精品解析：重庆市长寿实验中学校2024-2025学年八年级上学期12月月考数学试题

长寿实验中学初2023级八上第三学月质量监测 一、选择题（本大题共10小题，共40分．） 1. 在下列表示的运动项目标志的图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关键．讲一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、该图不是轴对称图形，故不符合题意； B、该图不是轴对称图形，故不符合题意； C、该图是轴对称图形，故符合题意； D、该图不是轴对称图形，故不符合题意； 故选：C． 2. 下列长度的三条线段能首尾相接构成三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析． 【详解】解：根据三角形的三边关系，知 A、1+2＝3，不能组成三角形，故选项错误，不符合题意； B、3+4＞5，能够组成三角形，故选项正确，符合题意； C、5+4＜10，不能组成三角形，故选项错误，不符合题意； D、2+6＜9，不能组成三角形，故选项错误，不符合题意； 故选：B． 【点睛】此题考查了三角形的三边关系．解题的关键是看较小的两个数的和是否大于第三个数． 3. 如图，，若要判定，则需要补充的一个条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．结合全等三角形的判定定理逐一分析选项即可． 【详解】解：由图可得，， 若补充条件，不是对应边，不能判定，故A选项错误； 若补充条件，构成，不能判定，故B选项错误； 若补充条件，构成，可以判定，故C选项正确； 若补充条件，显然条件重复，不能判定，故D选项错误． 故选：C． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查同底数幂的乘法法则、同底数幂的除法法则、积的乘方、幂的乘方，根据同底数幂的乘法法则、同底数幂的除法法则、积的乘方、幂的乘方逐一进行计算即可． 【详解】解：A、，故该选项正确； B、，故该选项错误； C、，故该选项错误； D、，故该选项错误； 故选：A． 5. 若等腰三角形的一个角为，则它的底角为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用．题中未指明已知的角是顶角还是底角，故应该分情况进行分析，从而求解． 【详解】解：当是顶角时，底角：， 当是底角时，它的另一个底角等于， 所以它的一个底角是或， 故选：D． 6. 如图，，D在边上，，则的度数为（）     A. B. C. 50° D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和三角形外角定理，由全等三角形的性质求得是解决问题的关键，由全等三角形的性质求得，再根据三角形外角定理可得即可求得结论． 【详解】解：， 故选：D． 7. 如图，在由小正三角形组成的网格中，已有6个小正三角形涂黑，还需涂黑n个小正三角形，使它们和原来涂黑的小正三角形组成的新图案恰有三条对称轴，则n的最小值为（ ） A 1 B. 2 C. 3 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了利用轴对称设计图案，解题的关键是掌握常见图形的性质和轴对称图形的性质．由等边三角形有三条对称轴可得答案． 【详解】解：如图所示，n的最小值为3． 故选：C． 8. 若把分式中的x和y都扩大为原来的3倍，那么分式的值（ ） A. 扩为原来的大3倍 B. 不变 C. 缩小为原来的 D. 缩小为原来的 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质，根据和都扩大为原来的3倍再代入化简即可得到答案． 【详解】解：∵和都扩大为原来的3倍， ∴， 故选：C． 9. 若a，b为实数，且，则的值为（　　） A. B. 13 C. D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据被开方数是非负数，可得答案． 【详解】解：由题意，得，，解得， 当时，， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，掌握被开方数是非负数是解题关键． 10. 有个依次排列的整式，第一项为，第二项是，第二项减去第一项的差记为，将记为，将第二项加上作为第三项，将记为，将第三项与相加记为第四项，以此类推．以下结论正确的有（ ）个 ①，②当，时，第项的值为，③第项为，④． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查数式的操作题，涉及整式的加减，因式分解，整式的规律探索，代数式求值，熟练地利用数式的操作将各项列出来，并会寻找规律是解题的关键．先根据题意将，，，，依次列出来并寻找规律即可判定①，再探索和的规律得④，再将第一项，第二项，第三项，，依次列出来并寻找规律即可判定②和③，即可解答． 【详解】解：根据题意，得：； ； ； ； 则， 故①正确； ∵； ； ； ∴， 故④正确； 由题意，可得第项为：； 第项为：； 第项：； 第项为：； ∴第项为：； 当，时，第项的值为， 故②正确； 第项为：， 故③错误； 综上，正确的有个， 故选：C． 二、填空题（本大题共8小题，共32分．） 11. 世界上有一种开花植物的果实像一个微小的无花果，质量只有0.000000076克，将数0.000000076用科学记数法表示为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法：把一个小于1的数表示成的形式（a大于或等于1且小于10，n是正整数）；n的值为小数点向右移动的位数．根据科学记数法的定义，计算求值即可； 【详解】解： ， 故答案为：． 12. 若一个正多边形的一个外角是，则这个正多边形的边数为______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了多边形内角与外角的关系，解题的关键是熟记正多边形的边数与外角的关系． 