加练3 数学建模与建模思想-【一战成名新中考】2025广西中考数学·一轮复习·分层作业本（练册）

分层作业本·广西数学 　 加 　 练 加练 3　 数学建模与建模思想 (每年必考 1~ 2 道) 类型一　 费用最值问题 　 　 费用最值问题一般考查一次函数最值问题(北部湾 2020. 24,2019. 24,)、二次函数最值问题(北部湾 2022. 23)两种情况: 　 　 一次函数最值问题的特点(如第 1 题):1. 商品单价是确定的,2. 利润为销量的一次函数,3. 由于一次 函数本身并无最值,所以题目中一定会出现“超过”“不足”“不超过”“不低于”等关键词来限定自变量的取 值范围,4. 确定最值时需先利用不等式确定自变量的取值范围,再利用一次函数增减性确定函数最值; 　 　 二次函数最值问题的特点(如第 2 题):1. 商品单价是不确定的,2. 通常商品销量是单价的一次函数, 则利润为单价的二次函数,3. 通常不涉及限制自变量范围的关键词,4. 通常可直接利用二次函数性质,当 自变量取值为- b 2a 时,求得最值,5. 若有条件限制自变量取值范围时,需确定二次函数对称轴是否在范围 内,再通过增减性确定最值. 1. 茶为国饮,茶文化是中国传统文化的重要组成 部分,这也带动了茶艺、茶具、茶服等相关文化 的延伸及产业的发展,在“春季茶叶节”期间, 某茶具店老板购进了 A、B 两种不同的茶具. 若 购进 A 种茶具 1 套和 B 种茶具 2 套,需要 250 元;若购进 A 种茶具 3 套和 B 种茶具 4 套,需 要 600 元,且已知销售一套 A 种茶具,可获利 30 元,销售一套 B 种茶具可获利 20 元. (1)A、B 两种茶具每套进价分别为多少元? (2)由于茶具畅销,老板决定再次购进 A、B 两 种茶具共 80 套,茶具工厂对两种茶具进行 了价格调整,A 种茶具的进价比第一次购 进时提高了 8%,B 种茶具的进价在第一次 购进时进价的基础上打八折. 如果茶具店 老板此次用于购进 A、B 两种茶具的总费 用不超过 6 240 元,则如何进货可使再次 购进的茶具获得最大利润? 最大利润是 多少? 2. 地方素材 为促进乡村振兴发展,着力打造乡村 旅游重点村,广西某旅游村在 2023 年的国庆 节假期间,接待游客达 2 万人次,预计 2025 年 的国庆节假期接待游客有望达到 2. 88 万人 次,该旅游村内一家特色米粉店希望在国庆节 假期间卖米粉获得好的收益,经测算可知,该 米粉的成本价为每份 10 元,若每份米粉卖 15 元,平均每天将销售 128 份,若价格每提高 1 元,则平均每天少销售 8 份,每天店内所需其 他各种费用需支出 232 元. (1)求预计该景区 2024、2025 两年国庆节假期 间游客人次的年平均增长率; (2)为了更好地维护景区形象,物价局规定每 份米粉售价不得超过 20 元,当每份米粉提 高多少元时,店家才能实现每天净利润 600 元? (3)当每份米粉售价多少元时,店家获得的利 润最大? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 811 分层作业本·广西数学 　 加 　 练 类型二　 工程、行程类问题 工程问题基本关系式:工作总量=工作效率×工作时间, 行程问题基本关系式:路程=速度×时间, 从基本关系式可以看出,工程问题、行程问题二者的本质相同,均为总量=速度×时间. 3. 用甲、乙两个机器同时开始加工一批零件,加 工一段时间后,甲机器停工进行检修,乙机器 以原来的效率继续加工,乙机器工作效率始终 不变. 甲机器检修结束后,提高工作效率继续 加工,共用了 5 h 完成任务. 两个机器加工的零 件总数 y(件)与乙机器加工时间 x( h)之间的 函数图象如图所示. (1)乙机器的工作效率是　 30　 件 / h; (2)甲机器检修结束后,求 y 与 x 之间的函数 解析式; (3)在整个加工过程中,当甲机器与乙机器加 工的零件个数相等时,直接写出乙机器的 加工时间. 