3.16 反比例函数的图象与性质-【一战成名新中考】2025福建中考数学·一轮复习·基础夯实练（讲册）

基础夯实练·福建数学 第 三 章 　 函 　 数 命题点 16　 反比例函数的图象与性质 (必考,仅 2022 年单独设题考查) 　 问题启发思维 问题 1:反比例函数 y= k x 的图象可能与 x 轴相交吗? 可能与 y 轴相交吗? 当 x 的值增大时,函数 图象与 x 轴的距离是如何变化的? k>0 与 k<0 时,这种变化有什么区别? 问题 2:结合问题 1,写出一个反比例函数,画出图象,并描述出在每个象限内,随着 x 的增大,y 如 何变化? 要点 反比例函数的概念、图象与性质 1. 反比例函数的概念及其表达式 (1)概念:一般地,形如 y= k x (k 为常数,k≠0)的函数叫作反比例函数,自变量 x 的取值范围 是①　 x≠0　 ; (2)表达式的三种形式(k 为常数,k≠0):①y= k x ;②y= kx-1;③xy= k. 2. 反比例函数的图象与性质(反比例函数 图象 →双曲线)(2022. 14 考查) 图象 性质 表达式 (1)图象分别位于第② 一、三 　 象限; (2)增减性:在每一个象限内,y 随 x 的增大而③　 减小　 (1)图象分别位于第④ 二、四　 象限; (2)增减性:在每一个象限内,y 随 x 的增大而⑤　 增大　 共性: (1)图象关于直线 ⑥　 　 　 成轴对 称;关于⑦　 原点　 成中心对称; (2)图象上任意一点 P(x,y) 的横、纵 坐标之积均为 k, 即 xy= k y= k x (k⑧　 >　 0) y= k x (k⑨ <　 0) 14 基础夯实练·福建数学 第 三 章 　 函 　 数 《负面清单》反比例函数中出现反比例函数 y = 1 x 图象的平移问题. 示例:y = 1 x-1 与 y = 1 x 的图象间的 关系. 3. 反比例函数图象上点的纵坐标大小比较 解法一:代入法. 已知函数表达式时,将点的横坐标代入表达式,计算出对 应的纵坐标进行比较; 解法二:结合图象所在象限及增减性比较. 在不同象限函数图象上的点,x 轴上方的点的纵坐标大,x 轴下方的点的纵坐标小;在同一象限函数图象 上的点,直接通过增减性比较; 解法三:图象法. 画出函数图象,确定点在图象上的大致位置,位置高的点纵坐标大. 如图,点(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)在反比例函数 y= 1 x 的图象上,若 x1 <0<x2 <x3,则 y1 ⑩　 <　 y3􀃊􀁉􀁓　 <　 y2 . 对点练习 典例　 开放性设问 [2022 福建 14 题 4 分]已知反比例函数 y = k x 的图象分别位于第二、第四象限,则实 数 k 的值可以是　 　 　 　 　 　 . (只需写出一个符合条件的实数) 练习 1　 [2024 三明一检]在平面直角坐标系中,反比例函数 y = k x (k≠0)的图象如图所示,点 A,B 不 在该反比例函数的图象上,则 k 的值可以为 (　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 练习 1 题图 A. -1 B. -2 C. -3 D. -4 练习 2　 [2024 济宁]已知点 A( -2,y1 ),B( -1,y2 ),C(3,y3 )在反比例函数 y = k x (k<0)的图象上,则 y1,y2,y3 的大小关系是 (　 　 ) A. y1 <y2 <y3 B. y2 <y1 <y3 C. y3 <y1 <y2 D. y3 <y2 <y1 温馨提示:请完成分层作业本 P33-34 习题 24 ⑧二、四　 ⑨二、三、四　 􀃊􀁉􀁒一、三　 􀃊􀁉􀁓增大　 􀃊􀁉􀁔二、四 􀃊􀁉􀁕减小　 􀃊􀁉􀁖正半轴　 􀃊􀁉􀁗一、二　 􀃊􀁉􀁘负半轴　 􀃊􀁉􀁙三、四 􀃊􀁉􀁚(0,b)　 􀃊􀁉􀁛( - b k ,0)　 􀃊􀁊􀁒<　 􀃊􀁊􀁓> 典例　 (1)m≠-1; 变式 1　 (2) -3; 变式 m>1 (3) -1<m≤1;(4)p<q; 变式 m<-1 要点 2　 典例　 (1)3;(2)2;(3)4;(4)y= 1 2 x+ 5 2 拓展设问 1 y= 1 2 x-1; 拓展设问 2 y= -2x 要点 3　 􀃊􀁊􀁔相反数　 􀃊􀁊􀁕相反数 典例　 y= 2x-1　 练习　 y2 = 2x-3 命题点 14　 一次函数图象与性质的应用 要点 1　 典例　 x= 6;x= 5　 练习　 C　 要点 2　 典例　 (1)2; 变式 5　 (2)( 1 2 ,0), 9 4 命题点 15　 一次函数的实际应用 类型 1 典例　 (1)x;(100-x);70x+35(100-x);35x+3 500;(100-70) x+ (75-35)(100-x);-10x+4 000 (2)35x+3 500≤6 300;0≤x≤80;0;3 500;0;4 000;购进这批 服装的最低费用为 3 500 元,这批服装全部售出的最大利润为 4 000 元 练习　 解:(1)设购买绿萝 x 盆,吊兰 y 盆, 依题意得: x+y= 46, 9x+6y= 390,{ 解得: x= 38, y= 8.