3.18 反比例函数的应用-【一战成名新中考】2025福建中考数学·一轮复习·基础夯实练（讲册）

⑧二、四　 ⑨二、三、四　 􀃊􀁉􀁒一、三　 􀃊􀁉􀁓增大　 􀃊􀁉􀁔二、四 􀃊􀁉􀁕减小　 􀃊􀁉􀁖正半轴　 􀃊􀁉􀁗一、二　 􀃊􀁉􀁘负半轴　 􀃊􀁉􀁙三、四 􀃊􀁉􀁚(0,b)　 􀃊􀁉􀁛( - b k ,0)　 􀃊􀁊􀁒<　 􀃊􀁊􀁓> 典例　 (1)m≠-1; 变式 1　 (2) -3; 变式 m>1 (3) -1<m≤1;(4)p<q; 变式 m<-1 要点 2　 典例　 (1)3;(2)2;(3)4;(4)y= 1 2 x+ 5 2 拓展设问 1 y= 1 2 x-1; 拓展设问 2 y= -2x 要点 3　 􀃊􀁊􀁔相反数　 􀃊􀁊􀁕相反数 典例　 y= 2x-1　 练习　 y2 = 2x-3 命题点 14　 一次函数图象与性质的应用 要点 1　 典例　 x= 6;x= 5　 练习　 C　 要点 2　 典例　 (1)2; 变式 5　 (2)( 1 2 ,0), 9 4 命题点 15　 一次函数的实际应用 类型 1 典例　 (1)x;(100-x);70x+35(100-x);35x+3 500;(100-70) x+ (75-35)(100-x);-10x+4 000 (2)35x+3 500≤6 300;0≤x≤80;0;3 500;0;4 000;购进这批 服装的最低费用为 3 500 元,这批服装全部售出的最大利润为 4 000 元 练习　 解:(1)设购买绿萝 x 盆,吊兰 y 盆, 依题意得: x+y= 46, 9x+6y= 390,{ 解得: x= 38, y= 8.{ ∵ 8×2 = 16,16<38, ∴ x= 38, y= 8{ 符合题意. 答:购买绿萝 38 盆,吊兰 8 盆; (2)设购买绿萝 m 盆,则购买吊兰(46-m)盆, 依题意得:m≥2(46-m),解得:m≥ 92 3 . 设购买两种绿植的总费用为 w 元,则 w = 9m+ 6( 46-m) = 3m +276, ∵ 3>0,∴ w 随 m 的增大而增大, 又∵ m≥ 92 3 ,且 m 为整数, ∴ 当 m= 31 时,w 取得最小值,最小值= 3×31+276 = 369. 答:购买两种绿植总费用的最小值为 369 元. 类型 2 典例　 (1)12;0. 2;0. 25;0. 2x+12;0. 25x (2)解:当 y= 55 时,A 类:55 = 0. 2x+12,解得 x= 215;B 类:55 = 0. 25x,解得 x= 220,∵ 215<220,∴ B 类划算. (3)解:由 0. 2x+12>0. 25x,解得 x<240;由 0. 2x+12<0. 25x,解 得 x>240;由 0. 2x+12 = 0. 25x,解得 x= 240, ∴ 当通话时间小于 240 min 时,应选择 B 类;当通话时间大于 240 min 时,应选择 A 类;当通话时间为 240 min 时,选择 A,B 类都可以. 练习　 解: ( 1) 由图象可得, 100 瓶洗手液不打折的价格是 2 000 元, ∴ 洗手液的单价为 2 000÷100 = 20(元 /瓶), 答:该种洗手液每瓶的标价为 20 元 /瓶; (2)方案一:y1 与 x 的函数关系式为 y1 = 0. 8×20x= 16x; 方案二:当 x≥100 时,y2 = 100 × 20 + ( x- 100) × 20 × 60% = 12x +800, ∴ y1 = 16x,y2 = 12x+800(x≥100); 当 x= 300 时, y1 = 16x= 16×300 = 4 800(元), y2 = 12×300+800 = 4 400(元), 4 400<4 800, 答:方案二更省钱. 命题点 16　 反比例函数的图象与性质 要点　 ①x≠0　 ②一、三　 ③减小　 ④二、四　 ⑤增大　 ⑥y= ±x　 ⑦原点　 ⑧>　 ⑨<　 􀃊􀁉􀁒<　 􀃊􀁉􀁓< 典例　 -3(答案不唯一)　 练习 1　 C　 练习 2　 C 命题点 17　 反比例函数表达式的确定 及 k 的几何意义 要点　 ①ab　 ② ab x 　 ③ | k | 　 ④2　 ⑤1　 ⑥ | k | 　 ⑦ 1 2 | k | ⑧ | k | 典例　 (1)1;(2)5;(3)2;(4)4;(5)2 命题点 18　 反比例函数的应用 要点 1　 典例　 D 练习 1　 (1)y= 3x+3,y = 6 x ;(2) ①x>1 或-2<x<0;②0<x≤1 或 x≤-2;图象略;(3) 9 2 练习 2　 9 　 【解析】由题意可知,BD∥OC, ∴ △ABD∽ △AOC, ∴ S△ABD S△AOC = ( AB AO ) 2 , ∵ 点 A 在反比例函数 y = 4 x 的图象上, ∴ S△AOC = 2,∵ △ABD 的面积为 1 2 ,∴ AB AO = 1 2 ,∴ OA OB = 2 3 ,如解 图,过点 B 作 BE⊥x 轴,垂足为点 E,∵ AC∥BE,∴ △AOC∽ △BOE,∴ S△AOC S△OBE = ( OA OB )2 = 4 9 ,∴ S△OBE = 9×2 4 = 9 2 ,∴ k = 2S△OBE = 9 2 ×2 = 9. 练习 2 题解图 要点 2　 典例　 (2,1)　 练习　 解:(1)三,k>3; (2)设 A(m,n), ∵ 点 A 与点 B 关于 x 轴对称,点 A 与点 C 关于原点 O 对称, ∴ B(m,-n),C( -m,-n) . ∴ AB= 2n,BC= 2m,BC∥x 轴,AB⊥x 轴, ∴ AB⊥BC. ∵ △ABC 的面积为 4,∴ S△ABC = 1 2 BC·AB = 1 2 2m·2n = 2mn = 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 731 4,∴ mn= 2, ∴ k-3 =mn= 2,∴ k= 5. 要点 3　 典例　 C　 练习 1　 1 ∶2　 练习 2　 12 命题点 19　 二次函数的图象与性质 要点 1　 ①- b 2a 　 ②h　 ③( - b 2a , 4ac-b2 4a )　 ④(h,k)　 ⑤ 4ac-b2 4a ⑥k　 ⑦ 4ac-b2 4a 　 ⑧k　 ⑨减小　 􀃊􀁉􀁒增大　 􀃊􀁉􀁓增大　 􀃊􀁉􀁔减小 典例　 (1)0,-6,-8,-6,0 ①y= 2(x+1) 2 -8;②-1;( -1,-8); ③( -3,0),(1,0),(0,-6) (2)画出函数图象略. ①上;②减小;③x<-3 或 x>1;x= -3 或 x= 1;-3<x<1; ④-1,-8;⑤-8≤y<10 练习 1　 D　 【解析】∵ y= 2 3 ( x-1) 2 +c,∴ 抛物线开口向上,对称 轴是直线 x= 1,∴ 当 x<1 时,y 随 x 的增大而减小,∵ ( 5 2 ,y3 ) 关于直线 x= 1 的对称点是( - 1 2 ,y3 ),且-2<- 1 2 <0<1,∴ y1 > y3 >y2 . 练习 2　 m≥1 或 m≤0　 【解析】二次函数 y = x2 -2x+1 图象的对 称轴为直线 x= - b 2a = 1,若 m-1<x1 <m,m+1<x2 <m+2 时,都有 y1 ≠y2 ,直线 x= x1 +x2 2 表示 x1 与 x2 对应点连线的中垂线,根据 题意则有 m< x1 +x2 2 <m+1,∴ 要使 y1 ≠y2 ,则即 m≥1 或 m+1≤ 1,解得 m≥1 或 m≤0. 要点 2　 􀃊􀁉􀁕y 轴　 􀃊􀁉􀁖左　 􀃊􀁉􀁗右　 􀃊􀁉􀁘两个 典例　 ①③④⑥⑨　 拓展设问 A　 命题点 20　 二次函数表达式的确定 及图象的平移 要点 1　 典例 1. 解:抛物线的表达式为 y= -x2 +2x+3. 2. 解:抛物线的表达式为 y= -2(x-2) 2 +4. 3. 解:二次函数的表达式为 y= -x2 -2x+3. 4. 解:抛物线的表达式为 y= 2x2 -8x+6. 要点 2　 ①不变;②不变 典例　 y= 3(x-1) 2 +1　 变式 1 A　 变式 2 A 命题点 21　 二次函数图象与性质的应用 要点 1　 ①两个不相等　 ②两个相等　 ③无 典例　 (1)x1 = -1,x2 = 3;(2)x1 = 0,x2 = 2;(3)2 要点 2　 ④x<x1 或 x>x2 　 ⑤x1 <x<x2 典例　 -1<x<3　 变式 x<0 或 x>2 要点 3　 典例　 解:(1)(1,2),(5,18); (2)联立 y= kx-2, y= x2 -2x+3,{ 得方程 kx-2 = x 2 -2x+3, 整理,得 x2 -(k+2)x+5 = 0, ∵ 直线和抛物线只有一个交点, ∴ Δ= [ -(k+2)] 2 -4×1×5 = 0,解得 k= -2±2 5 . ∴ 当 k= -2±2 5时,直线与抛物线只有一个交点. 命题点 22　 二次函数的实际应用 类型 1　 典例　 (300- 10x);( 20+x);( 300 - 10x) ( 20 +x);- 10x2 + 100x+ 6 000;0≤ x≤30;5;65;6 250; ( 300 + 20x); ( 20 - x); ( 300 + 20x)(20-x);-20x2 +100x+6 000;0≤x≤20;当 x = 2. 5 时,y 取 得最大值,即定价为 57. 5 元时,利润最大,最大利润为 6 125 元;∵ 6 250>6 125,∴ 当定价为 65 元时,即涨价 5 元时利润最 大,最大利润为 6 250 元 练习　 解:(1)由题知, 当每盆租金上涨 x 元时,少租出 5x 盆的盆栽, 所以该种盆栽每天租出的数量为(95-5x)盆. (2)当上涨的租金大于等于 0 元且小于 2 元时,该公司每天租 出该种盆栽的总收益随租金的增大而增大; 当上涨的租金大于 2 元且小于等于 19 元时,该公司每天租出 该种盆栽的总收益随租金的增大而减小; 当上涨的租金为 2 元时,该公司每天租出该种盆栽的总收益取 得最大值. 理由:设该种盆栽每盆租金上涨 m 元,公司每天租出该种盆栽 的总收益为 w 元, 则 w= (15+m)(95-5m)= -5m2 +20m+1 425, ∵ 95-5m≥0,∴ m≤19. 又∵ - 20 2×( -5) = 2,且-5<0, ∴ 当 0≤m<2 时,w 随 m 的增大而增大; 当 2<m≤19 时,w 随 m 的增大而减小; 当 m= 2 时,w 取得最大值. 类型 2　 典例　 D 练习　 解:(1)设 AB= t m,则 AD=BC= (100-2t)m, 根据题意得 t(100-2t)= 450,解得 t1 = 5,t2 = 45, 当 t= 5 时,100-2t= 90>20,不符合题意,舍去; 当 t= 45 时,100-2t= 10, 答:所利用旧墙 AD 的长为 10 m; (2)设 AD=BC= x m,矩形菜园 ABCD 面积为 S m2 , 则 S= x· 100-x 2 = - 1 2 (x-50) 2 +1 250, 当 a≥50 时,∵ - 1 2 <0,∴ 当 x= 50 时,S 的最大值为 1 250; 当 0<a<50 时,即当 0<x≤a 时,S 随 x 的增大而增大,则当 x = a 时,S 的最大值为 50a- 1 2 a2 , 综上所述,当 a≥ 50 时,矩形菜园 ABCD 面积的最大值为 1 250 m2 ;当 0 < a < 50 时,矩形菜园 ABCD 面积的最大值为 (50a- 1 2 a2 )m2 . 类型 3　 典例　 解:∵ OC=OB= 8 m,∴ C(0,8),B(8,0), ∵ OA= 2 m,DA⊥OB,D 为最高点, ∴ 抛物线的对称轴为直线 x= 2, 解法一:根据题意,设抛物线的表达式为 y=a(x-2)2 +k(a≠0), 将点 C(0,8),B(8,0)代入,得 4a+k= 8, 36a+k= 0,{ 解得 a= - 1 4 , k= 9, { ∴ 抛物线的表达式为 y= - 1 4 (x-2) 2 +9, ∵ - 1 4 <0,∴ 当 x= 2 时,y 有最大值,最大值为 9,即 AD= 9 m. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 831 基础夯实练·福建数学 第 三 章 　 函 　 数 命题点 18　 反比例函数的应用(必考) 　 问题启发思维 问题 1:在同一坐标系中,函数 y= k1 x 和 y = k2x+b 的图象大致如图所示,则 k1,k2,b 各应满足什么 条件? 问题 2:在问题 1 的基础上,试着给 k1,k2,b 赋值,设计出满足条件的反比例函数和一次函数,并 写出当一次函数的值大于反比例函数的值时,x 的取值范围. 问题 3:如图,正方形的中心在平面直角坐标系的原点处,正方形的边与坐标轴平行,点 P(3a,a) 是反比例函数的图象与正方形的交点,图中阴影部分面积与反比例函数的表达式有什么 关系? 问题 4:在物理中,我们知道,在阻力和阻力臂一定的情况下,动力臂越长就越省力,请用反比例 函数的知识对其进行解释. 要点 1 反比例函数与一次函数 1. 判断同一坐标系中反比例函数与一次函数图象 方法一:观察法 函数类型 k,k′的符号相同(kk′>0) k,k′的符号相反(kk′<0) 结论 反比例函数 y= k x 与正比例函 数 y= k′x ①k,k′同号,必有两交􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 点􀪍,且两交点关于原 点成中心对称; ②k,k′异号,无交点 64 基础夯实练·福建数学 第 三 章 　 函 　 数 续表 反比例函数 y= k x 与一次函数 y= k′x+b ① k, k′ 同号, 必 有 两􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 交点􀪍􀪍; ②k,k′异号,交点可以 有两个、一个、零个 方法二:假设法. 假设反比例函数的表达式与图象吻合,即可确定 k 的取值范围,由此再根据 k 的取值范围确定一次函数图象,看是否与题图矛盾. 2. 已知两个交点坐标(其中一个交点横坐标或纵坐标用字母表示)求两个函数表达式 (1)先将已知横、纵坐标的交点的坐标代入反比例函数表达式,求出反比例函数表达式; (2)再将另一个交点已知的横坐标或纵坐标代入反比例函数表达式,求出该交点坐标; (3)最后将两个交点的坐标代入一次函数表达式,求出一次函数表达式. 注:有时也会根据三角形面积求出交点坐标,再按照以上步骤完成. 3. 比较两函数值大小,求自变量的取值范围 (1)找交点; (2)分区:过两函数图象的交点分别作 y 轴的平行线,连同 y 轴,将坐标 平面分为四部分,如图,即Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ; (3)观察函数图象找答案:根据图象在上方的函数值总比图象在下方的􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 函数值大􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍,在各区域内找相应的 x 的取值范围: ①Ⅰ,Ⅲ区域内: k x >ax+b,自变量的取值范围为 x<xB 或 0<x<xA; ②Ⅱ,Ⅳ区域内:ax+b> k x ,自变量的取值范围为 xB<x<0 或 x>xA . 4. 求图形面积 原始 图形 求 S△AOB 求 S△ADB 求 S△AOB 解 法 一 以 OC 为公共底边, S△AOB =S△BOC+S△AOC 以 CD 为公共底边, S△ADB =S△ADC+S△BDC = 1 2 CD· | xB-xA | 以 OC 或 OD 为公共底边, S△AOB = S△BOC + S△AOC = S△AOD +S△BOD 74 基础夯实练·福建数学 第 三 章 　 函 　 数 续表 解 法 二 以OB 为底边,过点 A 作 AC ⊥x 轴,S△AOB = 1 2 OB·AC 以 BD 为底边,过点 A 作 AE⊥BD 交 BD 的延长线 于点 E,S△ADB = 1 2 DB·AE 过点 A,B 分别作 x 轴,y 轴的 垂线交于点E,利用整体思想, S△AOB = S△ABE - 2 × | k | 2 - S矩形OGEF =S△ABE- | k | -S矩形OGEF 练习 1 题图 练习 2 题图 对点练习 典例　 [北师九上 P145 第 6 题]函数 y=ax-a 与 y= a x (a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是 (　 　 ) 练习 1　 [人教九下 P9 第 5 题改编]已知一次函数 y = kx+b 与反比例函数 y = m x 的图象的两个交点为 A(1,6),B( -2,n) . (1)一次函数的表达式为　 　 　 　 ,反比例函数的表达式为　 　 　 　 ; (2)如图,在平面直角坐标系中画出 y = kx+b 与 y = m x 的图象,并通 过观察图象直接写出: ①不等式 kx+b>m x 的解集为　 　 　 　 ; ②不等式 kx+b≤m x 的解集为　 　 　 ; (3)连接 AO,BO,△AOB 的面积为　 　 　 　 . 练习 2　 [2024 莆田一检]如图,过原点的直线与反比例函数 y = 4 x 和 y = k x 的图象在第一象限内分别交于点 A,B. 过点 A 作 AC⊥x 轴于点 C,过点 B 作 BD⊥ AC,交 CA 的延长线于点 D. 若△ABD 的面积为 1 2 ,则 k= 　 　 　 . 84 基础夯实练·福建数学 第 三 章 　 函 　 数 要点 2 反比例函数与几何图形(8 年 6 考) 典例题图 练习题图 对点练习 典例　 [2024 福建 15 题 4 分]如图,在平面直角坐标系 xOy 中,反比例函数 y = k x 的图 象与☉O 交于 A,B 两点,且点 A,B 都在第一象限. 若 A( 1,2),则点 B 的坐标 为　 　 　 　 . 练习　 [2024 龙岩一检]如图,反比例函数 y= k-3 x 的图象的一支位于第一象限. (1)该函数图象的另一支在第　 　 　 象限,k 的取值范围是　 　 　 ; (2)点 A 在反比例函数的图象上,点 A 关于 x 轴的对称点为点 B,点 A 关于原点的对称点为点 C, 若△ABC 的面积为 4,求 k 的值. ⇒反比例函数对称性问题专题见专题培优练 P4 要点 3 反比例函数的实际应用(跨学科) ◇实际问题中常见的反比例函数关系 (1)行程问题:路程一定时,速度=路程 时间 ;(2)工程问题:工作量一定时,工作效率= 工作量 工作时间 ; (3)压强问题:压力一定时,压强= 压力 受力面积 ;(4)电学问题:电压一定时,电阻=电压 电流 ; (5)密度问题:质量一定时,密度=质量 体积 ; (6)其他问题:当关系式为 C=A·B,且 C 为常数时,A 与 B 成反比例关系. 注:在日常生活中,成反比例函数关系都是 k>0 的情况,且图象都只是分布在第一象限. 对点练习 典例　 [人教九下 P16 第 5 题改编]甲、乙两地相距 200 km,则汽车从甲地到乙地所用的时间 y(h)与汽 车的平均速度 x(km / h)之间的函数表达式为 (　 　 ) A. y= 200x　 　 　 　 　 B. x= 200y　 　 　 　 　 C. y= 200 x 　 　 　 　 　 D. y-200 = x 练习 1　 如图,一长方体砖块的 A,B 两个面的面积比是 2 ∶1. 若将 A,B 两个面分别朝下,与地面紧 贴,则地面受到的压强之比是　 　 　 . 练习 1 题图 　 　 　 　 练习 2 题图 练习 2　 [人教九下 P17 第 8 题改编]已知蓄电池的电压为定值,使用蓄电池时,电流 I(单位:A)与电阻 R(单位:Ω)是反比例函数关系,它的图象如图所示. 当蓄电池的电阻为 3 Ω 时,电流为　 　 　 A. 温馨提示:请完成分层作业本 P37-40 习题 94