第 3 题图 解:( 1 ) 30; 【解法提示 】 80-50 2-1 =30(件 / h) . (2)甲机器检修结束后,设 y 与 x 之间的函数解析式 为 y=kx+b, 由图知,y = kx+b 的图象过 点(2,80),(5,320), 则 2k+b=80, 5k+b=320,{ 解得 k=80, b=-80,{ ∴ y 与 x 之间的函数解析式为 y=80x-80; (3)4 h. 【解法提示】∵甲机器与乙机器加工的零件 个数相等,∴30x=80x-80-30x,解得 x = 4,∴乙机器 的加工时间为 4 h. 4. [2024 柳州三模]每年的 12 月 2 日为“全国交通 安全日”,考虑将数字“122”作为我国道路交通 事故报警电话,群众不仅对此认知度高,而且 方便记忆和宣传. 遇车减速是行车安全常识, 公路上正在行驶的甲车发现前方 10 m 处沿同 一方向行驶的乙车后,开始减速,减速后甲车 行驶的路程 s(单位:m)、速度 v(单位:m / s)与 时间 t(单位:s) 的关系可以分别用二次函数 (如图①)和一次函数(如图②)表示. (1)直接写出 s 关于 t 的函数表达式和 v 关于 t 的 函数表达式;(不要求写出 t 的取值范围) (2)当甲车减速至 10 m / s 时,它行驶的路程是 多少? (3)多解法 ∙∙∙ 若乙车以 12 m / s 的速度匀速行驶, 两车何时相距最近,最近距离是多少? 图① 　 图② 第 4 题图 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 911 分层作业本·广西数学 　 加 　 练 类型三　 抛物线、类抛物线型问题 5. [2024 甘肃省卷]如图①为一汽车停车棚,其棚 顶的横截面可以看作是抛物线的一部分,如图 ②是棚顶的竖直高度 y(单位:m)与距离停车 棚支柱 AO 的水平距离 x(单位:m)近似满足函 数关系 y= -0. 02x2 +0. 3x+1. 6 的图象,点 B(6, 2. 68)在图象上. 若一辆箱式货车需在停车棚 下避雨,货车截面看作长 CD=4 m,高 DE= 1. 8 m 的矩形,则可判定货车 　 能　 完全停到车棚内 (填“能”或“不能”) . 图① 　 　 图② 第 5 题图 6. [2024 天津·人教九上 P49 问题改编]从地面竖直 向上抛出一小球,小球的高度 h(单位:m)与小 球的运动时间 t(单位:s)之间的关系式是 h = 30t-5t2(0≤t≤6) . 有下列结论: ①小球从抛出到落地需要 6 s; ②小球运动中的高度可以是 30 m; ③小球运动 2 s 时的高度小于运动 5 s 时的 高度. 其中,正确结论的个数是 ( C ) A. 0　 　 　 B. 1　 　 　 C. 2　 　 　 D. 3 7. 《中华人民共和国道路交通安全法》规定,同车 道行驶的机动车,后车应当与前车保持足以采 取紧急制动措施的安全距离,其原因可以用物 理和数学的知识来解释. 行驶中的汽车刹车 后,由于惯性还会继续向前滑行一段距离,这 段距离称为“刹车距离” . 当行驶的汽车急刹车 时,刹车距离 s( m)与时间 t( s)的函数关系式 为 s= 16t-4t2,当遇到紧急情况刹车时,后车应 当与前车保持足以采取紧急制动措施的最小 安全距离为 ( D ) A. 13 m B. 14 m C. 15 m D. 16 m 8. [2024 陕西]一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬 索桥. 桥梁的缆索 L1 与缆索 L2 均呈抛物线型, 桥塔 AO 与桥塔 BC 均垂直于桥面,如图所示, 以 O 为原点,以直线 FF′为 x 轴,以桥塔 AO 所 在直线为 y 轴,建立平面直角坐标系. 已知:缆索 L1 所在抛物线与缆索 L2 所在抛物 线关于 y 轴对称,桥塔 AO 与桥塔 BC 之间的距 离 OC= 100 m,AO =BC = 17 m,缆索 L1 的最低 点 P 到 FF′的距离 PD= 2 m. (桥塔的粗细忽略 不计) (1)求缆索 L1 所在抛物线的函数表达式; (2)点 E 在缆索 L2 上,EF⊥FF′,且 EF = 2. 6 m, FO<OD,求 FO 的长. 