专题01 相似三角形（期中复习讲义）九年级数学上学期新教材湘教版

专题01 相似三角形 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一 比例与比例线段 / 考点二 平行线分线段成比例 / 考点三 相似三角形的判定 / 考点四 相似三角形的判定 / 考点五 位似 05 重难题型突破 题型一 相似三角形的判定综合 / 题型二 相似性质的计算应用 / 题型三 相似三角形的实际问题 题型四 比例线段基础中的易错 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 本专题核心考点覆盖比例线段与比例的基本性质、平行线分线段成比例定理及其推论、相似三角形的判定定理（两角对应相等、两边对应成比例且夹角相等、三边对应成比例）、相似三角形的性质（对应角相等、对应边成比例、周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方、对应高/中线/角平分线之比等于相似比）、位似图形及坐标系中的位似变换，以及不同判定与性质在证明与计算中的综合运用规律。 识记 1. 能准确说出比例线段、黄金分割、相似比、位似中心等定义。 2. 熟记平行线分线段成比例定理及相似三角形的三个判定定理。 理解 1. 理解相似三角形对应高、对应中线、对应角平分线的比等于相似比。 2. 理解相似三角形面积比等于相似比的平方这一性质的推导逻辑。 应用 1. 能根据图形特征选择合适的判定方法证明三角形相似。 2. 能利用相似三角形解决测量高度、距离等实际问题及动点综合问题。 考点一 比例与比例线段 内容总结 比例的基本性质：若 ，则________；反过来，若 （），则________。 合比性质：若 ，则 ________。 等比性质：若 （），则 ________。 比例线段：在四条线段 a、b、c、d 中，如果________，那么这四条线段叫做成比例线段。 黄金分割：点 C 把线段 AB 分成两部分，若 ，则点 C 为 AB 的黄金分割点，黄金比为________。 避坑指南 ①成比例线段要注意顺序，四条线段顺序改变，比例关系一般会改变； ②等比性质使用前提：分母之和________，否则不能用等比性质。 概念辨析 ❶两条线段的比：单位要_______；线段的比是一个没有单位的数。 ❷成比例线段：是____条线段之间的关系。 参考答案 考点一 1.ad=bc；ab=cd 2.c±dd 3.ab 4.ab=cd 5.5−12 避坑指南：②不等于 0　概念辨析：❶统一；❷四 考点二 平行线分线段成比例 内容总结 基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段__________。 推论（平行于三角形一边的直线）：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段__________。 推论逆用：如果一条直线截三角形的两边（或两边延长线），所得对应线段成比例，那么这条直线__________于三角形的第三边。 记忆口诀 一组平行线截两线，对应线段就成比； 三角一边遇平行，对应线段必成比。 易混易错 ⚠️ 平行线分线段成比例，只得到线段成比例，不能直接得到线段相等；要看清是“截两边”还是“截两边延长线”，图形分 A 型、____型两种模型。 参考答案 1.成比例 2.成比例 3.平行 易混易错：X 型 考点三 相似三角形的判定 内容总结 相似三角形定义：对应角_______，对应边________的两个三角形叫做相似三角形，相似符号：_______。 判定方法： 平行判定（预备定理）：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形________。（A 型、X 型模型） 判定 1：________个角分别相等的两个三角形相似。 判定 2：两边对应________，并且________相等的两个三角形相似。 注意：角必须是两组对应边的夹角！ 判定 3：三边对应________的两个三角形相似。 避坑指南 ⚠️ 判定相似，AA 只需要两组角相等即可，不需要三组；公共角、对顶角、同角的余角/补角常常作为相等角。 两边成比例，非夹角相等不能判定相似，这是期中考试高频陷阱。 判定全等是边相等；判定相似是边________。 全等与相似关系：全等是相似比等于_______的特殊相似。 小结：相似三角形判定 4 条——①平行得相似；②AA；③SAS；④SSS。 概念辨析 ❶两个等腰三角形不一定相似；但是两个________等腰三角形一定相似。 ❷两个直角三角形不一定相似；有一组_______相等的两个直角三角形相似。 参考答案 定义：相等；成比例； 相似 两 成比例；夹角 成比例 避坑指南：❷成比例　1 概念辨析：❶等边；❷锐角 考点四 相似三角形的性质 内容总结 若 ，相似比为 k。 对应角：对应角________。 对应边：对应边的比等于________。 对应线段比：对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于________。 周长：周长之比等于________。 面积：面积之比等于________________。 记忆口诀 相似比，记心间； 角相等，边成比； 高线中线角分线，周长都等于相似比； 面积比，要平方，千万不要记混它。 易混易错 ⚠️ 面积比开平方得________；相似比平方得________。很多同学直接把面积比当成相似比，期中高频丢分！ 参考答案 相等 相似比 k 相似比 k 相似比 k 相似比的平方 易混易错：相似比；面积比 考点五 位似 内容总结 位似图形定义：如果两个图形不仅是________图形，而且对应顶点的连线相交于________，对应边互相平行（或在同一直线上），那么这样的两个图形叫位似图形，这个点叫做________。 性质： ①位似图形一定________，相似图形________是位似图形； ②位似图形上任意一组对应点到位似中心的距离之比等于________； ③平面直角坐标系中，以原点为位似中心，相似比为 k，原图形点 ，则对应点坐标为________或________。 