正多边形的外角和是，这个正多边形的每个外角相等，因而用除以外角的度数，就得到外角的个数，外角的个数就是多边形的边数，据此求解即可． 【详解】解：∵一个正多边形的一个外角是， 这个正多边形的边数为． 故答案为：5． 13. 若分式的值为0，则x的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式值为0的条件；根据分式的值为0，则分母不为0，分子为0进行计算即可． 【详解】解：∵， 解得 ∴x的值为 故答案为： 14. 若最简二次根式与是同类二次根式，则______． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了同类二次根式和最简二次根式．根据同类二次根式的定义得出，再求出答案即可． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， ∴． 故答案为：7． 15. 若关于x的二次三项式x2+6x+a是一个完全平方式，则a＝_______． 【答案】9 【解析】 【分析】根据完全平方公式即可求出答案． 【详解】解：根据题意知，． 故答案为：9． 【点睛】本题考查完全平方公式，满足完全平方式的情况只有a2+2ab+b2和a2-2ab+b2两种． 16. 如图，为△内一点，平分，，，若，，则的长为 __． 【答案】2 【解析】 【分析】此题主要考查了等腰三角形的判定，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，理解角平分线的定义，熟练掌握等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质是解决问题的关键．延长交于点，根据得，再证明和全等得，，则，据此可得的长． 【详解】解：延长交于点，如图所示： ， ， ， ， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ． 故答案为：2． 17. 若关于x的不等式组的解集为，且关于x的分式方程有整数解，则符合条件的所有整数a的和为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了分式方程的解以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则，求得的取值范围以及解分式方程是解本题的关键．根据已知不等式的解集确定出的范围，再由分式方程有整数解，确定出的值，即可得到答案． 【详解】解：对于不等式组，整理可得， ∵不等式组的解集为， ∴， 分式方程去分母，得， 则， ∵分式方程有整数解， ∴，即， 解得， ∵分式方程有整数解，且，即， ∴或或， 解得或或或或， ∵且， ∴符合条件的整数的值有、3、0、2四个， ∴符合条件的所有整数的和为． 故答案为：2． 18. 如图，在等腰中，，点E为上一点，点H为上一点，连接和交于点F，．连接，若平分，则______，在此条件下，延长到点D，连接，使，此时若，，则______． 【答案】 ①. 1 ②. ## 【解析】 【分析】过点作于点，过点作于点，，交的延长线于点，根据角平分线的性质，得到，证明，推出，进而证明，得到，即可得到答案；过点作交于点，过点作交延长线于点，先证明，得到，，同理可证，得到，，再结合平行线的性质，推出，从而证明，得到，然后根据已知条件求出，，即可得到答案． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点，，交的延长线于点， 平分， ， 在和中， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； 如图，过点作交于点，过点作交延长线于点， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 同理可证， ，， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ，， ，， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质等知识，作辅助线构造全等三角形是解题关键． 三、计算题（本大题共8小题，共78分，第19题8分，其余小题各10分） 19. 计算： （1）计算： （2）因式分解： 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】本题考查有实数的运算及因式分解，熟练掌握相关运算法则及因式分解的方法是解题的关键． （1）利用绝对值性质，零指数幂，负整数指数幂运算法则计算即可； （2）提公因式后利用平方差公式因式分解即可． 【小问1详解】 解：原式， ； 【小问2详解】 解：原式， 20. 先化简，再求值：，请从，，0，1中选择一个数字为a代入求值． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再由分式有意义的条件得出a的值，代入计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ∵且， ∴且且， ∴， 则原式 21. 如图，已知中，平分交于点D． （1）尺规作图：作线段的垂直平分线垂足为点M，分别交、于点E、F，连接（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）问的条件下，证明：，请完成下列证明的推理过程． 证明：∵平分 ∴ ① ∵是线段的垂直平分线 ∴ 在和中， ∴（ ③ ） ∴ ④ ∵是线段的垂直平分线 ∴ ⑤ ∴ 【答案】（1）见解析 （2）①；②；③ASA；④；⑤ 【解析】 【分析】本题考查作图-基本作图、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质是解答本题的关键． （1）根据线段垂直平分线的作图方法作图即可； （2）根据全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质推理即可解答． 