章节测试01 相交线与平行线-【寒假自学课】2025年七年级数学寒假提升精品讲义（人教版2024）

章节测试01 相交线与平行线 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求。 1．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）2025年第九届亚洲冬季运动会会徽“超越”，巧妙融合短道速滑运动员、哈尔滨市花丁香花、舞动的飘带造型进行同构设计，将中国文化与奥林匹克元素结合，传递新时代中国加快体育强国建设，不懈努力向更高、更快、更强的目标发起挑战，为亚洲冰雪运动作出新贡献的美好追求，下列选项中能通过下图平移得到的是（   ） A．B．C． D． 2．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）以下说法：①在同一平面内，没有公共点的两条直线互相平行；②互相平行的两条直线没有公共点；③在同一平面内，若，与相交（不重合），则与相交；④内错角的角平分线互相平行；其中正确的说法有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（24-25七年级上·四川眉山·期中）如图，两平行线间有一个三角形和一个平行四边形，它们的底分别为a和b．当（    ）时，三角形的面积大于平行四边形的面积． A． B． C． D． 4．（21-22七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，，能判定的条件是（    ）    A． B． C． D． 5．（22-23七年级下·广西南宁·阶段练习）“对于有理数a，b，c，若，，则”，我们称这命题的关系具有“传递性”，下列命题中，具有“传递性”的是（    ） A．m，n，l是直线，若，，则 B．m，n，l是直线，若，，则 C．若与互余，与互余，则与互余 D．若与互补，与互补，则与互补 6．（23-24七年级下·贵州黔南·期中）随着乡村振兴项目的实施，需对污水管道进行改造．如图，从村庄到污水处理厂有4条挖渠路线可供选择，其中最短的是，这里蕴含的数学原理是（    ） A．两点确定一条直线 B．垂线段最短 C．点到直线的距离 D．两点之间，线段最短 7．（22-23七年级下·湖南湘西·期末）张小泉剪刀是我国剪刀的一块金字招牌，所铸剪刀，选用闻名的“龙泉”钢为原料，镶钢均匀，磨工精细，刀口锋利，开闭自如，因而名噪一时．如图1是张小泉剪刀，把它抽象为图2所示，如果，那么的度数是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24七年级下·山东济宁·期末）如图，一艘轮船航行到点A处，发现小岛C在点A的北偏东的方向上，轮船继续航行至点B处，这时发现小岛C在点B的北偏西的方向上，此时的度数是（    ） A． B． C． D． 9．（23-24七年级下·福建·期末）如图，将沿方向平移得到．设四边形的周长为，四边形的周长为，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（23-24七年级下·山东济宁·期末）如图，平行线，被直线所截，分别作和的角平分线，交点记为；分别作和的角平分线，交点记为；分别作和的角平分线，交点记为．．．．．按此规律维续操作，则的度数为（     ）    A． B． C． D． 二、填空题（本题共5小题，每题2分，共10分。） 11．（21-22七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，由，可以得到 （只需填出一对角的关系）． 12．（2024七年级上·上海·专题练习）如图，四边形平移后得到的四边形，已知，，，，那么 ， ， ， ， ． 13．（23-24七年级下·湖南邵阳·期末）如图，四边形中，，与相交于点，下列说法：①三角形与三角形周长相等；②三角形与三角形面积相等；③三角形与三角形面积相等；④与之间的公垂线段相等．其中说法正确的是 （填序号） 14．（23-24六年级下·山东济宁·期末）如图①，，则； 如图②，，则； 如图③，，则； 如图④，，，则第个图中的 ．（用含的代数式表示） 15．（23-24七年级下·陕西渭南·期末）如图，在四边形中，H为四边形内部一点，连接，点E在线段的延长线上，，，点F在内部，连接，连接交于点G，，的余角比大．则下列结论：①；②；③；④其中所有正确的结论是 ．（填序号） 三、解答题（本题共8小题，共60分。） 16．（23-24七年级下·全国·期末）噪声对环境的影响与距离有关，与噪声来源距离越近，噪声越大．如图，一辆汽车在笔直的公路上由点向点行驶，是位于一侧的某所学校．通过画图回答下列问题，并说明理由． (1)汽车行驶到什么位置时，学校受噪声影响最严重？ (2)在什么范围内，学校受噪声影响越来越大？在什么范围内，学校受噪声影响越来越小？ 17．（24-25七年级上·江苏徐州·期末）如图，已知点、、都是方格纸中的格点（图中每1个小方格都是边长为1的正方形），请用直尺画图． (1)在网格中找一个格点，连结，使； (2)在网格中找一个格点，作直线，使； (3)连接，，则的面积为________． 18．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，已知，． (1)试说明：直线．请补充下列解题过程，并填空（理由）； 解：∵（已知）， ∴（________________）， ∴（________________）． ∵（已知）， ∴________________（________________）． ∴________________（________________）． (2)其他条件不变，若增加条件，试判断直线与有何位置关系，并说明理由（可直接运用（1）中的结论）． 19．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，已知 (1)求证： (2)若，，求证 20．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，直线相交于点D，． (1)若，求证：； (2)在（1）的条件下，若，求的度数． 