专题09 锐角三角函数-【数学文化】中考数学考点与数学文化的融合（全国通用）

专题09 数学文化背景下的中考数学之锐角三角函数 背景1：关于《梦溪笔谈》：《梦溪笔谈》，北宋科学家、政治家沈括（1031年—1095年）撰，是一部涉及古代中国自然科学、工艺技术及社会历史现象的综合性笔记体著作。《梦溪笔谈》一共分30卷，其中《笔谈》26卷，《补笔谈》3卷，《续笔谈》1卷。内容涉及天文、数学、物理、化学、生物等各个门类学科，其价值非凡。《梦溪笔谈》是百科全书式的著作，尤以其科学技术价值闻名于世。英国科学史家李约瑟评价为“中国科学史上的里程碑”。《梦溪笔谈》具有世界性影响。 背景2：关于《天工开物》：《天工开物》是中国古代一部综合性的科学技术著作，本书初刊于1637年，作者是明朝发明家宋应星。《天工开物》记载了明朝中叶以前中国古代的各项技术。《天工开物》初刊于1637年。《天工开物》是世界上第一部关于农业和手工业生产的综合性著作，是中国古代一部综合性的科学技术著作，有人也称它是一部百科全书式的著作，作者是明朝科学家宋应星。外国学者称它为“中国17世纪的工艺百科全书”。 背景3：关于《九章算术》：中国古代的数学专著，成书于公元一世纪,作者不详，西汉早期丞相张苍、耿寿昌等增补删订，三国曹魏时期刘徽注释，唐初李淳风注。全书分方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股等九个章节。“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数及其加减运算法则，并给出名为“正负术”的算法. 背景4：关于赵爽弦图：最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽。赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明。赵爽的这个证明可谓别具匠心，极富创新意识。他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，既具严密性，又具直观性，为中国古代以形证数、形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范。 背景5：关于筒车亦称“水转筒车”。一种以水流作动力，取水灌田的工具。 [2]据史料记载，筒车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史。这种靠水力自动的古老筒车，在家乡郁郁葱葱的山简、溪流间构成了一幅幅远古的田园春色图，为中国古代人民杰出发明。 背景6：关于律历志《律历志》亦称作“ 律厤 ”，指乐律和历法。记载当时的乐律理论，是正史书志的一个十分重要的内容。太史公著《史记》“八书”，第三篇就是《律书》。到东汉时班固著《汉书》，把太史公的“律书”、“历书”结合在一起，作为《汉书》的第一个“志”——《律历志》。“史汉”之后，《后汉书》，《宋书》都有关于“乐律”的内容。 背景7：关于《海岛算经》：《海岛算经》是魏晋时期刘徽所著的一部测量数学著作。也是中国学者编撰的最早一部测量数学著作，亦为地图学提供了数学基础。 刘徽（生于公元250年左右），是中国数学史上一个非常伟大的数学家，在世界数学史上，也占有杰出的地位．他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》，是我国最宝贵的数学遗产。 背景8：关于《周髀算经》：《周髀算经》原名《周髀》，算经的十书之一，是古老的天文学和数学著作，主要阐明当时的盖天说和四分历法。唐初规定它为国子监明算科的教材之一，故改名《周髀算经》。《周髀算经》证明了勾股定理。《周髀算经》采用最简便可行的方法确定天文历法，揭示日月星辰的运行规律，囊括四季更替，气候变化，包含南北有极，昼夜相推的道理。给后来者生活作息提供有力的保障，自此以后历代数学家无不以《周髀算经》为参考，在此基础上不断创新和发展。 背景9：关于徐光启与《农政全书》：《农政全书》是明代徐光启创作的农书。《农政全书》成书于明朝万历年间，基本上囊括了中国明代农业生产和人民生活的各个方面，而其中又贯穿着一个基本思想，即徐光启的治国治民的“农政”思想。《农政全书》是“中国古代五大农书”之一，集前人农业科学之大成，总结了清代之前的农业科学技术。 背景10：关于《详解九章算法》及杨辉：1261年,中国宋朝的杨辉著《详解九章算法》。杨辉，中国南宋时期杰出的数学家和数学教育家。他著名的数学书共五种二十一卷。著有《详解九章算法》十二卷、《日用算法》二卷、《乘除通变本末》三卷、《田亩比类乘除算法》二卷、《续古摘奇算法》二卷。 杨辉的数学研究与教育工作的重点是在计算技术方面，他对筹算乘除捷算法进行总结和发展，有的还编成了歌决，如九归口决。杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现。在欧洲，帕斯卡（1623----1662）在1654年发现这一规律，所以这个表又叫做帕斯卡三角形。帕斯卡的发现比杨辉要迟393年，比贾宪迟600年。 背景11：关于《水轮赋》：《水轮赋》是唐陈廷章撰科技著作。记述水转筒车制形、运转、功用。指出水转筒车比辘轳和桔槔的进步之处。是研究农技史的宝贵资料。 背景12：关于圭表：圭表，是度量日影长度的一种天文仪器，由“圭”和“表”两个部件组成。圭表和日晷一样，也是利用日影进行测量的古代天文仪器。所谓高表测影法，通俗的说，就是垂直于地面立一根杆，通过观察记录它正午时影子的长短变化来确定季节的变化。垂直于地面的直杆叫“表”，水平放置于地面上刻有刻度以测量影长的标尺叫“圭”。 背景13：关于《重差》：汉 代天文学家测量太阳高、远的方法。 魏 晋 时 刘徽 著文讲述这一方法，也以“重差”作篇名，附于所注《九章算术》后。 魏晋时期刘徽著述的《重差》改名为《海岛算经》 考点1：锐角三角函数的概念 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b， 正弦：sinA=；余弦：cosA=；正切：tanA=． 考点2：特殊角的三角函数值 α sinα cosα tanα 30° 45° 1 60° 考点3：解直角三角形 1. 解直角三角形：在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形． 2.解直角三角形的常用关系：在Rt△ABC中，∠C=90°，则： (1)三边关系：a2+b2=c2； (2)两锐角关系：∠A+∠B=90°； (3)边与角关系：sinA=cosB=，cosA=sinB=，tanA=； (4)sin2A+cos2A=1．tan A= 考点4：解直角三角形的应用: 1.仰角和俯角问题： 仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角． 俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角． 2.坡度和坡角问题： 坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i=． 坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，i=tanα．坡度越大，α角越大，坡面越陡． 3.方向角问题： 指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角． 