易混易错 ⚠️ 位似有两种情况：位似中心的同侧，或者异侧，所以坐标有两组答案，做题容易漏写！ 概念辨析 位似图形对应边互相________或者在同一条直线；对应顶点连线必须交于同一个点（位似中心）。 参考答案 相似；一点；位似中心 ①相似；不一定；②相似比；③； 概念辨析：平行 写作说明：①题型划分不求全面，而是要突出常考题型、重点和难点；②每个题型下设置1道典例，和2~3道迁移应用题，题源以上一年的期中真题为主，题目要有代表性。 题型一 相似三角形的判定综合 典例1 （24-25九年级上·安徽滁州·期中）如图，在边长为的小正方形组成的网格中，和的顶点都在网格点上，证明：． 受思维定核心能力：根据图形特征选择合适的判定方法证明三角形相似（复习目标"应用"层明确要求）。 判定四条：①平行得相似；②两角分别相等；③两边对应成比例且夹角相等；④三边对应成比例。 期中最高频陷阱：两边成比例，但相等的角不是这两组对应边的"夹角"，不能判定相似；公共角、对顶角、同角的余角/补角常被用作隐藏相等角。 易混：判定全等看"边相等"，判定相似看"边成比例"；全等是相似比＝1的特殊相似。 迁移应用 1．（24-25九年级上·北京顺义·期中）如图，在中，，是斜边上的高． (1)求证：； (2)若，，求的长． 2．（24-25九年级上·河南开封·期中）如图，点在的边上，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 题型二 相似性质的计算应用 典例1 （25-26九年级上·安徽安庆·期中）如图，在中，点是的中点，连接交对角线于点，交于点．若，则的长是（    ） A．1 B．1.5 C．2 D．3 对应高、对应中线、对应角平分线之比 = 相似比；周长比 = 相似比；面积比 = 相似比的平方。 高频丢分点：把面积比直接当成相似比——面积比开平方得相似比，相似比平方得面积比，二者方向不能记混。 迁移应用 1．（25-26九年级上·安徽滁州·期中）如图，在中，，，点D在边上，连接，以为斜边在其上方作等腰直角三角形，与交于点F，连接． （1）若，则的长为______； （2）在（1）的条件下，若，则的长为______． 2．（25-26九年级上·河北唐山·期中）已知：如图，在中，，，于点． (1)用尺规作图：在边上找一点，使，并说明理由（保留作图痕迹，不写做法）； (2)求线段的长． 3．（25-26九年级上·广东深圳·期中）【问题背景】 如图，在中，，，．将绕顶点C顺时针旋转一个角度，点A落在点，点B落在点，边与边相交于点D，与边相交于点E． (1)如图①，当时，画出图形后可得，此时，则______． (2)当时，利用尺规在图②中作出旋转后的（不写做法，保留作图痕迹），并直接写出的值______． 【特殊位置】 (3)如图③，当点恰好落在边上时，求的值． 题型三 相似三角形的实际问题 典例1 （25-26九年级上·广东深圳·期中） 项目式学习 问题发现：同学们对路边的路灯很感兴趣，于是邀请你一起参与综合探究活动． 【实地勘察】同学们到达一个公园．如图所示，在一天中同一时刻，路灯的影子为，小明（）站在路灯旁边，影子为．经测量，长2米，长0.5米，小明的身高为1.5米．    【进一步发现】同学们发现马路边有高大的路灯．如图所示，在一天中某一时刻，小明站在G点处，其影子顶部与路灯的影子重合，测得小明的影子的长为4.5米．小明从点G出发，前行12米走到E点，此时他正好可以在平面镜上的C点看到路灯的顶端A点，测得小明到平面镜上C点的距离为1米，小明的身高为1.5米．（忽略小明眼睛到头顶的距离）    【归纳探究】同学们在经过计算和讨论后，得出了同一种路灯的高度、照明亮度、照明范围的几组数据，整理如下： 高度/米 4 6 8 10 照明亮度的平方/勒克斯2 450 300 225 180 照明范围/平方米 （假设整个照明范围内的照明亮度相等） 同学们搜集了一则材料： 根据中国《城市道路照明标准》规定，对于普通道路，路面的亮度要求在10勒克斯-20勒克斯之间． 【问题探究】 （1）在【实地勘察】中，根据提供的信息直接写出路灯的高度 ； （2）在【进一步发现】中，根据提供的信息直接写出路灯的高度； （3）在【归纳探究】中，求高度（设为x）与照明亮度的平方（设为y）的关系式； （4）在【归纳探究】中，一段200米的道路选用这种路灯（如表所示），道路宽度忽略不计，呢么在符合相关规定的条件下，至少要在这一段路上建造 个路灯． 利用相似解决测量高度、距离等实际问题； 迁移应用 1．（25-26九年级上·甘肃甘南·期中）如图，小华和小军同学想要测量学校教学楼的高度，小华站在地面上的点A处，此时小华在太阳光线下的影子顶端和教学楼在太阳光线下的影子顶端恰好重合于地面上的点B处，接着小军从点B处沿方向移动米到达点C处（即米），并在点C处测得，已知小华的身高米，小华的影长米，点O，A，B，C在同一条直线上，，，图中所有的点都在同一平面内，求教学楼的高度． 2．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）清风阁位于安徽省合肥市的包公园内，是为纪念北宋清官包拯诞辰而建的大型仿宋建筑．小夏和小罗同学想用一些测量工具和所学的几何知识测量清风阁的高度，来检验自己掌握知识和运用知识的能力．他们经过研究，决定进行如下操作：如图，首先，在阳光下，小夏在清风阁影子的末端C点处竖立一根2米的标杆，此时，小罗测得标杆的影长米；然后，小夏从C点沿方向走了6米，到达点G，在G处竖立一根2米的标杆，接着沿方向走到点M处时，恰好看见清风阁顶端A点与F在一条直线上（即A，F，H在一条直线上），此时，小罗测得米，小夏的眼睛到地面的距离米．请你根据题中提供的相关信息，求出清风阁的高． 3．（25-26九年级上·甘肃张掖·期中）如图，小明用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点在同一直线上，已知纸板的两条直角边，测得边离地面的高度，，求树高． 