第03讲 诱导公式（知识点+4大题型+过关测试）-【寒假自学课】2025年高一数学寒假提升精品讲义（沪教版2020）

第03讲 诱导公式 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.了解诱导公式的推导方法． 2．能够准确记忆诱导公式．(重点、易混点) 3．掌握诱导公式并能灵活应用．(难点) （），，，这些角都与角有特殊的关系. 已知角的正弦、余弦、正切及余切值，能够快速求出上述这些角的正弦、余弦、正切及余切值？这就是诱导公式要解决的问题. 由于角（）的终边与角的终边重合，因此由定义有如下诱导公式： ， ， ， （）. 由这组诱导公式，求任意角的正弦、余弦、正切及余切值可以转化为求范围内一个角的相应值. 角的终边与角的终边关于周对称，角的终边与单位圆交于点，而角的终边与单位圆交于点. 由于点与点关于轴对称，其横坐标相等，而纵坐标互为相反数，因此有如下诱导公式： ， ， ， . 由这组诱导公式，求负角的正弦、余弦、正切及余切值可以转化为求正角的相应值. 将角的终边绕着原点按逆时针方向旋转弧度，得到角的终边，这说明角和角的终边在同一条直线上，但方向相反. 角的终边与单位圆交于点. 由于点与点关于原点对称，其横坐标和纵坐标都互为相反数，因此有如下诱导公式： ， ， ， . 由这组诱导公式，求范围内的角的正弦、余弦、正切及余切值可以转化到范围内一个角的相应值. 角的终边与角的终边关于轴对称，角的终边与单位圆交于点，而角的终边与单位圆交于点. 由于点与点关于轴对称，其横坐标互为相反数，而纵坐标互相等，因此有如下诱导公式： ， ， ， . 由这组诱导公式，求范围内的角的正弦、余弦、正切及余切值可以转化到范围内一个角的相应值. 以上四组诱导公式说明，（），，的正弦、余弦、正切及余切值的绝对值等于角的相应量的绝对值【名称不变】，但这两个值之间可能差一个正负号. 由于诱导公式较多，记忆其中的正负号并不容易，但有一个简单的方法可以加以判断，即：当为锐角时，等式两边必须同正或同负. 例如，的绝对值应该与的绝对值相等，即成立. 但当为锐角时，是第二象限的角【符号看象限】，这时，而，所以前式中应该取负号，即有. 角的终边与角关于直线对称，角的终边与单位圆交于点，而角的终边与单位圆交于点. 由于点与点关于直线对称，则点的横坐标与点的纵坐标相等，而点的纵坐标与点的横坐标相等，因此有如下诱导公式： ， ， ， . 在以上公式中将用代换，就有. 同理，有如下诱导公式： ， ， ， . 上述两组诱导公式说明正弦和余弦可以相互转化，正切和余切也可以相互转化. 以上两组诱导公式说明角的正（余）弦、正（余）切值的绝对值，必等于角的余（正）弦、余（正）切值的绝对值【名称改变】，但这两者可能差一个正负号. 这个正负号的确定方法是：当角为锐角时，等式两边必须同正或同负. 例如，的绝对值应该同的绝对值相等，即成立. 但当为锐角时，是第二象限的角【符号看象限】，这时，而，所以前式中应该取负号，即有. 奇变偶不变，符号看象限. 例如，及都是的奇数倍，如果等式左边是，的正弦、余弦、正切、余切之一，那么等式右边相应的必定是的余弦、正弦、余切、正切，这就是“奇变”；而（）、、都是的偶数倍，等式两边的正弦、余弦、正切及余切的名称就应该相同，这就是“偶不变”. 等式右边角正弦、余弦、正切及余切前的符号可以将视为锐角（实际上此时可以为任意角），由等式左边的角所在的象限的正弦、余弦、正切及余切值的符号来确定，即“符号看象限”. 题型一：利用诱导公式求值 1.利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤 1“负化正”——用公式一或三来转化； 2“大化小”——用公式一将角化为0°到360°间的角； 3“小化锐”——用公式二或四将大于90°的角转化为锐角； 4“锐求值”——得到锐角的三角函数后求值. 2.解决条件求值问题的两技巧 1寻找差异：解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名及有关运算之间的差异及联系. 2转化：可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化. 1．（23-24高一下·上海杨浦·期中）若，则的值是 . 【答案】2 【难度】0.94 【知识点】正切函数的诱导公式、诱导公式二、三、四 【分析】直接利用诱导公式计算即可. 【详解】根据诱导公式知：. 故答案为：2. 2．（23-24高一下·上海黄浦·期末）若，则 ． 【答案】/0.5 【难度】0.94 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】利用诱导公式即可得到答案. 【详解】， 则， 故答案为：. 3．（23-24高一·上海·课堂例题）用诱导公式求值： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1) (2) (3) (4) 【难度】0.85 【知识点】诱导公式二、三、四、诱导公式一 【分析】利用诱导公式以及特殊角的三角函数值即可求解. 