特别的， 北偏东45度也叫东北方向；北偏西45度也叫西北方向； 南偏东45度也叫东南方向；南偏西45度也叫西南方向。 4.解直角三角形实际应用的一般步骤 （1）审题，根据题意画出相应图形，建立数学模型； （2）转化：将实际条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题； （3）解决：选择合适的边角关系式，解决问题； （4）检验：检验答案是否符合实际生活． 1——借助数学文化考查正弦函数定义 （2023·四川宜宾·中考真题）《梦溪笔谈》是我国古代科技著作，其中它记录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，是以点O为圆心、为半径的圆弧，N是的中点，．“会圆术”给出的弧长的近似值计算公式：．当，时，则的值为（　　） A． B． C． D． 1．（2024·四川资阳·中考真题）第届国际数学教育大会（）会标如图所示，会标中心的图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”，如图所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形（，，，）和一个小正方形拼成的大正方形．若，则（   ） A． B． C． D． 2．（2023·湖北随州·模拟预测）我国古代数学家赵爽的弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形如图，如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较大的锐角为θ，那么的值为（   ） A． B． C． D． 3．（2023·河北石家庄·模拟预测）筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具．如图，半径为3m的筒车按逆时针方向每分钟转圈，筒车与水面分别交于点A、B、长为4m，筒车上均匀分布着若干个盛水筒（用点表示）．若以某个盛水筒（点P）刚浮出水面时开始计算时间． (1)设点D为盛水筒在运行中的最高点，请在图中画出线段，用其长度表示盛水筒到水面的最大距离．（不说理由），并求最大距离约为多少米（结果保留小数点后一位）； (2)筒车每秒转 °， ° ； (3)浮出水面2.6秒后，盛水筒（点P）距离水面多高？（参考数据：，） 4．（2021·江苏连云港·二模）我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积是130，小正方形面积是10，则的值是 ． 2——借助数学文化考查余弦函数定义 （2024·湖南·模拟预测）我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出“赵爽弦图”，如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形面积为，小正方形面积为，则的值为（    ） A． B． C． D． 1．（2024·四川达州·三模）勾股定理的证明方法丰富多样，其中我国古代数学家赵爽利用“弦图”的证明简明、直观，是世界公认最巧妙的方法．“赵爽弦图”已成为我国古代数学成就的一个重要标志，千百年来倍受人们的喜爱．小亮在如图所示的“赵爽弦图”中，连接，；若正方形与的边长之比为，则等于（      ） A． B． C． D． 2（2023九年级下·全国·专题练习）公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是25，小正方形面积是4，则 ． 3．（21-22九年级上·云南·期末）公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是125，小正方形面积是25，则（    ） A． B． C． D． 4．（2021·广西南宁·三模）公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》是给出的“赵爽弦图”如图所示，它由四个全等的直角三角形与中间的小正方形组成的一个大正方形,如果小正方形的面积是4，大正方形的面积是，则 ． 5.（2023·陕西咸阳·三模）据《汉书律历志》记载：“量者，龠（yuè）、合、升、斗、斛（hú）也”斛是中国古代的一种量器，“斛底，方而圜（huán）其外，旁有庣（tiāo）焉”．意思是说：“斛的底面为：正方形外接一个圆，此圆外是一个同心圆”．如图所示，现有一斛，其外圆直径为5尺（古代长度单位），两同心圆的外圆与内圆的半径之差为0.5尺，则此斛底面的正方形的边长为 尺． 6.（20-21九年级上·安徽阜阳·期末）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代我，其中《方田》章给出计算弧田面积所用公式为：弧田面积，弧田(如图)是由圆弧和其所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心O到弦的距离之差.在如图所示的弧田中，“弦”为8，“矢”为3，则(    ) A． B． C． D． 3——借助数学文化考查正切函数定义 （2024·广东韶关·二模）第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的．如图，会标是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为，则的值为 ． 1．（2023·山东临沂·二模）中华民族是具有卓越数学天赋的伟大民族．如图是我国古代数学家赵爽的弦图，也是北京国际数学家大会会徽．该图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼接而成的大正方形，若大正方形的面积为34，小正方形的面积为4，则为（    ） A． B． C． D． 2．（2023·河北·模拟预测）如图是中国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图的示意图，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，恰好拼成一个大正方形，连接并延长交于点M，过点E作，垂足为N，若； （1） ．（2） ．（3） ． 3．（2022·陕西西安·三模）国古代数学家赵爽在《周髀算经》中用弦图给出了勾股定理的证明，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成了一个大正方形．如图所示，如果小正方形的面积记为，大正方形的面积记为，满足，则 ． 4．（2024·广东河源·二模）我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形面积为136，小正方形面积为16，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图1所示为我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形． 现将 向左平移，相应的和进行相似变换． 如图2，当时，已知,，则 （结果用含,代数式表示）． 6．（2022·湖南·中考真题）我国魏晋时期的数学家赵爽在为天文学著作《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成一个大正方形，这个图被称为“弦图”，它体现了中国古代数学的成就．如图，已知大正方形的面积是100，小正方形的面积是4，那么 ． 