3.13 二次函数的实际应用-【一战成名新中考】2025广西中考数学·一轮复习·分层作业本（练册）

一战成名·广西数学 分 层 作 业 本 ∵ AC 为 y= x-1,AC∥A′C′,A′(0,n), ∴ 线段 A′C′所在直线解析式为 y= x+n, ∴ 令 x2 +4x-1 = x+n,即 x2 +3x-1-n= 0, ∵ 线段 A′C′与抛物线 y= x2 +4x-1 只有一个公共点, ∴ Δ= 9-4( -1-n)= 0, 解得 n= - 13 4 . 综上所述,n 的取值范围为-1<n≤3 或 n= - 13 4 . 5.解:(1)当 b= 2,c= -3 时,y= x2 +2x-3 = (x+1) 2 -4, ∴ 顶点 C 的坐标为( -1,-4); 当 y= 0 时,x2 +2x-3 = 0,即(x+3)(x-1)= 0, 解得 x1 = -3,x2 = 1, ∴ A( -3,0),B(1,0); (2)①抛物线恰好经过 P,Q 两点,将点 P( -1,10),Q(4, 0)代入, 则 1-b+c= 10, 16+4b+c= 0,{ 解得 b= -5, c= 4;{ ②当 c= -1 时,y= x2 +bx-1, 当 x= 0 时,y= -1, ∴ 抛物线过(0,-1), 当 x= -1 时,y= 1-b-1 = -b, 当点( -1,-b)与点 P 重合时,抛物线与线段 PQ 恰好有 1 个公共点,如解图①, 当点( -1,-b)在点 P 上方时,抛物线与线段 PQ 恰好有 1 个公共点, ∴ -b≥10,解得 b≤-10; 当 x= 4 时,y= 16+4b-1 = 4b+15, 当点(4,15+4b)与点 Q 重合时,抛物线与线段 PQ 恰好有 1 个公共点,如解图②, 当点(4,15+4b)在点 Q 上方时,抛物线与线段 PQ 恰好有 1 个公共点, ∴ 15+4b≥0,b≥- 15 4 . 综上所述,b 的取值范围为 b≤-10 或 b≥- 15 4 . 图① 　 图② 第 5 题解图 命题点 13　 二次函数的实际应用 1. 21　 【解析】设矩形长为 x 米,则宽为(10-x)米,根据题意 得,矩形的面积 S= x(10-x)= -x2 +10x= -( x-5) 2 +25(7≤ x<10),当 x = 7 时,S最大 = 21. ∴ 他们能围出的最大面积是 21 平方米. 变式 1-1　 C　 【解析】设 AD边长为 x m,则 AB边长为 40 -x 2 m, 当 AB = 6 时, 40-x 2 = 6,解得 x = 28,∵ AD 的长不能超过 26 m,∴ x≤26,故①不正确;∵ 菜园 ABCD 面积为 192 m2 , ∴ x· 40-x 2 = 192,整理得 x2 - 40x+ 384 = 0,解得 x = 24 或 x= 16,∴ AB 的长有两个不同的值满足菜园 ABCD 面积为 192 m2 ,故②正确;设矩形菜园的面积为 y m2 ,根据题意得 y= x · 40-x 2 = - 1 2 ( x2 - 40x) = - 1 2 ( x - 20 ) 2 + 200, ∵ - 1 2 <0,20< 26,∴ 当 x = 20 时,y 有最大值,最大值为 200,故③正确. 2.解:(1)设 y 与 x 的函数解析式为 y= kx+b(k≠0), 从图象上可知,所在直线过点(60,200),(80,100), 将其代入解析式中,得 60k+b= 200, 80k+b= 100,{ 解得 k= -5, b= 500,{ ∴ y= -5x+500, ∵ y= -5x+500>0,∴ x<100, 又∵ x>50,∴ 50<x<100, ∴ y 与 x 的函数解析式为 y= -5x+500(50<x<100); (2)设月销售利润为 W 元,由题意可得 W = (x-50)( -5x+500)= -5(x-75) 2 +3 125, ∵ -5<0,50<x<100, ∴ 当 x= 75 时,W 有最大利润,最大利润为 3 125 元. 答:当销售单价定为 75 元时,该种油茶的月销售利润最 大,最大利润为 3 125 元. 