3.21 二次函数图象与性质的应用-【一战成名新中考】2025福建中考数学·一轮复习·基础夯实练（讲册）

4,∴ mn= 2, ∴ k-3 =mn= 2,∴ k= 5. 要点 3　 典例　 C　 练习 1　 1 ∶2　 练习 2　 12 命题点 19　 二次函数的图象与性质 要点 1　 ①- b 2a 　 ②h　 ③( - b 2a , 4ac-b2 4a )　 ④(h,k)　 ⑤ 4ac-b2 4a ⑥k　 ⑦ 4ac-b2 4a 　 ⑧k　 ⑨减小　 􀃊􀁉􀁒增大　 􀃊􀁉􀁓增大　 􀃊􀁉􀁔减小 典例　 (1)0,-6,-8,-6,0 ①y= 2(x+1) 2 -8;②-1;( -1,-8); ③( -3,0),(1,0),(0,-6) (2)画出函数图象略. ①上;②减小;③x<-3 或 x>1;x= -3 或 x= 1;-3<x<1; ④-1,-8;⑤-8≤y<10 练习 1　 D　 【解析】∵ y= 2 3 ( x-1) 2 +c,∴ 抛物线开口向上,对称 轴是直线 x= 1,∴ 当 x<1 时,y 随 x 的增大而减小,∵ ( 5 2 ,y3 ) 关于直线 x= 1 的对称点是( - 1 2 ,y3 ),且-2<- 1 2 <0<1,∴ y1 > y3 >y2 . 练习 2　 m≥1 或 m≤0　 【解析】二次函数 y = x2 -2x+1 图象的对 称轴为直线 x= - b 2a = 1,若 m-1<x1 <m,m+1<x2 <m+2 时,都有 y1 ≠y2 ,直线 x= x1 +x2 2 表示 x1 与 x2 对应点连线的中垂线,根据 题意则有 m< x1 +x2 2 <m+1,∴ 要使 y1 ≠y2 ,则即 m≥1 或 m+1≤ 1,解得 m≥1 或 m≤0. 要点 2　 􀃊􀁉􀁕y 轴　 􀃊􀁉􀁖左　 􀃊􀁉􀁗右　 􀃊􀁉􀁘两个 典例　 ①③④⑥⑨　 拓展设问 A　 命题点 20　 二次函数表达式的确定 及图象的平移 要点 1　 典例 1. 解:抛物线的表达式为 y= -x2 +2x+3. 2. 解:抛物线的表达式为 y= -2(x-2) 2 +4. 3. 解:二次函数的表达式为 y= -x2 -2x+3. 4. 解:抛物线的表达式为 y= 2x2 -8x+6. 要点 2　 ①不变;②不变 典例　 y= 3(x-1) 2 +1　 变式 1 A　 变式 2 A 命题点 21　 二次函数图象与性质的应用 要点 1　 ①两个不相等　 ②两个相等　 ③无 典例　 (1)x1 = -1,x2 = 3;(2)x1 = 0,x2 = 2;(3)2 要点 2　 ④x<x1 或 x>x2 　 ⑤x1 <x<x2 典例　 -1<x<3　 变式 x<0 或 x>2 要点 3　 典例　 解:(1)(1,2),(5,18); (2)联立 y= kx-2, y= x2 -2x+3,{ 得方程 kx-2 = x 2 -2x+3, 整理,得 x2 -(k+2)x+5 = 0, ∵ 直线和抛物线只有一个交点, ∴ Δ= [ -(k+2)] 2 -4×1×5 = 0,解得 k= -2±2 5 . ∴ 当 k= -2±2 5时,直线与抛物线只有一个交点. 命题点 22　 二次函数的实际应用 类型 1　 典例　 (300- 10x);( 20+x);( 300 - 10x) ( 20 +x);- 10x2 + 100x+ 6 000;0≤ x≤30;5;65;6 250; ( 300 + 20x); ( 20 - x); ( 300 + 20x)(20-x);-20x2 +100x+6 000;0≤x≤20;当 x = 2. 5 时,y 取 得最大值,即定价为 57. 5 元时,利润最大,最大利润为 6 125 元;∵ 6 250>6 125,∴ 当定价为 65 元时,即涨价 5 元时利润最 大,最大利润为 6 250 元 练习　 解:(1)由题知, 当每盆租金上涨 x 元时,少租出 5x 盆的盆栽, 所以该种盆栽每天租出的数量为(95-5x)盆. (2)当上涨的租金大于等于 0 元且小于 2 元时,该公司每天租 出该种盆栽的总收益随租金的增大而增大; 当上涨的租金大于 2 元且小于等于 19 元时,该公司每天租出 该种盆栽的总收益随租金的增大而减小; 当上涨的租金为 2 元时,该公司每天租出该种盆栽的总收益取 得最大值. 理由:设该种盆栽每盆租金上涨 m 元,公司每天租出该种盆栽 的总收益为 w 元, 则 w= (15+m)(95-5m)= -5m2 +20m+1 425, ∵ 95-5m≥0,∴ m≤19. 又∵ - 20 2×( -5) = 2,且-5<0, ∴ 当 0≤m<2 时,w 随 m 的增大而增大; 当 2<m≤19 时,w 随 m 的增大而减小; 当 m= 2 时,w 取得最大值. 类型 2　 典例　 D 练习　 解:(1)设 AB= t m,则 AD=BC= (100-2t)m, 根据题意得 t(100-2t)= 450,解得 t1 = 5,t2 = 45, 当 t= 5 时,100-2t= 90>20,不符合题意,舍去; 当 t= 45 时,100-2t= 10, 答:所利用旧墙 AD 的长为 10 m; (2)设 AD=BC= x m,矩形菜园 ABCD 面积为 S m2 , 则 S= x· 100-x 2 = - 1 2 (x-50) 2 +1 250, 当 a≥50 时,∵ - 1 2 <0,∴ 当 x= 50 时,S 的最大值为 1 250; 当 0<a<50 时,即当 0<x≤a 时,S 随 x 的增大而增大,则当 x = a 时,S 的最大值为 50a- 1 2 a2 , 综上所述,当 a≥ 50 时,矩形菜园 ABCD 面积的最大值为 1 250 m2 ;当 0 < a < 50 时,矩形菜园 ABCD 面积的最大值为 (50a- 1 2 a2 )m2 . 类型 3　 典例　 解:∵ OC=OB= 8 m,∴ C(0,8),B(8,0), ∵ OA= 2 m,DA⊥OB,D 为最高点, ∴ 抛物线的对称轴为直线 x= 2, 解法一:根据题意,设抛物线的表达式为 y=a(x-2)2 +k(a≠0), 将点 C(0,8),B(8,0)代入,得 4a+k= 8, 36a+k= 0,{ 解得 a= - 1 4 , k= 9, { ∴ 抛物线的表达式为 y= - 1 4 (x-2) 2 +9, ∵ - 1 4 <0,∴ 当 x= 2 时,y 有最大值,最大值为 9,即 AD= 9 m. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 831 基础夯实练·福建数学 第 三 章 　 函 　 数 命题点 21　 二次函数图象与性质的应用(必考) 　 问题启发思维 问题 1:请画出二次函数 y= x2 +2x,y= x2 -2x+1,y = x2 -2x+2 的图象,并分别写出每个函数图象与 x 轴的交点个数. 问题 2:请写出一元二次方程 x2 +2x= 0,x2 -2x+1 = 0 有几个实数根,并验证 x2 -2x+2 = 0 是否有实 数根? 问题 3:根据问题 1 和问题 2 总结出二次函数 y= x2 +2x 和一元二次方程 x2 +2x = 0 的根有什么样 的关系? 要点 1 二次函数与一元二次方程的关系【2022 年版课标新增内容】(2021. 8 考查) 本质:求 ax2 +bx+c= 0 的根即求对应函数 y 􀪍 =ax2 +bx+c = 0􀪍 时 x 的值[数∙ ]→[形∙ ]二次函数图象与 x·轴交点∙∙∙ 的横坐标 抛物线①与 x 轴有两个交点⇔方程 ax2 +bx+c= 0 有①　 两个不相等　 的实数根,根为交点横坐标⇔b2 -4ac>0 抛物线②与 x 轴有一个交点⇔方程 ax2 +bx+c = 0 有②　 两个相等　 的实数根,根为交点的横坐标⇔b2 -4ac= 0 抛物线③与 x 轴无交点⇔方程 ax2 +bx+ c= 0③　 无　 实数根⇔b2 - 4ac<0 拓展:方程 ax2 +bx+c= t(a>0)的根可看作抛物线 y=ax2 +bx+c 和直线 y= t 交点的横坐标. t>y顶点,方程 ax2 +bx+c= t 有两个不相等的实数根; t= y顶点,方程 ax2 +bx+c= t 有两个相等的实数根; t<y顶点,方程 ax2 +bx+c= t 没有实数根. 典例题图 对点练习 典例　 如图是二次函数 y=ax2 +bx+c 的部分图象. (1)方程 ax2 +bx+c= 0 的解是　 　 　 　 　 　 ; (2)方程 ax2 +bx+c= 2 的解是　 　 　 　 　 　 ; (3)已知 t<2,则方程 ax2 +bx+c= t 的解有　 　 　 个. 65 基础夯实练·福建数学 第 三 章 　 函 　 数 要点 2 二次函数与不等式的关系 如图,抛物线 y=ax2 +bx+c 与直线 y=mx+n 交于 A(x1,y1 ),B(x2,y2 )两点,则不 等式 ax2 +bx+c>mx+n 的解集为④　 x<x1 或 x>x2 　 ;不等式ax2 +bx+c<mx+n 的 解集为⑤　 x1<x<x2 　 . 《负面清单》1. 用二次函数的图象解一元二次不等式. 示例:利用二次函数的图象解一 元二次不等式 x2 -2x-3>0. 2. 解含绝对值或一次及一次以上因式乘积的不等式. 示例:不等式 1≤ | x-1 | ≤2 的解集; 不等式(x-1)(1-2x)>0 的解集. 典例题图 对点练习 典例　 [2023 莆田一检]二次函数 y=ax2 +bx+c 的部分图象如图所示,对称轴为直线 x = 1,则使 y>0 的 x 的取值范围是　 　 　 　 . 变式 不等式 ax2 +bx+c<3 的解集为　 　 　 　 . 要点 3 交点问题 联立 y=ax2 +bx+c, y=mx+n{ 消去 y → 得到关于 x 的方程 ax2 +(b-m)x+c-n= 0 考查 Δ → 判断交点个数. 如图,以 a>0 为例: ①Δ<0,两函数图象没有交点 ②Δ= 0,两函数图象有唯一交点 ③Δ>0,两函数图象有两个交点 对点练习 典例　 已知直线 y= kx-2 和抛物线 y= x2 -2x+3. (1)当 k= 4 时,直线与抛物线的交点坐标为　 　 　 　 　 　 ; (2)当 k 取何值时,直线与抛物线只有一个交点? 温馨提示:请完成分层作业本 P47-48 习题 75