7．（2023·浙江丽水·一模）公元3世纪，我国数学家赵爽巧妙地利用面积关系（后人称“赵爽弦图”）证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形．连结、，设，，． （1）若，则 ． （2）若，则的值是 ． 3——借助数学文化考查三角函数的实际应用 （2024·山西·模拟预测）《海岛算经》是中国古代测量术的代表作，原名《重差》．这本著作建立起了从直接测量到间接测量的桥梁．直至近代，重差测量法仍有借鉴意义．实践小组为测量海岛上一座山峰的高度，直立两根高3的标杆和，两杆间距相距8，在点E处观察山顶点A，测得仰角为；在点M处观察山顶点A，测得仰角为，求山峰的高度．（结果精确到米．参考数据：） 1.（2024·陕西西安·模拟预测）明代科学家徐光启所著的《农政全书》是中国古代四大农书之一，其中记载了中国古代的一种采桑工具——桑梯，如图1，其示意图如图2，已知，，三点共线，与的张角记为，为保证采桑人的安全，可调整的范围是，为固定张角大小的锁链．若，将桑梯放置在水平地面上，求此时桑梯顶端到地面的距离（结果精确到，参考数据：，，）． 2．（2024·上海浦东新·一模）如图1是古代数学家杨辉在《详解九章算法》中对“邑的计算”的相关研究．数学兴趣小组也类比进行了如下探究：如图2，正八边形游乐城的边长为，南门设立在边的正中央，游乐城南侧有一条东西走向的道路，在上（门宽及门与道路间距离忽略不计），东侧有一条南北走向的道路，C处有一座雕塑．在处测得雕塑在北偏东方向上，在处测得雕塑在北偏东方向上． (1)__________，__________； (2)求点到道路的距离； (3)若该小组成员小李出南门O后沿道路向东行走，求她离处不超过多少千米，才能确保观察雕塑不会受到游乐城的影响？（结果精确到，参考数据：，，，，） 3．（2024·安徽蚌埠·二模）圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据为我国某地的地理位置设计的圭表的示意图，已知该地冬至正午太阳高度角，夏至正午太阳高度角，圭面上冬至线与夏至线之间的距离，求表高（精确到0.1）． 参考数据：． 4．（2024九年级下·全国·专题练习）筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，唐代陈廷章在《水轮赋》中写道：“水能利物，轮乃曲成”．如图，半径为的筒车按逆时针方向每分钟转圈，筒车与水面分别交于点A、B，筒车的轴心O距离水面的高度长为，筒车上均匀分布着若干个盛水筒．若以某个盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间．（参考数据：，，） (1)经过多长时间，盛水筒P首次到达最高点？ (2)浮出水面3.4秒后，盛水筒P距离水面多高？ (3)若接水槽所在直线是的切线，且与直线交于点M，．求盛水筒P从最高点开始，至少经过多长时间恰好在直线上． 5．（2024·河南洛阳·一模）圭表（如图是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标杆（称为“表” 和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺（称为“圭” ，当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据某市地理位置设计的圭表平面示意图，表（高约3.27米）垂直圭，冬至正午日影长为，此时太阳高度角为，夏至正午日影长为，此时太阳高度角为．测得夏至正午日影长约为1米． (1)试计算该市夏至正午太阳高度角（即的度数； (2)已知夏至日正午太阳高度角与冬至日正午太阳高度角的差约为（注：正午太阳高度由当地纬度与当日太阳直射点的差决定，夏至日与冬至日对应的太阳直射点分别为北回归线和南回归线，其纬度差值为，取近似数约为．请计算的长．（结果精确到0.1米．参考数据，，， 6．（2023·江苏泰州·二模）古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础．现根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑物的高度．如图1，已知点是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上两点与点在同一条直线上．若在处分别测得球体建筑物的最大仰角为和．图2是过该球体建筑物球心的截面图，、分别与相切于点、，设球的半径（即的半径）为． (1)用的代数式表示长（写出过程）； (2)若，求该球体建筑物的高度（即球体直径）． （结果精确到0.01，，，，） 7．（2023·江苏泰州·二模）祖冲之发明的水碓（duì）是一种舂米机具（如图1），在我国古代科学家宋应星的著作《天工开物》中有详细记载，其原理是以水流推动轮轴旋转进而拨动碓杆上下舂米．图2是碓杆与支柱的示意图，支柱高4尺且垂直于水平地面，碓杆长16尺，．当点A最低时，，此时点B位于最高点；当点A位于最高点时，，此时点B位于最低点． (1)求点A位于最低点时与地面的垂直距离； (2)求最低点与地面的垂直距离．（参考数据：，，） 8．（2024·河北·二模）如图1中仪器为日晷仪，也称日晷，是观测日影计时的仪器，它是根据日影的位置，指定当时的时辰或刻数，是我国古代较为普遍使用的计时仪器．小东为了探究日晷的奥秘，在不同时刻对日晷进行了观察．如图，日晷的平面是以点为圆心的圆，线段是日晷的底座，点为日晷与底座的接触点（即与相切于点）．点在上，为某一时刻晷针的影长，的延长线与交于点，与交于点，连接，，，，． (1)的度数为__________； (2)求的长； (3)随着时间的推移，点从图2时刻开始在圆周上顺时针转动，当点到的距离为时，直接写出点运动的长度．（参考数据：，，） 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 数学文化背景下的中考数学之锐角三角函数 背景1：关于《梦溪笔谈》：《梦溪笔谈》，北宋科学家、政治家沈括（1031年—1095年）撰，是一部涉及古代中国自然科学、工艺技术及社会历史现象的综合性笔记体著作。《梦溪笔谈》一共分30卷，其中《笔谈》26卷，《补笔谈》3卷，《续笔谈》1卷。内容涉及天文、数学、物理、化学、生物等各个门类学科，其价值非凡。《梦溪笔谈》是百科全书式的著作，尤以其科学技术价值闻名于世。英国科学史家李约瑟评价为“中国科学史上的里程碑”。《梦溪笔谈》具有世界性影响。 背景2：关于《天工开物》：《天工开物》是中国古代一部综合性的科学技术著作，本书初刊于1637年，作者是明朝发明家宋应星。《天工开物》记载了明朝中叶以前中国古代的各项技术。《天工开物》初刊于1637年。《天工开物》是世界上第一部关于农业和手工业生产的综合性著作，是中国古代一部综合性的科学技术著作，有人也称它是一部百科全书式的著作，作者是明朝科学家宋应星。外国学者称它为“中国17世纪的工艺百科全书”。 背景3：关于《九章算术》：中国古代的数学专著，成书于公元一世纪,作者不详，西汉早期丞相张苍、耿寿昌等增补删订，三国曹魏时期刘徽注释，唐初李淳风注。全书分方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股等九个章节。“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数及其加减运算法则，并给出名为“正负术”的算法. 