第7章 幂的运算6大考点12类题型 讲义 2024～2025学年苏科版数学七年级下册

2024~2025学年苏科版七年级下数学讲义 教学内容 幂的运算 教学目标 1.掌握同底数幂的乘除法，幂的乘方和积的乘方 2.了解零指数幂和负整数指数幂 3.学会比较幂的大小：同底指数和同指数的幂的大小 教学重难点 负指数幂和幂的比较及公式的逆用 教学内容 幂的定义：幂是一种数学运算，表示一个数（底数）重复相乘若干次（指数）的结果。通常用符号an表示，其中a是底数，n是指数。例如23表示2的3次幂，即23=8 1、 思维导图 二、六大考点、12种题型 考点1：同底数幂的含义：同底数幂是指底数相同的幂。 题型1（同底数幂）：下列属于同底数幂的是（D） A B C D 变式训练：试写出的一个同底数的幂（ b2 ）答案不唯一 考点2：同底数幂的乘法：同底数幂相乘，底数不变，指数相加：（、是正整数）； 题型2（同底数幂的乘法）：计算a•a•ax＝a12，则x等于（　A　） A．10 B．4 C．8 D．9 变式1：化简m2•（﹣m）3的结果是（　B　） A． m5 B．﹣m5 C．m6 D．﹣m6 变式2：已知x+y﹣3＝0，则2y•2x的值是（　D　） A．6 B．﹣6 C． D．8 变式3：（1）(－a2)3＋(－a3)2 （2）(x2y)4÷(x2y)＋(x2y)3 （3）(b2n)3 (b3)4n÷(b5)n+1 （4）(×)200×（100×99）201 答案：（1）0； （2）2x6y3; (3)b13n-5; (4)9900 题型3（同底数幂的乘法法则的逆用）( 10 ) 变式1：已知am＝2，an＝3，则am+n＝　 6 　． 变式2：已知3m＝8，3n＝2，则3m+n＝　 16 ． 变式3;规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b），如果ac＝b，则（a，b）＝c．我们叫（a，b）为“雅对”． 例如：因为23＝8，所以 （2，8）＝3．我们还可以利用“雅对”定义说明等式 （3，3）+（3，5）＝（3，15）成立．证明如下： 设 （3，3）＝m，（3，5）＝n，则3m＝3，3n＝5， 故3m⋅3n＝3m+n＝3×5＝15， 则 （3，15）＝m+n， 即 （3，3）+（3，5）＝（3，15）． （1）根据上述规定，填空：（2，4）＝　2 　； （5，1）＝　 0　； （3，27）＝　 3　． （2）计算 （5，2）+（5，7）＝　 (5,14) 　，并说明理由． （3）利用“雅对”定义证明：（2n，3n）＝（2，3），对于任意自然数n都成立． 解：设（2n,3n）等于a，则(2n)z=3n即(2z)n=3n,所以2z=3,即(2,3)=z所以（2n,3n）=（2，3） 所以对于任意自然数n都成立。 考点3:幂的乘方：幂的乘方，底数不变，指数相乘：（、是正整数）； 题型4：（幂的乘方）计算正确的结果是（ B ） A B C D 变式1：若Xa=3则（ 81 ） 变式2：若2m+n﹣2＝0，则9m•3n的结果是 　9 　． 考点4：积的乘方：积的乘方，把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘：（是正整数）； 题型5：（积的乘方）计算，结果正确的是（ B ） A B C D 变式1：已知，，则的值是（B） A.36 B.144 C.108 D.150 变式2：若2m+3n=5,则（ 32 ） 变式3：已知3m=6，9n=2．则32m－4n+1=__9______． 变式4：已知 是大于1的自然数,则 等于 ( D ) A. B. C. D. 题型6：（比较大小）已知a=266 ，b=355 ，c=444，那么a、b、c 的大小关系（ C ） A. a＞b＞c B. b＞c＞a C. a＜b＜c D. c＞a＞b 变式1：如果 ,,那么三数的大小为( C ) A. B. C. D. 题型7：（整体代入）已知n为正整数，且，求的值． 答案：368 变式1：若，求的值 答案：8 变式2:已知，求的值. 