21.2.2 第1课时一元二次方程根的判别式&重点强化专题(1)根的判别式的应用-【名师学案】2025-2026学年九年级上册数学分层进阶学习法（人教版）

21.2.2 公式法 第1课时 一元二次方程根的判别式 知识储备 知识点三利用根的判别式求字母的值或取值范围 1.我们把b2-4ac叫做一元二次方程a.x2十bx十 5.(教材P17习题T4改编) 一材多题 c=0(a≠0)的根的 ,记作“ 已知关于x的一元二次方程x2一2x一m=0. 即 (1)根的判别式△= 2.当△>0时，一元二次方程ax2+bx十c=0(a≠ (2)当m 时，方程有两个不相等的 0)有 的实数根；当△=0时，有 实数根； 的实数根；当△<0时， (3)当m 时，方程有两个相等的实 实数根 数根； 01基础练 (4)当m 时，方程没有实数根。 必备知识梳理一 6.【新中考·结论开放】若关于x的一元二次方 知识点一 一元二次方程根的判别式 程x2十3x十k=0无实数根，则k的值可以是 1.【概念辨析】把方程7x=2x2一4化为一般形 式a.x2+bx+c=0后，a= ,b= 7.关于x的一元二次方程x2十4x十m-2=0. c= ,根的判别式△的值是 (1)若x=0是方程的一个根，则m的值是； 2.关于x的方程x2+mx一1=0的根的判别式 (2)若此方程有实数根，求m的取值范围. 的值为8，则m的值是 知识点二利用根的判别式判断一元二次方程 的根的情况 3.(2024·上海)以下一元二次方程有两个相等 实数根的是 易错点○用一元二次方程根的判别式时，因 A.x2-6.x=0 B.x2-9=0 忽略二次项系数不为0致错 C.x2-6x+6=0 D.x2-6x十9=0 8.(2025·襄阳模拟)已知关于x的一元二次方 4.不解方程，判断下列方程根的情况： 程(m十1)x2-2x+1=0有两个实数根，则m (1)2x2-3x-1=0; 的取值范围是 02综合练 膏关能能力捉升 9.关于一元二次方程x2十(k-3)x一k十1=0 的根的情况，下列说法正确的是 () A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 (2)16x2+8x=-3. C.无实数根 D.无法确定 10.若关于x的一元二次方程x2-2x-m=0 无实数根，则一次函数y=（m十1)x+m一1 的图象不经过第 象限. 7 九年级数学·上册 跨单元整合 重点强化专题（一） 根的判别式的应用 01考点突破 5.(1)(2025·长春模拟)若一元二次方程kx2+ 4x一1=0有两个不相等的实数根，则实数k 类型一不解方程，判断方程根的情况 的取值范围是 () 1.(2024·吉林)下列方程中，有两个相等实数 A.k>-4 B.k<4 根的是 () C.k<4且k≠0 D.k>一4且k≠0 A.(x-2)2+1=0B.(x-2)2=0 (2)【T5(1)变式】若关于x的方程kx2-6x+ C.(x-2)2-1=0D.(x-2)2-2=0 9=0有实数解，则k的取值范围是() 2.(中考·河南)关于x的方程x2+mx一8=0 A.k<1且k≠0 B.k<1 实数根的情况，下列判断正确的是() C.k≤1且k≠0 D.k≤1 A.有两个不相等实数根 【点拨】由于方程类型不明确，故分两种情况讨论： ①一元一次方程；②一元二次方程， B.有两个相等实数根 C.有一个实数根 02素养提升 D.没有实数根 6.【数形结合思想】函数y=kx十b的图象如图 3.【新中考·新运算型阅读理解题】对于实数 所示，则关于x的一元二次方程x2+bx十 a,b定义运算“☒”为a⑧b=b-ab,例如3☒ k一1=0的根的情况是 () 2=2-3×2=一2，则关于x的方程(k一3) A.没有实数根 B.有两个相等的实数根 y=kx+b ☒x=k一1的根的情况，下列说法正确的是 C.有两个不相等的实数根 ( D.无法确定 A.有两个不相等的实数根 7.已知一元二次方程x2一(2k十1)x十k十k=0. B.有两个相等的实数根 (1)求证：方程有两个不相等的实数根； C.无实数根 (2)若△ABC的两边AB,AC的长是这个方 D.无法确定 程的两个实数根，第三边BC的长是5，当 类型二利用根的情况求待定系数（或代数式） △ABC是等腰三角形时，求k的值. 的值或取值范围 解题技巧 利用方程根的情况求待定系数的值或取值范围 时，若方程是一元二次方程，可结合△和二次项系数 α≠0列方程或不等式（组）解答；若方程类型不明确， 应分一元一次方程和一元二次方程讨论，如T5(2). 4.【整体思想】关于x的方程x2+bx十c=0有 两个相等的实数根，则b一2(1+2c)的值是 () A.-2B.2 C.-4D.4 助学助觳优质高数8+6代入ab+c2-4c+13=0中，得b2+6b+c2-4c+13=0.∴.(b+3)2+(c-2)2=0, ∴.b十3=0，c-2=0.∴.b=-3,c=2.∴.a=b+6=-3+6=3.把a=3,b=-3,c=2 代入方程ax2+bx十bc=0中，得3x2-3x-6=0,解得x1=2,x2=-1. 微专题一利用配方法求二次三项式的最值 【例】(.x2-2x)x-11x-11≥≥≥ 1.-2小-112.-4大233.74.5 21.2.2公式法 第1课时一元二次方程根的判别式 知识储备 1.判别式△△=b2-4ac2.两个不相等两个相等没有 基础练 1.2 -7 -4812.±23.D4.(1)解：.a=2,b=-3,c=-1,∴.△=b-4ac =(-3)”一4×2×(-1)=17>0..此方程有两个不相等的实数根.(2)解：化为一 般形式为16.x2+8x+3=0..a=16,b=8,c=3.∴.△=b2-4ac=64-4×16×3 -128<0..此方程没有实数根.5.(1)4十4m(2)>-1(3)=-1(4)<-1 6.3(答案不唯一)7.(1)2解：(2)由题意，得4一4(m-2)≥0.解得m≤6.8.m ≤0且m≠-19.A10. 重点强化专题（一）根的判别式的应用 1.B2.A3.A4.A5.(1)D(2)D6.C7.(1)证明：.△=b-4ac=[-(2k +1)]2一4(k+k)=1>0,∴.方程有两个不相等的实数根：(2)由(1)知AB≠AC,所以 当△ABC是等腰三角形时，则有AB=BC或AC=BC,即5是原方程的一个根，把x 5代入方程，得25-5(2k十1)+k+k=0.化简，得k2一9k+20=0.解得k1=4,k2=5. 第2课时用公式法解一元二次方程 知识储备 x=-b±B=4ac(B-4ac≥0) 2a 基础练 1.1)D(2)B2.(1)y+y-2=011-29-1±5 2×1 1-2(2)①解： a=1,b=-1,c=2,∴.b-4ac=(-1)2-4×1×2=-7<0..此方程无实数根. ②解：.a=1,b=-2√3，c=3,∴.△=b2-4ac=(-2√3)2-4×1×3=0..x 25±0=5，x=,=尽.③解：原方程化为一般形式为x-2x-3=0.:a 2×1 1,b=-2,c=-3,4=-4ac=(-2)2-4X1×(-3)=16>0.x=2告厘= 2×1 24=1士2.x,=3,x=-1.3.任务一：一方程没化成一般形式任务二：解： 移项化为一般形式：x2-6.x+2=0.a=1,b=-6,c=2,b2-4ac=(-6)2-4×1×2 28.x=6±，/2s=6±7=3±万.m=3+万，，=3-.4.D5.1-☑ 2 6.(1)解：原方程变形为y2-25y+10=0.:a=1,b=-2√5，c=10,A=b-4ac =(一2√5)2一4×1×10=-20<0..此方程无实数根.(2)解：原方程变形为3x +10x+5=0.a=3,b=10,c=5,.A=6-4ac=102-4×3×5=40>0.∴.x -10±√/40-5士√10 .∴x,=-5+ 2,x,=-510 2×3 3 3 3 7.解：设BC=x,则 AC=1.AC=BC,BC2=AC·AB.即x=1-x.解得x=二1十5 2 ,x2 5-1 -15(舍去).AB1 BC 2 5,1答：黄金分制数是5,1 2 2 8.(1)证明：，△ =b2-4ac=[-(3k+1)]2-4×1X(2k2+2k)=k2-2k+1=(k-1)2≥0，∴.无论k为 何值，方程总有实数根：(2)解：由(1)知x=3张+1±，D=36+1士-1).： 2 x1=2k,x2=k十1.△ABC是等腰三角形，∴.由题意知可分三种情况：①当2k=6 时，三边是6,6,4，此时周长是16：②当2k=k+1时，三边是6,2,2，不能构成三角形： ③当k+1=6时，三边是6,6,10，此时周长是22.∴.综上所述，△ABC的周长是16或22. 21.2.3因式分解法 知识储备 乘积0降次 基础练 1.x=2,x2=-72.D3.(1)①x(x+3)②x=0x+3=0③0-3A(2) ①解：x(x-3)=0.x=0或x-3=0.∴.x1=0,x2=3②解：(x+1)2=0.∴.x1=x2 -1.③解：(x-3+5)(x-3-5)=0.∴.x+2=0或x-8=0..x1=-2,x2=8. 4.未考虑x一2=0x=25.A6.(1)①直接开平方②配方③公式④因式分 解2)①懈：-1D=是1-1=士是=号=-合②解：“a=1,6 .5