拓展 2-1　 解:令 W= -5(x-75) 2 +3 125 = 3 000, 解得 x= 70 或 x= 80. ∴ 要想月销售利润为 3 000 元,销售单价应定为 70 元或 80 元. 3. 35 3 　 【解析】如解图,以 O 为坐标原点,OM 为 x 轴正半轴, OP 为 y 轴正半轴,建立平面直角坐标系,由题意可知, P(0, 7 4 ),B(5,4),其中 B 点为抛物线解析,设抛物线顶 点式为 y=a(x-5) 2 +4,将 P(0, 7 4 )代入得 25a+4 = 7 4 ,解 得 a= - 9 100 ,即抛物线的解析式为 y= - 9 100 (x-5) 2 +4,M 为 抛物线与 x 轴的交点,令- 9 100 (x-5) 2 +4 = 0,解得 x1 = 35 3 , x2 = - 5 3 (舍去),∴ OM= 35 3 m. 第 3 题解图 4. D　 【解析】观察函数图象,可知 s 与 t 成二次函数关系,设 s=at2 + bt + c( a≠0), ∵ 抛物线过坐标原点, ∴ c = 0,将 (1,4. 5),( 2, 14 ) 代入 s = at2 + bt 得 a+b= 4. 5, 4a+2b= 14,{ 解得 a= 5 2 , b= 2, { ∴ s 与 t 的函数关系式是 s= 52 t2 +2t. 5. C　 【解析】∵ y = - 1 2 x2 + 14x+ 142 = - 1 2 ( x2 - 28x+ 196) + 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 31 一战成名·广西数学 分 层 作 业 本 240 = - 1 2 (x-14) 2 +240,∴ 当温度为 14 ℃ 时,最适宜,该 种酶的活性值最大,为 240. 6. D　 【解析】由图象是经过原点的一条抛物线的一部分,设 抛物线解析式为 P = aI2 + bI,把( 1,165), ( 4,0) 代入得 a+b= 165, 16a+4b= 0,{ 解得 a= -55, b= 220,{ ∴ 抛物线解析式为 P = -55I 2 + 220I= -55( I-2) 2 +220,∵ - 55< 0,∴ 当 I = 2 时,P 取最大 值 220,∴ 变阻器 R 消耗的电功率 P 最大为 220 W. 7.解:(1)由题意可知抛物线 C2 :y = - 1 8 x2 +bx+c 过点(0,4) 和点(4,8),将两点坐标代入 C2 中, 得 4 = c, 8 = -2+4b+c,{ 解得 c= 4, b= 3 2 ,{ ∴ 抛物线 C2 的函数解析式为 y= - 1 8 x2 + 3 2 x+4; (2)设运动员运动的水平距离为 m 米时,与小山坡的竖直 距离为 1 米. 依题意,得- 1 8 m2 + 3 2 m+4-(- 1 12 m2 + 7 6 m+1)= 1, ∴ (m-12)(m+4)= 0,解得 m1 =12,m2 =-4(舍去), ∴ 当运动员运动的水平距离为 12 米时,运动员与小山坡 的竖直距离为 1 米; (3)C1 :y= - 1 12 x2 + 7 6 x+1= - 1 12 (x-7) 2 + 61 12 , ∴ 小山坡坡顶的坐标为(7, 61 12 ) . 将(0,4)代入 C2 ,得 c= 4,∴ C2 :y= - 1 8 x2 +bx+4, 将 x= 7 代入 C2 ,得 y= - 1 8 ×72 +7b+4,则 y= - 17 8 +7b, 依题意,得- 17 8 +7b- 61 12 >3, ∴ 7b> 245 24 ,∴ b> 35 24 , ∴ 当运动员运动到坡顶正上方,且与坡顶距离超过 3 米时, b 的取值范围为 b> 35 24 . 综合与实践 1.解:(1)它们在同一条直线上, 设函数解析式为 y=kx+b(k≠0), 将(16. 5,115. 5),(23. 1,148. 5)代入, 得 16. 5k+b= 115. 5, 23. 1k+b= 148. 5,{ 解得 k= 5, b= 33,{ ∴ 函数解析式为 y= 5x+33, 经检验其余点均在直线 y= 5x+33 上, ∴ 这条直线所对应的函数解析式为 y= 5x+33; (2)当 y= 213 时,213= 5x+33, 解得 x= 36, ∴ 当凳面宽度为 213 mm 时,以对称轴为基准向两边各取相 同的长度是 36 mm. 2.