答案： 变式3：已知x满足22x+3－22x+1=48，求x的值。 答案： 题型8：（化简求值）先化简，再求值，x2 · x2n · (yn+1)2 ，其中，x＝－3，y＝ . 化简：（xy）2n+2,代入求值为1 变式1：先化简，再求值：a3·(－b3)2＋(－ab2)3，其中a＝，b＝4． 化简为：a3b6,代入求值为56 变式2：已知，，求的值.[ 答案： 考点5：同底数幂除法：同底数幂相除，底数不变，指数相减：（，、是正整数）。 题型9：（同底数幂的除法）a3m÷a2m－1＝ am+1 变式1：am = 3 , an = 2, 则am-n 的值是( A ) A. 1.5 B. 6 C. 9 D. 8 变式2：(ab ) 12÷[(ab ) 4÷(ab ) 3] 2 ＝（ a10b10 ） 变式3:如果27m÷3m＝81，那么m的值为 　2 　． 变式4：若2x﹣5y﹣3＝0，则4x÷32y的值为　 8 　． 题型10：（化为同底数）已知23x+2=64，求x的值； 答案：3x+2=6,x= 变式1：如果x满足方程33x-1=27×81，求x的值。 答案：3x-1=7，x= 变式2：若． 答案：m=3,n=4原式=128 变式3：若1+2+3+…+n=m，求(a bn)·(a2bn-1)·…(an-1b2)·(an b)的值. 答案：原式=am bm 变式4：4m．8m-1÷2m = 512 ,则m =3 变式5：a m ·an = a4 , 且am÷an = a6 则mn= -5 考点6: 1、 零指数幂：任何不等于0的数的0次幂等于1：； 2、负指数幂：任何不等于0的数的（是正整数）次幂，等于这个数的次幂的倒数：（，为正整数）； 题型11：（零指数幂和负指数幂）代数式的值为1+，且的取值应满足 a-1且a2 。 变式1：解关于的方程。 答案：-2，0，1 变式2：（π﹣3）0+（﹣）3﹣（）﹣2． 答案： 变式3：（﹣102）÷50÷（2×10）0﹣（0.5）﹣2． 答案：-104 考点7：用科学记数法表示较小的数：用科学记数法将一个绝对值小于1的数写成，其中，是正整数，且等于第一个不为零的数字前所有零的个数（包括小数点前面的0）。 题型12：（科学计数）最薄的金箔的厚度为0.000000091米，用科学记数法表示为（ 9.1×10-8 ）米。 变式1：成年人一根头发丝的直径约为0.00008米，用科学记数法表示为（ C ）米。 A． B． C． D． 1.一种计算机每秒可以进行4×108次运算，则它工作3×103秒运算的次数为 ( B ) A．12×1024 B．1.2×1012 C．12×1012 D．1.2×1013 2．计算机是将信息转换成二进制数进行处理的，二进制即“逢2进1”，如(101)2表示二进制数，将它转换成十进制的形式是：1×22＋0×21＋1×20＝5，那么将二进制数 (10101)2转换成十进制数是 ( B ) A．41 B．21 C．13 D．11 3．(1)若a·a3·am＝a8，则m＝____4___； (2)若a5·(an)3＝a11，则n＝____2___． 4．如果(a4)3÷(a2)5＝64，且a<0，那么a＝___-8____． 5．某生物教师在显微镜下发现，某种植物的细胞直径约为0.000 12 mm，用科学记数法表示为1.2×10-4_______mm． 6．若a2n＝3，则2a6n-50＝___4____． 7．若3n＝2，3m＝5，则32m+3n-1的值为_______． 8．如果(2a－1)a+2＝1，那么a的值为____-2，1，0___． 9．计算： (1)·；　　　　　　　　(2)； 答案：4x8y9 答案：2x2ny6n (3)；　　　　　　(4)a·a2·a3． 答案：2x8y12 答案：4a6 10．阅读下列一段话，并解决下列问题： 　观察下面一列数：1，2，4，8，…，我们发现，这列数从第二项起，每一项与它前一项的比值都是2．我们把这样的一列数叫做等比数列，这个共同的比值叫做等比数列的公比． 　 (1)等比数列5，－10，20，…的第4项是___-40____； 　(2)如果一列数a1，a2，a3，…是等比数列，且公比是q，根据上述规定有，，…，因此可以得到a2＝a1q，a3＝a2q＝a1q·q＝a1q2，a4＝a3q＝a1q2·q＝a1q3，…，那么an＝_a1qn-1_____(用a1与q的代数式表示)． (3)一个等比数列的第2项是6，第3项是－18，求它的第1项和第4项． a1=-2，a4=54 ( 第 1 页 ) 学腾教研组 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024~2025学年苏科版七年级下数学讲义 教学内容 幂的运算 教学目标 1.掌握同底数幂的乘除法，幂的乘方和积的乘方 2.了解零指数幂和负整数指数幂 3.学会比较幂的大小：同底指数和同指数的幂的大小 教学重难点 负指数幂和幂的比较及公式的逆用 教学内容 幂的定义：幂是一种数学运算，表示一个数（底数）重复相乘若干次（指数）的结果。通常用符号an表示，其中a是底数，n是指数。例如23表示2的3次幂，即23=8 1、 思维导图 二、六大考点、12种题型 考点1：同底数幂的含义：同底数幂是指底数相同的幂。 题型1（同底数幂）：下列属于同底数幂的是（） A B C D 变式训练：试写出的一个同底数的幂（ ） 考点2：同底数幂的乘法：同底数幂相乘，底数不变，指数相加：（、是正整数）； 题型2（同底数幂的乘法）：计算a•a•ax＝a12，则x等于（　　） A．10 B．4 C．8 D．9 变式1：化简m2•（﹣m）3的结果是（　　） A． m5 B．﹣m5 C．m6 D．﹣m6 变式2：已知x+y﹣3＝0，则2y•2x的值是（　　） A．6 B．﹣6 C． D．8 变式3：（1）(－a2)3＋(－a3)2 （2）(x2y)4÷(x2y)＋(x2y)3 （3）(b2n)3 (b3)4n÷(b5)n+1 （4）(×)200×（100×99）201 题型3（同底数幂的乘法法则的逆用）( ) 变式1：已知am＝2，an＝3，则am+n＝　 　． 变式2：已知3m＝8，3n＝2，则3m+n＝　 　． 变式3;规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b），如果ac＝b，则（a，b）＝c．我们叫（a，b）为“雅对”． 例如：因为23＝8，所以 （2，8）＝3．我们还可以利用“雅对”定义说明等式 （3，3）+（3，5）＝（3，15）成立．证明如下： 设 （3，3）＝m，（3，5）＝n，则3m＝3，3n＝5， 故3m⋅3n＝3m+n＝3×5＝15， 则 （3，15）＝m+n， 即 （3，3）+（3，5）＝（3，15）． （1）根据上述规定，填空：（2，4）＝　 　； （5，1）＝　 　； （3，27）＝　 　． （2）计算 （5，2）+（5，7）＝　 　，并说明理由． （3）利用“雅对”定义证明：（2n，3n）＝（2，3），对于任意自然数n都成立． 考点3:幂的乘方：幂的乘方，底数不变，指数相乘：（、是正整数）； 题型4：（幂的乘方）计算正确的结果是（ ） A B C D 变式1：若则（ ） 变式2：若2m+n﹣2＝0，则9m•3n的结果是 　 　． 考点4：积的乘方：积的乘方，把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘：（是正整数）； 题型5：（积的乘方）计算，结果正确的是（ ） A B C D 变式1：已知，，则的值是（） A.36 B.144 C.108 D.150 变式2：若2m+3n=5,则（ ） 变式3：已知3m=6，9n=2．则32m－4n+1=________． 变式4：已知 是大于1的自然数,则 等于 ( ) A. B. C. D. 题型6：（比较大小）已知a=266 ，b=355 ，c=444，那么a、b、c 的大小关系（ ） A. a＞b＞c B. b＞c＞a C. a＜b＜c D. c＞a＞b 变式1：如果 ,,那么三数的大小为( ) A. B. C. D. 题型7：（整体代入）已知n为正整数，且，求的值． 