3.15 一次函数的实际应用-【一战成名新中考】2025福建中考数学·一轮复习·基础夯实练（讲册）

⑧二、四　 ⑨二、三、四　 􀃊􀁉􀁒一、三　 􀃊􀁉􀁓增大　 􀃊􀁉􀁔二、四 􀃊􀁉􀁕减小　 􀃊􀁉􀁖正半轴　 􀃊􀁉􀁗一、二　 􀃊􀁉􀁘负半轴　 􀃊􀁉􀁙三、四 􀃊􀁉􀁚(0,b)　 􀃊􀁉􀁛( - b k ,0)　 􀃊􀁊􀁒<　 􀃊􀁊􀁓> 典例　 (1)m≠-1; 变式 1　 (2) -3; 变式 m>1 (3) -1<m≤1;(4)p<q; 变式 m<-1 要点 2　 典例　 (1)3;(2)2;(3)4;(4)y= 1 2 x+ 5 2 拓展设问 1 y= 1 2 x-1; 拓展设问 2 y= -2x 要点 3　 􀃊􀁊􀁔相反数　 􀃊􀁊􀁕相反数 典例　 y= 2x-1　 练习　 y2 = 2x-3 命题点 14　 一次函数图象与性质的应用 要点 1　 典例　 x= 6;x= 5　 练习　 C　 要点 2　 典例　 (1)2; 变式 5　 (2)( 1 2 ,0), 9 4 命题点 15　 一次函数的实际应用 类型 1 典例　 (1)x;(100-x);70x+35(100-x);35x+3 500;(100-70) x+ (75-35)(100-x);-10x+4 000 (2)35x+3 500≤6 300;0≤x≤80;0;3 500;0;4 000;购进这批 服装的最低费用为 3 500 元,这批服装全部售出的最大利润为 4 000 元 练习　 解:(1)设购买绿萝 x 盆,吊兰 y 盆, 依题意得: x+y= 46, 9x+6y= 390,{ 解得: x= 38, y= 8.{ ∵ 8×2 = 16,16<38, ∴ x= 38, y= 8{ 符合题意. 答:购买绿萝 38 盆,吊兰 8 盆; (2)设购买绿萝 m 盆,则购买吊兰(46-m)盆, 依题意得:m≥2(46-m),解得:m≥ 92 3 . 设购买两种绿植的总费用为 w 元,则 w = 9m+ 6( 46-m) = 3m +276, ∵ 3>0,∴ w 随 m 的增大而增大, 又∵ m≥ 92 3 ,且 m 为整数, ∴ 当 m= 31 时,w 取得最小值,最小值= 3×31+276 = 369. 答:购买两种绿植总费用的最小值为 369 元. 类型 2 典例　 (1)12;0. 2;0. 25;0. 2x+12;0. 25x (2)解:当 y= 55 时,A 类:55 = 0. 2x+12,解得 x= 215;B 类:55 = 0. 25x,解得 x= 220,∵ 215<220,∴ B 类划算. (3)解:由 0. 2x+12>0. 25x,解得 x<240;由 0. 2x+12<0. 25x,解 得 x>240;由 0. 2x+12 = 0. 25x,解得 x= 240, ∴ 当通话时间小于 240 min 时,应选择 B 类;当通话时间大于 240 min 时,应选择 A 类;当通话时间为 240 min 时,选择 A,B 类都可以. 练习　 解: ( 1) 由图象可得, 100 瓶洗手液不打折的价格是 2 000 元, ∴ 洗手液的单价为 2 000÷100 = 20(元 /瓶), 答:该种洗手液每瓶的标价为 20 元 /瓶; (2)方案一:y1 与 x 的函数关系式为 y1 = 0. 8×20x= 16x; 方案二:当 x≥100 时,y2 = 100 × 20 + ( x- 100) × 20 × 60% = 12x +800, ∴ y1 = 16x,y2 = 12x+800(x≥100); 当 x= 300 时, y1 = 16x= 16×300 = 4 800(元), y2 = 12×300+800 = 4 400(元), 4 400<4 800, 答:方案二更省钱. 命题点 16　 反比例函数的图象与性质 要点　 ①x≠0　 ②一、三　 ③减小　 ④二、四　 ⑤增大　 ⑥y= ±x　 ⑦原点　 ⑧>　 ⑨<　 􀃊􀁉􀁒<　 􀃊􀁉􀁓< 典例　 -3(答案不唯一)　 练习 1　 C　 练习 2　 C 命题点 17　 反比例函数表达式的确定 及 k 的几何意义 要点　 ①ab　 ② ab x 　 ③ | k | 　 ④2　 ⑤1　 ⑥ | k | 　 ⑦ 1 2 | k | ⑧ | k | 典例　 (1)1;(2)5;(3)2;(4)4;(5)2 命题点 18　 反比例函数的应用 要点 1　 典例　 D 练习 1　 (1)y= 3x+3,y = 6 x ;(2) ①x>1 或-2<x<0;②0<x≤1 或 x≤-2;图象略;(3) 9 2 练习 2　 9 　 【解析】由题意可知,BD∥OC, ∴ △ABD∽ △AOC, ∴ S△ABD S△AOC = ( AB AO ) 2 , ∵ 点 A 在反比例函数 y = 4 x 的图象上, ∴ S△AOC = 2,∵ △ABD 的面积为 1 2 ,∴ AB AO = 1 2 ,∴ OA OB = 2 3 ,如解 图,过点 B 作 BE⊥x 轴,垂足为点 E,∵ AC∥BE,∴ △AOC∽ △BOE,∴ S△AOC S△OBE = ( OA OB )2 = 4 9 ,∴ S△OBE = 9×2 4 = 9 2 ,∴ k = 2S△OBE = 9 2 ×2 = 9. 