了解三元一次方程组，求代数式的值，准确熟练地进行计算是解题的关键． 6．已知x、y、z都不为零，且，求式子的值． 【分析】先通过消元用z表示出x，y的值，再把x，y的代入要求的式子，最后进行约分即可． 【解答】解：， ①﹣②得：2x＝4z， 解得：x＝2z， 把x＝2z代入②得：yz， 把x＝2z，yz代入得： ． 【点评】此题考查了解三元一次方程组，关键是通过消元用z表示出x，y的值，再把x，y的代入要求的式子，用到的知识点是代入法和加减法． 题型十六 三元一次方程组的实际应用 1．（2023春•西湖区校级期中）为确保信息安全，信息需要加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密），已知加密规则为：明文a，b，c，对应密文a+1，﹣a+2b+4，b+3c+9，如果接收方收到密文7，12，22，则解密得到的明文为（　　） A．6，2，7 B．2，6，7 C．6，7，2 D．7，2，6 【分析】根据“加密规则为：明文a，b，c，对应密文a+1，﹣a+2b+4，b+3c+9”，即可得出关于a，b，c的三元一次方程组，解之即可得出结论． 【解答】解：依题意得：， 解得：． 故选：C． 【点评】本题考查了三元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出三元一次方程组是解题的关键． 2．（2023秋•青山区校级月考）小梦在某购物平台上购买甲、乙、丙三种商品，当购物车内选择3件甲，2件乙，1件丙时显示的价格为420元；当购物车内选择2件甲，3件乙，4件丙时显示的价格为580元，那么购买甲、乙、丙各两件应该付款（　　） A．200元 B．400元 C．500元 D．600元 【分析】设购买甲、乙、丙三种商品需付款x元，y元，z元，根据题意列出方程组，计算即可求出x，y，z的值，即可得到结果． 【解答】解：设购买甲、乙、丙三种商品需付款x元，y元，z元， 根据题意得：， ①+②得：5x+5y+5z＝1000，即x+y+z＝200， ∴2x+2y+2z＝400， 则购买甲、乙、丙各两件应该付款400元． 故选：B． 【点评】此题考查了三元一次方程组的应用，找出题中的等量关系是解本题的关键． 3．（2023•沂水县二模）某商店将巧克力包装成甲、乙两种礼盒出售，且每盒甲种礼盒的价钱相同，每盒乙种礼盒的价钱相同，晓雨原先想购买2盒甲种礼盒和5盒乙种礼盒，但他身上的钱还差3元，如果改成购买5盒甲种礼盒和2盒乙种礼盒，他身上的钱会剩下3元，若晓雨最后购买7盒甲种礼盒，则他身上剩下的钱数是（　　） A．1元 B．3元 C．5元 D．7元 【分析】设每盒甲种礼盒的价钱为x元，每盒乙种礼盒的价钱为y元，晓雨身上有z元钱，根据购买2盒甲种礼盒和5盒乙种礼盒，但他身上的钱还差3元，如果改成购买5盒甲种礼盒和2盒乙种礼盒，他身上的钱会剩下3元，列出三元一次方程组，解之得出z﹣7x的值即可． 【解答】解：设每盒甲种礼盒的价钱为x元，每盒乙种礼盒的价钱为y元，晓雨身上有z元钱， 由题意得：， （①+②）÷2得：z（x+y）③， （①﹣②）÷3得：y﹣x＝2， ∴y＝x+2④， 将④代入③中得：z（x+x+2）， ∴z﹣7x＝7， 即晓雨最后购买7盒甲种礼盒，则他身上剩下的钱数是7元， 故选：D． 【点评】本题考查了三元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出三元一次方程组是解题的关键． 4．（2023•天河区开学）甲、乙，丙三人合买一台电视机，甲付的钱数等于乙付的钱数的2倍，也等于丙付的钱数的3倍．已知甲比丙多付了680元，请问： （1）甲、乙、丙三人所付的钱数之比是多少？ （2）这台电视机的售价是多少元？ 【分析】（1）设甲付了x元，乙付了y元，丙付了z元，根据“甲付的钱数等于乙付的钱数的2倍，也等于丙付的钱数的3倍，且甲比丙多付了680元”，可列出关于x，y，z的三元一次方程组，解之可得出x，y，z的值，相比后即可得出结论； （2）将三人所付钱数相加，即可求出结论． 【解答】解：（1）设甲付了x元，乙付了y元，丙付了z元， 根据题意得：， 解得：， ∴x：y：z＝1020：510：340＝6：3：2． 答：甲、乙、丙三人所付的钱数之比是6：3：2； （2）根据题意得：1020+510+340＝1870（元）． 答：这台电视机的售价是1870元． 【点评】本题考查了三元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出三元一次方程组是解题的关键． 5．一个三位数，个位、百位上的数字的和等于十位上数字的2倍，百位上的数字的3倍等于个位、十位上的数字的和，个位、十位、百位上的数字的和是12．求这个三位数． 【分析】设个位、十位、百位上的数字分别是x，y，z，因为个位、百位上的数字的和等于十位上数字的2倍可列x+z＝2y，因为百位上的数字的3倍等于个位、十位上的数字的和可列3z＝x+y，因为个位、十位、百位上的数字的和是12可列x+y+z＝12，再用消元法求出x，y，z即可． 【解答】解：设个位、十位、百位上的数字分别是x，y，z． 由题意可列：， 将②代入③得：4z＝12， ∴z＝3， 将z代入①，②得：， ⑤﹣④，得：3y＝12， 解得：y＝4， 将y＝4代入⑤，得：x＝5， ∴方程组的解为， 答：这个数是543． 【点评】本题考查了三元一次方程组的应用，分析题意列出方程组是解题的关键． 6．（2024春•凤凰县期末）某学校计划用104 000元购置一批电脑（这批款项须恰好用完，不得剩余或追加）．经过招标，其中平板电脑每台1600元，台式电脑每台4000元，笔记本电脑每台4600元． （1）若学校同时购进其中两种不同类型的电脑共50台，请你帮学校设计该如何购买； （2）若学校同时购进三种不同类型的电脑共26台（三种类型的电脑都有），并且要求笔记本电脑的购买量不少于15台，请你帮学校设计购买方案． 【分析】（1）设购买平板电脑x台，台式电脑y台，笔记本电脑z台，分情况讨论：当购买平板电脑、笔记本电脑时；购买台式电脑、笔记本电脑时；当购买台式电脑、笔记本电脑时分别建立方程组求出其解即可． （2）可根据三种不同类型的电脑的总量＝26台，购进三种电脑的总费用＝104 000元，以及题中给出的条件“笔记本电脑的购买量不少于15台”来列方程组，求出符合条件的方案． 【解答】解：（1）设购买平板电脑x台，台式电脑y台，笔记本电脑z台， ①若购买平板电脑、台式电脑时，由题意，得 ， 解得：； ②若购买平板电脑、笔记本电脑时，由题意，得 ， 解得：； ③当购买台式电脑、笔记本电脑时，由题意，得 ， 解得：，不合题意，舍去． 故共有两种购买方案：①购买平板电脑40台，台式电脑10台；②购买平板电脑42台，笔记本电脑8台． （2）根据题意得： ， 解得：或． 答：购买平板电脑4台，台式电脑6台，笔记本电脑16台，或购买平板电脑5台，台式电脑1台，笔记本电脑20台． 【点评】本题考查了二元一次方程组和三元一次方程组的应用．解题关键是弄清题意，合适的等量关系：购进的两种电脑的数量和＝50台，购进两种电脑的费用和＝104000元．列出方程组．要注意自变量的取值范围要符合实际意义，有两解． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$