题型四 比例线段基础中的易错 典例1 （25-26九年级上·江苏无锡·期中）玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音符．实验发现，当液面高度与瓶高之比为黄金比时（如图），可以敲击出音符“”的声音．若，且敲击时发出音符“”的声音，则液面高度为（    ） A． B． C． D． 成比例线段注意顺序，顺序改变比例关系一般改变； 等比性质使用前提：分母之和不等于0； 两条线段的比要统一单位、结果无单位。 迁移应用 1．（25-26九年级上·山西临汾·期中）若，则的值为__________． 2．（25-26九年级上·浙江宁波·期中）已知线段、满足，且． (1)求、的值； (2)若线段是线段、的比例中项，求的值． 基础固本练（限时：15分钟） 1．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图，两条直线被三条平行线所截，若，，，则（   ） A．3 B．9 C．12 D．18 2．（25-26九年级上·北京房山·期中）如图，分别是的边，上一点，则下列条件不能判定与相似的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图，光线从点处射出射向轴上的点，经轴镜面反射，光线经过点，则的长度是（   ） A． B．1 C． D． 4．（25-26九年级上·江苏连云港·期中）对于任意三角形而言，下列各点有可能在三角形的顶点处的是（   ） A．三角形的外心 B．三角形的内心 C．三角形的重心 D．两个相似三角形的位似中心 5．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）已知线段，点是线段的黄金分割点，且，那么的长为________． 6．（25-26九年级上·广东佛山·期中）如图，两个五边形是位似图形，位似中心为点O，点与对应，，若小五边形的周长为6，则大五边形的周长为_____． 7．（24-25九年级上·湖南邵阳·期中）如图，，相交于点，．求证：．                                                           8．（25-26九年级上·北京房山·期中）祈年殿是北京天坛的主体建筑（图1）．晓宇和同学们在国庆放假期间，到天坛公园开展数学综合实践活动．由于太阳光近似于平行光线，所以他们计划通过测量影子的方法来计算祈年殿的高度．如图2所示，祈年殿的高为，测得其在地面上的影长为37米．同一时刻，竖一根高度为1.9米的标杆，测得标杆的影长为1.85米． (1)在图中画出此时在阳光下的投影（提示：投影应从点B开始，方向与标杆影子一致）； (2)根据测量数据，计算祈年殿的实际高度． 综合进阶练（限时：15分钟） 1．已知顶角为的等腰三角形是黄金三角形，它的底与腰之比为，如图正五边形的对角线恰好围成一个“五角星”（即阴影部分），已知，则的长为（   ） A． B． C． D． 2．黄金分割，又称黄金比、中外比，是一个数学常数，它描述了一种特殊的比例关系：将一条线段分割为两部分，使得较长部分与较短部分的比值，等于全长与较长部分的比值，这个比值就是黄金分割比．自然界中就充满着黄金比，校园里一片小小的树叶，叶筋上一点为恰好为的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度为_____．（用含的代数式表示） 3．如图，直线分别交轴，轴于，两点，为轴正半轴上一点，且． (1)求点的坐标； (2)将直线平移，平移后的直线经过点，交轴于点，求点的坐标． 4．如图，正方形中，点是边上任意一点，过点作，并截取． (1)如图，连接线段，求的度数； (2)如图，在图的基础上，再连接线段，和，线段与正方形的边交于点，求证：． (3)如图，如果线段，求的度数． 5．如图，是的中线，E是上一点，且，与交于点F．若，求的长． 6．综合与实践 问题情境： 如图，为保障生物安全和保证饲料品质，某养殖户计划在“L”形墙处建一个有正方形饲养区和矩形配料区的养殖基地． 建造方案： 粗线表示“L”形墙，已知，．现计划用的钢架栅栏（细线表示，且其粗细忽略不计）围成有饲养区和配料区的养殖基地，并在，段各开一个宽为的门，为了充分利用墙体，点D必须在线段上． 问题解决： (1)若围成的矩形养殖基地的面积为，求的长． (2)围成的矩形配料区的面积能否达到？若能，请求出的长；若不能，请说明理由． (3)当矩形的宽与长的比值为时，该矩形为黄金矩形．若该矩形养殖基地是黄金矩形，请直接写出的长． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 相似三角形 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一 比例与比例线段 / 考点二 平行线分线段成比例 / 考点三 相似三角形的判定 / 考点四 相似三角形的判定 / 考点五 位似 05 重难题型突破 题型一 相似三角形的判定综合 / 题型二 相似性质的计算应用 / 题型三 相似三角形的实际问题 题型四 比例线段基础中的易错 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 本专题核心考点覆盖比例线段与比例的基本性质、平行线分线段成比例定理及其推论、相似三角形的判定定理（两角对应相等、两边对应成比例且夹角相等、三边对应成比例）、相似三角形的性质（对应角相等、对应边成比例、周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方、对应高/中线/角平分线之比等于相似比）、位似图形及坐标系中的位似变换，以及不同判定与性质在证明与计算中的综合运用规律。 识记 1. 能准确说出比例线段、黄金分割、相似比、位似中心等定义。 2. 熟记平行线分线段成比例定理及相似三角形的三个判定定理。 理解 1. 理解相似三角形对应高、对应中线、对应角平分线的比等于相似比。 2. 