【详解】（1）. （2）. （3） . （4）. 4．（22-23高一下·上海浦东新·开学考试）已知下列三角比：（1）；（2）；（3）；（4）；（5），，其中与的值相同的是 ． 【答案】（2）（3）（5） 【难度】0.65 【知识点】诱导公式二、三、四、诱导公式一、特殊角的三角函数值 【分析】利用三角函数诱导公式计算各式即可得解. 【详解】因为 对于（1），当时，， 当时，，故（1）不满足要求； 对于（2），，故（2）满足要求； 对于（3），，故（3）满足要求； 对于（4），，故（4）不满足要求； 对于（5），，故（5）满足要求； 故答案为：（2）（3）（5）. 题型二：利用诱导公式化简求值 三角函数式化简的常用方法 1合理转化：①将角化成2kπ±α，kπ±α，k∈Z的形式.,②依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为角α的三角函数. 2切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数. 1．（23-24高一下·上海·阶段练习）若角满足，则 【答案】 【难度】0.94 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、正、余弦齐次式的计算 【分析】利用诱导公式及即可求解. 【详解】 故答案为： 2.（23-24高一下·上海·开学考试）化简的结果为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】借助诱导公式计算即可得. 【详解】原式= 故选：C. 3．（23-24高一下·上海嘉定·期中）下列定义在上的函数是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】由奇偶函数的定义及诱导公式即可求解. 【详解】，，所以为奇函数，故A对； ，，所以为偶函数，故B错； ，，所以为偶函数，故C错； ，，所以为偶函数，故D错. 故选：A. 4．（22-23高一下·上海浦东新·期末）化简 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】诱导公式五、六、诱导公式二、三、四、诱导公式一 【分析】利用三角函数的诱导公式化简即可得解. 【详解】 . 故答案为：. 5．（高一下·上海徐汇·开学考试）设，其中，若，则 ． 【答案】1 【难度】0.85 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、诱导公式二、三、四、诱导公式一 【分析】直接代入，结合诱导公式即可得到答案. 【详解】， 即， 则． 故答案为：1. 6．（23-24高一下·上海青浦·阶段练习）已知为第二象限角，且，则 ． 【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、已知正（余）弦求余（正）弦 【分析】根据诱导公式以及同角关系，即可化简求解. 【详解】由于，为第二象限角，故， 故答案为： 7．（23-24高一下·上海闵行·阶段练习）若，则 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、已知正（余）弦求余（正）弦 【分析】 由的值，利用同角三角函数间的基本关系求出的值，将所求式子的第一项中的角变形为，第二项中的角变形为，分别利用诱导公式化简后，将各自的值代入即可求出值． 【详解】 ， ， 则 ． 故答案为： 8．（23-24高一下·上海闵行·阶段练习）化简： . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】利用诱导公式进行求解即可. 【详解】 . 故答案为： 9．（23-24高一下·上海·阶段练习）化简： ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】 根据题意，结合三角函数的诱导公式，准确运算，即可求解. 【详解】由三角函数的诱导公式， 可得. 故答案为：. 10．（23-24高一下·上海·假期作业）化简： . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】根据诱导公式化简求值. 【详解】原式=. 故答案为： 11．（高一下·上海徐汇·开学考试）化简 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】依据诱导公式对原式进行化简计算. 【详解】． 故答案为：. 12．（22-23高一下·上海浦东新·阶段练习）已知角终边上一点，则 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】根据三角函数定义及诱导公式化简即可得解. 【详解】由诱导公式知， ， 因为角终边上一点， 所以， 所以原式. 