7.40 投影、视图、立体图形的展开与折叠-【一战成名新中考】2025福建中考数学·一轮复习·基础夯实练（讲册）

典例 2　 180°　 典例 3　 B 变式题解图 变式 C　 【解析】如解图,AB 是正十二边形的一条 边,点 O 是正十二边形的中心,过 A 作 AM⊥OB 于 M,在正十二边形中,∠AOB = 360°÷12 = 30°, ∴ AM= 1 2 OA= 1 2 ,∴ S△AOB = 1 2 OB·AM = 1 2 ×1× 1 2 = 1 4 ,∴ 正十二边形的面积为 12× 1 4 = 3,∴ 3 = 12 ×π,∴ π = 3,∴ π 的近似值为 3. 要点 2　 典例　 8 3 π 练习　 3 + 2 3 π　 【解析】如解图,连接 AF、EF. 由题意易知△AEF 是等边三角形,∴ ∠AEF = 60°,∴ S阴影 = S半圆 -S扇形AEF -S弓形AF = 2π- 60π·22 360 -( 60π·22 360 - 1 2 ×2× 3 2 ×2)= 3 + 2 3 π. 练习题解图 第七章　 图形的变化 命题点 39　 尺规作图 典例　 D　 【解析】由①知:PA=PB,∴ ∠1 = ∠2,由②知:AQ =BQ, ∴ PQ 是 AB 的垂直平分线,∴ PQ⊥AB. 练习　 解:(1)如解图①,直线 l 即为所求作的直线; (2)①当∠BAC= 90°,AB=AC 时,如解图②, ∵ l∥l1∥l2 ,直线 l1 与 l2 间的距离为 2,且 l 与 l1 间的距离等于 l 与 l2 间的距离, 根据图形的对称性可知:BC= 2, ∴ AB=AC= 2 ,∴ S△ABC = 1 2 AB·AC= 1; ②当∠ABC= 90°,BA=BC 时, 如解图③,分别过点 A,C 作直线 l1 的垂线,垂足为 M,N, ∴ ∠AMB= ∠BNC= 90°, ∵ l∥l1∥l2 ,直线 l1 与 l2 间的距离为 2,且 l 与 l1 间的距离等于 l 与 l2 间的距离, ∴ CN= 2,AM= 1, ∵ ∠MAB+∠ABM= 90°,∠NBC+∠ABM= 90°, ∴ ∠MAB= ∠NBC, ∴ △AMB≌△BNC(AAS),∴ BM=CN= 2, 在 Rt△ABM 中,由勾股定理得 AB2 =AM2 +BM2 = 12 +22 = 5, ∴ AB= 5 ,∴ S△ABC = 1 2 AB·BC= 5 2 ; ③当∠ACB= 90°,CA=CB 时,如解图④,同②可得,S△ABC = 5 2 . 综上所述,△ABC 的面积为 1 或 5 2 . 图① 　 　 图② 图③ 　 　 图④ 练习题解图 命题点 40　 投影、视图、立体图形 的展开与折叠 要点 1　 典例　 C 要点 2　 ①高平齐　 ②宽相等 典例　 C　 练习 1　 A　 练习 2　 A　 练习 3　 A　 练习 4　 C 要点 3　 ③正方形　 ④矩形　 ⑤矩形　 ⑥扇形 典例 1　 C　 典例 2　 9 2 命题点 41　 轴对称与折叠 要点 1　 ①对称轴　 ②相等　 ③相等 典例　 A　 练习　 B　 要点 2　 ④AB　 ⑤CB　 ⑥∠ABC　 ⑦∠BAC　 ⑧∠BCA　 ⑨△ABC　 ⑩AC　 􀃊􀁉􀁓垂直平分　 􀃊􀁉􀁔BO　 􀃊􀁉􀁕∠B′AB　 􀃊􀁉􀁖∠B′CB　 􀃊􀁉􀁗∠ABO　 􀃊􀁉􀁘∠CBO　 􀃊􀁉􀁙轴对称　 􀃊􀁉􀁚对称轴 典例　 58°　 练习　 (1) 3 2 ;(2) 8 9 命题点 42　 中心对称与旋转 要点 1　 典例　 B　 练习　 D 要点 2　 ①O　 ②90　 ③A′　 ④B′　 ⑤A′B′　 ⑥OA′　 ⑦OB′ ⑧∠A′B′C′　 ⑨∠AOA′　 ⑩90　 􀃊􀁉􀁓垂直 典例　 D　 练习　 4 2 　 命题点 43　 图形的平移、裁剪与拼接 要点 1　 ①相等　 ②相等　 ③EF　 ④GH　 ⑤平行　 ⑥平行 ⑦∠FGH　 ⑧CG　 ⑨DH 典例　 B　 练习　 B　 要点 3　 典例　 A　 练习　 A 第八章　 统计与概率 命题点 44　 统　 计 要点 1　 ①全体对象　 ②部分个体　 ③全体　 ④一部分个体 ⑤数目 典例 1　 抽样调查　 典例 2　 A　 典例 3　 270 要点 2　 ⑥ 1 n (x1 +x2 +…+xn) 　 ⑦一　 ⑧一　 ⑨不变　 ⑩最多　 􀃊􀁉􀁓 1 n [(x1 -x) 2 +(x2 -x) 2 +…+(xn -x) 2 ]　 􀃊􀁉􀁔大　 􀃊􀁉􀁕小 典例　 90　 练习 1　 C　 练习 2　 B　 要点 3　 􀃊􀁉􀁖 频数 数据总数 　 􀃊􀁉􀁗1 要点 4　 􀃊􀁉􀁘1　 􀃊􀁉􀁙360°　 􀃊􀁉􀁚1　 􀃊􀁉􀁛频数　 􀃊􀁊􀁒1 典例 1　 D　 典例 2　 1 080 命题点 45　 概　 率 要点 1　 ①1　 ②0 典例　 D　 练习　 A 要点 2　 典例 1　 D　 典例 2　 16　 典例 3　 解:(1)P(牌面数字为 4)= 2 5 ; (2)P(抽取的这两张牌的牌面数字之和为奇数)= 3 5 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 241 基础夯实练·福建数学 第 七 章 　 图 形 的 变 化 命题点 40　 投影、视图、立体图形的展开与折叠(必考) 要点 1 投影 1. 