理解相似三角形面积比等于相似比的平方这一性质的推导逻辑。 应用 1. 能根据图形特征选择合适的判定方法证明三角形相似。 2. 能利用相似三角形解决测量高度、距离等实际问题及动点综合问题。 考点一 比例与比例线段 内容总结 比例的基本性质：若 ，则________；反过来，若 （），则________。 合比性质：若 ，则 ________。 等比性质：若 （），则 ________。 比例线段：在四条线段 a、b、c、d 中，如果________，那么这四条线段叫做成比例线段。 黄金分割：点 C 把线段 AB 分成两部分，若 ，则点 C 为 AB 的黄金分割点，黄金比为________。 避坑指南 ①成比例线段要注意顺序，四条线段顺序改变，比例关系一般会改变； ②等比性质使用前提：分母之和________，否则不能用等比性质。 概念辨析 ❶两条线段的比：单位要_______；线段的比是一个没有单位的数。 ❷成比例线段：是____条线段之间的关系。 参考答案 考点一 1.ad=bc；ab=cd 2.c±dd 3.ab 4.ab=cd 5.5−12 避坑指南：②不等于 0　概念辨析：❶统一；❷四 考点二 平行线分线段成比例 内容总结 基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段__________。 推论（平行于三角形一边的直线）：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段__________。 推论逆用：如果一条直线截三角形的两边（或两边延长线），所得对应线段成比例，那么这条直线__________于三角形的第三边。 记忆口诀 一组平行线截两线，对应线段就成比； 三角一边遇平行，对应线段必成比。 易混易错 ⚠️ 平行线分线段成比例，只得到线段成比例，不能直接得到线段相等；要看清是“截两边”还是“截两边延长线”，图形分 A 型、____型两种模型。 参考答案 1.成比例 2.成比例 3.平行 易混易错：X 型 考点三 相似三角形的判定 内容总结 相似三角形定义：对应角_______，对应边________的两个三角形叫做相似三角形，相似符号：_______。 判定方法： 平行判定（预备定理）：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形________。（A 型、X 型模型） 判定 1：________个角分别相等的两个三角形相似。 判定 2：两边对应________，并且________相等的两个三角形相似。 注意：角必须是两组对应边的夹角！ 判定 3：三边对应________的两个三角形相似。 避坑指南 ⚠️ 判定相似，AA 只需要两组角相等即可，不需要三组；公共角、对顶角、同角的余角/补角常常作为相等角。 两边成比例，非夹角相等不能判定相似，这是期中考试高频陷阱。 判定全等是边相等；判定相似是边________。 全等与相似关系：全等是相似比等于_______的特殊相似。 小结：相似三角形判定 4 条——①平行得相似；②AA；③SAS；④SSS。 概念辨析 ❶两个等腰三角形不一定相似；但是两个________等腰三角形一定相似。 ❷两个直角三角形不一定相似；有一组_______相等的两个直角三角形相似。 参考答案 定义：相等；成比例； 相似 两 成比例；夹角 成比例 避坑指南：❷成比例　1 概念辨析：❶等边；❷锐角 考点四 相似三角形的性质 内容总结 若 ，相似比为 k。 对应角：对应角________。 对应边：对应边的比等于________。 对应线段比：对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于________。 周长：周长之比等于________。 面积：面积之比等于________________。 记忆口诀 相似比，记心间； 角相等，边成比； 高线中线角分线，周长都等于相似比； 面积比，要平方，千万不要记混它。 易混易错 ⚠️ 面积比开平方得________；相似比平方得________。很多同学直接把面积比当成相似比，期中高频丢分！ 参考答案 相等 相似比 k 相似比 k 相似比 k 相似比的平方 易混易错：相似比；面积比 考点五 位似 内容总结 位似图形定义：如果两个图形不仅是________图形，而且对应顶点的连线相交于________，对应边互相平行（或在同一直线上），那么这样的两个图形叫位似图形，这个点叫做________。 性质： ①位似图形一定________，相似图形________是位似图形； ②位似图形上任意一组对应点到位似中心的距离之比等于________； ③平面直角坐标系中，以原点为位似中心，相似比为 k，原图形点 ，则对应点坐标为________或________。 易混易错 ⚠️ 位似有两种情况：位似中心的同侧，或者异侧，所以坐标有两组答案，做题容易漏写！ 概念辨析 位似图形对应边互相________或者在同一条直线；对应顶点连线必须交于同一个点（位似中心）。 参考答案 相似；一点；位似中心 ①相似；不一定；②相似比；③； 概念辨析：平行 写作说明：①题型划分不求全面，而是要突出常考题型、重点和难点；②每个题型下设置1道典例，和2~3道迁移应用题，题源以上一年的期中真题为主，题目要有代表性。 题型一 相似三角形的判定综合 典例1 （24-25九年级上·安徽滁州·期中）如图，在边长为的小正方形组成的网格中，和的顶点都在网格点上，证明：． 【答案】 证明：根据勾股定理，得，，，，，， ∴，，， ∴， ∴． 【分析】本题考查了网格与勾股定理，相似三角形的判定，由网格可知，，，，，，再利用三边对应成比例的两个三角形相似即可求证，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键． 【详解】略 受思维定核心能力：根据图形特征选择合适的判定方法证明三角形相似（复习目标"应用"层明确要求）。 判定四条：①平行得相似；②两角分别相等；③两边对应成比例且夹角相等；④三边对应成比例。 期中最高频陷阱：两边成比例，但相等的角不是这两组对应边的"夹角"，不能判定相似；公共角、对顶角、同角的余角/补角常被用作隐藏相等角。 易混：判定全等看"边相等"，判定相似看"边成比例"；全等是相似比＝1的特殊相似。 迁移应用 1．（24-25九年级上·北京顺义·期中）如图，在中，，是斜边上的高． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：， ， ， ∴； (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据有两组角对应相等的两个三角形相似进行证明； （2）根据相似三角形的性质列比例式即可得到结论． 【详解】（1）略． （2）解：∵ ， 即， ． 2．（24-25九年级上·河南开封·期中）如图，点在的边上，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明： ； (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练应用相似三角形的判定与性质，正确推出比例线段是解题关键． （1）根据两角对应相等证明； （2）根据（1）的结论推，把有关线段的值代入计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：， ， ，， ， ， ． 题型二 相似性质的计算应用 典例1 （25-26九年级上·安徽安庆·期中）如图，在中，点是的中点，连接交对角线于点，交于点．若，则的长是（    ） A．1 B．1.5 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质．先根据平行四边形的性质得到，，再证明得到，然后证明得到 ，进而可求解． 【详解】解：在中，点是的中点， ∴，， ∴， ∴，则， ∵， ∴， ∴，又， ∴， 故选：D． 对应高、对应中线、对应角平分线之比 = 相似比；周长比 = 相似比；面积比 = 相似比的平方。 高频丢分点：把面积比直接当成相似比——面积比开平方得相似比，相似比平方得面积比，二者方向不能记混。 迁移应用 1．（25-26九年级上·安徽滁州·期中）如图，在中，，，点D在边上，连接，以为斜边在其上方作等腰直角三角形，与交于点F，连接． （1）若，则的长为______； （2）在（1）的条件下，若，则的长为______． 【答案】 2 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质及勾股定理． （1）根据已知条件得到，，证得，利用相似三角形的性质得出，进而求得的长； （2）根据已知条件求出的长，再利用勾股定理求得的长，由为等腰直角三角形求出和的长，由，证得，利用相似三角形的性质得出，设，，则，在中利用勾股定理列出方程求得x的值，并最终求出的长． 【详解】解：（1）∵，， ∴， 又∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：2． （2）∵，， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴设，， ∴， 在中，由勾股定理得，， 即，解得（舍去），， ∴． 故答案为：． 2．（25-26九年级上·河北唐山·期中）已知：如图，在中，，，于点． (1)用尺规作图：在边上找一点，使，并说明理由（保留作图痕迹，不写做法）； (2)求线段的长． 【答案】(1) 所求图形如图所示， (2)线段的长为. 【分析】本题考查了尺规作图——作垂直平分线，等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）作垂直平分线，然后根据相似三角形的判定方法即可； （）由，，，则，在中，，由（）可知，所以，然后代入即可求解． 【详解】（1）解：依作图可知：， ∴ ∵ ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，，， ∴， 在中，， 由（1）可知， ∴， 即， 解得， ∴线段的长为. 3．（25-26九年级上·广东深圳·期中）【问题背景】 如图，在中，，，．将绕顶点C顺时针旋转一个角度，点A落在点，点B落在点，边与边相交于点D，与边相交于点E． (1)如图①，当时，画出图形后可得，此时，则______． (2)当时，利用尺规在图②中作出旋转后的（不写做法，保留作图痕迹），并直接写出的值______． 【特殊位置】 (3)如图③，当点恰好落在边上时，求的值． 【答案】(1) (2)（2）如图，即为所求； 1； (3)（3） 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理： （1）结合旋转的性质可得，可证明，即可求解； （2）根据题意画出图形，设交于点F，则，可得到，，再由旋转的性质得：，可得，从而得到， （3）过点A作于点G，根据，，，由旋转的性质得：，，，可得到，，然后根据，即可求解． 【详解】（1）解：由旋转的性质得： ，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵，， ∴； （2）解：作图略， 由作法得：， 设交于点F，则， ∵， ∴，， ∴，， 由旋转的性质得：， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，过点A作于点G， 在中，∵，， ∴， ∴， 即， 解得：， ∴， 由旋转的性质得：，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 题型三 相似三角形的实际问题 典例1 （25-26九年级上·广东深圳·期中） 项目式学习 问题发现：同学们对路边的路灯很感兴趣，于是邀请你一起参与综合探究活动． 【实地勘察】同学们到达一个公园．如图所示，在一天中同一时刻，路灯的影子为，小明（）站在路灯旁边，影子为．经测量，长2米，长0.5米，小明的身高为1.5米．    【进一步发现】同学们发现马路边有高大的路灯．