第 8 题图 解:(1)∵AO=17 cm,∴A(0,17) . 又∵OC=100 m,缆索 L1 的最低点 P 到 FF′的距离 PD=2 m, ∴抛物线的顶点 P 为(50,2) . 设绳索 L1 所在抛物线的函数表达式为 y =a(x-50) 2 +2. 将 A 代入可得,2 500a+2=17,解得 a= 3 500 . ∴缆索 L1 所在抛物线的函数表达式为 y = 3 500 ( x- 50) 2+2; (2)∵缆索 L1 所在抛物线与缆索 L2 所在抛物线关 于 y 轴对称,缆索 L1 所在抛物线的函数表达式为 y= 3 500 (x-50) 2+2, ∴缆索 L2 所在抛物线的函数表达式为 y = 3 500 ( x+ 50) 2+2. 令 y=2. 6,∴2. 6= 3 500 (x+50) 2+2, 解得 x=-40 或 x=-60. ∵FO<OD=50 m, ∴ x=-40. ∴FO 的长为 40 m. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 021 分层作业本·广西数学 　 加 　 练 类型四　 其他问题 9. [2024 河南]为响应“全民植树增绿,共建美丽 中国”的号召,学校组织学生到郊外参加义务 植树活动,并准备了 A,B 两种食品作为午餐. 这两种食品每包质量均为 50 g,营养成分表 如下. 　 (1)若要从这两种食品中摄入 4 600 kJ 热量和 70 g 蛋白质,应选用 A,B 两种食品各多 少包? (2)运动量大的人或青少年对蛋白质的摄入量 应更多. 若每份午餐选用这两种食品共 7 包,要使每份午餐中的蛋白质含量不低于 90 g, 且热量最低, 应如何选用这两种 食品? 解:(1)设选用 A 种食品 x 包,B 种食品 y 包, 根据题意得 700x+900y=4 600, 10x+15y=70,{ 解得 x=4, y=2.{ 答:应选用 A 种食品 4 包,B 种食品 2 包; (2)设选用 A 种食品 m 包,则选用 B 种食品(7-m) 包,根据题意得 10m+15(7-m)≥90,解得 m≤3. 设每份午餐的总热量为 w kJ,则 w = 700m+900(7- m),即 w=-200m+6 300, ∵-200<0,∴w 随 m 的增大而减小, ∴当 m=3 时,w 取得最小值,此时 7-m=7-3=4. 答:应选用 A 种食品 3 包,B 种食品 4 包. 10. [2024 钦州一模]如图,是一种学生双肩背包, 其背带由固定带、活动带和调节扣构成. 使用 时,可以通过调节调节扣使背带的总长度(固 定带与活动带使用部分的长度总和,其中调 节扣所占的长度忽略不计)加长或缩短. 设活 动带未用部分的长度为 x cm,背带的总长度 为 y cm,经测量,得到如下数据:(说明:本题 只讨论一条背带) 活动带未用 部分的长度 x(cm) 5 10 15 20 … 30 背带的总 长度 y(cm) 65 60 55 m … n (1)根据表中数据的规律,填空:m = 　 50 　 , n= 　 40　 ; (2) 当 5 ≤x≤30 时,求 y 关于 x 的函数解 析式; (3)在下面的平面直角坐标系中,请直接画出 (2)中的函数图象; (4)根据小敏的身高和习惯,背带的总长度为 52 cm 时,背起来最合适,请求出此时活动 带未使用部分的长度. 第 10 题图 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 121 一战成名·广西数学 分 层 作 业 本 10.解:任务一:(1)等式的基本性质; (2)二,去括号时 1 没有乘 4; 任务二:方程两边同乘 2(x+1),得 2×2(x+1) -( x-3)= 2 ×3x, 解得 x= 7 3 , 检验:当 x= 7 3 时,2(x+1)≠0, 所以 x= 7 3 是原分式方程的解, 任务三:建议:去括号时,如果括号前是负号,括号里的每 一项都要变号. (答案不唯一) 加练 2　 代数推理(整体代入法求代数式的值) 1. D　 【解析】∵ x-2y= 5,∴ 2x-4y= 2(x-2y)= 2×5 = 10. 