故答案为： 题型三：利用诱导公式证明恒等式 三角恒等式的证明的策略 1遵循的原则：在证明时一般从左边到右边，或从右边到左边，或左右归一，总之，应遵循化繁为简的原则. 2常用的方法：定义法，化弦法，拆项拆角法，公式变形法，“1”的代换法. 1．（24-25高一上·上海·课堂例题）证明：． 【答案】证明见解析 【难度】0.85 【知识点】三角函数恒等式的证明——诱导公式 【分析】利用诱导公式化简即可. 【详解】左边右边， 所以． 2．求证：=. 【答案】证明见解析 【分析】左边由诱导公式平方关系化简变形，右边用诱导公式，商数关系化简变形可证． 【详解】左边===， 右边===， 所以等式成立. 3．已知A、B、C是的三个内角，求证； （1）；     （2）. 【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解. 【分析】(1)根据，结合诱导公式即可证明； (2)根据，结合诱导公式即可证明. 【详解】(1) .   (2) . 题型四：诱导公式的综合应用 诱导公式综合应用要“三看” 一看角：①化大为小；②看角与角间的联系，可通过相加、相减分析两角的关系. 二看函数名称：一般是弦切互化. 三看式子结构：通过分析式子，选择合适的方法，如分式可对分子分母同乘一个式子变形. 1．（23-24高一下·上海·期中）已知，则的值为 . 【答案】/0.4 【难度】0.85 【知识点】诱导公式二、三、四、正、余弦齐次式的计算 【分析】根据诱导公式和弦化切即可得到答案. 【详解】， 则， 故答案为：. 2．（24-25高一上·上海·课后作业）若，，则 . 【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】已知弦（切）求切（弦）、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、诱导公式二、三、四 【分析】利用诱导公式、同角公式计算即得. 【详解】由，得，则， 由，得，即，解得， 所以. 故答案为： 3．（23-24高一下·上海·阶段练习）若，则 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】诱导公式二、三、四、已知弦（切）求切（弦）、已知正（余）弦求余（正）弦 【分析】利用三角函数的诱导公式与基本关系式即可得解. 【详解】由，得，则， 而，则， 所以. 故答案为：. 4．（23-24高一下·上海黄浦·期中）在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的正半轴重合，其终边过点，角的终边与角的终边关于直线对称，则 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】诱导公式五、六、由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】由三角函数的定义结合诱导公式即可求解. 【详解】由题意知，因为角的终边与角的终边关于直线对称， 则， 故答案为： 5．（2024高一下·上海·专题练习） ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、诱导公式五、六、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】根据诱导公式和同角三角函数关系得到答案. 【详解】 ． 故答案为： 6．（23-24高一下·上海嘉定·阶段练习）已知扇形的半径为，弧长为，若其周长为，当该扇形面积最大时，其圆心角为，则 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】基本不等式求积的最大值、三角函数的化简、求值——诱导公式、特殊角的三角函数值、扇形面积的有关计算 【分析】利用扇形面积公式和基本不等式可求得，并确定，由此可得；利用诱导公式和特殊角三角函数值可求得结果. 【详解】由题意得：， 扇形面积 （当且仅当，即时取等号），， ，解得：， 故答案为：. 7．（23-24高一下·上海·假期作业）如图，已知点的坐标为，将绕坐标原点逆时针旋转至. 求点的坐标. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、诱导公式五、六 【分析】利用任意角三角函数的定义结合诱导公式处理即可. 【详解】如图，由，在单位圆中满足，. 这样对点，有， . 所以，点的坐标为. 8．（23-24高一下·上海·阶段练习）已知，求：的值 【答案】5. 【难度】0.65 【知识点】诱导公式五、六、正、余弦齐次式的计算 【分析】根据给定条件，利用诱导公式及切化弦求出，再利用齐次式法求值即得. 【详解】依题意，，解得， 所以. 9．（22-23高一下·上海浦东新·阶段练习）已知是第二象限角，则； (1)化简； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】诱导公式五、六、诱导公式二、三、四、已知正（余）弦求余（正）弦 【分析】（1）利用诱导公式和同角三角函数的关系进行化简即可； （2）利用诱导公式得到，通过的范围可得，即可求解 【详解】（1） （2）因为，所以， 因为是第二象限角， 所以, 所以. 