6.3 圆的相关计算-【一战成名新中考】2025广西中考数学·一轮复习·分层作业本（练册）

一战成名·广西数学 分 层 作 业 本 23°26′+23°26′= 46°52′,∵ MO∥NF,∴ ∠α = ∠FQO = 90° -∠MOF= 90°-46°52′= 43°8′. 14. B　 【解析】如解图,连接 OE,OF. ∵ CF,CE 是☉O 的切 线,∴ OF⊥CF,OE⊥CE,∴ ∠F = ∠E = 90°,∵ ∠ACB = 90°,∴ 四边形 OECF 是矩形,∵ OE=OF,∴ 四边形 OECF 是正方形,设 OE=OF = r 步,则 BF = ( r-90)步,AE = ( r- 48)步,∵ AB,AE,BF 是☉O 的切线,∴ AE = AD = ( r- 48) 步,BF=BD= ( r-90)步,∵ AB = AC2 +BC2 = 482 +902 = 102(步),∴ ( r-48) +( r-90)= 102,∴ r= 120. 第 14 题解图 15. (1)证明:证法一:如解图①,连接 OD,AD, ∵ AC 为☉O 的直径, ∴ ∠ADC= 90°,即 AD⊥BC. ∵ DE⊥AB,∴ ∠AED= 90°, ∴ ∠EAD+∠EDA= 90°, 又∵ AB=AC,AD⊥BC, ∴ AD 为∠BAC 的平分线, ∴ ∠EAD= ∠OAD, ∵ OA=OD,∴ ∠OAD= ∠ADO, ∴ ∠EAD= ∠ADO, ∴ ∠EDA+∠ADO= 90°, ∴ DE⊥OD, 又∵ OD 是☉O 的半径,∴ DE 是☉O 的切线; 图① 　 　 图② 第 15 题解图 证法二:如解图①,连接 OD,AD, ∵ AC 是☉O 的直径, ∴ ∠ADC= 90°,即 AD⊥BC, 又∵ AB=AC,∴ BD=CD, ∵ OA=OC,∴ OD∥AB, ∵ DE⊥AB,∴ OD⊥DE, 又∵ OD 是☉O 的半径, ∴ DE 是☉O 的切线; 证法三:如解图①,连接 OD,AD, ∵ AC 是☉O 的直径, ∴ ∠ADC= 90°, ∵ AB=AC,∠ADC= 90°, ∴ ∠DAE= ∠DAC, 又∵ ∠AED= ∠ADC, ∴ △AED∽△ADC, ∴ ∠ADE= ∠ACD. ∵ OA=OD,∴ ∠OAD= ∠ODA, ∴ ∠ODA+∠ADE=∠OAD+∠ACD= 90°,即∠ODE= 90°, ∵ OD 为☉O 的半径, ∴ DE 为☉O 的切线; (2)解:解法一:如解图②,连接 OD,AD,过点 O 作 OG⊥ AF 于点 G, 则∠OGA= 90°,AG=GF= 1 2 AF= 5, 由(1)知∠DEA= ∠ODE= 90°, ∴ 四边形 EDOG 为矩形, ∴ OD=EG,OG=DE, ∵ AE DE = 2 3 , ∴ 设 AE= 2x,则 DE= 3x, ∴ EG= 2x+5,OG=DE= 3x, ∴ OA=OD=EG= 2x+5, 在 Rt△OAG 中,OA2 =OG2 +AG2 , ∴ (2x+5) 2 = (3x) 2 +52 , ∴ x= 4 或 x= 0(舍去), ∴ OA= 2x+5 = 13, 即☉O 的半径是 13. 解法二:如解图②,连接 OD,AD,CF, ∵ AB=AC,∴ ∠ACB= ∠B, ∵ AC 为☉O 的直径,∴ ∠ADC= 90°,∠AFC= 90°, ∴ ∠ADC= ∠CFB= 90°, ∴ △ADC∽△CFB, ∴ △AED∽△ADC∽△CFB. 设☉O 的直径为 x, ∵ AE DE = 2 3 ,∴ DE AD = 3 13 =DC AC =BF BC , ∴ DC= 3AC 13 = 3 13 x, ∴ BC= 6 13 x, ∴ BF BC =AB +AF BC = x +10 6x 13 = 3 13 ,解得 x= 26. ∴ ☉O 的半径为 13. 命题点 3　 圆的相关计算 1. π　 【解析】 l= 60π×3 180 = π(cm) . 2. B　 【解析】根据题意得 l = 105π×12 180 = 7π( cm),则重物上 升了 7π cm. 3. 5　 【解析】由题意得:∠AOB = 360°× 0. 618 0. 618+1 ≈137. 5°,设 OA=OB = r cm, ∵ AB ( 的长约为 3. 8π cm, ∴ 137. 5πr 180 ≈ 3. 8π,解得 r≈5,∴ OA=OB≈5 cm,∴ OA的长度约为 5 cm. 4. 0. 