如图所示，在一天中某一时刻，小明站在G点处，其影子顶部与路灯的影子重合，测得小明的影子的长为4.5米．小明从点G出发，前行12米走到E点，此时他正好可以在平面镜上的C点看到路灯的顶端A点，测得小明到平面镜上C点的距离为1米，小明的身高为1.5米．（忽略小明眼睛到头顶的距离）    【归纳探究】同学们在经过计算和讨论后，得出了同一种路灯的高度、照明亮度、照明范围的几组数据，整理如下： 高度/米 4 6 8 10 照明亮度的平方/勒克斯2 450 300 225 180 照明范围/平方米 （假设整个照明范围内的照明亮度相等） 同学们搜集了一则材料： 根据中国《城市道路照明标准》规定，对于普通道路，路面的亮度要求在10勒克斯-20勒克斯之间． 【问题探究】 （1）在【实地勘察】中，根据提供的信息直接写出路灯的高度 ； （2）在【进一步发现】中，根据提供的信息直接写出路灯的高度； （3）在【归纳探究】中，求高度（设为x）与照明亮度的平方（设为y）的关系式； （4）在【归纳探究】中，一段200米的道路选用这种路灯（如表所示），道路宽度忽略不计，呢么在符合相关规定的条件下，至少要在这一段路上建造 个路灯． 【答案】（1）米；（2）路灯的高度为米；（3）；（4） 【分析】本题考查相似三角形的应用举例，反比例函数的实际应用， （1）根据题意易证，得到，由此即可得到答案； （2）证明，得到，由题意可得米，米，米，求出，再证明，推出，得到，进而得到，即可求解； （3）根据表格数据可得，即可解答； （4）先求出符合《城市道路照明设计标准》规定的路灯的高度，再求出此路灯高度下所照明范围的半径，即可求解． 【详解】解：（1）由题意得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵米，米，米， ∴， ∴米， 故答案为：米； （2）∵， ∴， ∴， 由题意可得米，米，米， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴米， 答：路灯的高度为米； （3）由表格数据得， ∴， ∴路灯高度（x）与照明亮度的平方（y）的关系式为； （4）∵， ∴高度为米，米，米的路灯都符合《城市道路照明设计标准》规定， ∵， ∴高度为米的路灯照明范围最大，且照明范围的直径长为（米）， ，则至少需要个路灯． 故答案为：． 利用相似解决测量高度、距离等实际问题； 迁移应用 1．（25-26九年级上·甘肃甘南·期中）如图，小华和小军同学想要测量学校教学楼的高度，小华站在地面上的点A处，此时小华在太阳光线下的影子顶端和教学楼在太阳光线下的影子顶端恰好重合于地面上的点B处，接着小军从点B处沿方向移动米到达点C处（即米），并在点C处测得，已知小华的身高米，小华的影长米，点O，A，B，C在同一条直线上，，，图中所有的点都在同一平面内，求教学楼的高度． 【答案】米 【分析】本题考查相似三角形的应用． 设米，可知米，米，根据等角对等边得到米，根据，得到，证明，得到，求出的值，计算即可． 【详解】解：设米， ∵米，米， ∴米，米， ∵，， ∴， 即米， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即， 解得， ∴米． 2．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）清风阁位于安徽省合肥市的包公园内，是为纪念北宋清官包拯诞辰而建的大型仿宋建筑．小夏和小罗同学想用一些测量工具和所学的几何知识测量清风阁的高度，来检验自己掌握知识和运用知识的能力．他们经过研究，决定进行如下操作：如图，首先，在阳光下，小夏在清风阁影子的末端C点处竖立一根2米的标杆，此时，小罗测得标杆的影长米；然后，小夏从C点沿方向走了6米，到达点G，在G处竖立一根2米的标杆，接着沿方向走到点M处时，恰好看见清风阁顶端A点与F在一条直线上（即A，F，H在一条直线上），此时，小罗测得米，小夏的眼睛到地面的距离米．请你根据题中提供的相关信息，求出清风阁的高． 【答案】42米 【分析】本题考查的是相似三角形的实际应用，平行投影的含义，先证明可得，如图，过点H作于点N，交于点P，再证明，再利用相似三角形的性质可得答案． 【详解】解：由题意可知，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图，过点H作于点N，交于点P， 设米，则米， 米，（米），米， ∵， ∴， ∴，即 解得：． ∴清风阁的高为42米． 3．（25-26九年级上·甘肃张掖·期中）如图，小明用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点在同一直线上，已知纸板的两条直角边，测得边离地面的高度，，求树高． 【答案】树高长为 【分析】本题考查利用三角形相似求线段长，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键． 先统一单位，再根据有两角对应相等的两个三角形相似，可得，，进而求得，再根据，即可解决问题． 【详解】解：，， ∵， ∴ ∴， 即 ∴ ∴ 答：树高长为． 题型四 比例线段基础中的易错 典例1 （25-26九年级上·江苏无锡·期中）玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音符．实验发现，当液面高度与瓶高之比为黄金比时（如图），可以敲击出音符“”的声音．若，且敲击时发出音符“”的声音，则液面高度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了黄金分割的定义，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据黄金分割的定义，代入数值计算即可． 【详解】解：由题意可知，C是的黄金分割点，， ， 故选：C． 成比例线段注意顺序，顺序改变比例关系一般改变； 等比性质使用前提：分母之和不等于0； 两条线段的比要统一单位、结果无单位。 迁移应用 1．（25-26九年级上·山西临汾·期中）若，则的值为__________． 【答案】 【分析】本题考查比例的性质，分式的化简，掌握相关知识是解决问题的关键．由比例式设参数 ，用 表示 、、，代入所求分式化简即可． 【详解】解：设 ，则 ，，， ． 故答案为：． 2．（25-26九年级上·浙江宁波·期中）已知线段、满足，且． (1)求、的值； (2)若线段是线段、的比例中项，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了比例线段，解题的关键是掌握对于四条线段、、、，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如（即，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．注意利用代数的方法解决较为简便． （1）利用，可设，，则，然后解出的值即可得到、的值； （2）根据比例中项的定义得到，即，然后根据算术平方根的定义求解． 【详解】（1）解： ， 设，， ， ， 解得， ，； （2）线段是线段、的比例中项， ， 是线段，， ． 基础固本练（限时：15分钟） 1．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图，两条直线被三条平行线所截，若，，，则（   ） A．3 B．9 C．12 D．18 【答案】B 【分析】根据平行线分线段成比例定理“三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例”可得，设，则，进而求解即可． 【详解】解：根据题意可知， ∴， ∵，， ∴， 设，则， ∴，化简得， 解得， 经检验，是方程的解， ∴． 2．（25-26九年级上·北京房山·期中）如图，分别是的边，上一点，则下列条件不能判定与相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 根据相似三角形的判定定理逐个分析判断即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故A能判定与相似，不符合题意； ∵，， ∴， 故B能判定与相似，不符合题意； ∵，条件未给出， ∴不能判定， 故C不能判定与相似，符合题意； ∵，， ∴， 故D能判定与相似，不符合题意； 故选：C． 3．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图，光线从点处射出射向轴上的点，经轴镜面反射，光线经过点，则的长度是（   ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】过点B作轴于点C，推导出，得到，继而求出，代入求出即可． 【详解】解：过点B作轴于点C，如图 ∴， ∵利用光的反射定律（入射角等于反射角）， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得． 4．（25-26九年级上·江苏连云港·期中）对于任意三角形而言，下列各点有可能在三角形的顶点处的是（   ） A．三角形的外心 B．三角形的内心 C．三角形的重心 D．两个相似三角形的位似中心 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的外心、内心、重心，位似变换，三角形的外心、内心、重心均不可能位于顶点处；但两个相似三角形的位似中心可能位于其中一个三角形的顶点上，由此即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：A、三角形的外心是垂直平分线的交点，到顶点距离相等，不可能在顶点上； B、三角形的内心是角平分线的交点，总是在三角形内部，不可能在顶点上； C、三角形的重心是中线的交点，总是在三角形内部，不可能在顶点上； D、两个相似三角形的位似中心可能位于其中一个三角形的顶点上，例如以三角形的一个顶点为位似中心作位似变换， 故选：D． 5．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）已知线段，点是线段的黄金分割点，且，那么的长为________． 【答案】 【详解】解：由题意得，， ∵黄金分割比为，且， 即 解得， 检验：当时，， ∴是原分式方程的解， 即的长为． 6．（25-26九年级上·广东佛山·期中）如图，两个五边形是位似图形，位似中心为点O，点与对应，，若小五边形的周长为6，则大五边形的周长为_____． 【答案】15 【分析】本题考查的是位似变换的概念、相似三角形的性质，掌握相似多边形的周长比等于相似比是解题的关键．根据位似图形的概念得到，得到，根据相似三角形的性质求出相似比，根据相似多边形的性质计算，得到答案． 【详解】解：如图， ， ∵， ∴， ∵两个五边形是位似图形， ∴， ∴， ∴， ∴两个五边形是位似图形的相似比为， ∵小五边形的周长为6， ∴大五边形的周长为15， 故答案为：15． 7．（24-25九年级上·湖南邵阳·期中）如图，，相交于点，．求证：．                                                           【答案】 证明：∵，相交于点， ∴， 又∵， ∴． 【分析】本题考查相似三角形的证明，熟练掌握相似三角形的证明方法是解题关键； 通过对顶角相等得到，进而可得到三角形相似． 【详解】略． 8．（25-26九年级上·北京房山·期中）祈年殿是北京天坛的主体建筑（图1）．晓宇和同学们在国庆放假期间，到天坛公园开展数学综合实践活动．由于太阳光近似于平行光线，所以他们计划通过测量影子的方法来计算祈年殿的高度．如图2所示，祈年殿的高为，测得其在地面上的影长为37米．同一时刻，竖一根高度为1.9米的标杆，测得标杆的影长为1.85米． (1)在图中画出此时在阳光下的投影（提示：投影应从点B开始，方向与标杆影子一致）； (2)根据测量数据，计算祈年殿的实际高度． 【答案】(1) 即为所求： (2)38米 【分析】本题考查三角形相似的实际应用： （1）过A作，交于C，即为所求； （2）根据写出比例关系即可求解． 