【小问1详解】 解：如图：直线即为所求． 【小问2详解】 证明：∵平分 ∴， ∵是线段的垂直平分线 ∴ 在和中， ∴， ∴， ∵是线段的垂直平分线 ∴， ∴． 22. 在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是． （1）画出关于y轴对称的，并写出点的坐标为______． （2）在（1）问条件下，求的面积． （3）在（1）问条件下，已知点，直线轴，求点P坐标． 【答案】（1）画图见解答； （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查作图-轴对称变换，平面直角坐标系中点的特征等知识点，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图，即可得出答案． （2）利用割补法求三角形的面积即可． （3）由题意可得，求出的值，即可得出答案． 【小问1详解】 解：如图，即为所求． 由图可得，点的坐标为． 【小问2详解】 解：的面积为． 【小问3详解】 解：∵点，直线轴， ， 解得：， ∴点的坐标为． 23. 某青春党支部在精准扶贫活动中，给结对帮扶的贫困家庭赠送甲、乙两种树苗让其栽种．已知乙种树苗的价格比甲种树苗贵10元，用360元购买甲种树苗的棵数恰好与用480元购买乙种树苗的棵数相同． （1）求甲、乙两种树苗每棵的价格各是多少元？ （2）在实际帮扶中，他们决定再次购买甲、乙两种树苗共50棵，此时，甲种树苗的售价比第一次购买时少3元，乙种树苗的售价不变，如果再次购买两种树苗的总费用不超过1500元，那么他们最多可购买多少棵乙种树苗？ 【答案】（1）甲种树苗每棵的价格是30元，乙种树苗每棵的价格是40元； （2）他们最多可购买11棵乙种树苗． 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，弄清题意，找准等量关系与不等关系列出方程或不等式是解决问题的关键． （1）可设甲种树苗每棵的价格是x元，则乙种树苗每棵的价格是元，根据等量关系：用480元购买乙种树苗的棵数恰好与用360元购买甲种树苗的棵数相同，列出方程求解即可； （2）可设他们可购买y棵乙种树苗，根据不等关系：再次购买两种树苗的总费用不超过1500元，列出不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设甲种树苗每棵的价格是x元，则乙种树苗每棵的价格是元， 依题意有， 解得：， 经检验，是原方程的解， ， 答：甲种树苗每棵的价格是30元，乙种树苗每棵的价格是40元； 【小问2详解】 解：设他们可购买y棵乙种树苗，依题意有 ， ∴， 解得， ∵y为整数， ∴y最大为11， 答：他们最多可购买11棵乙种树苗． 24. 现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个，用两个这样的小长方形拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题： （1）分别两种不同的方式表示图1和图2阴影部分的面积（直接用含a，b的代数式表示）， 图1可以得出的等式是__________________ 图2可以得出的等式是__________________ （2）根据（1）中的结论，若， ①求的值 ②求的值 【答案】（1）； （2）①21；②17 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景及完全平方公式的应用，解题的关键熟练掌握完全平方公式，并进行灵活运用． （1）图1中由两个长与宽分别为a、b的小长方形与一大一小两个正方形构成一个大的正方形，利用边长为正方形的面积等于两个长方形的面积加边长分别为a，b的正方形的面积可得；图2中利用大正方形的面积等于4个长方形的面积加小正方形的面积可得； （2）根据（1）中的结论，将要求的式子变形后，整体代入计算即可． 【小问1详解】 解：图1中，由图可知，， 由题意得，， 即， 图2中，由图可知，，， 由题图可知，， 即, 故答案为：；； 【小问2详解】 解：①∵， ∴； ②∵， ∴． 25. 请你阅读下列材料，并完成相应的任务． 我们已经知道， 因此将分子、分母同时乘“”，分母就变成了4，这个过程就是分母有理化，例如： （1）模仿材料中的计算方法，化简______；______． （2）计算：． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式裂项求解，解题关键是熟练进行二次根式分母有理化的化简． （1）根据材料，对二次根式分母有理化，进行化简即可； （3）对式子中各项二次根式进行分母有理化，裂项求和进行计算即可． 【小问1详解】 解：， 故答案为：；； 【小问2详解】 原式 ． 26. 在中，已知，，是边上一点，连接，点为上一点，连接． （1）如图1，延长交于点，若，，求的度数； （2）如图2，若，，延长至点，使得，连接交于，求证； （3）如图3，点、分别是边、上的中点，连接、，将线段沿射线方向平移到，连接、，若，当最小时，直接写出的长度． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由已知条件可得是等边三角形，从而可分别求得，的度数，然后由三角形的内角和定理即可得出答案； （2）延长到点，使，连接，利用可证得，于是可得，，进而可证得，利用可证得，于是结论得证； （3）根据等边三角形的性质和三角形的中位线定理可得，利用勾股定理可求得，由垂线段最短可得当时最小，然后利用直角三角形的性质和勾股定理即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， 在中，； 【小问2详解】 证明：如图，延长到点，使，连接， ， ∵， ∴， 即：， ∵等边三角形， ∴， ∵，， ∴， 即：， ， ，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵是等边三角形，点、分别是边、上的中点， ∴是的中位线，， ∴， ∴在中，，， ∴， ∴， ∵，， ， ∴， 线段沿射线方向平移到， ∴， ∵，为的斜边，随着平移增大， 最小时，最短， 当时， 最短， 如图， ， ∵是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， 设，则， ， 即：， 解得：， ． 