背景4：关于赵爽弦图：最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽。赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明。赵爽的这个证明可谓别具匠心，极富创新意识。他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，既具严密性，又具直观性，为中国古代以形证数、形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范。 背景5：关于筒车亦称“水转筒车”。一种以水流作动力，取水灌田的工具。 [2]据史料记载，筒车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史。这种靠水力自动的古老筒车，在家乡郁郁葱葱的山简、溪流间构成了一幅幅远古的田园春色图，为中国古代人民杰出发明。 背景6：关于筒车《律历志》亦称作“ 律厤 ”，指乐律和历法。记载当时的乐律理论，是正史书志的一个十分重要的内容。太史公著《史记》“八书”，第三篇就是《律书》。到东汉时班固著《汉书》，把太史公的“律书”、“历书”结合在一起，作为《汉书》的第一个“志”——《律历志》。“史汉”之后，《后汉书》，《宋书》都有关于“乐律”的内容。 背景7：关于《海岛算经》：《海岛算经》是魏晋时期刘徽所著的一部测量数学著作。也是中国学者编撰的最早一部测量数学著作，亦为地图学提供了数学基础。 刘徽（生于公元250年左右），是中国数学史上一个非常伟大的数学家，在世界数学史上，也占有杰出的地位．他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》，是我国最宝贵的数学遗产。 背景8：关于《周髀算经》：《周髀算经》原名《周髀》，算经的十书之一，是古老的天文学和数学著作，主要阐明当时的盖天说和四分历法。唐初规定它为国子监明算科的教材之一，故改名《周髀算经》。《周髀算经》证明了勾股定理。《周髀算经》采用最简便可行的方法确定天文历法，揭示日月星辰的运行规律，囊括四季更替，气候变化，包含南北有极，昼夜相推的道理。给后来者生活作息提供有力的保障，自此以后历代数学家无不以《周髀算经》为参考，在此基础上不断创新和发展。 背景9：关于徐光启与《农政全书》：《农政全书》是明代徐光启创作的农书。《农政全书》成书于明朝万历年间，基本上囊括了中国明代农业生产和人民生活的各个方面，而其中又贯穿着一个基本思想，即徐光启的治国治民的“农政”思想。《农政全书》是“中国古代五大农书”之一，集前人农业科学之大成，总结了清代之前的农业科学技术。 背景10：关于《详解九章算法》及杨辉：1261年,中国宋朝的杨辉著《详解九章算法》。杨辉，中国南宋时期杰出的数学家和数学教育家。他著名的数学书共五种二十一卷。著有《详解九章算法》十二卷、《日用算法》二卷、《乘除通变本末》三卷、《田亩比类乘除算法》二卷、《续古摘奇算法》二卷。 杨辉的数学研究与教育工作的重点是在计算技术方面，他对筹算乘除捷算法进行总结和发展，有的还编成了歌决，如九归口决。杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现。在欧洲，帕斯卡（1623----1662）在1654年发现这一规律，所以这个表又叫做帕斯卡三角形。帕斯卡的发现比杨辉要迟393年，比贾宪迟600年。 背景11：关于《水轮赋》：《水轮赋》是唐陈廷章撰科技著作。记述水转筒车制形、运转、功用。指出水转筒车比辘轳和桔槔的进步之处。是研究农技史的宝贵资料。 背景12：关于圭表：圭表，是度量日影长度的一种天文仪器，由“圭”和“表”两个部件组成。圭表和日晷一样，也是利用日影进行测量的古代天文仪器。所谓高表测影法，通俗的说，就是垂直于地面立一根杆，通过观察记录它正午时影子的长短变化来确定季节的变化。垂直于地面的直杆叫“表”，水平放置于地面上刻有刻度以测量影长的标尺叫“圭”。 背景13：关于《重差》：汉 代天文学家测量太阳高、远的方法。 魏 晋 时 刘徽 著文讲述这一方法，也以“重差”作篇名，附于所注《九章算术》后。 魏晋时期刘徽著述的《重差》改名为《海岛算经》 考点1：锐角三角函数的概念 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b， 正弦：sinA=；余弦：cosA=；正切：tanA=． 考点2：特殊角的三角函数值 α sinα cosα tanα 30° 45° 1 60° 考点3：解直角三角形 1. 解直角三角形：在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形． 2.解直角三角形的常用关系：在Rt△ABC中，∠C=90°，则： (1)三边关系：a2+b2=c2； (2)两锐角关系：∠A+∠B=90°； (3)边与角关系：sinA=cosB=，cosA=sinB=，tanA=； (4)sin2A+cos2A=1．tan A= 考点4：解直角三角形的应用: 1.仰角和俯角问题： 仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角． 俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角． 2.坡度和坡角问题： 坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i=． 坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，i=tanα．坡度越大，α角越大，坡面越陡． 3.方向角问题： 指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角． 特别的， 北偏东45度也叫东北方向；北偏西45度也叫西北方向； 南偏东45度也叫东南方向；南偏西45度也叫西南方向。 4.解直角三角形实际应用的一般步骤 （1）审题，根据题意画出相应图形，建立数学模型； （2）转化：将实际条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题； （3）解决：选择合适的边角关系式，解决问题； （4）检验：检验答案是否符合实际生活． 1——借助数学文化考查正弦函数定义 （2023·四川宜宾·中考真题）《梦溪笔谈》是我国古代科技著作，其中它记录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，是以点O为圆心、为半径的圆弧，N是的中点，．“会圆术”给出的弧长的近似值计算公式：．当，时，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形、等边三角形的判定和性质、已知正弦值求边长、利用垂径定理求值 【分析】连接,根据等边三角形的性质，垂径定理，勾股定理，特殊角的三角函数，后代入公式计算即可． 【详解】连接，根据题意，是以点O为圆心、为半径的圆弧，N是的中点，，    得， ∴点M，N，O三点共线， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 故选B． 1．（2024·四川资阳·中考真题）第届国际数学教育大会（）会标如图所示，会标中心的图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”，如图所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形（，，，）和一个小正方形拼成的大正方形．