【详解】（1）解：过A作，交于C． （2）解：， ， ，， ， ， ，即， （米）， 祈年殿的实际高度为38米． 综合进阶练（限时：15分钟） 1．已知顶角为的等腰三角形是黄金三角形，它的底与腰之比为，如图正五边形的对角线恰好围成一个“五角星”（即阴影部分），已知，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了黄金三角形、正五边形的性质、等腰三角形的判定和性质，熟练掌握正五边形的性质得出为黄金三角形是解题的关键． 先根据多边形内角和定理与正多边形的性质得出为黄金三角形，再根据黄金三角形的底与腰之比求出，即可得出结果． 【详解】解：如图正五边形的对角线恰好围成一个“五角星”（即阴影部分）， 设 ， 黄金三角形的底与腰之比为， 在中，， 即， 解得， 即 ， 五边形是正五边形， ，正五边形内角和， ， ， ， 则 ， ， 则， 为黄金三角形， 黄金三角形的底与腰之比为， 即， ， 故选：A． 2．黄金分割，又称黄金比、中外比，是一个数学常数，它描述了一种特殊的比例关系：将一条线段分割为两部分，使得较长部分与较短部分的比值，等于全长与较长部分的比值，这个比值就是黄金分割比．自然界中就充满着黄金比，校园里一片小小的树叶，叶筋上一点为恰好为的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度为_____．（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用和成比例线段，根据黄金分割的定义，较长部分与较短部分的比值等于全长与较长部分的比值，设AP为较长部分，列出方程并求解． 【详解】设的长度为，则的长度为． 由黄金分割的定义，得 ， 即． 变形，得 ． 解得 ，． 由于且，因此取． 故的长度为. 故答案为：． 3．如图，直线分别交轴，轴于，两点，为轴正半轴上一点，且． (1)求点的坐标； (2)将直线平移，平移后的直线经过点，交轴于点，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一次函数交点、三角形面积与一次函数平移和待定系数法． （）先确定直线与坐标轴交点得到、，确定三角形的高，再用面积公式求底边长，最后结合已知点坐标算出点的坐标； （）利用一次函数平移的性质(斜率不变)，设的解析式为，代入已知点求参数，再求新直线与轴的交点． 【详解】（1）解：当，则， ， ∴， 当，则， 解得：， ， ∵， ， ， ； （2）设的解析式为， 由（1）可知，将其代入，得， ， ∴直线的解析式为， 当时，可有， ． 4．如图，正方形中，点是边上任意一点，过点作，并截取． (1)如图，连接线段，求的度数； (2)如图，在图的基础上，再连接线段，和，线段与正方形的边交于点，求证：． (3)如图，如果线段，求的度数． 【答案】(1) (2) 证明：如图，在的延长线上取，连接， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴，，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 由（）可知，， ∴； (3) 【分析】（）过点作的延长线于点，可证，得到，，即得，进而得到，即得到，即可求解； （）在的延长线上取，连接，可证，得到，，，再证明，得到，即得到，又结合（）可得，即可求证； （）过点作于，可得是等腰直角三角形，得到，又根据得，即得，即得到，得，，进而由即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作的延长线于点，则， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）略 （3）解：如图，过点作于，则， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，锐角三角函数等，正确作出辅助线是解题的关键． 5．如图，是的中线，E是上一点，且，与交于点F．若，求的长． 【答案】2 【分析】本题主要考查中线定义、线段和差关系、平行线分线段成比例等知识点，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 过D作交于点G，根据是中线，可以推出，运用平行线分线段成比例定理推出，可以求出的长． 【详解】解：过点D作交于点G， ． 是中线， ， ． 设，则， ， ，， ． ， ， ． 6．综合与实践 问题情境： 如图，为保障生物安全和保证饲料品质，某养殖户计划在“L”形墙处建一个有正方形饲养区和矩形配料区的养殖基地． 建造方案： 粗线表示“L”形墙，已知，．现计划用的钢架栅栏（细线表示，且其粗细忽略不计）围成有饲养区和配料区的养殖基地，并在，段各开一个宽为的门，为了充分利用墙体，点D必须在线段上． 问题解决： (1)若围成的矩形养殖基地的面积为，求的长． (2)围成的矩形配料区的面积能否达到？若能，请求出的长；若不能，请说明理由． (3)当矩形的宽与长的比值为时，该矩形为黄金矩形．若该矩形养殖基地是黄金矩形，请直接写出的长． 【答案】(1)的长为 (2) 不能，理由如下： 设的长为，由题意，当时， 解得或， 当时，，即，不符合题意，舍去； 当时，，即，不符合题意，舍去； 故矩形配料区的面积不能达到； (3)或（）． 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，黄金分割，正确的列出方程是解题的关键： （1）设的长为，根据矩形的面积公式列出一元二次方程进行求解即可； （2）设的长为，根据矩形的面积公式列出一元二次方程，求出的值，进而求出的长，根据，进行判断即可； （3）根据黄金分割，列出比例式进行求解即可． 【详解】（1）解：设的长为，由题意，， 则：， 解得或（不合题意，舍去）； 故的长为； （2）略 （3）由（1）可知：， 由题意，可知：， 解得． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $