3.19 二次函数的图象与性质-【一战成名新中考】2025福建中考数学·一轮复习·基础夯实练（讲册）

基础夯实练·福建数学 第 三 章 　 函 　 数 命题点 19　 二次函数的图象与性质(必考) 　 问题启发思维 问题 1:请画出二次函数 y= 2x2 和 y= -2x2 的图象,这两个二次函数图象有什么特点? 开口方向 由什么决定? 函数值 y 是如何随 x 的变化而变化的? 并说出变化规律. 问题 2:请画出二次函数 y= 2x2,y = 2x2 -2x,y = 2x2 +2x 的图象,这三个二次函数的图象位置有什 么特点? 对称轴的位置由什么决定? 并写出这三个函数的一些性质,越多越好. 问题 3:请写出 y= 2x2 +2x 的对称轴,若点 A(a,b)在该抛物线上,那么点 A 关于对称轴对称的点 是否还在该抛物线上呢? 问题 4:二次函数 y= 2x2 +8x+8 化成顶点式为? 顶点坐标为? 当 x 为何值时,y 有最大值? 05 基础夯实练·福建数学 第 三 章 　 函 　 数 要点 1 二次函数的图象与性质(每年必考,均考查二次函数的增减性与对称性) 概念 形如 y=ax2 +bx+c(a,b,c 为常数且 a≠0􀪍􀪍)的函数叫作 x 的二次函数 两种表达式 一般式 y=ax2 +bx+c(a≠0) 顶点式 y=a(x-h) 2 +k(a≠0) 大 致 图 象 a>0 开口向上 a<0 开口向下 对称轴 直线 x= ①　 　 　 直线 x= ②　 h　 顶点坐标 ③　 　 　 ④　 (h,k) 　 最 值 a>0 x= - b 2a 时,y 有最小值⑤　 　 　 　 x=h 时,y 有最小值⑥　 k　 a<0 x= - b 2a 时,y 有最大值⑦　 　 　 　 x=h 时,y 有最大值⑧　 k　 增 减 性 a>0 在对称轴左侧时, y 随 x 的增大而⑨　 减小　 ; 在对称轴右侧时,y 随 x 的增大而􀃊􀁉􀁒　 增大　 a<0 在对称轴左侧时,y 随 x 的增大而􀃊􀁉􀁓　 增大　 ; 在对称轴右侧时,y 随 x 的增大而􀃊􀁉􀁔　 减小　 注:特别地,若已知二次函数的表达式为 y=ax2 +bx,则二次函数图象必过原点 ∙∙∙∙ ;反之,若已知二次 函数 y=ax2 +bx+c 的图象过原点,则必有 c= 0. ⇒二次函数增减性与对称性问题专题见专题培优练 P7 对点练习 典例　 [人教九上 P37 思考改编]已知二次函数 y = 2x2 +4x-6,尝试探究该函数图象的性质,并回答下 列问题. (1)列表:请将下表中 x 与 y 的对应值填在相应的横线上; x … -3 -2 -1 0 1 … y … 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 … 根据表格填写: ①将其化成 y=a(x-h) 2 +k 的形式为　 　 　 　 　 　 ; ②对称轴是直线 x= 　 　 　 ;顶点坐标是　 　 　 　 ; ③函数图象与 x 轴交点坐标为　 　 　 　 和　 　 　 　 , 与 y 轴交点坐标为　 　 　 　 ; 15 基础夯实练·福建数学 第 三 章 　 函 　 数 (2)画图:在如图平面直角坐标系中画出函数图象: 典例题图 根据图象写性质: ①函数图象开口向　 　 　 ; ②当 x≤-1 时,y 随 x 的增大而　 　 　 　 ; ③求 x 的取值范围:当 y>0 时,　 　 　 　 　 ;当 y= 0 时,　 　 　 　 　 ;当 y<0 时,　 　 　 　 　 ; ④当 x= 　 　 　 时,函数 y 有最小值,其最小值为　 　 　 ; ⑤当-4<x<0 时,y 的取值范围为　 　 　 　 　 　 . 练习 1　 [2024 凉山州]抛物线 y= 2 3 (x-1) 2 +c 经过( -2,y1 ),(0,y2 ),( 5 2 ,y3 )三点,则 y1,y2,y3 的大 小关系正确的是 (　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. y1 >y2 >y3 B. y2 >y3 >y1 C. y3 >y1 >y2 D. y1 >y3 >y2 练习 2　 点 M(x1,y1),N(x2,y2)在二次函数 y= x2 -2x+1 的图象上,若 m-1<x1 <m,m+1<x2 <m+2 时, 都有 y1≠y2,则 m 的取值范围是　 　 　 　 　 　 . 