精品解析：吉林省长春市长春汽车经济技术开发区第三中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题

汽开三中2024-2025学年度上学期期末考试 高一数学 命题人：孙佳欣审题人：高一数学组 注意事项： 试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共2页，总分150分，考试时间120分钟． 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由全称的否定是特称可得； 【详解】由全称的否定是特称可得命题“”的否定为“”. 故选：C. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解出集合，再根据交集含义即可. 【详解】，则. 故选：B. 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先解一元二次不等式，然后根据集合的包含关系可得. 【详解】解不等式得或， 记， 因为AB，所以“”是“”的充分不必要条件． 故选：A 4. 下列函数是奇函数且在区间上是增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由函数的奇偶性和单调性逐项判断即可； 【详解】对于A，正弦函数为奇函数，且在内为增函数，又，故A正确； 对于B，，不是奇函数，故B错误； 对于C，为偶函数，故C错误； 对于D，在区间上是减函数；故D错误； 故选：A. 5. 要得到的图象，需要将函数的图象（ ） A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角函数图象变换可得出结论. 【详解】因为， 为了得到的图象，需要将函数的图象向右平移个单位. 故选：D. 6. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由对数函数，指数函数的性质比较即可； 【详解】，且， 所以. 故选：C. 7. 函数的部分图象如图，则、可以取的一组值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据图象可得周期，继而可求出，把点代入解析式可求出. 【详解】由， ，解得，结合选项可知可取， 由，所以， 则，结合选项取或1时，或， 又，而， 所以、可以取的一组值是，. 故选：. 8. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同角三角函数的平方关系与商数关系分别求，，再根据角度之间的和差倍关系，利用诱导公式与二倍角公式求解即可. 【详解】因为，所以， 则，所以， 所以. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列各式中值为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】选项A利用二倍角的正弦求值；选项B利用二倍角的余弦求值；选项C逆用两角差的正弦公式求值；选项D利用两角和的正切公式求值. 【详解】因为，故选项A正确； 因为，故选项B错误； 因为，故选项C正确； 因为， 整理得，，故选项D错误； 故选：AC. 10. 下列不等式正确的有（ ） A. 当时，的最大值是 B. 已知正实数、满足，则 C. 当时， D. 函数最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用基本不等式逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】对于A选项，当时，， 由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立， 即当当时，的最大值是，A对； 对于B选项，因为正实数、满足， 则， 当且仅当时，即当时，等号成立，B错； 对于C选项，当时，则， 由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立，C对； 对于D选项，因为，则， 由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，函数最小值为，D对. 故选：ACD. 11. 已知定义在上的函数满足：对、，，且，，则以下结论正确的为（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】令，可求出的值，可判断A选项；令，可求出的值，可判断B选项；令，，可判断C选项；令，，可推导出，进而可判断D选项. 【详解】对于A选项，令，可得，解得，A对； 对于B选项，令，可得，即，解得，B错； 对于C选项，令，，可得，所以，，C对； 对于D选项，令，，则有， 所以，，故，D对. 故选：ACD. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知扇形的圆心角为120°，半径为3，则扇形的面积是________. 【答案】 【解析】 【分析】先将角度转化成弧度制，再利用扇形面积公式计算即可. 【详解】扇形的圆心角为120°，即，故扇形面积. 故答案为：. 13. 已知函数（且），则必过的定点P的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】由指数函数图象的性质令可求； 【详解】当时，， 所以必过的定点P的坐标为. 故答案为：. 14. 已知函数的图象关于直线对称，且在上单调递增，则正数的最大值为________． 【答案】4 【解析】 【分析】由正弦函数的对称轴和单调性求解即可； 【详解】因为函数的图象关于直线对称， 所以，解得， 当时，， 所以，即， 所以当时，得正数的最大值为4. 故答案为：4. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）已知，且为第二象限角，求的值； （2）已知，计算的值. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）利用正余弦的同角平方关系化简即可求解； （2）利用弦化切即可求解. 【详解】（1）因为，且为第二象限角， 所以，即的值为； （2）因为，所以. 16. 已知命题：关于的方程有两个不相等的实数根；命题：. （1）若为真命题，求实数的取值范围； （2）若，中一真一假，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）二次方程有两个不同实根，所以判别式大于，列出不等式，求出解集即可； （2）分别讨论两个命题为一真一假，求出命题对应集合后求交集即可，最后在求并集. 【小问1详解】 关于的方程有两个不相等的实数根， 则，即， 解得：，即. 【小问2详解】 当为真命题，为假命题，则，∴， 当为假命题，为真命题，则，∴， . 17. 已知函数． （1）求函数的最小正周期； （2）求函数的单调递增区间； （3）求在区间上的最值． 【答案】（1）； （2）单调增区间为：，； （3）最小值为0，最大值为2. 【解析】 【分析】（1）先利用三角变换公式把化成的形式，利用求函数周期. （2）整体换元法求函数的单调增区间. （3）整体换元法求函数的值域. 【小问1详解】 因为， 由，所以函数的最小正周期为：. 【小问2详解】 由，得：，， 所以函数的单调增区间为，； 【小问3详解】 因为，所以 所以， 所以函数在上的最小值为0，最大值为2. 18. 已知函数（且）的图象过点． （1）求实数a的值； （2）求函数的零点； （3）解关于x的不等式． 【答案】（1）2 （2）. （3） 【解析】 【分析】（1）将点代入函数即可求解； （2）令，结合指数和对数的关系及运算可解； （3）先求出函数的定义域，然后利用单调性列出不等式即可求解 【小问1详解】 由题设条件可知，， 即，解得， ∴. 【小问2详解】 因为，令， 解得. 【小问3详解】 ∵的定义域为，并在其定义域内单调递增， ∴，解得， ∴不等式的解集为. 19. 对于函数在其定义域内存在实数，使成立，则称是的一个不动点．已知函数． （1）当时，求函数的不动点； （2）当时，若函数有两个不动点为，且，求实数b的取值范围： （3）若函数的不动点为，且对任意，总存在，使得成立，求实数m的取值范围． 【答案】（1）0和4 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）由函数不动点定义求解即可； （2）由函数不动点定义结合二次函数根的分布特征求解即可； （3）先由函数不动点的定义求出的表达式，再由条件得到的值域是值域的子集，然后由二次函数的性质得到的范围，再分与时结合函数的单调性和集合间的包含关系求解即可； 【小问1详解】 函数的不动点即为的实数根， 当时，问题转化为方程的实数根，解得或， 所以函数的不动点为0和4； 【小问2详解】 由题意可得方程有两个不相等的实数根， 即有两个不相等的实数根，且， 设， 令，解得， 所以实数b的取值范围为； 【小问3详解】 由题意可知，2为方程即的两根， 则，解得， 从而， 因为对任意，总存在，使得成立，即， 由题可知的值域是值域的子集， 因为在上是减函数，则， 即的值域为， 因为且， 当时，，不合题意舍， 当时，在上是增函数，则， 因为，则，解得， 当时，在上是减函数，则， 因为，则，解得， 故m的取值范围是或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 汽开三中2024-2025学年度上学期期末考试 高一数学 命题人：孙佳欣审题人：高一数学组 注意事项： 试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共2页，总分150分，考试时间120分钟． 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 下列函数是奇函数且在区间上是增函数的是（ ） A. B. C. D. 5. 要得到的图象，需要将函数的图象（ ） A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位 6. 设，则（ ） A. B. C. D. 7. 函数的部分图象如图，则、可以取的一组值是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列各式中值为的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列不等式正确的有（ ） A. 当时，的最大值是 B. 已知正实数、满足，则 C. 当时， D. 函数最小值为 11. 已知定义在上的函数满足：对、，，且，，则以下结论正确的为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知扇形的圆心角为120°，半径为3，则扇形的面积是________. 13. 已知函数（且），则必过的定点P的坐标为________． 14. 已知函数的图象关于直线对称，且在上单调递增，则正数的最大值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）已知，且为第二象限角，求的值； （2）已知，计算的值. 16. 已知命题：关于的方程有两个不相等的实数根；命题：. （1）若为真命题，求实数的取值范围； （2）若，中一真一假，求实数的取值范围. 17. 已知函数． （1）求函数的最小正周期； （2）求函数的单调递增区间； （3）求在区间上的最值． 18. 已知函数（且）的图象过点． （1）求实数a的值； （2）求函数的零点； （3）解关于x的不等式． 19. 对于函数在其定义域内存在实数，使成立，则称是的一个不动点．已知函数． （1）当时，求函数的不动点； （2）当时，若函数有两个不动点为，且，求实数b的取值范围： （3）若函数的不动点为，且对任意，总存在，使得成立，求实数m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $