3.22 二次函数的实际应用&3.23 二次函数与几何综合题-【一战成名新中考】2025福建中考数学·一轮复习·基础夯实练（讲册）

4,∴ mn= 2, ∴ k-3 =mn= 2,∴ k= 5. 要点 3　 典例　 C　 练习 1　 1 ∶2　 练习 2　 12 命题点 19　 二次函数的图象与性质 要点 1　 ①- b 2a 　 ②h　 ③( - b 2a , 4ac-b2 4a )　 ④(h,k)　 ⑤ 4ac-b2 4a ⑥k　 ⑦ 4ac-b2 4a 　 ⑧k　 ⑨减小　 􀃊􀁉􀁒增大　 􀃊􀁉􀁓增大　 􀃊􀁉􀁔减小 典例　 (1)0,-6,-8,-6,0 ①y= 2(x+1) 2 -8;②-1;( -1,-8); ③( -3,0),(1,0),(0,-6) (2)画出函数图象略. ①上;②减小;③x<-3 或 x>1;x= -3 或 x= 1;-3<x<1; ④-1,-8;⑤-8≤y<10 练习 1　 D　 【解析】∵ y= 2 3 ( x-1) 2 +c,∴ 抛物线开口向上,对称 轴是直线 x= 1,∴ 当 x<1 时,y 随 x 的增大而减小,∵ ( 5 2 ,y3 ) 关于直线 x= 1 的对称点是( - 1 2 ,y3 ),且-2<- 1 2 <0<1,∴ y1 > y3 >y2 . 练习 2　 m≥1 或 m≤0　 【解析】二次函数 y = x2 -2x+1 图象的对 称轴为直线 x= - b 2a = 1,若 m-1<x1 <m,m+1<x2 <m+2 时,都有 y1 ≠y2 ,直线 x= x1 +x2 2 表示 x1 与 x2 对应点连线的中垂线,根据 题意则有 m< x1 +x2 2 <m+1,∴ 要使 y1 ≠y2 ,则即 m≥1 或 m+1≤ 1,解得 m≥1 或 m≤0. 要点 2　 􀃊􀁉􀁕y 轴　 􀃊􀁉􀁖左　 􀃊􀁉􀁗右　 􀃊􀁉􀁘两个 典例　 ①③④⑥⑨　 拓展设问 A　 命题点 20　 二次函数表达式的确定 及图象的平移 要点 1　 典例 1. 解:抛物线的表达式为 y= -x2 +2x+3. 2. 解:抛物线的表达式为 y= -2(x-2) 2 +4. 3. 解:二次函数的表达式为 y= -x2 -2x+3. 4. 解:抛物线的表达式为 y= 2x2 -8x+6. 要点 2　 ①不变;②不变 典例　 y= 3(x-1) 2 +1　 变式 1 A　 变式 2 A 命题点 21　 二次函数图象与性质的应用 要点 1　 ①两个不相等　 ②两个相等　 ③无 典例　 (1)x1 = -1,x2 = 3;(2)x1 = 0,x2 = 2;(3)2 要点 2　 ④x<x1 或 x>x2 　 ⑤x1 <x<x2 典例　 -1<x<3　 变式 x<0 或 x>2 要点 3　 典例　 解:(1)(1,2),(5,18); (2)联立 y= kx-2, y= x2 -2x+3,{ 得方程 kx-2 = x 2 -2x+3, 整理,得 x2 -(k+2)x+5 = 0, ∵ 直线和抛物线只有一个交点, ∴ Δ= [ -(k+2)] 2 -4×1×5 = 0,解得 k= -2±2 5 . ∴ 当 k= -2±2 5时,直线与抛物线只有一个交点. 命题点 22　 二次函数的实际应用 类型 1　 典例　 (300- 10x);( 20+x);( 300 - 10x) ( 20 +x);- 10x2 + 100x+ 6 000;0≤ x≤30;5;65;6 250; ( 300 + 20x); ( 20 - x); ( 300 + 20x)(20-x);-20x2 +100x+6 000;0≤x≤20;当 x = 2. 5 时,y 取 得最大值,即定价为 57. 5 元时,利润最大,最大利润为 6 125 元;∵ 6 250>6 125,∴ 当定价为 65 元时,即涨价 5 元时利润最 大,最大利润为 6 250 元 练习　 解:(1)由题知, 当每盆租金上涨 x 元时,少租出 5x 盆的盆栽, 所以该种盆栽每天租出的数量为(95-5x)盆. (2)当上涨的租金大于等于 0 元且小于 2 元时,该公司每天租 出该种盆栽的总收益随租金的增大而增大; 当上涨的租金大于 2 元且小于等于 19 元时,该公司每天租出 该种盆栽的总收益随租金的增大而减小; 当上涨的租金为 2 元时,该公司每天租出该种盆栽的总收益取 得最大值. 理由:设该种盆栽每盆租金上涨 m 元,公司每天租出该种盆栽 的总收益为 w 元, 则 w= (15+m)(95-5m)= -5m2 +20m+1 425, ∵ 95-5m≥0,∴ m≤19. 又∵ - 20 2×( -5) = 2,且-5<0, ∴ 当 0≤m<2 时,w 随 m 的增大而增大; 当 2<m≤19 时,w 随 m 的增大而减小; 当 m= 2 时,w 取得最大值. 类型 2　 典例　 D 练习　 解:(1)设 AB= t m,则 AD=BC= (100-2t)m, 根据题意得 t(100-2t)= 450,解得 t1 = 5,t2 = 45, 当 t= 5 时,100-2t= 90>20,不符合题意,舍去; 当 t= 45 时,100-2t= 10, 答:所利用旧墙 AD 的长为 10 m; (2)设 AD=BC= x m,矩形菜园 ABCD 面积为 S m2 , 则 S= x· 100-x 2 = - 1 2 (x-50) 2 +1 250, 当 a≥50 时,∵ - 1 2 <0,∴ 当 x= 50 时,S 的最大值为 1 250; 当 0<a<50 时,即当 0<x≤a 时,S 随 x 的增大而增大,则当 x = a 时,S 的最大值为 50a- 1 2 a2 , 综上所述,当 a≥ 50 时,矩形菜园 ABCD 面积的最大值为 1 250 m2 ;当 0 < a < 50 时,矩形菜园 ABCD 面积的最大值为 (50a- 1 2 a2 )m2 . 类型 3　 典例　 解:∵ OC=OB= 8 m,∴ C(0,8),B(8,0), ∵ OA= 2 m,DA⊥OB,D 为最高点, ∴ 抛物线的对称轴为直线 x= 2, 解法一:根据题意,设抛物线的表达式为 y=a(x-2)2 +k(a≠0), 将点 C(0,8),B(8,0)代入,得 4a+k= 8, 36a+k= 0,{ 解得 a= - 1 4 , k= 9, { ∴ 抛物线的表达式为 y= - 1 4 (x-2) 2 +9, ∵ - 1 4 <0,∴ 当 x= 2 时,y 有最大值,最大值为 9,即 AD= 9 m. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 831 解法二:设抛物线的表达式为 y= ax2 +bx+8(a≠0),将点 B(8, 0)代入, 结合- b 2a = 2,得 - b 2a = 2, 64a+8b+8 = 0, { 解得 a= - 1 4 , b= 1, { ∴ 抛物线的表达式为 y= - 1 4 x2 +x+8 = - 1 4 (x-2) 2 +9. 其余同理. 答:该水流距水平面的最大高度 AD 为 9 m. 练习　 A 命题点 23　 二次函数与几何综合题 典例　 ①( -1,0)　 ②(3,0)　 ③(0,3)　 ④(1,4)　 ⑤x= 1 ⑥y= -x+3　 ⑦y= 3x+3　 ⑧y= -2x+6　 ⑨4　 ⑩3 2 　 􀃊􀁉􀁓 2 􀃊􀁉􀁔2 5 　 􀃊􀁉􀁕2　 􀃊􀁉􀁖(m,-m+3)　 􀃊􀁉􀁗(m,-m2 +2m+3)　 􀃊􀁉􀁘-m+3 􀃊􀁉􀁙-m2 +3m　 􀃊􀁉􀁚- 2m+3 2 　 􀃊􀁉􀁛 2m　 􀃊􀁊􀁒- 3 2 m2 + 9 2 m　 􀃊􀁊􀁓- 3 2 m2 + 9 2 m+6　 􀃊􀁊􀁔 3 2 　 􀃊􀁊􀁕 3 2 　 􀃊􀁊􀁖 27 8 　 􀃊􀁊􀁗-m2 +3m= 2　 􀃊􀁊􀁘1 或 2　 􀃊􀁊􀁙-m+3 = -m2 +3m　 􀃊􀁊􀁚1　 􀃊􀁊􀁛45　 􀃊􀁋􀁒90　 􀃊􀁋􀁓∥　 􀃊􀁋􀁔(2,3) 　 􀃊􀁋􀁕45　 􀃊􀁋􀁖90　 􀃊􀁋􀁗(1,4)　 􀃊􀁋􀁘-m2 +3m = 2 m　 􀃊􀁋􀁙3- 2 　 􀃊􀁋􀁚(3- 2 ,4 2 - 2)　 􀃊􀁋􀁛(2,3)　 􀃊􀁌􀁒(1,4)　 􀃊􀁌􀁓MN=EF　 􀃊􀁌􀁔(2,3) 大单元串讲练一　 函数的增减性与最值 1. 增大;减小;减小;增大;增大;减小;增大;减小 2. (1) -x(答案不唯一);(2) 1 x (答案不唯一); (3)x2(答案不唯一) 3. (1) <;(2) >;(3) > 4. (1) <;(2) <;(3) <;(4) < 变式 解:当 k<0 时,反比例函数 y = k x 的图象位于第二、四象 限,在每一象限内,y 随 x 的增大而增大. 当 y1 <y2 时,分为以下三种情况: ①当 0<y1 <y2 时,x2 >x1 , ②当 y1 <y2 <0 时,x2 >x1 , ③当 y1 <0<y2 时,x2 <x1 . 5. (1)①>;②<;③ = ; (2)①>;②<; (3)①<;②<;> 6. 解:(1)3;1; (2)∵ 抛物线 y= x2 -2x-3 的对称轴为直线 x= 1, ∴ 当 x= 1 时,y= 1-2-3 = -4 是最小值,当 x = -3 时,y = 9+6- 3 = 12 是最大值. 7. (1) -12;3; (2)①0 或 6;②-2 或 8;③2≤a≤4. 大单元串讲练二　 函数图象的平移与对称 1. (1)画图略;(2)y= -x-1 2. (1)画图略;(2)y= x2 -1;(3)y= 3x2 -6x+3 3. (1)画图略;(2)y= x-1,y= x+1,y= -x-1 4. (1)画图略;(2)y= 2x2 +12x-15,y= -2x2 +12x+15,y= 2x2 -12x- 15 第四章　 三角形 命题点 24　 线段、角、相交线与平行线 要点 1　 ①图 1,图 2,图 3　 ②图 4　 ③BC　 ④AC　 ⑤BC　 ⑥AC ⑦AB　 ⑧ 1 2 　 ⑨ 1 3 典例 1　 两点之间,线段最短 典例 2　 (1)7; 变式 1 4; 变式 2 11 或 7;(2)4. 5;(3)3 或 6 要点 2　 􀃊􀁉􀁒60　 􀃊􀁉􀁓60　 􀃊􀁉􀁔90°　 􀃊􀁉􀁕相等　 􀃊􀁉􀁖180°　 􀃊􀁉􀁗相等 􀃊􀁉􀁘相等　 􀃊􀁉􀁙PN　 􀃊􀁉􀁚相等 典例 1　 (1)45°;(2)136°　 典例 2　 11 要点 3　 􀃊􀁉􀁛∠3　 􀃊􀁊􀁒∠8　 􀃊􀁊􀁓∠8　 􀃊􀁊􀁔∠5　 􀃊􀁊􀁕∠8　 􀃊􀁊􀁖∠7　 􀃊􀁊􀁗∠8 􀃊􀁊􀁘90　 􀃊􀁊􀁙无数　 􀃊􀁊􀁚>　 􀃊􀁊􀁛>　 􀃊􀁋􀁒AO　 􀃊􀁋􀁓相等　 􀃊􀁋􀁔 = 　 􀃊􀁋􀁕 = 􀃊􀁋􀁖相等 典例 1　 A　 典例 2　 PB　 拓展设问 CP 要点 4　 􀃊􀁋􀁗相等　 􀃊􀁋􀁘相等　 􀃊􀁋􀁙互补 典例　 C　 练习 1　 A　 练习 2　 D　 　 练习 3　 (1)20;(2)130° 要点 5　 典例　 (1)两直线平行,同旁内角相等;(2)假; (3)如果同旁内角相等,那么两直线平行;假; 变式 真; (4)≠, = ,≠,平角为 180°,≠ 命题点 25　 三角形的边角关系与重要线段 要点 1　 ①大于　 ②>　 ③小于　 ④<　 ⑤180°　 ⑥360°　 ⑦∠3 ⑧>　 ⑨>　 􀃊􀁉􀁒> 典例 1　 C　 变式 D　 典例 2　 (1)70°;(2)55° 要点 2　 􀃊􀁉􀁓内部　 􀃊􀁉􀁔内部　 􀃊􀁉􀁕外部　 􀃊􀁉􀁖内部　 􀃊􀁉􀁗 1 2 　 􀃊􀁉􀁘2 ∶1 􀃊􀁉􀁙 1 2 　 􀃊􀁉􀁚 1 2 　 􀃊􀁉􀁛 1 4 　 􀃊􀁊􀁒 1 2 　 􀃊􀁊􀁓90°+ 1 2 ∠A　 􀃊􀁊􀁔 1 2 ∠A 􀃊􀁊􀁕90°- 1 2 ∠A 典例 1　 B　 典例 2　 A　 典例 3　 D 典例 4　 (1)115°;(2)25°;(3)65° 命题点 26　 等腰三角形 要点 1　 ①相等　 ②相等　 ③相等　 ④60° 典例　 (1)24;(2)30;(3)4;(4)3;(5)5;(6)8 要点 2　 ⑤ 1 2 (180°-α)　 ⑥45°　 ⑦ 1 2 (180°-α)　 ⑧180°-2α　 ⑨2a+b　 􀃊􀁉􀁒2b+a 典例　 (1)20°或 80°;80°或 50°;(2)20 或 22;(3)6,6 或 4,8 要点 3　 􀃊􀁉􀁓△ODC　 􀃊􀁉􀁔△ACE 典例　 (1)△OBD,△OEC; 变式 5; (2)5;(3)18; 变式 1 6; 变式 2 2 命题点 27　 直角三角形 要点 1　 ①90°　 ② 1 2 　 ③a2 +b2 = c2 　 ④互余　 ⑤相等 ⑥相等　 ⑦45　 ⑧1 ∶ 2 　 ⑨45°　 􀃊􀁉􀁒60°　 􀃊􀁉􀁓一半　 􀃊􀁉􀁔30° 􀃊􀁉􀁕1 ∶ 3 ∶ 2 典例　 (1)①70°;②5; 拓展设问 5 2 ;(2)30°,30°, 3 ; (3)13 或 119 ;(4)2; 变式 1 3 2 ; 变式 2 2+ 2 要点 2　 􀃊􀁉􀁖S1 +S2 =S3 　 􀃊􀁉􀁗S1 +S2 =S3 典例　 C　 练习　 B　 要点 3　 􀃊􀁉􀁘 7或 5　 􀃊􀁉􀁙 5 3 或 4 3 命题点 28　 全等三角形 要点 1　 ①相等　 ②相等　 ③相等　 ④相等　 ⑤中线　 ⑥高　 ⑦角平分线 典例　 C　 练习　 D　 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 931 基础夯实练·福建数学 第 三 章 　 函 　 数 命题点 22　 二次函数的实际应用(2018. 23) 　 问题启发思维 背景:如图,用一段长为 60 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙长 32 m, 这个矩形的长、 宽各为多少时,菜园的面积最大,最大面积是多少? 问题 1　 若设面积为 S,则如何设自变量? 问题 2　 面积 S 关于 x 的函数表达式是什么? 问题 3　 如何求解自变量 x 的取值范围? 墙长 32 m 对此题有什么作用? 问题 4　 如何求 S 的最大值? 类型 1　 利润最值问题 典例　 [人教九上 P50 探究 2]某商品现在的售价为每件 60 元,每星期可卖出 300 件. 市场调查反 映:如调整价格,每涨价 1 元,每星期要少卖出 10 件,每降价 1 元,每星期可多卖出 20 件. 已知 商品的进价为每件 40 元,如何定价才能使利润最大? 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋【点拨】所用关系式:利润=销售数量×(售价-成本) . 分情况讨论:涨价(或降价)时,利润 y(元)关于涨价(或降价)x(元)的函数解析式,根据确定函 数最值的方法求出 y 的最大值及取得最大值时 x 的值. 情况一: 设每件商品涨价 x 元时的利润为 y 元,则涨价后的售价为(60+x)元,每星期少卖 10x 件,实际卖 出　 　 ( 300 - 10x) 　 　 件; 每件的利润为 　 　 　 ( 20 + x) 　 元, 因此每星期的利润 y = 　 　 　 　 　 　 　 　 ,化成一般式为 y= 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ,其中 x 的取值范围为　 0≤x≤30　 . 由二次函数的性质可知:当 x= 　 5　 时,y 取得最大值,即定价为　 65　 元时,利润最大,最大利 润为　 6 250　 元. 85 基础夯实练·福建数学 第 三 章 　 函 　 数 情况二: 设每件商品降价 x 元时的利润为 y 元,则降价后的售价为(60-x)元,每星期多卖 20x 件,实际卖 出　 (300+20x) 　 件;每件的利润为　 (20-x) 　 元,因此每星期的利润 y = 　 (300+20x) 　 ,化成 一般式为 y= 　 -20x2+0x+　 　 　 ,其中 x 的取值范围为　 0≤x≤20　 . 由二次函数的性质可知: 　 . 比较:　 ∵6 250>6 125,∴当定价为 65 元时,即涨价 5 元时利润最大,最大利润为6 250 元　 . 练习　 [2024 厦门二检]某盆景园艺租赁公司有某种盆栽供顾客租用. 该种盆栽每盆租金现为 15 元,每天可租出 95 盆. 市场调查反映:该种盆栽每盆租金每上涨 1 元,每天会少租出 5 盆. (1)设该种盆栽每盆租金上涨 x 元,请用含 x 的式子表示该种盆栽每天租出的数量; (2)判断随着该种盆栽每盆租金的上涨,该公司每天租出该种盆栽的总收益的增减情况,并说 明理由. 解:(1)由题知,当每盆租金上涨 x 元时,少租出 5x 盆的盆栽, 所以该种盆栽每天租出的数量为(95-5x)盆. (2)当上涨的租金大于等于 0 元且小于 2 元时,该公司每天租出该种盆栽的总收益随租金的增大而增大; 当上涨的租金大于 2 元且小于等于 19 元时,该公司每天租出该种盆栽的总收益随租金的增大而减小; 当上涨的租金为 2 元时,该公司每天租出该种盆栽的总收益取得最大值. 理由:设该种盆栽每盆租金上涨 m 元,公司每天租出该种盆栽的总收益为 w 元, 则 w=(15+m)(95-5m)= -5m2+20m+1 425, ∵95-5m≥0,∴m≤19. 又∵- 20 2×(-5) = 2,且-5<0,∴当 0≤m<2 时,w 随 m 的增大而增大; 当 2<m≤19 时,w 随 m 的增大而减小; 当 m=2 时,w 取得最大值. 类型 2　 面积最值问题 典例题图 典例　 某农场拟建一间矩形饲养室,饲养室的一面靠现有墙(墙足 够长),并在如图所示位置留 2 m 宽的门,已知计划中的建筑材料 可建围墙(不包括门)的总长度为 50 m. 设饲养室长为 x m,占地 面积为 y m2,则 y 关于 x 的函数表达式是 (　 　 ) A. y= -x2 +50x　 　 B. y= - 1 2 x2 +24x　 　 C. y= - 1 2 x2 +25x　 　 D. y= - 1 2 x2 +26x 练习　 [2018 福建 23 题 10 分]如图,在足够大的空地上有一段长为 a m 的旧墙 MN,某人利用旧墙 和木栏围成一个矩形菜园 ABCD,其中 AD≤MN,已知矩形菜园的一边靠墙,另三边一共用了 100 m 木栏. 练习题图 (1)若 a= 20,所围成的矩形菜园的面积为 450 m2,求所利用旧墙 AD 的长; 解:(1)设 AB= t m,则 AD=BC=(100-2t)m, 根据题意得 t(100-2t)= 450,解得 t1 =5,t2 =45, 当 t=5 时,100-2t=90>20,不符合题意舍去;当 t=45 时,100-2t=10, 答:所利用旧墙 AD 的长为 10 m; 95 基础夯实练·福建数学 第 三 章 　 函 　 数 (2)求矩形菜园 ABCD 面积的最大值. (2)设 AD=BC=x m,矩形菜园 ABCD 面积为 S m2, 则 S=x·100 -x 2 =- 1 2 (x-50) 2+1 250,当 a≥50 时,∵- 1 2 <0,则 x=50 时,S 的最大值为 1 250; 当 0<a<50 时,即当 0<x≤a 时,S 随 x 的增大而增大,则当 x=a 时,S 的最大值为 50a- 1 2 a2, 综上所述,当 a≥50 时,矩形菜园 ABCD 面积的最大值为 1 250 m2;当 0<a<50 时,矩形菜园 ABCD 面积的 最大值为(50a- 1 2 a2)m2 . 类型 3　 抛物线型、类抛物线型问题 ◆问题考查方式及解决方法: ①求高度,一般是求二次函数图象顶点的纵坐标,或求出自变量的取值范围,利用函数的增减性求 二次函数的最值; ②求水平距离,一般令函数值 y= 0,解出一元二次方程的两个根,求两根之差的绝对值. 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 典例题图 典例　 [人教九上 P36 例 4 改编]多解法 ∙∙∙ 某景点的“喷水巨龙”口中 C 处的水流呈抛物 线形,该水流喷出的高度 y(m)与水平距离 x(m)之间的关系如图所示,D 为该水 流的最高点,DA⊥OB,垂足为 A. 已知 OC=OB= 8 m,OA= 2 m,求该水流距水平面 的最大高度 AD. 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈 【点拨】由 OA= 2 m 可知,该抛物线对称轴为直线 x = 2. 解法一:该抛物线顶点横坐标为 2,可设 顶点式 y=a(x-2) 2 +k(a≠0) . 解法二:由 OC= 8 m,可知 c= 8,可设一般式 y=ax2 +bx+8(a≠0) . 解:∵OC=OB=8 m,∴C(0,8),B(8,0), ∵OA=2 m,DA⊥OB,D 为最高点,∴抛物线的对称轴为直线 x=2, 解法一:根据题意,设抛物线的表达式为 y=a(x-2) 2+k, 将点 C(0,8),B(8,0)代入,得 4a+k=8, 36a+k=0,{ 解得 a=- 1 4 , k=9, ì î í ïï ïï ∴抛物线的表达式为 y=- 1 4 (x-2) 2+9, ∵- 1 4 <0,∴当 x=2 时,y 有最大值,最大值为 9,即 AD=9 m. 解法二:设抛物线的表达式为 y=ax2+bx+8(a≠0),将点 B(8,0)代入, 结合- b 2a =2,得 - b 2a =2, 64a+8b+8=0, ì î í ïï ïï 解得 a=- 1 4 , b=1, ì î í ïï ïï ∴抛物线的表达式为 y=- 1 4 x2+x+8=- 1 4 (x-2) 2+9.其余同理. 答:该水流距水平面的最大高度 AD 为 9 m. 练习题图 练习　 [2024 南平一检]水平地面上一个小球被推开后向前滑行,滑行的距离 s(米)与 时间 t(秒)的函数关系如图所示(图为抛物线的一部分,其中 P 是该抛物线的顶 点),则下列说法正确的是 (　 　 ) A. 小球滑行 6 秒停止 B. 小球滑行 12 秒停止 C. 