8 　 【解析】 由题意知, l AD( = 60π·OA 180 = 1 3 π, l BC( = 60π·OB 180 = 3 5 π,解得 OA= 1,OB= 9 5 ,∴ AB=OB-OA= 0. 8 (米) . 5. 10π　 【解析】根据扇形的面积公式 S扇形 = n 360 πr2 ,得 S扇形 = 100 360 π×62 = 10π. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 92 一战成名·广西数学 分 层 作 业 本 6. B　 【解析】由题知,扇形所在圆的直径是 16 步,∴ 半径为 8 步,又∵ 扇形的弧长为 30 步,∴ S扇形 = 1 2 ×30×8 = 120(平 方步) . 7. A　 【解析】∵ ∠ACB=90°,AC=6,BC=8,∴ AB=10,∴ Rt△ABC 所扫过的面积= 90×π×102 360 + 1 2 ×6×8 = 25π+24. 8. B　 【解析】∵ 圆锥底面圆的半径为 3,∴ 圆锥底面圆的周 长为 2πr= 2π×3 = 6π,∴ 圆锥侧面展开图的弧长为 6π. 变式 8-1 　 C 　 【解析】该圆锥的侧面展开扇形的弧长为 90π×16 180 = 8π(cm),∴ 底面圆的周长为 2πr底 = 8π,∴ r底 = 4 cm. 变式 8-2　 120 变式 8-3　 9 2 π　 【解析】∵ BO⊥OA,∠BAO = 45°,OA = 3, ∴ AB= 3 2 ,∴ S侧 = π·l·AB= π×3×3 2 = 9 2 π. 9. 3 000π 　 【解析】 S阴影 = S扇形OAD - S扇形OBC = 100π·OA2 360 - 100π·OB2 360 = 100π ×1202 360 -100π ×602 360 = 3 000π(cm2 ) . 10. 5π+10　 【解析】如解图,连接 CO,∵ 小正方形的边长为 2,∴ OC=OB = 42 +22 = 2 5 ,BC = 22 +62 = 2 10 ,∴ OC2 +OB2 =BC2 ,∴ ∠COB= 90° = ∠AOC,∴ 图中阴影部分 的面积是 S扇形AOC+S△COB = 90 360 π×(2 5 ) 2 + 1 2 ×( 2 5 ) 2 = 5π+10. 第 10 题解图 　 　 第 11 题解图 11. B　 【解析】如解图,连接 CF,OC,OF 交 AC 于 E,∵ 点 C 为劣弧 BF 的中点,∴ CF ( =BC ( ,∵ ∠BAC= 30°,∴ ∠BAC = ∠CAF = 30°,∴ ∠COF = 2∠CAF = 60° = ∠OAF,∵ OA = OF=OC= 1 2 AB= 1,∴ △AOF 和△COF 均为等边三角形, ∴ ∠AOF = ∠CFO = 60°, ∴ AB∥CF, ∴ S△ACF = S△COF,则 S阴影 =S△ACF+S弓形CF =S△COF+S弓形CF =S扇形COF = 60π×12 360 = π 6 . 12. D　 【解析】如解图,过点 A 作 AD⊥BC 于 D,∵ △ABC 是 等边三角形,∴ AB=AC=BC= 2,∠BAC= ∠ABC= ∠ACB = 60°,∵ AD⊥BC,∴ BD=CD= 1,AD= 3BD= 3 ,∴ S△ABC = 1 2 BC·AD= 1 2 ×2× 3 = 3 ,S扇形 BAC = 60π×22 360 = 2 3 π,∴ 莱 洛三角形的面积 S= 3× 2 3 π-2× 3 = 2π-2 3 . 第 12 题解图 　 　 第 14 题解图 13. B　 【解析】 ∵ CA = CB,CD⊥ AB, ∴ AD = DB = 1 2 AB = 1 2 AB′,∴ ∠AB′D= 30°,∴ ∠B′AD = 2α = 60°,∴ α = 30°, ∵ AC= 4,∴ AD=AC·cos30° = 4× 3 2 = 2 3 ,∴ AB = 2AD = 4 3 ,∴ BB′ ( 的长是 60π×4 3 180 = 4 3 3 π. 14. 3 3 　 【解析】如解图,连接 AC,AE,∵ 四边形 ABCD 为菱 形,∴ ∠BAC = 1 2 ∠BAD = 1 2 ×120° = 60°,AB = BC = 2,∴ △ABC 为等边三角形,∵ 圆弧与 BC 相切于点 E,∴ AE⊥ BC,∴ BE=CE= 1,∴ AE = AB2 -BE2 = 22 -12 = 3 ,设 圆锥的底面圆半径为 r,根据题意得 2πr= 120π× 3 180 ,解得 r= 3 3 ,即圆锥的底面圆半径为 3 3 . 