一、单选题 1．（2024高一下·上海·专题练习）与一定相等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】诱导公式五、六、诱导公式二、三、四 【分析】先利用诱导公式对化简，然后再利用诱导公式对各选项化简分析判断即可. 【详解】解：， 对于A，，所以A错误； 对于B，，所以B错误； 对于C，，所以C错误； 对于D，，所以D正确． 故选：D． 2．（23-24高一下·上海嘉定·阶段练习）质点P和Q在以坐标原点O为圆心，半径为1的上逆时针作匀速圆周运动，同时出发.P的角速度大小为，起点为与x轴正半轴的交点；Q的角速度大小为，起点为射线与的交点.则当点与重合时，点的坐标不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】利用定义求某角的三角函数值、单位圆与周期性、诱导公式二、三、四 【分析】设两质点重合时，所用时间为，则重合点坐标为，通过题意得到，结合周期性逐一代入判断即可. 【详解】设两质点重合时，所用时间为，则重合点坐标为， 由题意可知，两质点起始点相差角度为， 则，解得， 若，则，则重合点坐标为， 若，则，则重合点坐标为，即， 若，则，则重合点坐标为，即， 根据周期性可知，其余重合点与上述点重合. 故选：D 3．（22-23高一下·上海普陀·期末）对于给定的正整数，定义集合．若恰有4个元素，则的可能值有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】根据集合中元素的个数求参数、诱导公式二、三、四 【分析】根据集合中元素的特征，结合诱导公式求解. 【详解】当时，的取值为，共个， 根据诱导公式可知：，，，…， 若恰有4个元素，则的值为6或7， 故选：B． 4.（23-24高一下·上海·期中）设集合，则集合的元素个数为（    ）. A．1012 B．1013 C．2024 D．2025 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】特殊角的三角函数值、诱导公式二、三、四、利用集合中元素的性质求集合元素个数 【分析】依题意由表达式中角的特征可知当时，的取值各不相同，当时，利用诱导公式以及集合元素的互异性即可求得元素个数为. 【详解】根据题意可知，当时，，此时； 又因为为奇数，为偶数，且中的任意两组角都不关于对称， 所以的取值各不相同，因此当时集合中的取值会随着的增大而增大， 所以当时，集合中有1011个元素； 当时，易知 又易知，所以可得 ， 即时的取值与时的取值相同， 根据集合元素的互异性可知，时并没有增加集合中的元素个数， 当时，易知 ， 可得当时，集合中的元素个数只增加了一个0， 所以可得集合的元素个数为个. 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于通过观察集合中元素的特征，利用的三角函数值的范围以及图象的对称性，由集合中元素的互异性得出当时，集合中的元素个数的增加情况即可求得结果. 二、填空题 5．（22-23高一下·上海浦东新·阶段练习） . 【答案】0 【难度】0.94 【知识点】诱导公式二、三、四、诱导公式一 【分析】根据诱导公式直接求值即可. 【详解】. 故答案为：0. 6．（22-23高一下·上海浦东新·阶段练习）计算： . 【答案】 【难度】0.94 【知识点】诱导公式一、特殊角的三角函数值 【分析】利用特殊三角函数值求解即可. 【详解】 . 故答案为：. 7．（23-24高一下·上海·期末）已知，则 . 【答案】/0.8 【难度】0.94 【知识点】诱导公式五、六 【分析】根据给定条件，利用诱导公式计算即得. 【详解】依题意，. 故答案为： 8．（23-24高一下·上海徐汇·期中）已知，则 ． 【答案】/0.2 【难度】0.94 【知识点】诱导公式五、六 【分析】由诱导公式即可求解. 【详解】， 故答案为： 9．（23-24高一下·上海闵行·期中）已知，则 . 【答案】 【难度】0.94 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、正、余弦齐次式的计算 【分析】利用诱导公式化简，然后弦化切可得. 【详解】因为， 所以，原式. 故答案为： 10．化简： ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、诱导公式二、三、四、诱导公式一 【分析】利用诱导公式进行化简即得. 【详解】原式. 故答案为：. 11．（2024·上海闵行·二模）始边与轴的正半轴重合的角的终边过点，则= . 【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、诱导公式二、三、四 【分析】结合三角函数的诱导公式，以及任意角的三角函数的定义，即可求解． 