要点 2 二次函数图象与系数 a,b,c 的关系 a 决定抛物线的开口方向, | a | 决定 开口大小 a>0,抛物线开口向上; a<0,抛物线开口向下 a、b 决定抛物线对称轴的位置(对称 轴为直线x= - b 2a ) b= 0,对称轴为􀃊􀁉􀁕　 y 轴　 ; b a >0,对称轴在 y 轴􀃊􀁉􀁖　 左　 侧; b a <0,对称轴在 y 轴􀃊􀁉􀁗　 右　 侧 c 决定抛物线与 y 轴交点的位置 c= 0,抛物线过原点; c>0,抛物线与 y 轴交于正半轴; c<0,抛物线与 y 轴交于负半轴 25 基础夯实练·福建数学 第 三 章 　 函 　 数 续表 b2- 4ac 决定抛物线与 x 轴的交点个数 b2 -4ac= 0 时,与 x 轴有唯一的交点(顶点); b2 -4ac>0 时,与 x 轴有􀃊􀁉􀁘　 两个　 交点; b2 -4ac<0 时,与 x 轴没有交点 特殊 关系 先把含 a、b、c 的项移到等式(或不等式)的一边; 看到 2a+b,比较- b 2a 和 1 的大小;看到 2a-b,比较- b 2a 与-1 的大小; 看到 a+b+c,令 x= 1,看 y 的值;看到 a-b+c,令 x= -1,看 y 的值; 看到 4a+2b+c,令 x= 2,看 y 的值;看到 4a-2b+c,令 x= -2,看 y 的值 典例题图 对点练习 典例　 已知二次函数 y=ax2 +bx+c a≠0( ) 图象的对称轴为直线 x= -1,与 x 轴的一个交点 A 的坐标为 (1,0),其图象如图所示,下列结论: ①b2 -4ac>0; ②abc>0; ③a-b+c<0; ④a+b= -c; ⑤2a+b= 0; ⑥一元二次方程 ax2 +bx+c= 0 的两个根是 x1 = -3,x2 = 1; ⑦ 4a-2b+c>0; ⑧当 y>0 时,-3<x<1; ⑨当 x>0 时,y 随 x 的增大而增大; ⑩若点 D( - 9 2 ,y1)、E( 3 2 ,y2)是函数图象上的两点,则 y1 <y2 . 其中正确的是　 　 　 　 　 　 (填序号) . 拓展设问 在同一平面直角坐标系中,根据母题 y=ax2 +bx+c 的图象,判断 y = ax+b 和y= c x 的图象 大致是 (　 　 ) 温馨提示:请完成分层作业本 P41-44 习题 35 4,∴ mn= 2, ∴ k-3 =mn= 2,∴ k= 5. 要点 3　 典例　 C　 练习 1　 1 ∶2　 练习 2　 12 命题点 19　 二次函数的图象与性质 要点 1　 ①- b 2a 　 ②h　 ③( - b 2a , 4ac-b2 4a )　 ④(h,k)　 ⑤ 4ac-b2 4a ⑥k　 ⑦ 4ac-b2 4a 　 ⑧k　 ⑨减小　 􀃊􀁉􀁒增大　 􀃊􀁉􀁓增大　 􀃊􀁉􀁔减小 典例　 (1)0,-6,-8,-6,0 ①y= 2(x+1) 2 -8;②-1;( -1,-8); ③( -3,0),(1,0),(0,-6) (2)画出函数图象略. ①上;②减小;③x<-3 或 x>1;x= -3 或 x= 1;-3<x<1; ④-1,-8;⑤-8≤y<10 练习 1　 D　 【解析】∵ y= 2 3 ( x-1) 2 +c,∴ 抛物线开口向上,对称 轴是直线 x= 1,∴ 当 x<1 时,y 随 x 的增大而减小,∵ ( 5 2 ,y3 ) 关于直线 x= 1 的对称点是( - 1 2 ,y3 ),且-2<- 1 2 <0<1,∴ y1 > y3 >y2 . 练习 2　 m≥1 或 m≤0　 【解析】二次函数 y = x2 -2x+1 图象的对 称轴为直线 x= - b 2a = 1,若 m-1<x1 <m,m+1<x2 <m+2 时,都有 y1 ≠y2 ,直线 x= x1 +x2 2 表示 x1 与 x2 对应点连线的中垂线,根据 题意则有 m< x1 +x2 2 <m+1,∴ 要使 y1 ≠y2 ,则即 m≥1 或 m+1≤ 1,解得 m≥1 或 m≤0. 要点 2　 􀃊􀁉􀁕y 轴　 􀃊􀁉􀁖左　 􀃊􀁉􀁗右　 􀃊􀁉􀁘两个 典例　 ①③④⑥⑨　 拓展设问 A　 命题点 20　 二次函数表达式的确定 及图象的平移 要点 1　 典例 1. 解:抛物线的表达式为 y= -x2 +2x+3. 2. 解:抛物线的表达式为 y= -2(x-2) 2 +4. 3. 解:二次函数的表达式为 y= -x2 -2x+3. 4. 解:抛物线的表达式为 y= 2x2 -8x+6. 要点 2　 ①不变;②不变 典例　 y= 3(x-1) 2 +1　 变式 1 A　 变式 2 A 命题点 21　 二次函数图象与性质的应用 要点 1　 ①两个不相等　 ②两个相等　 ③无 典例　 (1)x1 = -1,x2 = 3;(2)x1 = 0,x2 = 2;(3)2 要点 2　 ④x<x1 或 x>x2 　 ⑤x1 <x<x2 典例　 -1<x<3　 变式 x<0 或 x>2 要点 3　 典例　 解:(1)(1,2),(5,18); (2)联立 y= kx-2, y= x2 -2x+3,{ 得方程 kx-2 = x 2 -2x+3, 整理,得 x2 -(k+2)x+5 = 0, ∵ 直线和抛物线只有一个交点, ∴ Δ= [ -(k+2)] 2 -4×1×5 = 0,解得 k= -2±2 5 . ∴ 当 k= -2±2 5时,直线与抛物线只有一个交点. 命题点 22　 二次函数的实际应用 类型 1　 典例　 (300- 10x);( 20+x);( 300 - 10x) ( 20 +x);- 10x2 + 100x+ 6 000;0≤ x≤30;5;65;6 250; ( 300 + 20x); ( 20 - x); ( 300 + 20x)(20-x);-20x2 +100x+6 000;0≤x≤20;当 x = 2. 5 时,y 取 得最大值,即定价为 57. 5 元时,利润最大,最大利润为 6 125 元;∵ 6 250>6 125,∴ 当定价为 65 元时,即涨价 5 元时利润最 大,最大利润为 6 250 元 练习　 解:(1)由题知, 当每盆租金上涨 x 元时,少租出 5x 盆的盆栽, 所以该种盆栽每天租出的数量为(95-5x)盆. (2)当上涨的租金大于等于 0 元且小于 2 元时,该公司每天租 出该种盆栽的总收益随租金的增大而增大; 当上涨的租金大于 2 元且小于等于 19 元时,该公司每天租出 该种盆栽的总收益随租金的增大而减小; 当上涨的租金为 2 元时,该公司每天租出该种盆栽的总收益取 得最大值. 理由:设该种盆栽每盆租金上涨 m 元,公司每天租出该种盆栽 的总收益为 w 元, 则 w= (15+m)(95-5m)= -5m2 +20m+1 425, ∵ 95-5m≥0,∴ m≤19. 又∵ - 20 2×( -5) = 2,且-5<0, ∴ 当 0≤m<2 时,w 随 m 的增大而增大; 当 2<m≤19 时,w 随 m 的增大而减小; 当 m= 2 时,w 取得最大值. 类型 2　 典例　 D 练习　 解:(1)设 AB= t m,则 AD=BC= (100-2t)m, 根据题意得 t(100-2t)= 450,解得 t1 = 5,t2 = 45, 当 t= 5 时,100-2t= 90>20,不符合题意,舍去; 当 t= 45 时,100-2t= 10, 答:所利用旧墙 AD 的长为 10 m; (2)设 AD=BC= x m,矩形菜园 ABCD 面积为 S m2 , 则 S= x· 100-x 2 = - 1 2 (x-50) 2 +1 250, 当 a≥50 时,∵ - 1 2 <0,∴ 当 x= 50 时,S 的最大值为 1 250; 当 0<a<50 时,即当 0<x≤a 时,S 随 x 的增大而增大,则当 x = a 时,S 的最大值为 50a- 1 2 a2 , 综上所述,当 a≥ 50 时,矩形菜园 ABCD 面积的最大值为 1 250 m2 ;当 0 < a < 50 时,矩形菜园 ABCD 面积的最大值为 (50a- 1 2 a2 )m2 . 类型 3　 典例　 解:∵ OC=OB= 8 m,∴ C(0,8),B(8,0), ∵ OA= 2 m,DA⊥OB,D 为最高点, ∴ 抛物线的对称轴为直线 x= 2, 解法一:根据题意,设抛物线的表达式为 y=a(x-2)2 +k(a≠0), 将点 C(0,8),B(8,0)代入,得 4a+k= 8, 36a+k= 0,{ 解得 a= - 1 4 , k= 9, { ∴ 抛物线的表达式为 y= - 1 4 (x-2) 2 +9, ∵ - 1 4 <0,∴ 当 x= 2 时,y 有最大值,最大值为 9,即 AD= 9 m. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 831