{ ∵ 8×2 = 16,16<38, ∴ x= 38, y= 8{ 符合题意. 答:购买绿萝 38 盆,吊兰 8 盆; (2)设购买绿萝 m 盆,则购买吊兰(46-m)盆, 依题意得:m≥2(46-m),解得:m≥ 92 3 . 设购买两种绿植的总费用为 w 元,则 w = 9m+ 6( 46-m) = 3m +276, ∵ 3>0,∴ w 随 m 的增大而增大, 又∵ m≥ 92 3 ,且 m 为整数, ∴ 当 m= 31 时,w 取得最小值,最小值= 3×31+276 = 369. 答:购买两种绿植总费用的最小值为 369 元. 类型 2 典例　 (1)12;0. 2;0. 25;0. 2x+12;0. 25x (2)解:当 y= 55 时,A 类:55 = 0. 2x+12,解得 x= 215;B 类:55 = 0. 25x,解得 x= 220,∵ 215<220,∴ B 类划算. (3)解:由 0. 2x+12>0. 25x,解得 x<240;由 0. 2x+12<0. 25x,解 得 x>240;由 0. 2x+12 = 0. 25x,解得 x= 240, ∴ 当通话时间小于 240 min 时,应选择 B 类;当通话时间大于 240 min 时,应选择 A 类;当通话时间为 240 min 时,选择 A,B 类都可以. 练习　 解: ( 1) 由图象可得, 100 瓶洗手液不打折的价格是 2 000 元, ∴ 洗手液的单价为 2 000÷100 = 20(元 /瓶), 答:该种洗手液每瓶的标价为 20 元 /瓶; (2)方案一:y1 与 x 的函数关系式为 y1 = 0. 8×20x= 16x; 方案二:当 x≥100 时,y2 = 100 × 20 + ( x- 100) × 20 × 60% = 12x +800, ∴ y1 = 16x,y2 = 12x+800(x≥100); 当 x= 300 时, y1 = 16x= 16×300 = 4 800(元), y2 = 12×300+800 = 4 400(元), 4 400<4 800, 答:方案二更省钱. 命题点 16　 反比例函数的图象与性质 要点　 ①x≠0　 ②一、三　 ③减小　 ④二、四　 ⑤增大　 ⑥y= ±x　 ⑦原点　 ⑧>　 ⑨<　 􀃊􀁉􀁒<　 􀃊􀁉􀁓< 典例　 -3(答案不唯一)　 练习 1　 C　 练习 2　 C 命题点 17　 反比例函数表达式的确定 及 k 的几何意义 要点　 ①ab　 ② ab x 　 ③ | k | 　 ④2　 ⑤1　 ⑥ | k | 　 ⑦ 1 2 | k | ⑧ | k | 典例　 (1)1;(2)5;(3)2;(4)4;(5)2 命题点 18　 反比例函数的应用 要点 1　 典例　 D 练习 1　 (1)y= 3x+3,y = 6 x ;(2) ①x>1 或-2<x<0;②0<x≤1 或 x≤-2;图象略;(3) 9 2 练习 2　 9 　 【解析】由题意可知,BD∥OC, ∴ △ABD∽ △AOC, ∴ S△ABD S△AOC = ( AB AO ) 2 , ∵ 点 A 在反比例函数 y = 4 x 的图象上, ∴ S△AOC = 2,∵ △ABD 的面积为 1 2 ,∴ AB AO = 1 2 ,∴ OA OB = 2 3 ,如解 图,过点 B 作 BE⊥x 轴,垂足为点 E,∵ AC∥BE,∴ △AOC∽ △BOE,∴ S△AOC S△OBE = ( OA OB )2 = 4 9 ,∴ S△OBE = 9×2 4 = 9 2 ,∴ k = 2S△OBE = 9 2 ×2 = 9. 练习 2 题解图 要点 2　 典例　 (2,1)　 练习　 解:(1)三,k>3; (2)设 A(m,n), ∵ 点 A 与点 B 关于 x 轴对称,点 A 与点 C 关于原点 O 对称, ∴ B(m,-n),C( -m,-n) . ∴ AB= 2n,BC= 2m,BC∥x 轴,AB⊥x 轴, ∴ AB⊥BC. ∵ △ABC 的面积为 4,∴ S△ABC = 1 2 BC·AB = 1 2 2m·2n = 2mn = 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 731