【详解】始边与轴的正半轴重合的角的终边过点， 则， 故． 故答案为：． 12．（23-24高一下·上海·阶段练习）已知，则可用k表示为 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】诱导公式二、三、四、已知弦（切）求切（弦） 【分析】根据同角关系即可求解. 【详解】由可得， 故，且， 又， 故， 故答案为： 13．（23-24高一下·上海·阶段练习）记，那么 .（用表示） 【答案】 【难度】0.85 【知识点】诱导公式二、三、四、已知弦（切）求切（弦） 【分析】 利用诱导公式，以及同角三角函数基本关系式，即可求解. 【详解】 . 故答案为： 14．（23-24高一下·上海·期中）在平面直角坐标系xOy中，若角θ的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边与以点O为圆心的单位圆交于点，则的值为 ． 【答案】/0.6 【难度】0.85 【知识点】诱导公式五、六、由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】由三角函数定义得到，根据诱导公式进行计算，得到答案. 【详解】由题意可知：， 所以． 故答案为：． 15．（23-24高一下·上海黄浦·期中）若，则 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】正、余弦齐次式的计算、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】由诱导公式及同角三角函数的基本关系化简即可． 【详解】， 故答案为： 16．（23-24高一下·上海·期中）已知角的终边与单位圆交于点，则 . 【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】根据题意，利用三角函数的定义，求得，结合诱导公式，即可求解. 【详解】由题意，根据三角函数的定义，可得，又由. 故答案为：. 17．（22-23高一下·上海浦东新·期中）已知，则 ． 【答案】/－0.6 【难度】0.65 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、正、余弦齐次式的计算 【分析】诱导公式化简后，弦化切，再代入计算． 【详解】因为， 所以． 故答案为：． 18．（23-24高一下·上海浦东新·期中）若点，将绕坐标原点逆时针旋转至.则点的坐标是 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】诱导公式五、六、由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】根据点所在终边的关系并利用三角函数定义，结合诱导公式求出点的坐标是. 【详解】设点所在角的终边为，所以点所在角的终边为， 易知， 可得， 所以点的坐标为，即. 故答案为： 三、解答题 19.求证：. 【答案】证明见解析 【分析】利用诱导公式和同角的三角函数的基本关系式化简左式，从而可证该恒等式. 【详解】左式 ， 故左式与右式相等，即原等式成立. 20．（23-24高一上·上海·期末）已知，. (1)求的值； (2)求值：. 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】诱导公式五、六、正、余弦齐次式的计算、已知弦（切）求切（弦）、sinα±cosα和sinα·cosα的关系 【分析】（1）将两边平方得到，进而求得，与联立求出、，即可得解； （2）利用诱导公式化简，再由同角三角函数的基本关系将弦化切，最后代入计算可得. 【详解】（1）因为， 所以，即， 即，所以， 又，则，所以，所以， 所以， 则 ， 所以，， 则． （2）因为， 所以 . 21．（22-23高一下·上海浦东新·开学考试）设，求的值． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、特殊角的三角函数值 【分析】利用三角函数的诱导公式与同角的平方关系化简可得，再代入计算即可得解. 【详解】因为 ， 所以. 22．（22-23高一上·上海浦东新·期末）化简下列各式： (1)； (2). 【答案】(1)0； (2). 【难度】0.65 【知识点】诱导公式五、六、诱导公式二、三、四、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】（1）根据给定条件，利用诱导公式化简计算作答. （2）根据给定条件，利用诱导公式、同角公式化简计算作答. 【详解】（1）. （2）. 23、（1）求函数的值域； （2）化简：． 【答案】（1）；（2）；； 【解析】（1）因为，显然； 当在第一象限时，、、，，所以； 当在第二象限时，、、，， 所以； 当在第三象限时，、、，， 所以； 当在第四象限时，、、，， 所以； 综上可得； （2） ； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 诱导公式 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.