2. A　 【解析】∵ ab= -3,∴ a2b2 = (ab) 2 = ( -3) 2 = 9. 3. 11　 【解析】∵ a2 -2a-5 = 0,∴ a2 - 2a = 5,∴ 原式 = 2(a2 - 2a) +1 = 2×5+1 = 11. 4. 1　 【解析】∵ a+b= 1,∴ a2 -b2 +2b= (a+b) (a-b) +2b = a-b +2b=a+b= 1. 5. D　 【解析】∵ a2 = 3a+ 3,∴ a2 - 3a = 3,∴ 2a2 - 6a+ 2 025 = 2(a2 -3a) +2 025 = 2×3+2 025 = 6+2 025 = 2 031. 6. A　 【解析】原式=a2 -2a+1+a2 -4 = 2a2 -2a-3 = 2(a2 -a) - 3,∵ a2 -a-2 = 0,∴ a2 -a= 2,∴ 原式= 2×2-3 = 1. 7. A　 【解析】∵ x2 -9y2 = ( x+ 3y) ( x- 3y),∴ 原式 = - 1× 5 = -5. 8. D　 【解析】∵ x2 -y2 = (x+y)(x-y)= 35,x+y = 7,∴ x-y = 5, ∴ 2x-2y= 2(x-y)= 10. 9. B　 【解析】∵ 2a- 3 = b,ab = 2,∴ 2a-b = 3,∴ 2a2b-ab2 = ab(2a-b)= 2×3 = 6. 10. C　 【解析】∵ ab= 2,a-b = 1,∴ a2b-ab2 = ab(a-b) = 2×1 = 2. 11. 88　 【解析】∵ a-b= 5,b-c= 3,∴ a-b+b-c= 8,即 a-c= 8, ∴ (a-c) 2 +3a-3c= 82 +3×8 = 88. 12. B　 【解析】∵ 1 2 a-(ab- 1 2 b)= 1 2 (a+b) -ab,∴ 当 a+b = 6,ab= 4 时,原式= 1 2 ×6-4 = 3-4 = -1. 13. A　 【解析】∵ 2a-b= 3①,a+b= 1②,∴ ①-②得 a-2b = 2, ∴ 3a-6b= 3(a-2b)= 3×2 = 6. 14. C　 【解析】∵ -6a-3b = - 9,∴ 2a+b = 3,∴ 4a2 -b2 = (2a+ b)(2a-b)= 3×2 = 6. 15. C　 【解析】∵ a+b= 3,a-b = 12,∴ (a-5) 2 -( b+5) 2 = (a- 5+b+5)(a-5-b-5)= (a+b)(a-b-10)= 3×(12-10)= 3× 2 = 6. 16. B　 【解析】∵ a2 - 2a- 2 = 0,∴ a2 - 2a = 2,∴ a3 +a2 - 8a+ 2 024 =a(a2 -2a) +3a2 -8a+2 024 = 2a+3a2 -8a+2 024 = 3(a2 -2a) +2 024 = 3×2+2 024 = 2 030. 17. B　 【解析】∵ (x+m)(x+n) = x2 +(m+n) x+mn,且( x+m) (x+n)= x2 -2mnx+4,∴ m+n= -2mn,mn= 4,∴ m2 +n2 = (m +n) 2 -2mn= ( -2mn) 2 -2mn= ( -2×4) 2 -2×4 = 56. 18. D　 【解析】∵ ab= 2, 1 a + 1 b = 3 2 ,∴ a+b ab = 3 2 ,即 a+b = 3, a3b+2a2b2 +ab3 =ab(a2 +2ab+b2 )= ab(a+b) 2 = 2×32 = 18. 19. A　 【解析】将方程 3x+7y+z = 5 两边都乘 3 得,9x+21y+ 3z= 15①,将方程 4x+10y+z= 3 两边都乘 2 得,8x+20y+2z = 6②,①-②,得 x+y+z= 9. 20. A　 【解析】当 x= 3 时,代数式 ax3 +bx+1 的值为 2 025,即 27a+3b+1 = 2 025,∴ 27a+3b= 2 024,当 x= -3 时,代数式 ax3 +bx+1 的值为-27a-3b+1 = -(27a+3b) +1 = -2 024+1 = -2 023. 21.解:(1)∵ a2 -4ab+4b2 = (a-2b) 2 , ∴ 将“a-2b”看成整体,令 a-2b=A, 原式=A2 -9 =A2 -32 = (A+3)(A-3), 再将“A”还原,原式= (a-2b+3)(a-2b-3); (2)将“n2 -n”看成整体,令 n2 -n=B, 原式=B(B+2) +1 =B2 +2B+1 = (B+1) 2 , ∵ n 为正整数,∴ B+1 =n2 -n+1 也为正整数, ∴ (n2 -n)(n2 -n+2) +1 的值一定是某个整数的平方. 加练 3　 数学建模与建模思想 1.解:(1)设 A 种茶具每套进价为 a 元,B 种茶具每套进价 为 b 元. 根据题意,得 a+2b= 250, 3a+4b= 600,{ 解得 a= 100, b= 75,{ 答:A 种茶具每套进价为 100 元,B 种茶具每套进价为 75 元; (2)由题意得,再次购进 A、B 两种茶具时,A 种茶具每套 进价为 100×(1+8%)= 108(元),B 种茶具每套进价为 75 ×0. 8 = 60(元) . 设购进 A 种茶具 x 套,则购进 B 种茶具(80-x)套. 根据题意,得 108x+60(80-x)≤6 240, 解得 x≤30. 设获得的利润为 W 元,则 W= 30x+20(80-x)= 10x+1 600, ∵ 10>0, ∴ W 随 x 的增大而增大, ∵ x≤30, ∴ 当 x= 30 时,W 的值最大,W最大 = 10×30+1 600 = 1 900, 此时购进 B 种茶具 80-30 = 50(套), 答:购进 A 种茶具 30 套、B 种茶具 50 套可获得最大利润, 最大利润是 1 900 元. 2.解:(1)设年平均增长率为 x,依题意得,2(1+x) 2 = 2. 88, 解得 x1 = 0. 2 = 20%,x2 = -2. 2(不合题意,舍去), 答:预计该景区 2024、2025 两年国庆节假期间游客人次的 年平均增长率为 20%; (2)设当每份米粉提高 m 元时,店家才能实现每天净利润 600 元,由题可得: (15+m-10)(128-8m) -232 = 600, 即 m2 -11m+24 = 0, 解得 m1 = 3,m2 = 8, 当 m1 = 3 时,售价为 15+3 = 18<20,符合题意; 当 m2 = 8 时,售价为 15+8 = 23>20,不符合题意,舍去; 答:每份米粉提高 3 元时, 店家才能实现每天净利润 600 元; (3)设每份米粉售价 n 元,利润为 w 元, 依题意,得 w = ( n- 10) [ 128 - 8 × ( n- 15)] - 232 = - 8n2 + 328n-2 712 = -8(n-20. 5) 2 +650, ∵ -8<0, 在 x= 20. 5 时,w 有最大值,且 w最大 = 650(元), 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 04 一战成名·广西数学 分 层 作 业 本 答:当每份米粉售价 20. 5 元时,店家获得的利润最大. 3.解:(1)30;【解法提示】 80-50 2-1 = 30(件 / h) . (2)甲机器检修结束后,设 y 与 x 之间的函数解析式为 y= kx+b, 由图知,y= kx+b 的图象过点(2,80),(5,320), 则 2k+b= 80, 5k+b= 320,{ 解得 k= 80, b= -80,{ ∴ y 与 x 之间的函数解析式为 y= 80x-80(2≤x≤5); (3)4 h. 【解法提示】∵ 甲机器与乙机器加工的零件个数 相等,∴ 30x= 80x-80-30x,解得 x = 4,∴ 乙机器的加工时 间为 4 h. 4.解:(1)二次函数的表达式为 s= - 1 2 t2 +16t;一次函数的表 达式为 v= -t+16. 【解法提示】由题图可知,二次函数的图 象经过原点. 