6.38 与圆有关的相关计算-【一战成名新中考】2025福建中考数学·一轮复习·基础夯实练（讲册）

变式 24　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,点 O 是对角 线 AC,BD 的交点,∴ 平行四边形 ABCD 关于 O 成中心对称, OB=OD,∴ S△CON =S△AOM,S△ABD =S△CBD,∵ S△AOD =S△AOM +S△DOM = 2+4 = 6,∴ S△AOB =S△AOD = 6,∴ S△ABD =S△AOB+S△AOD = 12,∴ S▱ABCD = 2S△ABD = 24. 命题点 33　 矩　 形 要点　 ①平行且相等　 ②直角(90°)　 ③平分且相等 ④直角(90°)　 ⑤相等　 ⑥直角(90°) 典例　 (1)8,48;(2)4,4 5 ;(3)等边,4; (4)①②④　 解:证明略 拓展设问 1 证明略　 拓展设问 2 证明略 命题点 34　 菱　 形 要点　 ①平行　 ②相等　 ③相等　 ④互补　 ⑤垂直平分 ⑥平分　 ⑦相等　 ⑧互相垂直 　 ⑨相等 　 􀃊􀁉􀁒 = 　 􀃊􀁉􀁓 = 　 􀃊􀁉􀁔 = 　 􀃊􀁉􀁕 = 典例　 10　 练习 1　 70° 练习 2　 ②,有一组邻边相等的平行四边形是菱形 证明略 命题点 35　 正方形 要点　 ①平行四边形　 ②相等　 ③直角(90°)　 ④互相垂直平分 ⑤一半　 ⑥直角　 ⑦相等　 ⑧垂直且相等　 ⑨相等　 ⑩垂直　 􀃊􀁉􀁓直角　 􀃊􀁉􀁔相等　 􀃊􀁉􀁕 = 　 􀃊􀁉􀁖 = 　 􀃊􀁉􀁗 = 　 􀃊􀁉􀁘 = 典例　 B　 练习 1　 ( -2,-1)　 练习 2　 (1)解:AB=BC(答案不唯一); (2)证明略 大单元串讲练四　 特殊四边形之间的关系 (1)ab; (2)①菱形;平行四边形;② = ;③22. 5°;50 2 ; (3)证明:∵ 四边形ABCD是正方形,∴ A′B=BC =CD′ =A′D′ , ∴ 四边形 A′BCD′ 是菱形, ∴ OC= 1 2 A′C,A′C⊥BD′, ∵ D′E= 1 2 A′C,∴ D′E=OC. ∵ D′E∥A′C,∴ 四边形 OCED′是平行四边形. 又∵ A′C⊥BD′,∴ ∠COD′= 90°, ∴ 平行四边形 OCED′是矩形. 第六章　 圆 命题点 36　 圆的基本概念及性质 要点 1　 ①相等　 ②圆心　 ③直径 典例　 ①③④⑨ 要点 2　 ④相等　 ⑤相等　 ⑥∠COD　 ⑦CD　 ⑧相等　 ⑨∠COD　 􀃊􀁉􀁒CD　 􀃊􀁉􀁓∠COD 典例　 (1)64;(2)61;(3)92 要点 3　 􀃊􀁉􀁔平分　 􀃊􀁉􀁕平分　 􀃊􀁉􀁖垂直　 􀃊􀁉􀁗平分　 􀃊􀁉􀁘CD　 􀃊􀁉􀁙BE 􀃊􀁉􀁚BD ( 典例　 A　 练习　 (1)1 或 7;(2)2 5或 4 5 要点 4　 􀃊􀁉􀁛一半　 􀃊􀁊􀁒相等　 􀃊􀁊􀁓直径　 􀃊􀁊􀁔 1 2 　 􀃊􀁊􀁕 = 　 􀃊􀁊􀁖90 典例　 D　 变式 (1)75°;(2)40°或 140° 要点 5　 􀃊􀁊􀁗互补　 􀃊􀁊􀁘180°　 􀃊􀁊􀁙∠B　 􀃊􀁊􀁚△BCF　 􀃊􀁊􀁛△DCF 典例　 C　 变式 解:∠ADC= 70°. 命题点 37　 与圆有关的位置关系 要点 1　 ①>　 ② = 　 ③<　 ④>　 ⑤ = 　 ⑥< 典例 1　 D　 典例 2　 C 要点 2　 ⑦垂直于　 ⑧等于 典例 1　 (1)40;(2)30;(3)40 典例 2　 A　 【解析】∵ C 为 AB ( 的中点,∠AOB = 72°,∴ ∠AOC = ∠BOC= 36°,∵ OA=OC,∴ ∠ACO= ∠OAC= 72°,∵ 直线 MN 与 ☉O 相切, 切点为 C, ∴ ∠OCM = 90°, ∴ ∠ACM = ∠OCM - ∠ACO= 90°-72° = 18°. 