3.21 二次函数图象与性质的应用-【一战成名新中考】2025福建中考数学·一轮复习·分层作业本（练册）

一战成名·福建数学 分 层 作 业 本 ∴ b 2 -1 = 1,∴ b= 4, ∴ 抛物线的解析式为 y= -x2 +4x. 11. 解:∵ 抛物线 y=ax2 +bx+c 与 x 轴只有一个公共点, ∴ 抛物线上的点只能落在 x 轴上或其同侧,且方程 ax2 +bx+c= 0 有两个相等的实数根,即 b2 -4ac= 0. 又∵ 点 P1( -2,1),P2(2,-1),P3(2,1)中恰有两点在抛 物线上, ∴ 只能是 P1( -2,1),P3(2,1)在抛物线上, 由对称性可得抛物线的对称轴为直线 x= 0, ∴ b= 0,∴ 0-4ac= 0,即 ac= 0, ∵ a≠0,∴ c= 0. ∴ 抛物线的解析式为 y=ax2(a≠0) . 将 P1( -2,1)代入,得 4a= 1,解得 a= 1 4 , ∴ 抛物线的解析式为 y= 1 4 x2 . 命题点 21　 二次函数图象与性质的应用 能力点通关 1. = ,4-4k,1　 2. ≥,4-4(k-1)≥0,k≤2　 3. x2 +2x-3,m 4. x1 +x2 2 5. ①开口方向向上;②对称轴为直线 x= -1; 与 y 轴的交点随着 c 的变化而变化,相当于将抛物线 y = x2 +2x 沿 y 轴上下平移. 6. ①与 y 轴的交点坐标为(0,3);②对称轴为直线 x= 1; 开口方向和开口大小随着 a 的变化而变化. 7. ①开口方向向上;②y 的最小值为-1; 对称轴随着 h 的变化而变化,相当于将抛物线 y = x2 - 1 沿 x 轴左右平移. 8. 开口方向向上; 与 x 轴的交点坐标为(a,0),(a+2,0),随着 a 的变化而 变化. 基础达标练 1. A 2. -1 或 4　 拓展设问 1 x<-1 或 x>4 拓展设问 2 -1≤x≤4　 3. -2≤x≤4　 【解析】∵ 抛物线 y = ax2 +c 与直线 y =mx+n 交于 A( -2,p),B(4,q)两点,∴ ax2 -mx+c≤n,即 ax2 +c≤ mx+n 的解集是-2≤x≤4. 4. 两　 变式 A 5. 1≤h≤2　 拓展设问 1 -1≤h<1 或 2<h≤4 拓展设问 2 -2≤a≤2　 【解析】根据题意可知,当 x = 3 时,y≥3,即 9-6+a+2≥3,解得 a≥-2,当 y = 3 时,x≤3, 即 3 = x2 -2x+a+2,x2 -2x+a-1 = 0,(x-1) 2 = 2-a,2-a≥0, ∴ a≤2,综上分析,抛物线 y= x2 -2x+a+2 与线段 AB 至少 有一个交点,则 a 的取值范围是-2≤a≤2. 6. - 9 4 　 【解析】∵ 关于 x 的方程 x2 -(m+3) x+m+6 = 0 的 两根 x1 ,x2 满足 1<x1 ≤2<x2 ,∴ Δ = [ -(m+3)] 2 -4(m+ 6)= m2 +2m-15 = (m+5) (m-3) >0,∴ m>3 或 m<-5,∵ x1 +x2 =m+3>1+2 = 3,∴ m>0,∴ m>3,∵ 二次函数 y = x2 - (m+3)x+m+6 = ( x- m+3 2 ) 2 - (m+1) 2 4 + 4,∴ 对称轴为直 线 x= m+3 2 ,顶点坐标为( m+3 2 ,- (m+1) 2 4 + 4),图象开口 向上,∴ 当 x< m+3 2 时,y 随 x 的增大而减小,∴ x1 在对称 轴的左侧,1<x1 ≤2,∴ 当 x1 = 2 时,点(x1 ,0)距对称轴最 近,顶点最高,此时顶点纵坐标取得最大值,∴ 22 -2(m+ 3) +m + 6 = 0, ∴ m = 4, ∴ 顶点纵坐标的最大值是 -(m +1) 2 4 +4 = - 9 4 . 7. a> 1 3 或 a<- 1 5 　 【解析】抛物线 y=ax2 -4ax+4 的对称轴 为直线 x= - -4a 2a = 2,由题意得,抛物线与直线 l 靠近 y 轴 的交点坐标为(m,3),∵ |m | <1,∴ -1<m<1. 当 a>0 时, 如解图①,若抛物线经过点(1,3),开口最大,此时 a 值 最小,将点(1,3)代入抛物线解析式得 3 = a-4a+4,解得 a= 1 3 ,∴ a> 1 3 ;当 a< 0 时,如解图②,若抛物线经过点 ( -1,3),开口最大,此时 a 值最大,临界位置如解图②所 示,将点( -1,3)代入抛物线解析式得 3 =a+4a+4,解得 a = - 1 5 ,∴ a<- 1 5 ,综上,a 的取值范围为 a> 1 3 或 a<- 1 5 . 第 7 题解图① 第 7 题解图② 命题点 22　 二次函数的实际应用 1. C　 【解析】∵ 二次函数解析式为 y = ax2 + 4. 2(a< 0),∴ 抛物线的顶点坐标为(0,4. 2),∴ 该抛物线所在的平面 直角坐标系是以抛物线的对称轴为 y 轴,以水面为 x 轴. 2. D 3. 60　 【解析】设猪肉粽每盒售价 x 元(52≤x≤70),该商 家销售猪肉粽的利润为 y 元,∴ y = ( x-50) [180-10( x- 52)] = ( x- 50) ( - 10x+ 700) = - 10x2 + 1 200x- 35 000 = -10(x-60) 2 + 1 000,∵ - 10 < 0,52≤x≤70,∴ 当 x = 60 时,y 取最大值,即利润最大时,每盒猪肉粽的售价应为 60 元. 4. C　 【解析】①令 h= 0,则 30t-5t2 = 0,解得 t1 = 0,t2 = 6,∴ 小球从抛出到落地需要 6 s,故①正确;②h = 30t- 5t2 = 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 71 分层作业本·福建数学 　 　 　 　 班级: 　 　 　 　 　 　 　 姓名: 　 　 　 　 　 　 　 学号: 　 　 　 　 　 　 　 日期: 　 第 三 章 函 　 数 命题点 21　 二次函数图象与性质的应用(必考) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 能力点通关 能力点 1　 会对题干中的信息进行思维转化 1. 抛物线 y= x2 +2x+k 与 x 轴只有一个交点􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍. [2021. 25、2019. 25 考查] 思维转化关于 x 的一元二次方程 x2 +2x+k= 0 的根的判别式的值　 　 　 0, 即　 　 　 　 = 0,k 的值为　 　 　 . 2. 抛物线 y= x2 +2x+k 与直线 y= 1 有公共点􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍. [2017. 25 考查] 思维转化关于 x 的一元二次方程 x2 +2x+k= 1 的根的判别式的值　 　 　 0. 即　 　 　 　 　 　 ,则 k 的取值范围是　 　 　 　 . 3. 关于 x 的方程 x2 +2x-3-m= 0 的解为 x1,x2􀪍􀪍 (x1 <x2) . 思维转化抛物线 y= 　 　 　 　 与直线 y= 　 　 　 有两个不同的交点,且交点的横坐标分别为 x1, x2(x1 <x2) . 4. 已知点 A(x1,y1)和点 B(x2,y1)都在二次函数 y= x2 +bx+c 的图象上. [2023. 24 考查] 思维转化点 A 和点 B 关于抛物线的对称轴对称,即抛物线的对称轴为直线 x = - b 2 = 　 　 　 　 . (用含 x1,x2 的代数式表示) 能力点 2　 会对含参抛物线进行思维转化 5. 抛物线 y= x2 +2x+c. 思维转化 静态特征: 动态特征: 6. 抛物线 y=ax2 -2ax+3. 思维转化 静态特征: 动态特征: 7. 抛物线 y= (x-h) 2 -1. 思维转化 静态特征: 动态特征: 8. 抛物线 y= (x-a)(x-a-2) . 思维转化 静态特征: 动态特征: 74 分层作业本·福建数学 　 第 三 章 函 　 数 基础　 达标练 考向 1　 与方程、不等式的关系(2021. 8) 1. [人教九上 P47 习题第 6 题改编]对于抛物线 y=ax2 +bx+3(a≠0),若顶点在 x 轴下方,则一元二次方 程 ax2 +bx+3 = 0 (　 A　 ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法判断 2. 已知二次函数 y= x2 -3x-4 的图象如图所示,则方程 x2 -3x-4 = 0 的根为　 -1 或 4　 . 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 拓展练思维 拓展设问 1 不等式 x2 -3x-4>0 的解集为　 x<-1 或 x>4　 . 拓展设问 2 不等式 x2 -3x-4≤0 的解集为　 -1≤x≤4　 . 第 2 题图 　 　 　 　 　 第 3 题图 3. [2024 福州鼓楼区期末]如图,抛物线 y=ax2 +c 与直线 y=mx+n 交于 A( -2,p),B(4,q)两点,则不等 式 ax2 -mx+c≤n 的解集是　 -2≤x≤4　 . 考向 2　 交点问题(8 年 5 考,仅 2022 年单独设题考查) 4. 二次函数 y= x2 +bx+c 的图象过点(3,1)和(2,-3),则该函数图象与 x 轴有　 两　 个交点. 变式 针对抛物线 y= x2 -(a+1)x+a 与直线 y= 1 公共点的情况,下列说法正确的是 (　 A　 ) A. 有两个公共点 B. 有一个公共点 C. 没有公共点 D. 无法确定是否有公共点 5. 名师原创 已知 A(3,3),B(0,3),抛物线 y = -(x-h) 2 +4 与线段 AB 有两个交点,则 h 的取值范围 是　 1≤h≤2　 . 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 拓展练思维 拓展设问 1 抛物线 y= -(x-h) 2 +4 与线段 AB 只有一个交点,则 h 的取值范围是 　 . 拓展设问 2 抛物线 y= x2 -2x+a+2 与线段 AB 至少有一个交点,则 a 的取值范围是　 -2≤a≤2　 . 强化　 提升练 6. [2024 福建模拟]若关于 x 的方程 x2 -(m+3)x+m+6 = 0 的两根 x1,x2 满足 1<x1 ≤2<x2,则二次函数 y= x2 -(m+3)x+m+6 的顶点纵坐标的最大值是　 　 　 　 . 点拨:当 x1 = 2 时,顶点纵坐标取得最大值. 7. [2024 福州仓山区三模]抛物线 y=ax2 -4ax+4(a≠0)􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍与 y 轴交于点 A. 过点 B(0,3)作 y 轴的垂线 l, 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 点拨:注意分类讨论,以防漏解. 若抛物线 y=ax2 -4ax+4(a≠0)与直线 l 有两个交点,设其中靠近 y 轴的交点的横坐标为 m,且 |m | <1,则 a 的取值范围是　 　 　 　 　 　 . 温馨提示:[二次函数综合题]见《专题培优练》P13 84