正投影:投影线垂直照射在投影面上的物体投影. 2. 中心投影:由一点射出的光线照射在物体上所形成的投影. 3. 平行投影:由平行光线照射在物体上所形成的投影. 对点练习 典例　 [北师九上 P129 议一议改编]下列四幅图中,能表示两棵树在同一时刻太阳光下的影子的是 (　 　 ) 要点 2 三视图的识别(必考,除 2018 年外均涉及考查) 1. 三视图的概念与画法 视图 视图的画法 主 视 图 从正面观察物体 时,看到的图形 叫作主视图 左 视 图 从左面观察物体 时,看到的图形 叫作左视图 俯 视 图 从上面观察物体 时,看到的图形 叫作俯视图 (1)主视图与俯视图长对正,主视图与左视图①　 高平齐　 ,左视图 与俯视图②　 　 　 　 　 ; (2)画图时,看得见的轮廓线画成实线,看不见的轮廓线画成虚线 　 　 　 2. 常见几何体及其三视图 几 何 体 圆柱 圆锥 球 正方体 长方体 三棱柱 三棱锥 三 视 图 3. 根据三视图还原几何体(2018. 2 考查) ①想象:根据各视图想象从三个方向看到的几何体形状; ②定形:综合确定几何体(实物原型)的形状. 911 基础夯实练·福建数学 第 七 章 　 图 形 的 变 化 对点练习 典例　 [2024 福建 3 题 4 分]如图是由长方体和圆柱组成的几何体,其俯视图是 (　 　 ) 典例题图 　 　 练习 1　 [2022 福建 2 题 4 分]如图所示的圆柱,其俯视图是 (　 　 ) 练习 1 题图 　 　 　 练习 2　 [2024 莆田一检]如图是由几个小正方体组成的几何体,它的左视图是 (　 　 ) 练习 2 题图 　 　 　 练习 3　 [2024 龙岩二检]如图所示的北宋时期的汝窑天蓝釉刻花鹅颈瓶是河南博物院九大镇院之宝 之一,具有极高的历史价值、文化价值,关于它的三视图,下列说法正确的是 (　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 主视图与左视图相同 B. 主视图与俯视图相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 三种视图都相同 练习 3 题图　 　 　 　 　 　 练习 4 题图 练习 4　 [2018 福建 2 题 4 分]某几何体的三视图如图所示,则该几何体是 (　 　 ) A. 圆柱 B. 三棱柱 C. 长方体 D. 四棱锥 要点 3 立体图形的展开与折叠 1. 常见几何体的展开图 常见几 何体 正方体 直三棱柱 圆柱 圆锥 展开图图示 (其中一种) 展开图特征 6 个大小相同的 ③　 　 　 　 　 2 个全等的三角形 和 3 个④　 　 　 　 2 个大小相同的圆 和 1 个⑤　 　 　 　 1 个圆和 1 个 ⑥　 　 　 　 021 基础夯实练·福建数学 第 七 章 　 图 形 的 变 化 2. 正方体的表面展开图(颜色相同的为折成正方体时的相对面) (1)“一四一”型: (2)“二三一”型: (3)“三三”型: (4)“二二二”型: 易错:正方体的表面展开图中不能出现“ ”“ ”“ ”图形,更不能出现五个面排 一行. 若出现“ ”类型,另两面必须在两侧,在做选择题时,可借助此方法排除错误 选项. 【点拨】找正方体展开图中相对面的一般方法 ①同一行或同一列有三个面及以上相连的,隔着一面的两个面必定是相对的面,可归纳为“上 下隔一行,左右隔一列”,如: ; ②不在同一行的,找 Z 字形,Z 字形两端的面一定是相对的面,如: . 3. 立体图形的折叠:一个几何体能展开成一个平面图形,这个平面图形也能折叠成相应的几何 体,展开与折叠是一个互逆的过程. 对点练习 典例 1　 [北师七上 P9 第 3 题改编]如图是一个正方体的展开图,则该正方体可能是 (　 　 ) 典例 1 题图 　 　 典例 2　 如图,圆柱形杯子高为 10 cm,底面周长为 18 cm,在杯口点 B 处有一滴蜂蜜,此时蚂蚁在杯 外距底部 1 cm 与蜂蜜相对的点 A 处,则蚂蚁从 A 处到 B 处沿杯壁爬行吃到蜂蜜的最短距离AB= 　 　 　 cm. 典例 2 题图 【点拨】立体图形上两点之间最短距离的求法:将立体图形展开转化为平面图形,或将曲面图形 转化为平面图形,然后运用“两点之间,线段最短”并结合勾股定理求解. 温馨提示:请完成分层作业本 P99-100 习题 121