练习 1　 B　 【解析】如解图,连接 OA,OB,∵ PA,PB 是☉O 的切 线,∴ PA ⊥ OA, PB ⊥ OB, ∵ ∠ACB = 55°, ∴ ∠AOB = 110°, ∴ ∠APB= 360°-90°-90°-110° = 70°. 练习 1 题解图 练习 2 　 ( 1) 解:连接 OB,如解图, ∵ AB 与☉O 相切于点 B, ∴ ∠ABO= 90°,∵ sinA = 1 2 ,∴ ∠A = 30°,∴ ∠BOD = ∠ABO+ ∠A= 120°,∴ ∠BED= 1 2 ∠BOD= 60°; 练习 2 题解图 (2)证明:连接 OF,如解图,∵ AB 与☉O 相切于点 B,∴ ∠OBF = 90°,∵ BF = 3 3 ,OB = 3,∴ tan∠BOF = BF OB = 3 ,∴ ∠BOF = 60°,∵ ∠BOD = 120°, ∴ ∠BOF = ∠DOF = 60°, 在 △BOF 和 △DOF 中, OB=OD, ∠BOF= ∠DOF, OF=OF, { ∴ △BOF ≌ △DOF ( SAS ), ∴ ∠OBF= ∠ODF= 90°,又∵ OD 为☉O 的半径,∴ DF 与☉O 相切. 要点 3　 ⑨平分线　 􀃊􀁉􀁒垂直平分线 典例　 ( -2,-1)　 变式 65° 命题点 38　 与圆有关的计算 要点 1　 ①2πr　 ② nπr 180 　 ③πr2 　 ④ nπr2 360 　 ⑤60°　 ⑥ 3 2 　 ⑦6R ⑧ 3 3 2 典例 1 题解图 典例 1　 5π 2 　 【解析】如解图,连接 OD,∵ AC 为 ☉O 的直径,∴ ∠ABC = ∠ADC = 90°,∵ AB = 8 cm,BC= 6 cm,∴ AC= AB2 +BC2 = 10 cm, ∴ OA = 5 cm,∵ BD 平分∠ABC,∴ ∠ABD = ∠CBD,∴ AD ( = CD ( ,∴ OD⊥AC,∴ ∠AOD = 90°,∴ AD ( 的长是 90π×5 180 = 5π 2 (cm) . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 141 典例 2　 180°　 典例 3　 B 变式题解图 变式 C　 【解析】如解图,AB 是正十二边形的一条 边,点 O 是正十二边形的中心,过 A 作 AM⊥OB 于 M,在正十二边形中,∠AOB = 360°÷12 = 30°, ∴ AM= 1 2 OA= 1 2 ,∴ S△AOB = 1 2 OB·AM = 1 2 ×1× 1 2 = 1 4 ,∴ 正十二边形的面积为 12× 1 4 = 3,∴ 3 = 12 ×π,∴ π = 3,∴ π 的近似值为 3. 要点 2　 典例　 8 3 π 练习　 3 + 2 3 π　 【解析】如解图,连接 AF、EF. 由题意易知△AEF 是等边三角形,∴ ∠AEF = 60°,∴ S阴影 = S半圆 -S扇形AEF -S弓形AF = 2π- 60π·22 360 -( 60π·22 360 - 1 2 ×2× 3 2 ×2)= 3 + 2 3 π. 练习题解图 第七章　 图形的变化 命题点 39　 尺规作图 典例　 D　 【解析】由①知:PA=PB,∴ ∠1 = ∠2,由②知:AQ =BQ, ∴ PQ 是 AB 的垂直平分线,∴ PQ⊥AB. 