设二次函数的表达式为 s = at2 +bt,一次函数 的表达式为 v= kt+c. ∵ 二次函数经过点(2,30),(4,56), ∴ 4a+2b= 30, 16a+4b= 56,{ 解得 a= - 1 2 , b= 16, { ∴ 二次函数表达式为 s= - 1 2 t2 + 16t; ∵ 一次函数经过点 ( 0, 16), ( 8, 8), ∴ 8k+c= 8, c= 16,{ 解得 k= -1, c= 16,{ ∴ 一次函数的表达式为 v= -t+16. (2)∵ v= -t+16, ∴ 当 v= 10 时,-t+16 = 10,解得 t= 6. 　 ∵ s= - 1 2 t2 +16t, ∴ 当 t= 6 时,s= - 1 2 ×62 +16×6 = 78, ∴ 当甲车减速至 10 m / s 时,它行驶的路程是 78 m. (3)解法一:由题意得乙车行驶的路程 y 关于 t 的函数关 系式为 y= 10+12t, 两车之间的距离 p = ( 10+ 12t) -( - 1 2 t2 + 16t) = 1 2 t2 - 4t +10, ∴ 当 t= - -4 2× 1 2 = 4 时,两车之间的距离 p 最小,最小值为 1 2 ×42 -4×4+10 = 2(m) . 答:4 秒时,两车相距最近,最近距离是 2 m. 解法二:∵ 当 t= 0 时,甲车的速度为 16 m / s, ∴ 当 12<v<16 时,两车之间的距离逐渐变小; 当 0<v<12 时,两车之间的距离逐渐变大, ∴ 当 v= 12 m / s 时,两车之间的距离最小. 将 v= 12 代入 v= -t+16,得 t= 4; 将 t= 4 代入 s= - 1 2 t2 +16t,得 s= 56, 此时两车之间的距离为 12×4+10-56 = 2(m) . 答:4 秒时,两车相距最近,最近距离是 2 m. 5. 能 　 【解析】 ∵ CD = 4 m,B( 6,2. 68),∴ 6 - 4 = 2,在 y = -0. 02x2 +0. 3x+1. 6 中,当 x = 2 时,y = -0. 02×22 +0. 3×2+ 1. 6 = 2. 12,∵ 2. 12>1. 8,∴ 货车能完全停到车棚内. 6. C　 【解析】①令 h = 0,则 30t-5t2 = 0,解得 t1 = 0,t2 = 6,∴ 小球从抛出到落地需要 6 s,故①正确;②h = 30t- 5t2 = - 5 ( t2 -6t)= -5( t-3) 2 +45,∵ -5<0,∴ 当 t = 3 时,h 有最大 值,最大值为 45,∴ 小球运动中的高度可以是 30 m,故② 正确;③t= 2 时,h= 30×2-5×4 = 40(m),t = 5 时,h = 30×5- 5×25 = 25(m),∴ 小球运动 2 s 时的高度大于运动 5 s 时 的高度,故③错误. 7. D　 【解析】由题意得,s= 16t-4t2 = -4( t-2) 2 +16,∵ -4<0, ∴ 当 t= 2 时, s 最大,∴ 当 t = 2 时,汽车停下来,滑行了 16 m. 8.解:(1)∵ AO= 17 cm, ∴ A(0,17) . 又∵ OC= 100 m,缆索 L1 的最低点 P 到 FF′的距离 PD = 2 m, ∴ 抛物线的顶点 P 为(50,2) . 设绳索 L1 所在抛物线的函数表达式为 y=a(x-50) 2 +2. 将点 A 代入可得,2 500a+2 = 17,解得 a= 3 500 . ∴ 缆索 L1 所在抛物线的函数表达式为 y = 3 500 ( x- 50) 2 +2; (2)∵ 缆索 L1 所在抛物线与缆索 L2 所在抛物线关于 y 轴 对称,缆索 L1 所在抛物线的函数表达式为 y= 3 500 (x-50) 2 +2, ∴ 缆索 L2 所在抛物线的函数表达式为 y = 3 500 ( x+ 50) 2 +2. 令 y= 2. 6, ∴ 2. 6 = 3 500 (x+50) 2 +2, 解得 x= -40 或 x= -60. ∵ FO<OD= 50 m, ∴ x= -40. ∴ FO 的长为 40 m. 9.解:(1)设选用 A 种食品 x 包,B 种食品 y 包, 根据题意得 700x+900y= 4 600, 10x+15y= 70,{ 解得 x= 4, y= 2.