小球向前滑行的速度不变 D. 小球向前滑行的速度越来越大 温馨提示:请完成分层作业本 P49-50 习题 06 基础夯实练·福建数学 第 三 章 　 函 　 数 命题点 23　 二次函数与几何综合题(必考,近 5 年均考查面积问题) 典例　 已知二次函数 y= -x2 +2x+3 的图象如图所示,与 x 轴交于点 A,B(点 A 在点 B 的左侧),与 y 轴交于点 C,顶点为 M,对称轴与直线 BC 的交点为 N. 动点 D 是线段 OB 上一点(不与点 A,B 重 合),过点 D 作 DF⊥x 轴,交抛物线于点 F,交 BC 于点 E,连接 CF,设点 D 的横坐标为 m. 典例题图 设问角度一　 求图中点的坐标 点 A 的坐标是①　 (-1,0) 　 ;点 B 的坐标是②　 (3,0) 　 ; 点 C 的坐标是③　 (0,3) 　 ;点 M 的坐标是④　 (1,4) 　 ; 设问角度二　 求直线解析式 对称轴是直线⑤　 x=1　 ;直线 BC 的函数解析式是⑥　 y=-x+3　 ; 直线 AC 的函数解析式是⑦　 　 　 　 ;直线 BM 的函数解析式是⑧　 　 　 　 ; 设问角度三　 求图中线段的长 AB= ⑨　 4　 ;BC= ⑩　 3 2 　 ;CM= 􀃊􀁉􀁓　 2 　 ;BM= 􀃊􀁉􀁔　 2 5 　 ;MN= 􀃊􀁉􀁕　 2　 ; 设问角度四　 用含 m的代数式表示 (1)表示点坐标:点 E 的坐标是􀃊􀁉􀁖　 (m,-m+3)　 ,点 F 的坐标是􀃊􀁉􀁗　 (m,-m2+2m+3)　 ; (2)表示线段长:DE=􀃊􀁉􀁘　 -m+3　 ;EF=􀃊􀁉􀁙　 -m2+3m　 ;BE=􀃊􀁉􀁚　 - 2m+3 2　 ;CE=􀃊􀁉􀁛　 2m　 ; (3)表示图形面积:S△BFC =􀃊􀁊􀁒　 　 　 　 　 　 ;S四边形ACFB =􀃊􀁊􀁓　 　 　 　 　 　 ; 设问角度五　 最值类 (1)当 m= 􀃊􀁊􀁔　 　 　 时,线段 EF 最长; (2)当 m= 􀃊􀁊􀁕　 　 　 时,△BCF 的面积最大,最大面积是􀃊􀁊􀁖　 　 　 ; 设问角度六　 等量关系类 (1)当 EF=MN 时,可列方程为􀃊􀁊􀁗　 -m2+3m=2　 ,解得 m= 􀃊􀁊􀁘　 1 或 2　 ; (2)当点 E 是 DF 的中点时,列方程为􀃊􀁊􀁙　 -m+3=-m2+3m　 ,解得m=􀃊􀁊􀁚　 1　 ; 设问角度七　 特殊图形类 (1)若△CEF 是等腰三角形,按以下三种情况分类: ①当 EF=CF 时,∠FCE=∠FEC=􀃊􀁊􀁛　 45　 °,则∠CFE=􀃊􀁋􀁒　 90　 °,CF􀃊􀁋􀁓　 ∥　 OB,则点 F 的坐 标为􀃊􀁋􀁔　 (2,3)　 ; ②当 CF = CE 时, ∠CFE = ∠CEF = 􀃊􀁋􀁕 　 45 　 °, 则 ∠FCE = 􀃊􀁋􀁖 　 90 　 °, 点 F 的坐标 为􀃊􀁋􀁗 (1,4) 　 ; ③当EF=EC时,可得关于m的方程为􀃊􀁋􀁘　 -m2+3m= 2m　 ,解得m=􀃊􀁋􀁙　 3- 2　 ,则点 F 的坐标 为􀃊􀁋􀁚　 (3- 2 ,4 2 -2) 　 ; (2)若△CEF 是直角三角形,由于∠CEF= 45°,则只需按以下两种情况分类: ①∠CFE= 90°,可得点 F 的坐标为􀃊􀁋􀁛　 (2,3) 　 ; ⇒二次函数综合题专题见专题培优练 P13 ②∠FCE= 90°,可得点 F 的坐标为􀃊􀁌􀁒　 (1,4) 　 ; (3)若以点 M,N,E,F 为顶点的四边形是平行四边形,由已知得 MN∥EF, 则 MN 与 EF 的数量关系是􀃊􀁌􀁓　 MN=EF　 ,可得点 F 的坐标为􀃊􀁌􀁔　 (2,3) 　 . 温馨提示:请完成分层作业本 P51-54 习题 16