回归教材专题(一) 一元二次方程的解法～21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系-【名师学案】2024-2025学年九年级上册数学分层进阶学习法（人教版）

回归教材专题(一) 一元二次方程的解法 [针对教材P25复习题T1 类型一 一元二次方程的一般解法 类型二 一元二次方程的特殊解法 1.用指定的方法解一元二次方程: 方法一:十字相乘法(二次项系数为1) (1)(x-3)}-49=0;(直接开平方法 3.(1)(答题模板)解方程x2-4x-5-0. 解:-5--5×1,-5+1 ..原方程可变形为 -0. .= ,- (2)2x-2x-1-0;(公式法) (2)【针对练习】解下列方程: ①x*+5x+6-0; ②-x-72-0. (3)(2x+1)+4(2x十1)+4=0;(因式分解法) 方法二:换元法 4.【新中考·解题方法型阅读理解题】 阅读材料,解答问题; 解方程(r*+1)-2(x2+1)-3-0. 解:设x{十1=y,则原方程可变形为y{}-2y (4)r*-6x-9991-0.(配方法) -3-0...y=3,y=-1. 当v-3时,r^2+1-3, '-2,.-v②,=-2; 当--1时,x2+1--1, 2.用适当的方法解下列方程; ..^一一2,此方程无实数根. (1)4r-3x-5-4-3x; '原方程的解为x.-2,x。=-2. 我们将上述解方程的方法叫做换元法,此方 法达到了降次的目的,体现了数学思想中的 转化思想. 【问题解决】利用上述方法解方程(2v-1)}一 (2)(x+1)(x+3)-2: (2y-1)-2-0. (3)3(x+2)2-x2-4 请完成进阶测评(一) 13 九年极数学·上册 x21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 4知识储备 5.【教材P17习题T7变式】已知x,x;是一元 一元二次方程ax^{}+bx+c-0(a≠0,b*-4ac 二次方程x②}一5x-2-0的两根,不解方程求 >0)的两根分别是x= ,。= 下列各式的值: ,则x十x:= (1)r2十r^{}; (2) x.2。= 12 A基础练 知识点一 一元二次方程的根与系数的关系 1.(2024·泰州模拟)设方程x^*}+2x-1=0的 两根分别是x,x。,则x十x。的值为( ~ 知识点三 利用根与系数的关系求方程中的待 C.1 A.-2 B.2 D.-1 定系数的值或取值范围 2.(1)已知x,x是方程x^2-4x十3=0的两$ 6.(2023·乐山)若关于x的一元二次方程x^一 根,则x·x。的值是 8x+m=0的两根是x1.x,且x=3x,则 (2)【T2(1)变式】若关于x的一元二次方程 的值是 ~ r-mx十2-0的一个根是-1,则另一个根 A.4 B.8 C.12 是 D.16 3.【教材P16例4变式】不解方程,求下列方程 7.若关于x的一元二次方程x^*+2x-2十1- 的两根之和与积; 的两实数根之积为负数,则实数m的取值范 围是 (1)r-2x-5; 8.(2024·广西模拟)若x=一2是一元二次方 程x^}十2x十m-0的一个根,求方程的另一个 根及m的值 (2)3x*+2x-2(x+1). 知识点二 利用根与系数的关系求相关的代数 式的值 易错点# 在利用根与系数的关系时,因忽略 4.(1)(2023·宜昌)若x,x;是方程2x}-3x十 __ “△>0”致错 1+x1x2 9.若关于x的一元二次方程x②-(2m十3)x+ A.1 B.-1 C.2 D.-2 n}一0的两个实数根为x1,x,且x十x (2)【T4(1)变式·逆向思维】若x1,x。是方程 x1x。,则n的值是 r*+mx-n=0的两根,且x.+x2=2,x1x2= 【点拨】先利用根与系数的关系,结合已知条件求n -3,则n= 的值,注意检验“△”的值. 助学助数 优质高数 14 B综合练关键能力提升一 +n=-1×1=-1. 根据上述材料,结合你所学的知识,完成下 10.(2024·湖北模拟)若关于x的一元二次方 列问题. 程x-2mx+n^}-4n-1=0有两个实数根 (1)材料理解:一元二次方程2x-3x-1-0 t.,且(x+2)(x+2)-2xx=17,则 ( m的值是 ~ 的两个根为x,x,则x&十x C.2 D.6 B.2或8 A.2或6 X1X:- (2)类比应用:已知一元二次方程2x^{-3 11.已知矩形ABCD的周长是12,面积是5,且 AB,BC的长恰好是方程x^{}十mx十n一0的 两根,则mn= 值是 C素养练 (3)思维拓展;实数m,n满足2m{}-3m-1 12.【新中考·解题方法型阅读理解题】 m 材料1:若关于x的一元二次方程ax^{②}+bx 7 的值. 十c-0(a去0)的两个根为x1,X,则x.+x ,1= 材料2:已知一元二次方程r^{-x-1-0的$ 两个实数根分别为m,n,求n^{}n十m^{}的值 解:一元二次方程x-x-1-0的两个实数 根分别为m,n. '.m+n=1,mn=-1,则m{n+mn{}-mn(m 微专题 一元二次方程的根及根与系数的关系的应用 【例】已知a,6是方程x-3x-5-0的两根, 【针对练习】 求代数式2a3-6^{}+6^{}十7十1的值,请补全 1.(2023·内江)若a,b是一元二次方程x2十 解答过程: 3.x-4=0的两个根,则a^{2}十4a十b-3的值 解:,a,b是方程x-3x-5-0的两根, 为 C B-2 A.0 C.3 '$$-3a-5-0,-3b-5-0,a+$-3 D.4 .a?-3a- ,6-5+36. 2.已知方程x^{-2021x十1-0的两根分别为 '2a-6a?+62+76+1 x1,,则x2021 的值为 。 +7十1 -2a(a?-3a)十 2 A.1 B.-1 a十 b6 C.2021 D.-2021 (a十b)十6 ×3十6 3.【针对练习T1变式·逆向思维】,8是关于 x的方程x^{-x十 -1-0的两个实数根, 且。-2a-③-4,则的值为 15 九年&数学·上册21.2.3 因式分解法 知识储备 乘积0 降次 A基础练 $.$=2,=-7 2.D 3.(1)①x(+3) ②x=0 x+3=0 ③0$ -3A(2) ①解:x(x-3)-0,x-0或x-3-0.x-0,r。-3 ②解:(x十1)-0.x-x。一 -1. ③解;(-3+5)(-3-5)-0.x+2-0或x-8-0.x=-2,x-8. 4.未考虑x-2-0 x-2 5.A 6.(1)①直接开平方 ②配方 ③公式 ④因式分 解(2)①解:(x-1){-9. 3 2.:=一 ②解::a-1.b ②.x=1+②,x.=1-②.③解:原方程变形,得x(x-7)+8(x-7)=0,( 7)(+8)-0.-7-0或x+8=0.'x-7,--8.7.B 8.3 9.-1或 1.5 10.(1)解:(3x+2+2x)(3x+2-2x)-0,(5x+2)(x+2)-0.x=-0.4, =-2.(2)解:2(x-3)-(x+3)(-3)-0.(-3)(2x-6-x-3)-0,(-3)( -9)-0,.x-3,x:-9. 微专题二 用十字相乘法分解因式解一元二次方程 【例】(2)00 解:(2-5)(x-1)-0.x-5.x。-1. 【针对练习】1.C 2.0,士6,士15 回归教材专题(一) 一元二次方程的解法 1.1)解:(-3)-49,-3=士7.'x-10,t=-4.(2)解:△-b-4ac-(-2) 3.1-3 (3)解: (2x十1+2)②-0,(2x十3)②-0.'x=x。=- (4)解:x?-6x+9-10000.(x- (2)整理,得x+4x=-1,x^②}+4x+4-3,即(x+2)-3..x+2 士3.x.=-2+3,x=-2-3.(3)解:3(x+2) -(x+2)(x-2)=0,(x+2) (3十6-x十2)-0,x.--2,r.--4. 3.(1)-4(x-5)(x十1)5-1(2)① 解:(x+2)(x+3)-0..x.--2.x.--3. ②解:(x-9)(x+8)-0.x-9,x.= -8. 4.解:设2y-1-a,则原方程可变形为a-a-2-0.解得:a-2,a--1.当 a -2时,2y-1-2,解得y-1.5;当a=-1时,2y-1=-1,解得y=0. .y-0,y -1.5. *21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 知识储备 -b+-4a-b-6-4ac BC 2u 2 A基础练 1.A 2.(1)3(2)-23.(1)解:原方程变形为x*-2x-5=0,x+x。=2,xx= -5.(2)解:原方程变形为3x*-2-0...x.十x。=0,xx。=- 4.(1)A(2) -2 3 5.解:由题意可知x.+x:=5,xx。=-2.(1)x+x:-(x.+x)-2x.x= 5*-2×(-2)-29.(2)1+1+ -.6.C 7.1 8.解:设另 x xrx: 一个根是x,由根与系数的关系,得-2十x。=-2,-2·x。=n,解得x。=0,n=0. (3)解:由题意,得n,n是一元二次方程2x-3x-1-0的两根,.,n+n= .1_士17. “nn 微专题三 一元二次方程的根及根与系数的关系的应用 【列】5 36+5 10 10 10 10 36 【针对练习】1.B 2.B 3.-4 难点突破专题(一)根的判别式及根与系数的关系的综合运用 【例】解:(1).x-4x-2m+5-0有两个实数根,.,△--4ac0.'.(-4)-4$×1 168