{ 答:应选用 A 种食品 4 包,B 种食品 2 包; (2)设选用 A 种食品 m 包,则选用 B 种食品(7-m)包,根 据题意得 10m+15(7-m)≥90,解得 m≤3. 设每份午餐的总热量为 w kJ,则 w = 700m+900(7-m),即 w= -200m+6 300, ∵ -200<0,∴ w 随 m 的增大而减小, ∴ 当 m= 3 时,w 取得最小值,此时 7-m= 7-3 = 4. 答:应选用 A 种食品 3 包,B 种食品 4 包. 10.解:(1)50,40; (2)观察表格可知,y 是 x 的一次函数,设 y = kx+ b,则 有 5k+b= 65, 10k+b= 60,{ 解得 k= -1, b= 70,{ 当 5≤x≤30 时,y 关于 x 的函数解析式为 y= -x+70; (3)作出图象如解图; 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 14 一战成名·广西数学 分 层 作 业 本 第 10 题解图 (4)令 y= 52, ∴ 52 = -x+70,解得 x= 18, ∴ 活动带未使用部分的长度为 18 cm. 加练 4　 尺规作图题 例　 (1)= , = ;(2)△APB,△ABC; (3)是,与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直 平分线上;(4)= , = . 1.解:如解图所示,△ABC 为所求作的三角形. 第 1 题解图 2.解:(1)如解图①所示,AE 即为∠CAB 的平分线; 第 2 题解图① (2)AB=AC+CG,理由如下,如解图②所示, ∵ AB∥CD,AE 是∠CAB 的平分线, ∴ ∠CAE= ∠EAB= ∠CEA. ∴ AC=EC. ∵ AE 的中点为 F, ∴ AF=FE. 在△GFE 和△BFA 中, ∠GEA= ∠EAB, EF=AF, ∠EFG= ∠AFB, { ∴ △GFE≌△BFA(ASA) . ∴ GE=AB. ∵ EG=EC+CG,AC=EC, ∴ AB=AC+CG. 第 2 题解图② 3.解:(1)作图如解图所示; 第 3 题解图 (2)∵ AP=AQ,∠A= 60°, ∴ △APQ 是等边三角形, ∴ AQ=PQ, ∵ EF 垂直平分线段 BP, ∴ EP=EB, ∴ 四边形 PECQ 的周长 =CQ+QP+ PE+CE=CQ+AQ+EB+CE = AC+BC = 4+6 = 10. 4. (1)解:如解图,∠ECM 即为所求; 第 4 题解图 (2)证明:由( 1),得∠ECF = ∠A, ∴ CF∥AB. ∵ BE∥DC,∴ 四边形 CDBF 是平行 四边形, ∵ CD 是 Rt △ABC 斜边 AB 上的 中线, ∴ CD=BD,∴ 四边形 CDBF 是菱形. 5.解:(1)如解图所示,DE 即为所求作的高; 第 5 题解图 (2 ) ∵ AD = 4, ∠DAB = 30°,DE 是 AB 边上的高, ∴ cos∠DAB= AE AD , 即 AE 4 = cos30° = 3 2 , ∴ AE= 4× 3 2 = 2 3 . 又∵ AB= 6, ∴ BE=AB-AE= 6-2 3 ,即 BE 的长为 6-2 3 . 6.解:(1)如解图,BD 为∠ABC 的平分线; (2)如解图,在(1) 中所作的图中,过点 D 作 DH⊥AB 于 点 H, ∵ BD 是∠ABC 的平分线,且∠C= 90°,∠DHB= 90°, ∴ DH=CD= 3 2 ,∴ S△ABD = 1 2 AB·DH= 1 2 ×6× 3 2 = 9 2 . 第 6 题解图 7.解:(1)作法一:作图如解图①所示; 第 7 题解图① 作法二:作图如解图②所示; 第 7 题解图② (2)猜想:DC= 1 2 BE. 证明:∵ 四边形 ABCD 是菱形, ∴ BD⊥AC,BO=OD, ∵ DE∥AC,∴ ∠BDE= ∠BOC= 90°, BO OD =BC CE , ∴ BC=CE,即 CD 是 Rt△BDE 斜边上的中线, ∴ CD= 1 2 BE. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 24