15. 7. 2　 【解析】设☉O 的半径为 r 千米,∠AOE = x°,由题意 可知:2πr= 40 000,∴ r = 40 000 2π = 20 000 π ,∵ BE ( 的长为 800 千米, l = nπr 180 ,∴ xπ· 20 000 π 180 = 800,解得 x = 7. 2,即 ∠AOE= 7. 2°,∵ AB∥CD,∴ ∠DCE= ∠AOE= 7. 2°. 综合与实践 1.解:(1)滤纸能紧贴此漏斗内壁,理由如下: 解法一:如解图,由题意知,AB=AC=BC= 7 cm, 折叠后 CD=CE= 1 2 ×10 = 5(cm), ∵ 滤纸围成的圆锥形底面周长= 1 2 ×10π = 5π(cm), ∴ DE·π = 5π, ∴ DE= 5 cm, ∴ DE AB =CD CA =CE CB , ∴ △CDE∽△CAB, ∴ 滤纸能紧贴此漏斗内壁; 第 1 题解图 解法二:∵ 表面贴紧的两个圆锥侧面展开 图的圆心角相等,∴ 表面是否贴紧只需要 判断展开图的圆心角是否相等,由题可 知,围成的圆锥展开图是半圆,其圆心角 为 180°,∵ 漏斗的底面周长为 7π cm,∴ 7nπ 180 = 7π,∴ n= 180,即漏斗的侧面展开图 扇形的圆心角为 180°,∴ 圆心角相等,即该滤纸围成的圆 锥形必能紧贴漏斗内壁; (2)如解图,由(1)知 CD=DE=CE= 5 cm, ∴ △CDE 是等边三角形,∴ ∠CDE= 60°, 过 C 作 CF⊥DE 于点 F,则 DF= 1 2 DE= 5 2 (cm), 在 Rt△CDF 中,CF= CD2 -DF2 = 5 3 2 (cm), ∴ V= 1 3 π·( 5 2 ) 2 × 5 3 2 = 125 3 24 π(cm3 ) . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 03 分层作业本·广西数学 　 第 六 章 圆 命题点 3　 圆的相关计算(4 年 2 考) 考向 1　 弧长的相关计算(2022. 11) 1. [2024 柳州三模]一个扇形的圆心角是 60°,半径 是 3 cm,则该扇形的弧长是　 π　 cm. (结果保 留 π) 2. 学科融合 [沪科九下 P54 例 1 改编]某校在社会实 践活动中,明明同学用一个直径为 24 cm 的定 滑轮带动重物上升. 如图,滑轮上一点 A 绕点 O 逆时针旋转 105°,假设绳索(粗细不计)与滑 轮之间没有滑动,则重物上升了 ( B ) 第 2 题图 A. 3. 5π cm B. 7π cm C. 12π cm D. 24π cm 3. 学科融合 [沪科九上 P74 阅读材料改编]黄金分割 被视为最美丽的几何学比例,并广泛地用于建 造和雕刻中,令人惊奇的是许多植物的叶片从上 往下看时,上下两层中相邻两片叶子错开的角度 满足图①所示的黄金比. 图②为符合上述规律 的某种植物,OA 和 OB 表示上下两层中相邻两 片叶子主叶脉的长度,若 OA=OB,且以点 O 为 圆心,OA 长为半径的 AB ( 的长约为 3. 8π cm, 则 OA 的长度约为　 　 　 　 cm. (结果保留整 数) 图① 　 图② 第 3 题图 4. 真实情境 [2024 南宁三美三模]传统服饰日益受 到关注,如图①为明清时期女子主要裙式之一 的马面裙,如图②马面裙可以近似地看作扇 环,其中 AD ( 长度为 1 3 π 米,BC ( 长度为 3 5 π 米, 圆心角∠AOD= 60°,则裙长 AB 为　 0. 8　 米. 图① 图② 第 4 题图 考向 2　 扇形面积的相关计算(2021. 17) 5. [2024 南宁十四中二模]在半径为 6 的圆中,100° 的圆心角所对的扇形面积等于　 10π　 (结果 保留 π) . 6. 数学文化 [2024 南宁二模]中国古代数学专著 《九章算术》 第一章“方田” 中记载了如下问 题:“今有宛田,下周三十步,径十六步,问为田 几何?”意思为:现有一块扇形的田,弧长是 30 步,其所在圆的直径是 16 步,则这块田的面积 是 ( B ) A. 200 平方步 B. 120 平方步 C. 44π 3 平方步 D. 32π 3 平方步 7. [2022 河池]如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB = 90°, AC= 6,BC = 8,将 Rt△ABC 绕点 B 顺时针旋转 90°得到 Rt△A′B′C′. 