【点睛】本题是几何综合题，主要考查了轴对称的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，含度角的直角三角形的性质，三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握相关知识点并合理做出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 长寿实验中学初2023级八上第三学月质量监测 一、选择题（本大题共10小题，共40分．） 1. 在下列表示的运动项目标志的图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列长度的三条线段能首尾相接构成三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 如图，，若要判定，则需要补充一个条件是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 若等腰三角形的一个角为，则它的底角为（ ） A. B. C. 或 D. 或 6. 如图，，D在边上，，则的度数为（）     A. B. C. 50° D. 7. 如图，在由小正三角形组成的网格中，已有6个小正三角形涂黑，还需涂黑n个小正三角形，使它们和原来涂黑的小正三角形组成的新图案恰有三条对称轴，则n的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 6 8. 若把分式中的x和y都扩大为原来的3倍，那么分式的值（ ） A. 扩为原来的大3倍 B. 不变 C. 缩小为原来的 D. 缩小为原来的 9. 若a，b为实数，且，则的值为（　　） A. B. 13 C. D. 5 10. 有个依次排列整式，第一项为，第二项是，第二项减去第一项的差记为，将记为，将第二项加上作为第三项，将记为，将第三项与相加记为第四项，以此类推．以下结论正确的有（ ）个 ①，②当，时，第项的值为，③第项为，④． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题共8小题，共32分．） 11. 世界上有一种开花植物的果实像一个微小的无花果，质量只有0.000000076克，将数0.000000076用科学记数法表示为___________． 12. 若一个正多边形一个外角是，则这个正多边形的边数为______． 13. 若分式的值为0，则x的值为______． 14. 若最简二次根式与是同类二次根式，则______． 15. 若关于x二次三项式x2+6x+a是一个完全平方式，则a＝_______． 16. 如图，为△内一点，平分，，，若，，则的长为 __． 17. 若关于x的不等式组的解集为，且关于x的分式方程有整数解，则符合条件的所有整数a的和为______． 18. 如图，在等腰中，，点E为上一点，点H为上一点，连接和交于点F，．连接，若平分，则______，在此条件下，延长到点D，连接，使，此时若，，则______． 三、计算题（本大题共8小题，共78分，第19题8分，其余小题各10分） 19. 计算： （1）计算： （2）因式分解： 20. 先化简，再求值：，请从，，0，1中选择一个数字为a代入求值． 21. 如图，已知中，平分交于点D． （1）尺规作图：作线段垂直平分线垂足为点M，分别交、于点E、F，连接（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）问的条件下，证明：，请完成下列证明的推理过程． 证明：∵平分 ∴ ① ∵是线段的垂直平分线 ∴ 在和中， ∴（ ③ ） ∴ ④ ∵是线段的垂直平分线 ∴ ⑤ ∴ 22. 在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是． （1）画出关于y轴对称的，并写出点的坐标为______． （2）在（1）问条件下，求的面积． （3）在（1）问条件下，已知点，直线轴，求点P的坐标． 23. 某青春党支部在精准扶贫活动中，给结对帮扶的贫困家庭赠送甲、乙两种树苗让其栽种．已知乙种树苗的价格比甲种树苗贵10元，用360元购买甲种树苗的棵数恰好与用480元购买乙种树苗的棵数相同． （1）求甲、乙两种树苗每棵的价格各是多少元？ （2）在实际帮扶中，他们决定再次购买甲、乙两种树苗共50棵，此时，甲种树苗的售价比第一次购买时少3元，乙种树苗的售价不变，如果再次购买两种树苗的总费用不超过1500元，那么他们最多可购买多少棵乙种树苗？ 24. 现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个，用两个这样的小长方形拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题： （1）分别两种不同的方式表示图1和图2阴影部分的面积（直接用含a，b的代数式表示）， 图1可以得出的等式是__________________ 图2可以得出的等式是__________________ （2）根据（1）中的结论，若， ①求的值 ②求的值 25. 请你阅读下列材料，并完成相应的任务． 我们已经知道， 因此将分子、分母同时乘“”，分母就变成了4，这个过程就是分母有理化，例如： （1）模仿材料中的计算方法，化简______；______． （2）计算：． 26. 在中，已知，，是边上一点，连接，点为上一点，连接． （1）如图1，延长交于点，若，，求的度数； （2）如图2，若，，延长至点，使得，连接交于，求证； （3）如图3，点、分别是边、上的中点，连接、，将线段沿射线方向平移到，连接、，若，当最小时，直接写出的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$