了解诱导公式的推导方法． 2．能够准确记忆诱导公式．(重点、易混点) 3．掌握诱导公式并能灵活应用．(难点) （），，，这些角都与角有特殊的关系. 已知角的正弦、余弦、正切及余切值，能够快速求出上述这些角的正弦、余弦、正切及余切值？这就是诱导公式要解决的问题. 由于角（）的终边与角的终边重合，因此由定义有如下诱导公式： ， ， ， （）. 由这组诱导公式，求任意角的正弦、余弦、正切及余切值可以转化为求范围内一个角的相应值. 角的终边与角的终边关于周对称，角的终边与单位圆交于点，而角的终边与单位圆交于点. 由于点与点关于轴对称，其横坐标相等，而纵坐标互为相反数，因此有如下诱导公式： ， ， ， . 由这组诱导公式，求负角的正弦、余弦、正切及余切值可以转化为求正角的相应值. 将角的终边绕着原点按逆时针方向旋转弧度，得到角的终边，这说明角和角的终边在同一条直线上，但方向相反. 角的终边与单位圆交于点. 由于点与点关于原点对称，其横坐标和纵坐标都互为相反数，因此有如下诱导公式： ， ， ， . 由这组诱导公式，求范围内的角的正弦、余弦、正切及余切值可以转化到范围内一个角的相应值. 角的终边与角的终边关于轴对称，角的终边与单位圆交于点，而角的终边与单位圆交于点. 由于点与点关于轴对称，其横坐标互为相反数，而纵坐标互相等，因此有如下诱导公式： ， ， ， . 由这组诱导公式，求范围内的角的正弦、余弦、正切及余切值可以转化到范围内一个角的相应值. 以上四组诱导公式说明，（），，的正弦、余弦、正切及余切值的绝对值等于角的相应量的绝对值【名称不变】，但这两个值之间可能差一个正负号. 由于诱导公式较多，记忆其中的正负号并不容易，但有一个简单的方法可以加以判断，即：当为锐角时，等式两边必须同正或同负. 例如，的绝对值应该与的绝对值相等，即成立. 但当为锐角时，是第二象限的角【符号看象限】，这时，而，所以前式中应该取负号，即有. 角的终边与角关于直线对称，角的终边与单位圆交于点，而角的终边与单位圆交于点. 由于点与点关于直线对称，则点的横坐标与点的纵坐标相等，而点的纵坐标与点的横坐标相等，因此有如下诱导公式： ， ， ， . 在以上公式中将用代换，就有. 同理，有如下诱导公式： ， ， ， . 上述两组诱导公式说明正弦和余弦可以相互转化，正切和余切也可以相互转化. 以上两组诱导公式说明角的正（余）弦、正（余）切值的绝对值，必等于角的余（正）弦、余（正）切值的绝对值【名称改变】，但这两者可能差一个正负号. 这个正负号的确定方法是：当角为锐角时，等式两边必须同正或同负. 例如，的绝对值应该同的绝对值相等，即成立. 但当为锐角时，是第二象限的角【符号看象限】，这时，而，所以前式中应该取负号，即有. 奇变偶不变，符号看象限. 例如，及都是的奇数倍，如果等式左边是，的正弦、余弦、正切、余切之一，那么等式右边相应的必定是的余弦、正弦、余切、正切，这就是“奇变”；而（）、、都是的偶数倍，等式两边的正弦、余弦、正切及余切的名称就应该相同，这就是“偶不变”. 等式右边角正弦、余弦、正切及余切前的符号可以将视为锐角（实际上此时可以为任意角），由等式左边的角所在的象限的正弦、余弦、正切及余切值的符号来确定，即“符号看象限”. 题型一：利用诱导公式求值 1.利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤 1“负化正”——用公式一或三来转化； 2“大化小”——用公式一将角化为0°到360°间的角； 3“小化锐”——用公式二或四将大于90°的角转化为锐角； 4“锐求值”——得到锐角的三角函数后求值. 2.解决条件求值问题的两技巧 1寻找差异：解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名及有关运算之间的差异及联系. 2转化：可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化. 1．（23-24高一下·上海杨浦·期中）若，则的值是 . 2．（23-24高一下·上海黄浦·期末）若，则 ． 3．（23-24高一·上海·课堂例题）用诱导公式求值： (1)； (2)； (3)； (4). 4．（22-23高一下·上海浦东新·开学考试）已知下列三角比：（1）；（2）；（3）；（4）；（5），，其中与的值相同的是 ． 题型二：利用诱导公式化简求值 三角函数式化简的常用方法 1合理转化：①将角化成2kπ±α，kπ±α，k∈Z的形式.,②依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为角α的三角函数. 2切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数. 1．（23-24高一下·上海·阶段练习）若角满足，则 2.（23-24高一下·上海·开学考试）化简的结果为（    ） A． B．1 C． D． 