解:任务 1:根据题意得 L= 0. 2(n-1)+1= 0. 2n+0. 8, ∴ 车身总长 L 与购物车辆数 n 的表达式为 L= 0. 2n+0. 8; 任务 2:当 L= 2. 6 时,0. 2n+0. 8= 2. 6, 解得 n= 9, 2×9= 18(辆), 答:直立电梯一次性最多可以运输 18 辆购物车; 任务 3:设用扶手电梯运输 m 次,直立电梯运输(5-m)次, 24m+18n≥100,∴ 24m+18(5-m)≥100, 解得 m≥ 5 3 , ∵ 100÷24= 4 1 6 ,且 m 为正整数, ∴ m≤5,∴ m= 2,3,4,5, ∴ 共有 4 种运输方案. 3.解:(1)选取的样本只是小红一个人,样本不具有代表性,因 此第一次数据收集不合理;(答案不唯一,合理即可) (2)当 y= 140 时,即 212- 7 920 63+x = 140, 解得 x= 47, 经检验,x= 47 是分式方程的解,且符合题意; 答:学生需要跳绳 47 秒才能达到 140 的心率; (3)当 x= 200 时,y= 212- 7 920 63+200 ≈182, 由于 182>175, 因此小明属于运动过度,建议小明要缩短跳绳时间. (答案 不唯一,合理即可) 4.解:任务 1:描点,连线如解图所示; 第 4 题解图 根据图象可知,变量 x、y 满足一次函数关系. 设 y=kx+b(k、b 为常数,且 k≠0), 将 x= 2,y= 116 和 x= 10,y= 100 代入 y=kx+b, 得 2k+b= 116, 10k+b= 100,{ 解得 k= -2, b= 120,{ ∴ y= -2x+120; 将 x=a 和 y= 70 代入 y= -2x+120, 得-2a+120= 70,解得 a= 25; 当背带都为单层部分时,x= 0; 当背带都为双层部分时,y= 0,即-2x+120= 0,解得 x= 60, ∴ x 的取值范围是 0≤x≤60. 任务 2:∵ 背带的总长度为单层部分与双层部分的长度和, ∴ 总长度为-2x+120+x= -x+120, 当单肩包背带长度调整为最佳背带总长度时,得 -x+120 h = 2 3 , ∴ h= - 3 2 x+180(0≤x≤60) . 任务 3:由素材可知,当背包的背带调节到最短时都为双层 部分,即 x= 60,y= 0. ∵ 背包提在手上,且背包的悬挂点离地面高度为 53. 5 cm, ∴ 手到地面的距离为 60 2 +53. 5= 83. 5(cm) . 设小明爸爸的身高为 h cm, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 41 分层作业本·广西数学 　 第 三 章 函 　 数 命题点 13　 二次函数的实际应用 (4 年 3 考) 类型 1　 面积问题 1. [人教九上 P57 第 7 题改编]如图,九(1)班劳动 实践基地位于 L 形围墙 AB-BC 的内侧,已知 ∠ABC= 90°,墙 AB 长 7 米,墙 BC 长 3 米. 同学 们准备用 10 米长的围栏,在基地内围出一块 矩形菜地(可利用围墙) . 他们能围出的最大面 积是　 21　 平方米. 第 1 题图 　 　 变式 1-1 题图 变式 1-1 [2022 年版课标 P148 例 71 改编]如图,要 围一个矩形菜园 ABCD,其中一边 AD 是墙,且 AD 的长不能超过 26 m,其余的三边 AB,BC, CD 用篱笆,且这三边的和为 40 m,有下列结 论:①AB 的长可以为 6 m;②AB 的长有两个不 同的值满足菜园 ABCD 面积为 192 m2 ;③菜园 ABCD 面积的最大值为 200 m2 . 其中,正确结 论的个数是 ( C ) A. 0　 　 　 B. 1　 　 　 C. 2　 　 　 D. 3 类型 2　 利润问题(2022. 23(2)) 2. [2022 北部湾经济区 23 题 10 分]打油茶是广西少 数民族特有的一种民俗. 