练习 2 题解图 要点 2　 典例　 (2,1)　 练习　 解:(1)三,k>3; (2)设 A(m,n), ∵ 点 A 与点 B 关于 x 轴对称,点 A 与点 C 关于原点 O 对称, ∴ B(m,-n),C( -m,-n) . ∴ AB= 2n,BC= 2m,BC∥x 轴,AB⊥x 轴, ∴ AB⊥BC. ∵ △ABC 的面积为 4,∴ S△ABC = 1 2 BC·AB = 1 2 2m·2n = 2mn = 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 731 基础夯实练·福建数学 第 三 章 　 函 　 数 命题点 15　 一次函数的实际应用 (8 年 3 考,均为费用、利润问题) 　 问题启发思维 背景:福建是 “万里茶道”的起点,让世界散发中国茶香. 现某茶具商城计划批发 A、B 两种茶具. 问题 1:A 种茶具每套 50 元,B 种茶具每套 100 元. 若要购进 100 套,预算为 8 000 元,那么购买了 A、B 两种茶具各多少套? 问题 2:经过一段时间的销售后发现喜欢 B 种茶具的顾客多于 A 种茶具,请设计一种最省钱的购 买方案,并求出购买的总费用? 问题 3:将问题 1 和问题 2 中的条件更改为“购买 A 种茶具 1 套和 B 种茶具 2 套,则需要 250 元; 若购买 A 种茶具 3 套和 B 种茶具 4 套,则需要 600 元”那么购买了 A、B 两种茶具各多 少套? 问题 4:通过日常生活中购买商品时可能出现的情况,你还能想到哪些问法呢? 自己设计并解答 一下吧! 类型 1　 费用、利润最值问题(2022. 22,2021. 20,2020. 20 考查) ◆解题思路:明确等量关系式→确定函数关系式→确定自变量取值范围→由函数增减性确定 最值. 典例　 某服装店购进甲、乙两种服装,甲种服装进价为 70 元 /件,市场售价为 100 元 /件,乙种服 装进价为 35 元 /件,市场售价为 75 元 /件. 若该店决定用不多于 6 300 元购进这两种服装共 100 件,并全部售出. (1)请分别写出购进总费用 y(单位:元)、所获利润 w(单位:元)与购进甲种服装数量 x(单位: 件)之间的函数关系式; (2)请求出购进这批服装的最低费用和这批服装全部售出的最大利润. 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋解题步骤: (1)设:由题意知,购进甲种服装　 x　 件,则购进乙种服装　 (100-x) 　 件; 列一次函数关系式:y= 　 70x+35(100-x) 　 = 　 35x+3 500　 ; w= 　 (100-70)x+(75-35)(100-x) 　 = 　 -10x+4 000　 ; (2) 确定 x 的取值范围:由 “用不多于 6 300 元购进这两种服装共 100 件􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍” 可得不等式: 　 35x+3 500≤6 300　 ,且 0≤x≤100,解得　 0≤x≤80　 ;(根据限定条件列出不等式) 判断 y,w 随 x 增大时的变化情况:∵ 35>0,-10<0, ∴ y 随 x 的增大而增大;w 随 x 的增大而减小;(判断函数增减性) 确定最值:当 x= 　 0　 时,y 取得最小值,此时 y= 　 3 500　 ; 当 x= 　 0　 时,w 取得最大值,此时 w= 　 4 000　 . 答:　 购进这批服装的最低费用为 3 500 元,这批服装全部售出的最大利润为 4 000 元　 . 83 基础夯实练·福建数学 第 三 章 　 函 　 数 练习　 [2022 福建 22 题 10 分]在学校开展“劳动创造美好生活”主题系列活动中,八年级(1)班负 责校园某绿化角的设计、种植与养护. 同学们约定每人养护一盆绿植,计划购买绿萝和吊兰两 种绿植共 46 盆,且绿萝盆数不少于吊兰盆数的 2 倍. 已知绿萝每盆 9 元,吊兰每盆 6 元. (1)采购组计划将预算经费 390 元全部用于购买绿萝和吊兰,问可购买绿萝和吊兰各多少盆? (2)规划组认为有比 390 元更省钱的购买方案,请求出购买两种绿植总费用的最小值. 解:(1)设购买绿萝 x 盆,吊兰 y 盆, 依题意得: x+y=46, 9x+6y=390,{ 解得: x=38, y=8.{ ∵8×2=16,16<38, ∴ x=38, y=8{ 符合题意. 答:购买绿萝 38 盆,吊兰 8 盆; (2)设购买绿萝 m 盆,则购买吊兰(46-m)盆, 依题意得:m≥2(46-m),解得:m≥92 3 . 设购买两种绿植的总费用为 w 元,则 w=9m+6(46-m)= 3m+276, ∵3>0,∴w 随 m 的增大而增大, 又∵m≥92 3 ,且 m 为整数, ∴当 m=31 时,w 取得最小值,最小值=3×31+276=369. 答:购买两种绿植总费用的最小值为 369 元. 类型 2　 方案择优问题 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋◆问题考查方式及解决方法: ①当给定数量(即 x 值),比较哪个方案花费(即 y 值)更少时,直接将 x 值代入表达式􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍,比较 y 值 大小; ②当给定费用(即 y 值),比较哪个方案数量(即 x 值)更多时,直接将 y 值代入表达式􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍,比较 x 值 大小; ③当 x,y 值均未给定,比较哪个方案更合算 /省钱时,分别令 y1 = y2,y1 >y2,y1 <y2􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 ,并计算出 x 的 取值范围,再根据结果选取方案. 典例　 [人教八下 P98 练习改编]某移动公司有两类收费标准,A 类收费标准如下: ①不管通话时􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 间多长,每月必须缴月租费 12 元,另外,通话费按 0. 2 元 / min 计􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍. B 类收费标准如下: ②没有月租费,但通话费按 0. 25 元 / min 计.􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 (1)分别写出 A,B 两类收费标准每月应缴费用 y(元)与通话时间 x(min)之间的函数关系式. 审:A 类收费标准下的函数关系式:由①知每月应缴费用=月租费+ 每分钟通话费×通话时间􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 = 　 12　 +　 0. 2　 ×通话时间;B 类收费标准下的函数关系式:由②知每月应缴费用=􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍每分钟􀪍􀪍􀪍 通话费×通话时间􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 = 　 0. 25　 ×通话时间; 列:A 类:yA = 　 0. 2x+12　 ;B 类:yB = 　 0. 25x　 ; (2)如果某用户预计每月缴 55 元的话费, 那么该用户选择哪类收费标准划算? 解:当 y=55 时,A 类:55=0. 2x+12,解得 x=215;B 类:55=0. 25x,解得 x=220,∵215<220,∴B 类划算. 93 基础夯实练·福建数学 第 三 章 　 函 　 数 (3)根据一个月的通话时间,你认为选择哪类收费标准更实惠? 解:由 0. 2x+12>0. 25x,解得 x<240;由 0. 2x+12<0. 25x,解得 x>240;由 0. 2x+12=0. 25x,解得 x=240, ∴当通话时间小于 240 min 时,应选择 B 类;当通话时间大于 240 min 时,应选择 A 类;当通话时间为 240 min 时,选择 A,B 类都可以. 练习　 [2022 漳州二检]“戴口罩、勤洗手、常通风”已成为当下人们的生活习惯. 某校计划购买一 批相同的洗手液,已知某超市推出以下两种优惠方案:方案一,从第一瓶开始一律按标价的八 折销售;方案二,购买量不超过 100 瓶时,按标价销售,超过 100 瓶时,超过的部分按标价的六 折销售. 设学校在该超市购买 x 瓶洗手液,方案一的费用为 y1 元,方案二的费用为 y2 元,y1,y2 关于 x 的函数图象如图所示. (1)求该种洗手液每瓶的标价; (2)当 x≥100 时,分别求 y1,y2 关于 x 的函数表达式;并说明当 x = 300 时,选择哪种方案购买 费用较少? 练习题图 解:(1)由图象可得,100 瓶洗手液不打折的价格是 2 000 元, ∴洗手液的单价为 2 000÷100=20(元 /瓶) . 答:该种洗手液每瓶的标价为 20 元 /瓶; (2)方案一:y1 与 x 的函数关系式为 y1 =0. 8×20x=16x; 方案二:当 x≥100 时,y2 =100×20+(x-100)×20×60% =12x+800, ∴ y1 =16x,y2 =12x+800(x≥100); 当 x=300 时, y1 =16x=16×300=4 800(元), y2 =12×300+800=4 400(元), 4 400<4 800, 答:方案二更省钱. 温馨提示:请完成分层作业本 P31-32 习题 04