3．（23-24高一下·上海嘉定·期中）下列定义在上的函数是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 4．（22-23高一下·上海浦东新·期末）化简 . 5．（高一下·上海徐汇·开学考试）设，其中，若，则 ． 6．（23-24高一下·上海青浦·阶段练习）已知为第二象限角，且，则 ． 7．（23-24高一下·上海闵行·阶段练习）若，则 . 8．（23-24高一下·上海闵行·阶段练习）化简： . 9．（23-24高一下·上海·阶段练习）化简： ． 10．（23-24高一下·上海·假期作业）化简： . 11．（高一下·上海徐汇·开学考试）化简 ． 12．（22-23高一下·上海浦东新·阶段练习）已知角终边上一点，则 ． 题型三：利用诱导公式证明恒等式 三角恒等式的证明的策略 1遵循的原则：在证明时一般从左边到右边，或从右边到左边，或左右归一，总之，应遵循化繁为简的原则. 2常用的方法：定义法，化弦法，拆项拆角法，公式变形法，“1”的代换法. 1．（24-25高一上·上海·课堂例题）证明：． 2．求证：=. 3．已知A、B、C是的三个内角，求证； （1）；     （2）. 题型四：诱导公式的综合应用 诱导公式综合应用要“三看” 一看角：①化大为小；②看角与角间的联系，可通过相加、相减分析两角的关系. 二看函数名称：一般是弦切互化. 三看式子结构：通过分析式子，选择合适的方法，如分式可对分子分母同乘一个式子变形. 1．（23-24高一下·上海·期中）已知，则的值为 . 2．（24-25高一上·上海·课后作业）若，，则 . 3．（23-24高一下·上海·阶段练习）若，则 ． 4．（23-24高一下·上海黄浦·期中）在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的正半轴重合，其终边过点，角的终边与角的终边关于直线对称，则 . 5．（2024高一下·上海·专题练习） ． 6．（23-24高一下·上海嘉定·阶段练习）已知扇形的半径为，弧长为，若其周长为，当该扇形面积最大时，其圆心角为，则 . 7．（23-24高一下·上海·假期作业）如图，已知点的坐标为，将绕坐标原点逆时针旋转至. 求点的坐标. 8．（23-24高一下·上海·阶段练习）已知，求：的值 9．（22-23高一下·上海浦东新·阶段练习）已知是第二象限角，则； (1)化简； (2)若，求的值． 一、单选题 1．（2024高一下·上海·专题练习）与一定相等的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·上海嘉定·阶段练习）质点P和Q在以坐标原点O为圆心，半径为1的上逆时针作匀速圆周运动，同时出发.P的角速度大小为，起点为与x轴正半轴的交点；Q的角速度大小为，起点为射线与的交点.则当点与重合时，点的坐标不可能是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高一下·上海普陀·期末）对于给定的正整数，定义集合．若恰有4个元素，则的可能值有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4.（23-24高一下·上海·期中）设集合，则集合的元素个数为（    ）. A．1012 B．1013 C．2024 D．2025 二、填空题 5．（22-23高一下·上海浦东新·阶段练习） . 6．（22-23高一下·上海浦东新·阶段练习）计算： . 7．（23-24高一下·上海·期末）已知，则 . 8．（23-24高一下·上海徐汇·期中）已知，则 ． 9．（23-24高一下·上海闵行·期中）已知，则 . 10．化简： ． 11．（2024·上海闵行·二模）始边与轴的正半轴重合的角的终边过点，则= . 12．（23-24高一下·上海·阶段练习）已知，则可用k表示为 . 13．（23-24高一下·上海·阶段练习）记，那么 .（用表示） 14．（23-24高一下·上海·期中）在平面直角坐标系xOy中，若角θ的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边与以点O为圆心的单位圆交于点，则的值为 ． 15．（23-24高一下·上海黄浦·期中）若，则 . 16．（23-24高一下·上海·期中）已知角的终边与单位圆交于点，则 . 17．（22-23高一下·上海浦东新·期中）已知，则 ． 18．（23-24高一下·上海浦东新·期中）若点，将绕坐标原点逆时针旋转至.则点的坐标是 . 三、解答题 19.求证：. 20．（23-24高一上·上海·期末）已知，. (1)求的值； (2)求值：. 21．（22-23高一下·上海浦东新·开学考试）设，求的值． 22．（22-23高一上·上海浦东新·期末）化简下列各式： (1)； (2). 23、（1）求函数的值域； （2）化简：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 学科网（北京）股份有限公司 $$