某特产公司近期销售 一种盒装油茶,每盒的成本价为 50 元,经市场 调研发现,该种油茶的月销售量 y(盒)与销售 单价 x(元)之间的函数图象如图所示. (1)求 y 与 x 的函数解析式,并写出 ∙∙ 自变量 x 的取值范围; (2)当销售单价定为多少元时,该种油茶的月 销售利润最大? 求出最大利润. 第 2 题图 拓展 2-1 若要想月销售利润为 3 000 元,则销售 单价应定为多少元? 解:令 W=-5(x-75) 2+3 125=3 000, 解得 x=70 或 x=80. ∴要想月销售利润为 3 000 元,销售单价应定为 70 元或 80 元. 类型 3　 抛物线、类抛物线型问题(4 年 2 考) 3. [2024 广西 18 题 2 分·人教九上 P36、沪科九上 P42 共有]如图,壮壮同学投掷实心球,出手( 点 P 第 3 题图 处) 的 高 度 OP 是 7 4 m,出手后实心球 沿一段抛物线运行, 到达最高点时,水平距离是 5 m,高度是 4 m. 若 实心球落地点为 M,则 OM 的长为　 　 　 　 m. 4. [人教九上 P52 阅读与思考改编]滑雪爱好者小张 从山坡滑下,为了得出滑行距离 s(单位:m)与 滑行时间 t(单位:s)之间的关系式,测得的一 些数据(如下表),为了观察 s 与 t 之间的关系, 建立坐标系(如图),以 t 为横坐标,s 为纵坐标 绘制了如图所示的函数图象. 　 第 4 题图 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 24 分层作业本·广西数学 　 第 三 章 函 　 数 滑行时间 t / s 0 1 2 3 4 滑行距离 s / m 0 4. 5 14 28. 5 48 根据以上信息,可知 s 与 t 的函数关系式是(不 考虑 t 的取值范围) ( D ) A. s= 3 2 t2 +3t B. s= 3 2 t2 -3t C. s= 5 2 t2 -2t D. s= 5 2 t2 +2t 类型 4　 其他问题 5. 学科融合 生物学研究表明,在一定的温度范围 内,酶的活性会随温度的升高逐渐增强,在最 适宜的温度后,酶的活性最强,超过一定温度 范围后,酶的活性又随温度的升高逐渐减弱, 甚至会失去活性. 现已知某种酶的活性值 y(单 位:IU)与温度 t(单位: ℃ )的关系可以近似用 二次函数 y= - 1 2 x2 +14x+142 来表示,则当温度 为最适宜时,该种酶的活性值为 ( C ) A. 14 B. 7 2 C. 240 D. 44 6. 学科融合 某物理兴趣小组对一款饮水机的工 作电路展开研究,如图①,将变阻器 R 的滑片 从一端滑到另一端,绘制出变阻器 R 消耗的电 功率 P 随电流 I 变化的关系图象,如图②所示, 且该图象是经过原点的一条抛物线的一部分,则 变阻器 R 消耗的电功率 P 最大为 ( D ) 图① 　 图② 第 6 题图 A. 160 W B. 180 W C. 200 W D. 220 W 7. [2021 北部湾经济区 24 题 10 分]2022 年北京冬奥 会即将召开,激起了人们对冰雪运动的极大热 情. 如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意 图,取某一位置的水平线为 x 轴,过跳台终点 A 作水平线的垂线为 y 轴,建立平面直角坐标 系,图中的抛物线 C1:y = - 1 12 x2 + 7 6 x+1 近似表 示滑雪场地上的一座小山坡,某运动员从点 O 正上方 4 米处的 A 点滑出,滑出后沿一段抛物 线 C2:y= - 1 8 x2 +bx+c 运动. (1)当运动员运动到离 A 处的水平距离为 4 米 时,离水平线的高度为 8 米,求抛物线 C2 的函数解析式(不要求写出自变量 x 的取 值范围); (2)在(1) 的条件下,当运动员运动的水平距 离为多少米时,运动员与小山坡的竖直距 离为 1 米? (3)当运动员运动到坡顶正上方,且与坡顶距 离超过 3 米时,求 b 的取值范围. 第 7 题图 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 加练 3　 数学建模与建模思想见本册 P118 34