练习　 解:(1)如解图①,直线 l 即为所求作的直线; (2)①当∠BAC= 90°,AB=AC 时,如解图②, ∵ l∥l1∥l2 ,直线 l1 与 l2 间的距离为 2,且 l 与 l1 间的距离等于 l 与 l2 间的距离, 根据图形的对称性可知:BC= 2, ∴ AB=AC= 2 ,∴ S△ABC = 1 2 AB·AC= 1; ②当∠ABC= 90°,BA=BC 时, 如解图③,分别过点 A,C 作直线 l1 的垂线,垂足为 M,N, ∴ ∠AMB= ∠BNC= 90°, ∵ l∥l1∥l2 ,直线 l1 与 l2 间的距离为 2,且 l 与 l1 间的距离等于 l 与 l2 间的距离, ∴ CN= 2,AM= 1, ∵ ∠MAB+∠ABM= 90°,∠NBC+∠ABM= 90°, ∴ ∠MAB= ∠NBC, ∴ △AMB≌△BNC(AAS),∴ BM=CN= 2, 在 Rt△ABM 中,由勾股定理得 AB2 =AM2 +BM2 = 12 +22 = 5, ∴ AB= 5 ,∴ S△ABC = 1 2 AB·BC= 5 2 ; ③当∠ACB= 90°,CA=CB 时,如解图④,同②可得,S△ABC = 5 2 . 综上所述,△ABC 的面积为 1 或 5 2 . 图① 　 　 图② 图③ 　 　 图④ 练习题解图 命题点 40　 投影、视图、立体图形 的展开与折叠 要点 1　 典例　 C 要点 2　 ①高平齐　 ②宽相等 典例　 C　 练习 1　 A　 练习 2　 A　 练习 3　 A　 练习 4　 C 要点 3　 ③正方形　 ④矩形　 ⑤矩形　 ⑥扇形 典例 1　 C　 典例 2　 9 2 命题点 41　 轴对称与折叠 要点 1　 ①对称轴　 ②相等　 ③相等 典例　 A　 练习　 B　 要点 2　 ④AB　 ⑤CB　 ⑥∠ABC　 ⑦∠BAC　 ⑧∠BCA　 ⑨△ABC　 ⑩AC　 􀃊􀁉􀁓垂直平分　 􀃊􀁉􀁔BO　 􀃊􀁉􀁕∠B′AB　 􀃊􀁉􀁖∠B′CB　 􀃊􀁉􀁗∠ABO　 􀃊􀁉􀁘∠CBO　 􀃊􀁉􀁙轴对称　 􀃊􀁉􀁚对称轴 典例　 58°　 练习　 (1) 3 2 ;(2) 8 9 命题点 42　 中心对称与旋转 要点 1　 典例　 B　 练习　 D 要点 2　 ①O　 ②90　 ③A′　 ④B′　 ⑤A′B′　 ⑥OA′　 ⑦OB′ ⑧∠A′B′C′　 ⑨∠AOA′　 ⑩90　 􀃊􀁉􀁓垂直 典例　 D　 练习　 4 2 　 命题点 43　 图形的平移、裁剪与拼接 要点 1　 ①相等　 ②相等　 ③EF　 ④GH　 ⑤平行　 ⑥平行 ⑦∠FGH　 ⑧CG　 ⑨DH 典例　 B　 练习　 B　 要点 3　 典例　 A　 练习　 A 第八章　 统计与概率 命题点 44　 统　 计 要点 1　 ①全体对象　 ②部分个体　 ③全体　 ④一部分个体 ⑤数目 典例 1　 抽样调查　 典例 2　 A　 典例 3　 270 要点 2　 ⑥ 1 n (x1 +x2 +…+xn) 　 ⑦一　 ⑧一　 ⑨不变　 ⑩最多　 􀃊􀁉􀁓 1 n [(x1 -x) 2 +(x2 -x) 2 +…+(xn -x) 2 ]　 􀃊􀁉􀁔大　 􀃊􀁉􀁕小 典例　 90　 练习 1　 C　 练习 2　 B　 要点 3　 􀃊􀁉􀁖 频数 数据总数 　 􀃊􀁉􀁗1 要点 4　 􀃊􀁉􀁘1　 􀃊􀁉􀁙360°　 􀃊􀁉􀁚1　 􀃊􀁉􀁛频数　 􀃊􀁊􀁒1 典例 1　 D　 典例 2　 1 080 命题点 45　 概　 率 要点 1　 ①1　 ②0 典例　 D　 练习　 A 要点 2　 典例 1　 D　 典例 2　 16　 典例 3　 解:(1)P(牌面数字为 4)= 2 5 ; (2)P(抽取的这两张牌的牌面数字之和为奇数)= 3 5 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 241 基础夯实练·福建数学 第 六 章 　 圆 命题点 38　 与圆有关的计算(8 年 5 考) 要点 1 与圆有关的计算 圆的周长与 弧长公式 (8 年 2 考) 圆与扇形的 面积公式 (2020. 13 考查) 圆的周长 C= ①　 2πr　 扇形的弧长 l= ②　 2πr　 圆的面积 S= ③　 2πr　 扇形的面积 S= ④　 　 　 　 = 1 2 lr 圆锥 圆锥的高 h= l2 -r2 圆锥的底面圆周长 2πr= nπl 180 圆锥的侧面积 S侧 = nπl2 360 = πrl 圆锥的表面积 S表 =S侧+S底 = nπl2 360 +πr2 = πrl+πr2 注:圆锥的侧面展开图 是扇形 圆与正多边形 (以正六边形 为例) (2023. 10 考查) 中心角 θ ⑤　 60°　 边心距 r ⑥　 2πr　 R 边长 a R 正六边形的周长 ⑦　 6R　 正六边形的面积 ⑧　 2πr　 R2 对点练习 典例 1　 [2024 莆田二检]如图,四边形 ABCD 内接于☉O,AC 为☉O 的直径,BD 平分∠ABC. 若 AB = 8 cm,BC= 6 cm,则 AD ( 的长为　 　 　 cm. 典例 1 题图　 　 　 　 典例 2 题图 　 　 　 　 典例 3 题图 　 　 　 　 变式题图 典例 2　 [2024 莆田一检]如图,圆锥的轴截面是一个边长为 2 cm 的等边三角形,则这个圆锥侧面展 开图的圆心角度数为　 　 　 . 211 基础夯实练·福建数学 第 六 章 　 圆 典例 3　 [2024 龙岩一检]如图,已知圆的内接正六边形的半径为 2,则扇形 AOB 的面积是 (　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 1 3 π B. 2 3 π C. 1 2 π D. π 变式 [2023 福建 10 题 4 分]我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”, 即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算,指出“割之弥细,所失弥少. 割之又割,以至 于不可割,则与圆周合体,而无所失矣” . “割圆术”孕育了微积分思想,他用这种思想得到了圆周 率 π 的近似值为 3. 141 6. 如图,☉O 的半径为 1,运用“割圆术”,以圆内接正六边形面积近似估 计☉O 的面积,可得 π 的估计值为3 3 2 ,若用圆内接正十二边形作近似估计,可得 π 的估计值为 (　 　 ) A. 3 B. 2 2 C. 3 D. 2 3 要点 2 阴影部分的面积计算(2019. 15 考查) 分割求和法 直接和差法 构造和差法 等积转换法 CF∥AB 连接 OA,S阴影 = S△AOC+S扇形AOB S阴影 = S矩形ABCD -S扇形EAD 连接 OE,S阴影 = S扇形BOE +S△OCE-S扇形COD 连接 OC,OF, S阴影 =S扇形FOC 连接 OD,S阴影 = S扇形AOD+S△BOD S阴影 = S△ABC - S扇形ECF-S扇形EBD 连 接 OC, BC, S阴影 = S扇形AOC+S△BOC-S扇形OBC S阴影 =S扇形BAB′ 对点练习 典例　 [2024 莆田一检]如图,点 O 是半圆圆心,BE 是半圆的直径,点 A,D 在半圆上,四边形 ABOD 为 菱形,若 AB= 4,则阴影部分的面积是　 　 　 . 　 　 　 　 典例题图 　 　 　 　 练习题图 ⇒圆的综合题专题见专题培优练 P67 练习　 [2024 资阳]如图,在矩形 ABCD 中,AB= 4,AD= 2. 以点 A 为圆心,AD 长为半径作弧交 AB 于点 E,再以 AB 为直径作半圆,与 DE ( 交于点 F,则图中阴影部分的面积为　 　 　 . 温馨提示:请完成分层作业本 P93-94 习题 311