在此旋转过程中Rt△ABC 所扫过的面积为 ( A ) A. 25π+24 B. 5π+24 C. 25π D. 5π 第 7 题图 　 第 8 题图 考向 3　 圆锥的相关计算(2021. 17) 8. [2024 钦州一模]如图,已知圆锥的底面圆的半 径为 3,则这个圆锥的侧面展开图(扇形)的弧 长为 ( B ) A. 9π B. 6π C. 3π D. π 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 变式组合练 变式 8-1 [2024 贵港港南区二模]一个圆锥的 侧面展开图是一个半径为 16 cm,圆心角 为 90°的扇形,则此圆锥底面圆的半径为 ( C ) A. 2 cm　 B. 3 cm　 C. 4 cm　 D. 6 cm 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 48 分层作业本·广西数学 　 第 六 章 圆 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 变式 8-2 真实情境 [2024 南宁二中二模]如图 是一个圆锥形状的生日帽,若该圆锥形状 帽子的母线长为 24 cm, 底面半径为 8 cm,将该帽子沿母线剪开,则其侧面展 开扇形的圆心角为　 120　 °. 变式 8-2 题图　 　 　 变式 8-3 题图 变式 8-3 [2024 梧州二模]如图,圆锥底面圆的 半径 OA为 3,母线与底面圆的夹角∠BAO= 45°,则该圆锥侧面积为　 9 2π　 . 考向 4　 阴影部分面积的计算 9. 真实情境 [2024 甘肃省卷·沪科九下 P57 第 6 题改 编]甘肃临夏砖雕是一种历史悠久的古建筑装 饰艺术,是第一批国家级非物质文化遗产. 如 图①是一块扇面形的临夏砖雕作品,它的部分 设计图如图②,其中扇形 OBC 和扇形 OAD 有 相同的圆心 O,且圆心角∠O = 100°,若 OA = 120 cm, OB = 60 cm, 则 阴 影 部 分 的 面 积 是　 3 000π　 cm2 . (结果用 π 表示) 图① 　 　 图② 第 9 题图 10. 如图是 5×4 的小正方形网格,小正方形的边 长为 2,点 A 和点 B 是格点,连接 AB,小明在 网格中画出以 AB 为直径的半圆,圆心为点 O,点 C 是格点且在半圆上,连接 BC,则图中 阴影部分的面积是　 5π+10　 . 第 10 题图 　 　 第 11 题图 11. 如图,AB 为☉O 的直径,AD 交☉O 于点 F,点 C 是劣弧 BF 的中点,连接 AC. 若∠CAB=30°, AB= 2,则阴影部分的面积是 ( B ) A. π 3 B. π 6 C. 2π 3 D. π 2 12. [2018 北部湾经济区 10 题 3 分]如图,分别以等 边三角形 ABC 的三个顶点为圆心,以边长为 半径画弧,得到的封闭图形是莱洛三角形,若 AB= 2,则莱洛三角形的面积(即阴影部分面 积)为 ( D ) A. π+ 3 B. π- 3 C. 2π- 3 D. 2π-2 3 第 12 题图 　 　 第 13 题图 13. [2022 北部湾经济区 11 题 3 分]如图,在△ABC 中,CA=CB= 4,∠BAC=α,△ABC 绕点 A 逆时 针旋转 2α,得到△AB′C′,连接 B′C 并延长交 AB 于点 D,当 B′D⊥AB,BB′ ( 的长是 ( B ) A. 2 3 3 π B. 4 3 3 π C. 8 3 9 π D. 10 3 9 π 14. [2021 北部湾经济区 17 题 3 分]如图,从一块边 长为 2,∠A = 120°的菱形铁片上剪出一个扇 形,这个扇形在以 A 为圆心的圆上(阴影部 分),且圆弧与 BC,CD 分别相切于点 E,F,将 剪下来的扇形围成一个圆锥,则圆锥的底面 圆半径是　 　 　 　 . 第 14 题图 　 　 第 15 题图 15. 学科融合 [沪科九下 P54 例 2 改编]如图是古希 腊数学家埃拉托塞尼在夏至这天测量地球子 午线周长的示意图,其中,太阳光线 AB∥CD, CE 是竖直插在球面上的木杆,AB,CE 的延长 线都经过圆心 O. 已知 B,E 间的劣弧长约为 800 千米,子午线周长约为 40 000 千米,则 ∠DCE 的度数为　 7. 2　 °. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 辅助圆及与圆有关的最值问题 见《专项培优练》P25 58