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求角的正弦值、全等三角形的性质、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长 【分析】设，则，根据全等三角形，正方形的性质可得，再根据勾股定理可得，即可求出的值． 【详解】解：根据题意，设，则， ∵，四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 2．（2023·湖北随州·模拟预测）我国古代数学家赵爽的弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形如图，如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较大的锐角为θ，那么的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用勾股定理解三角形、求角的正弦值、以弦图为背景的计算题 【分析】本题主要考查了算术平方根的应用，勾股定理，求三角函数值，先根据算术平方根定义得出大正方形边长为，小正方形的边长为1，求出三角形的面积，根据三角形面积公式和勾股定理得出，，求出，，然后再根据三角函数定义求出结果即可． 【详解】解：根据题意，大正方形边长为，小正方形的边长为1， ∴三角形的面积为：， 设三角形两直角边为a、b，则： ， 根据勾股定理得：， 联立解得，，（负值舍去） ∴． 故选：A． 3．（2023·河北石家庄·模拟预测）筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具．如图，半径为3m的筒车按逆时针方向每分钟转圈，筒车与水面分别交于点A、B、长为4m，筒车上均匀分布着若干个盛水筒（用点表示）．若以某个盛水筒（点P）刚浮出水面时开始计算时间． (1)设点D为盛水筒在运行中的最高点，请在图中画出线段，用其长度表示盛水筒到水面的最大距离．（不说理由），并求最大距离约为多少米（结果保留小数点后一位）； (2)筒车每秒转 °， °； (3)浮出水面2.6秒后，盛水筒（点P）距离水面多高？（参考数据：，） 【答案】(1)作图见解析，最大距离为5.2米 (2)5，43 (3)0.7米 【知识点】求弧长、求角的正弦值、根据矩形的性质与判定求线段长、垂径定理的实际应用 【分析】（1）如图1，过点作于，交于，连接，由垂径定理得，由题意知，，由勾股定理得，根据，计算求解即可； （2）由题意知，每分钟转的弧长为，由，解得，则每秒钟转，由，可求的值； （3）由题意知，，则，如图2，连接，过作于，于，则四边形是矩形，，，则，，进而可求浮出水面2.6秒后，盛水筒（点P）距离水面的高度． 【详解】（1）解：如图1，过点作于，交于，连接，    由垂径定理得， 由题意知，， 由勾股定理得， ∴（m）， ∴最大距离约为5.2米； （2）解：由题意知，每分钟转的弧长为， ∴，解得， ∴每秒钟转， ∵， ∴， 故答案为：5，43； （3）解：由题意知，， ∵， ∴， 如图2，连接，过作于，于，则四边形是矩形，    ∴，， ∴， ∴（m）， ∴（m）， ∴浮出水面2.6秒后，盛水筒（点P）距离水面0.7米． 4．（2021·江苏连云港·二模）我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积是130，小正方形面积是10，则的值是 ． 【答案】 【知识点】完全平方式在几何图形中的应用、以弦图为背景的计算题、求角的正弦值、求角的余弦值 【分析】设直角三角形的长直角边边长为a，短直角边边长为b，根据面积列出等式，求得a与b的关系，再根据三角函数的定义求解即可． 【详解】解：设直角三角形的长直角边边长为a，短直角边边长为b， 由题意可知，， ∵ ∴ ∴ 故答案为． 2——借助数学文化考查余弦函数定义 （2024·湖南·模拟预测）我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出“赵爽弦图”，如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形面积为，小正方形面积为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用勾股定理解三角形、求角的余弦值、以弦图为背景的计算题 【分析】本题主要考查了求角的余弦值，勾股定理，设大正方形的边长为，直角三角形的短直角边为，长直角边为，根据正方形面积计算公式可得，则，再由勾股定理得到，解方程求出的值，进而求出的值，最后根据余弦的定义求解即可． 【详解】解：设大正方形的边长为，直角三角形的短直角边为，长直角边为， ∵大正方形面积为，小正方形面积为， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∴或（舍去）， ∴， ∴， 故选：． 1．（2024·四川达州·三模）勾股定理的证明方法丰富多样，其中我国古代数学家赵爽利用“弦图”的证明简明、直观，是世界公认最巧妙的方法．“赵爽弦图”已成为我国古代数学成就的一个重要标志，千百年来倍受人们的喜爱．小亮在如图所示的“赵爽弦图”中，连接，；若正方形与的边长之比为，则等于（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】以弦图为背景的计算题、求角的余弦值 【分析】本题考查解直角三角形的应用、正方形的性质及勾股定理，设的长直角边为a，短直角边为b，大正方形的边长为，小正方形的边长为x，由题意得，解得，即可求解． 【详解】解：过点D作交的延长线于点N， 由题意可得，两个正方形之间是4个全等的三角形， 设的长直角边为a，短直角边为b，大正方形的边长为，小正方形的边长为x， 即，， 由题意得，，解得或（舍去）， 在中，，则， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 2（2023九年级下·全国·专题练习）公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是25，小正方形面积是4，则 ． 【答案】 【知识点】以弦图为背景的计算题、三角函数综合、正弦的概念辨析、余弦的概念辨析 【分析】根据题意，如图所示，大正方形的边长，小正方形的边长，得到，从而，即可得到答案． 【详解】解：如图所示： 大正方形的面积是25，小正方形面积是4， 大正方形的边长，小正方形的边长， ， ， 故答案为：． 3．（21-22九年级上·云南·期末）公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是125，小正方形面积是25，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】以弦图为背景的计算题、求角的正弦值、求角的余弦值 【分析】先由两个正方形的面积分别得出其边长，设AC=BD=a，由勾股定理解得a的值，后按照正弦函数和余弦函数的定义得出sinθ和cosθ的值，最后代入要求的式子计算即可． 【详解】解：∵大正方形的面积是125，小正方形面积是25， ∴大正方形的边长是，小正方形的边长是， 设AC=BD=a，如图， △ABD中，由勾股定理得： a2+（5+a）2=125， 解得a=5或（舍去）， ∴sinθ=，cosθ=， ∴sinθ•cosθ=． 故选：A． 4．（2021·广西南宁·三模）公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》是给出的“赵爽弦图”如图所示，它由四个全等的直角三角形与中间的小正方形组成的一个大正方形,如果小正方形的面积是4，大正方形的面积是，则 ． 【答案】 【知识点】求角的正弦值、求角的余弦值、以弦图为背景的计算题 【分析】设的对边为，邻边为，大正方形的边长为，则小正方形的边长为， 依题意求得，根据，即可求得． 【详解】设的对边为，邻边为，大正方形的边长为，则小正方形的边长为， 小正方形的面积是，大正方形的面积是 ， 解得 故答案为：（或） 5.（2023·陕西咸阳·三模）据《汉书律历志》记载：“量者，龠（yuè）、合、升、斗、斛（hú）也”斛是中国古代的一种量器，“斛底，方而圜（huán）其外，旁有庣（tiāo）焉”．意思是说：“斛的底面为：正方形外接一个圆，此圆外是一个同心圆”．如图所示，现有一斛，其外圆直径为5尺（古代长度单位），两同心圆的外圆与内圆的半径之差为0.5尺，则此斛底面的正方形的边长为 尺． 【答案】 【知识点】根据等角对等边求边长、根据正方形的性质求线段长、已知余弦求边长 【分析】根据正方形性质确定为等腰直角三角形，为直径，根据题意求出正方形外接圆的直径，根据特殊角的三角函数值求出，问题得解． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴， ∴为直径， 由题意得 ∴ ∴ ∴正方形的边长为尺 故答案为：． 6.（20-21九年级上·安徽阜阳·期末）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代我，其中《方田》章给出计算弧田面积所用公式为：弧田面积，弧田(如图)是由圆弧和其所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心O到弦的距离之差.在如图所示的弧田中，“弦”为8，“矢”为3，则(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用垂径定理求值、求角的余弦值、用勾股定理解三角形 【分析】如图，作交于交圆弧于，利用垂径定理和勾股定理构建方程组求出，，利用余弦函数定义即可解决问题． 【详解】解：如图，作交于交圆弧于 由题意：， ∴， ∵，为半径， ∴， 在中 由勾股定理得， ∴， ∴， ∴， ， ∴． 故选：D． 3——借助数学文化考查正切函数定义 （2024·广东韶关·二模）第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的．如图，会标是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为，则的值为 ． 【答案】 【知识点】以弦图为背景的计算题、求角的正切值 【分析】此题中根据正方形以及直角三角形的面积公式求得直角三角形的三边，进一步运用锐角三角函数的定义求解． 根据大正方形的面积求得直角三角形的斜边是5，根据大正方形减去小正方形的面积即四个直角三角形的面积和是24，求得两条直角边的乘积是12．再根据勾股定理知直角三角形的两条直角边的平方和等于25，联立解方程组可得两条直角边分别是3，4，即可求解． 【详解】解：根据题意，大正方形边长，小正方形的边长． ∴三角形的面积． 设三角形两直角边为，则． 又， 联立解得，（舍去） 所以． 故答案为：． 1．（2023·山东临沂·二模）中华民族是具有卓越数学天赋的伟大民族．如图是我国古代数学家赵爽的弦图，也是北京国际数学家大会会徽．该图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼接而成的大正方形，若大正方形的面积为34，小正方形的面积为4，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求角的正切值、与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、以弦图为背景的计算题、根据正方形的性质求线段长 【分析】如图（见解析），先根据正方形的面积公式可得，再根据全等三角形的性质可得，然后利用勾股定理可得，最后根据正切的定义即可得． 【详解】解：如图，大正方形的面积为34，小正方形的面积为4， ， 这个图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼接而成的大正方形， ， 设，则， 在中，，即， 解得或（不符合题意，舍去）， ， ， 故选：A． 2．（2023·河北·模拟预测）如图是中国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图的示意图，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，恰好拼成一个大正方形，连接并延长交于点M，过点E作，垂足为N，若； （1） ． （2） ． （3） ． 【答案】 5 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、求角的正切值、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长 【分析】（1）先求出，设，则，由勾股定理建立方程，解方程即可得到答案； （2）如图所示，过点G作交于P，证明，得到，求出，则，再证明，得到，即可求出， （3）证明，则． 【详解】解：（1）∵四边形是正方形，， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得或（舍去）， ∴， 故答案为：5； （2）如图所示，过点G作交于P， 由（1）得， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：；    （3）∵， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（2022·陕西西安·三模）国古代数学家赵爽在《周髀算经》中用弦图给出了勾股定理的证明，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成了一个大正方形．如图所示，如果小正方形的面积记为，大正方形的面积记为，满足，则 ． 【答案】/ 【知识点】求角的正切值、因式分解法解一元二次方程、全等三角形的性质、以弦图为背景的计算题 【分析】直接利用一元二次方程的解法和三角函数的值的应用求出结果． 【详解】解：∵小正方形的面积记为，大正方形的面积记为，满足， 故设，， ∴大正方形的边长为5，小正方形的边长为1， ∵四个直角三角形全等， ∴设直角三角形较短的直角边长为x，则较长的直角边为x+1， 由勾股定理得：， 解得：（舍去）， ∴AC=4，BC=3， ∴． 故答案为：． 4．（2024·广东河源·二模）我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形面积为136，小正方形面积为16，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据正方形的性质求线段长、求角的正切值、以弦图为背景的计算题 【分析】本题考查正方形性质，锐角三角函数，勾股定理．根据题意先求得大正方形边长的平方为136，再求得小正方形边长为4，再利用三角函数正切值等于该角的对边与邻边的比值即可得到本题答案． 