变式1：若，求的值 变式2:已知，求的值. 变式3：已知x满足22x+3－22x+1=48，求x的值。 题型8：（化简求值）先化简，再求值，x2 · x2n · (yn+1)2 ，其中，x＝－3，y＝ . 变式1：先化简，再求值：a3·(－b3)2＋(－ab2)3，其中a＝，b＝4． 变式2：已知，，求的值.[ 考点5：同底数幂除法：同底数幂相除，底数不变，指数相减：（，、是正整数）。 题型9：（同底数幂的除法）a3m÷a2m－1＝ 变式1：am = 3 , an = 2, 则am-n 的值是( ) A. 1.5 B. 6 C. 9 D. 8 变式2：(ab ) 12÷[(ab ) 4÷(ab ) 3] 2 ＝（ ） 变式3:如果27m÷3m＝81，那么m的值为 　 　． 变式4：若2x﹣5y﹣3＝0，则4x÷32y的值为　 　． 题型10：（化为同底数）已知23x+2=64，求x的值； 变式1：如果x满足方程33x-1=27×81，求x的值。 变式2：若． 变式3：若1+2+3+…+n=m，求(abn)·(a2bn-1)·…(an-1b2)·(anb)的值. 变式4：4m．8m-1÷2m = 512 ,则m = 变式5：a m ·an = a4 , 且am÷an = a6 则mn= 考点6: 1、 零指数幂：任何不等于0的数的0次幂等于1：； 2、负指数幂：任何不等于0的数的（是正整数）次幂，等于这个数的次幂的倒数：（，为正整数）； 题型11：（零指数幂和负指数幂）代数式的值为 ，且的取值应满足 。 变式1：解关于的方程。 变式2：（π﹣3）0+（﹣）3﹣（）﹣2． 变式3：（﹣102）÷50÷（2×10）0﹣（0.5）﹣2． 考点7：用科学记数法表示较小的数：用科学记数法将一个绝对值小于1的数写成，其中，是正整数，且等于第一个不为零的数字前所有零的个数（包括小数点前面的0）。 题型12：（科学计数）最薄的金箔的厚度为0.000000091米，用科学记数法表示为（ ）米。 变式1：成年人一根头发丝的直径约为0.00008米，用科学记数法表示为（ ）米。 A． B． C． D． 1.一种计算机每秒可以进行4×108次运算，则它工作3×103秒运算的次数为 ( ) A．12×1024 B．1.2×1012 C．12×1012 D．1.2×1013 2．计算机是将信息转换成二进制数进行处理的，二进制即“逢2进1”，如(101)2表示二进制数，将它转换成十进制的形式是：1×22＋0×21＋1×20＝5，那么将二进制数 (10101)2转换成十进制数是 ( ) A．41 B．21 C．13 D．11 3．(1)若a·a3·am＝a8，则m＝_______； (2)若a5·(an)3＝a11，则n＝_______． 4．如果(a4)3÷(a2)5＝64，且a<0，那么a＝_______． 5．某生物教师在显微镜下发现，某种植物的细胞直径约为0.000 12 mm，用科学记数法表示为_______mm． 6．若a2n＝3，则2a6n-50＝_______． 7．若3n＝2，3m＝5，则32m+3n-1的值为_______． 8．如果(2a－1)a+2＝1，那么a的值为_______． 9．计算： (1)·；　　　　　　　　(2)； (3)；　　　　　　(4)a·a2·a3． 10．阅读下列一段话，并解决下列问题： 　观察下面一列数：1，2，4，8，…，我们发现，这列数从第二项起，每一项与它前一项的比值都是2．我们把这样的一列数叫做等比数列，这个共同的比值叫做等比数列的公比． 　 (1)等比数列5，－10，20，…的第4项是_______； 　(2)如果一列数a1，a2，a3，…是等比数列，且公比是q，根据上述规定有，，…，因此可以得到a2＝a1q，a3＝a2q＝a1q·q＝a1q2，a4＝a3q＝a1q2·q＝a1q3，…，那么an＝_______(用a1与q的代数式表示)． (3)一个等比数列的第2项是6，第3项是－18，求它的第1项和第4项． ( 第 1 页 ) 学腾教研组 学科网（北京）股份有限公司 $$