【详解】解：∵大正方形面积为136，小正方形面积为16， ∴大正方形边长的平方为136，小正方形边长为4， ∴设一个直角三角形短直角边为x，则长直角边为， ∴在一个直角三角形中应用勾股定理：， 解得或（舍去） ∴长直角长为10，短直角边长为6， ∴， 故选：A． 5．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图1所示为我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形． 现将 向左平移，相应的和进行相似变换． 如图2，当时，已知,，则 （结果用含,代数式表示）． 【答案】 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、已知正切值求边长、以弦图为背景的计算题 【分析】根据平移的性质可得，在根据正切的定义可得，在根据全等三角形的性质可得，，则，进而得到；在根据相似三角形的性质可得，，进而得到，即可得，最后代入即可解答． 【详解】解：由图形变换可知，在图2中，四边形为矩形，, ∵, ∴, ∴， ∵， ∴， ∵， ∴设，则， ∵， ∴， ∵, ∴即：， ∵， ∴， ∴， ∴，解得：， ∴． 故答案为：． 6．（2022·湖南·中考真题）我国魏晋时期的数学家赵爽在为天文学著作《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成一个大正方形，这个图被称为“弦图”，它体现了中国古代数学的成就．如图，已知大正方形的面积是100，小正方形的面积是4，那么 ． 【答案】/0.75 【知识点】根据正方形的性质求面积、求角的正切值、用勾股定理解三角形 【分析】根据两个正方形的面积可得，，设，得到，由勾股定理得，解方程可得x的值，从而解决问题． 【详解】解：∵大正方形ABCD的面积是100， ∴． ∵小正方形EFGH的面积是4， ∴小正方形EFGH的边长为2， ∴， 设， 则， 由勾股定理得，， 解得或（负值舍去）， ∴，， ∴． 故答案为：． 7．（2023·浙江丽水·一模）公元3世纪，我国数学家赵爽巧妙地利用面积关系（后人称“赵爽弦图”）证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形．连结、，设，，． （1）若，则 ． （2）若，则的值是 ． 【答案】 1 / 【知识点】全等三角形的性质、以弦图为背景的计算题、根据正方形的性质求线段长、求角的正切值 【分析】（1）根据全等三角形的性质得到，，进而求得，即可求出的值； （2）由题意可知，进而得到，设，，得到，，从而求得，则，再利用勾股定理，求得，即可求出的值． 【详解】解：（1）由题意可知，， ，， ， ， 故答案为：1； （2）设，，， 由题意可知，， ， ， 设，，则， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 在中，， ， 故答案为：． 3——借助数学文化考查三角函数的实际应用 （2024·山西·模拟预测）《海岛算经》是中国古代测量术的代表作，原名《重差》．这本著作建立起了从直接测量到间接测量的桥梁．直至近代，重差测量法仍有借鉴意义．实践小组为测量海岛上一座山峰的高度，直立两根高3的标杆和，两杆间距相距8，在点E处观察山顶点A，测得仰角为；在点M处观察山顶点A，测得仰角为，求山峰的高度．（结果精确到米．参考数据：） 【答案】山峰的高度约为 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用——俯仰角．熟练掌握解直角三角形的应用是解题的关键． 在中，，可求．在中，，可求，则．设的长为，则，由，可得，计算求解即可． 【详解】解：由题意得， ∴．在中，， ∴． 在中，， ∴， ∴． 设的长为，则， ∵， ∴， 解得． 答：山峰的高度约为． 1.（2024·陕西西安·模拟预测）明代科学家徐光启所著的《农政全书》是中国古代四大农书之一，其中记载了中国古代的一种采桑工具——桑梯，如图1，其示意图如图2，已知，，三点共线，与的张角记为，为保证采桑人的安全，可调整的范围是，为固定张角大小的锁链．若，将桑梯放置在水平地面上，求此时桑梯顶端到地面的距离（结果精确到，参考数据：，，）． 【答案】桑梯顶端到地面的距离为米 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）、三角形内角和定理的应用、等边对等角 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，过点作，先利用三角形内角和等边对等角求出，解直角三角形，求解即可． 【详解】解：如图所示，过点作于E， ∵米，，米， ∴，米， 在中，米； 答：桑梯顶端到地面的距离为米． 2．（2024·上海浦东新·一模）如图1是古代数学家杨辉在《详解九章算法》中对“邑的计算”的相关研究．数学兴趣小组也类比进行了如下探究：如图2，正八边形游乐城的边长为，南门设立在边的正中央，游乐城南侧有一条东西走向的道路，在上（门宽及门与道路间距离忽略不计），东侧有一条南北走向的道路，C处有一座雕塑．在处测得雕塑在北偏东方向上，在处测得雕塑在北偏东方向上． (1)__________，__________； (2)求点到道路的距离； (3)若该小组成员小李出南门O后沿道路向东行走，求她离处不超过多少千米，才能确保观察雕塑不会受到游乐城的影响？（结果精确到，参考数据：，，，，） 【答案】(1)， (2) (3) 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、方位角问题(解直角三角形的应用)、多边形外角和的实际应用 【分析】（1）求出正八边形的一个外角的度数，再根据角的和差关系进行求解即可； （2）过点作，垂足为，解，求出，解，求出，即可； （3）连接并延长交于点，延长交于点，过点作，垂足为，解，求出，证明，列出比例式进行求解即可． 【详解】（1）解：∵正八边形的一个外角的度数为：， ∴，； （2）解：过点作，垂足为． ∵ ∴在中，，， ∴， ． 在中，， ． 答：点到道路的距离为千米． （3）解：连接并延长交于点，延长交于点，过点作，垂足为． 正八边形的外角均为， 在中，． ． 又，， ． ∵， ∴， ，即， ， ． 答：小李离点不超过，才能确保观察雕塑不会受到游乐城的影响． 3．（2024·安徽蚌埠·二模）圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据为我国某地的地理位置设计的圭表的示意图，已知该地冬至正午太阳高度角，夏至正午太阳高度角，圭面上冬至线与夏至线之间的距离，求表高（精确到0.1）． 参考数据：． 【答案】表的长是． 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．在中，，中，有，进而即可求解． 【详解】解：在中，， ∴． 同理，在中，有． ∵， ∴． ∴， ∴． 答：表的长是． 4．（2024九年级下·全国·专题练习）筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，唐代陈廷章在《水轮赋》中写道：“水能利物，轮乃曲成”．如图，半径为的筒车按逆时针方向每分钟转圈，筒车与水面分别交于点A、B，筒车的轴心O距离水面的高度长为，筒车上均匀分布着若干个盛水筒．若以某个盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间．（参考数据：，，） (1)经过多长时间，盛水筒P首次到达最高点？ (2)浮出水面3.4秒后，盛水筒P距离水面多高？ (3)若接水槽所在直线是的切线，且与直线交于点M，．求盛水筒P从最高点开始，至少经过多长时间恰好在直线上． 【答案】(1)1.5 (2)0.7 (3)至少经过7.6秒恰好在直线上 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）、切线的性质定理 【分析】本题考查了切线的性质，解直角三角形的应用，找对相应直角三角形是解决问题的关键． （1）连接，根据，得，可得答案； （2）根据题意知，，得，过点P作于D，利用三角函数求出的长； （3）由题意知，利用，得，在中，根据，得，从而得出答案． 【详解】（1）解：如图，连接， 由题意知，筒车每秒旋转， 在中，， ， 盛水筒P首次到达最高点的时间：（秒）； （2）解：如图， 盛水筒P浮出水面秒后，， ， 过点P作于D， 在中， （米）， 盛水筒P距离水面距离为：（米）； （3）解：如图， 点P在上，且与相切， 当点P在上时，此时点P是切点，连接，则， 在中，， ， 在中，， ， ， （秒）， 至少经过秒恰好在直线上． 5．（2024·河南洛阳·一模）圭表（如图是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标杆（称为“表” 和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺（称为“圭” ，当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据某市地理位置设计的圭表平面示意图，表（高约3.27米）垂直圭，冬至正午日影长为，此时太阳高度角为，夏至正午日影长为，此时太阳高度角为．测得夏至正午日影长约为1米． (1)试计算该市夏至正午太阳高度角（即的度数； (2)已知夏至日正午太阳高度角与冬至日正午太阳高度角的差约为（注：正午太阳高度由当地纬度与当日太阳直射点的差决定，夏至日与冬至日对应的太阳直射点分别为北回归线和南回归线，其纬度差值为，取近似数约为．请计算的长．（结果精确到0.1米．参考数据，，， 【答案】(1) (2)5.7米 【知识点】平行投影、其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，平行投影，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）根据垂直定义可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答； （2）根据题意可得：，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】（1）， ， 在中，米，米， ， ， 该市夏至正午太阳高度角（即的度数约为； （2）由题意得：， 在中，米， （米， 米， （米， 的长约为5.7米． 6．（2023·江苏泰州·二模）古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础．现根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑物的高度．如图1，已知点是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上两点与点在同一条直线上．若在处分别测得球体建筑物的最大仰角为和．图2是过该球体建筑物球心的截面图，、分别与相切于点、，设球的半径（即的半径）为．    (1)用的代数式表示长（写出过程）； (2)若，求该球体建筑物的高度（即球体直径）． （结果精确到0.01，，，，） 【答案】(1) (2)约50.77m 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)、切线的性质定理、应用切线长定理求解 【分析】（1）由，，都是的切线，得出，在中，由求解即可． （2）由，从而得，在中，，由，求得，再根据该球体建筑物的高度为，求解即可． 【详解】（1）解：设建筑物圆心为，连接，，如图：      根据题意知，，，都是的切线， ，， 在中， ． （2）解：∵， ∴， 在中， ， ∴，即， ∴ 解得： ∴， 该球体建筑物的高度约为． 7．（2023·江苏泰州·二模）祖冲之发明的水碓（duì）是一种舂米机具（如图1），在我国古代科学家宋应星的著作《天工开物》中有详细记载，其原理是以水流推动轮轴旋转进而拨动碓杆上下舂米．图2是碓杆与支柱的示意图，支柱高4尺且垂直于水平地面，碓杆长16尺，．当点A最低时，，此时点B位于最高点；当点A位于最高点时，，此时点B位于最低点． (1)求点A位于最低点时与地面的垂直距离； (2)求最低点与地面的垂直距离．（参考数据：，，） 【答案】(1)点A距离地面2尺 (2)点到地面之间的垂直距离约为尺 【知识点】含30度角的直角三角形、其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】（1）分别过点O作直线，作，H为垂足，分别过点B、作、，垂足分别为C、D；根据30度角所对的边是斜边的一半，可得，，即可求得； （2）根据，，求得，根据三角函数的定义，可得，即可求得． 【详解】（1）分别过点O作直线，作，H为垂足，分别过点B、作、，垂足分别为C、D．    ∵， ∵ ∴， ∴点A距离地面2尺； （2）∵， ∴ ∴ ∴ 故点到地面之间的垂直距离约为0.28尺． 8．（2024·河北·二模）如图1中仪器为日晷仪，也称日晷，是观测日影计时的仪器，它是根据日影的位置，指定当时的时辰或刻数，是我国古代较为普遍使用的计时仪器．小东为了探究日晷的奥秘，在不同时刻对日晷进行了观察．如图，日晷的平面是以点为圆心的圆，线段是日晷的底座，点为日晷与底座的接触点（即与相切于点）．点在上，为某一时刻晷针的影长，的延长线与交于点，与交于点，连接，，，，． (1)的度数为__________； (2)求的长； (3)随着时间的推移，点从图2时刻开始在圆周上顺时针转动，当点到的距离为时，直接写出点运动的长度．（参考数据：，，） 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算、切线的性质定理、应用切线长定理求证 【分析】（1）首先根据切线长定理可得，在中，利用三角函数可解得的度数； （2）连接，利用三角函数解得的长度，进而可得的值，然后根据勾股定理计算的长度即可； （3）分在左侧和在右侧两种情况讨论，分别计算点转过的角度，然后根据弧长公式求解即可． 【详解】（1）解：∵，为半径， ∴为切线， 又∵与相切于点， ∴， ∵， ∴，， ∴在中，， ∴． 故答案为：； （2）连接，如下图， ∵与相切于点， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴在中，； （3）由（2）可知，，，即， ∴， 分两种情况讨论： ①当在右侧时，如下图，过点作于点， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点转过的角度为， ∴点运动的长度为； ②当在左侧时，如下图，过点作于点， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点转过的角度为， ∴点运动的长度为． 综上所述，点运动的长度为或． 1 / 39 学科网（北京）股份有限公司 $$