21．（23-24七年级下·全国·期中）如图①是一盏可以伸缩的台灯，它的优点是可以变化伸缩，找到合适的照明角度．图②是这盏台灯的示意图．已知台灯水平放置，当灯头与支架平行时可达到最佳照明角度，此时支架与水平线的夹角，两支架和的夹角． (1)求此时支架与底座的夹角的度数； (2)求此时灯头与水平线的夹角的度数． 22．（23-24七年级下·福建龙岩·期末）根据以下素材，探索完成任务 运用三角尺探究两条直线的位置关系 素材背景 一副三角尺可以拼出丰富多彩的平面几何图形，根据拼出图形的不同位置，可以探究两条直线的位置关系——平行、垂直． 素材 如图是一副三角尺，，，，． 问题解决 任务图 任务1 如图1，将三角尺ABC沿BC方向移动，得到三角形，，如果，，那么________． 任务2 将这副三角尺按如图2摆放，并过点E作直线a平行于边所在的直线b，点A与点F重合，求的度数； 任务3 如图3，在任务2的条件下，固定三角尺，固定点C，在平面内摆放三角尺，当时，请你探究直线和直线b的位置关系． 23．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）数学活动课上，老师带领学生们进行了折纸的系列综合实践活动： 〖活动素材〗如图，长方形纸片． 〖活动1〗如图1，将长方形纸片 进行折叠，第1次折叠，折叠后与交于点G，在探究过程中，同学们通过测量发现与的度数总是相等的； 〖活动2〗如图2，在活动1的基础上，将长方形纸片进一步折叠，第 2次沿折叠，且，同学们通过研究发现与之间也存在一定的数量关系； 〖活动3〗如图3，在活动2的基础上，作的平分线，并反向延长与的平分线交于点Q，与之间是否也存在确定的数量关系呢? 〖任务1〗求证：； 〖任务2〗若，求的度数； 〖任务3〗请画出点 Q，并直接写出与之间的数量关系． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 章节测试01 相交线与平行线 （考试时间：90分钟 试卷满分：120分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求。 1．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）2025年第九届亚洲冬季运动会会徽“超越”，巧妙融合短道速滑运动员、哈尔滨市花丁香花、舞动的飘带造型进行同构设计，将中国文化与奥林匹克元素结合，传递新时代中国加快体育强国建设，不懈努力向更高、更快、更强的目标发起挑战，为亚洲冰雪运动作出新贡献的美好追求，下列选项中能通过下图平移得到的是（   ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平移的性质，根据平移的性质判断即可，掌握平移的性质是解题的关键． 【详解】解：由平移性质可知，选项符合题意，选项不符合题意， 故选：C． 2．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）以下说法：①在同一平面内，没有公共点的两条直线互相平行；②互相平行的两条直线没有公共点；③在同一平面内，若，与相交（不重合），则与相交；④内错角的角平分线互相平行；其中正确的说法有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了平面内两直线的位置关系，平行线的性质；根据平面内两直线的位置关系，平行线的性质逐项分析判断，即可求解． 【详解】①在同一平面内，没有公共点的两条直线互相平行,故①正确； ②互相平行的两条直线没有公共点，故②正确； ③在同一平面内，若，与相交（不重合），则与相交，故③正确； ④内错角的角平分线不一定互相平行，故④错误； 故选：C． 3．（24-25七年级上·四川眉山·期中）如图，两平行线间有一个三角形和一个平行四边形，它们的底分别为a和b．当（    ）时，三角形的面积大于平行四边形的面积． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是三角形和平行四边形的面积公式，平行线间的距离，是解答此题的关键．根据三角形的面积底高，平行四边形的面积底高，解答此题即可． 【详解】解：设两平行线间的距离为， ∵三角形的面积大于平行四边形的面积 ∴， ∴， 当时，三角形的面积大于平行四边形的面积． 故选：D． 4．（21-22七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，，能判定的条件是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定，同旁内角互补，两直线平行；根据，即可判定；其它条件均不能判定． 【详解】解：当时，， 则有； 而添加其它条件无法得到； 故选：C． 5．（22-23七年级下·广西南宁·阶段练习）“对于有理数a，b，c，若，，则”，我们称这命题的关系具有“传递性”，下列命题中，具有“传递性”的是（    ） A．m，n，l是直线，若，，则 B．m，n，l是直线，若，，则 C．若与互余，与互余，则与互余 D．若与互补，与互补，则与互补 【答案】A 【分析】根据平行线的判定、垂直和互余、互补进行判断即可．本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 【详解】解：A、m，n，l是直线，若，，则，具有“传递性” B、m，n，l是直线，若，，则与不一定垂直也可能是平行；不具有“传递性” C、若与互余，与互余，则与相等，不具有“传递性” D、若与互补，与互补，则与相等，不具有“传递性” 故选：A． 6．（23-24七年级下·贵州黔南·期中）随着乡村振兴项目的实施，需对污水管道进行改造．如图，从村庄到污水处理厂有4条挖渠路线可供选择，其中最短的是，这里蕴含的数学原理是（    ） A．两点确定一条直线 B．垂线段最短 C．点到直线的距离 D．两点之间，线段最短 【答案】B 【分析】本题考查垂线段最短，根据垂线段最短求解即可． 【详解】解：根据垂线段最短可知，从村庄到污水处理厂的4条挖渠路线中，最短的是， 故答案为：B． 7．（22-23七年级下·湖南湘西·期末）张小泉剪刀是我国剪刀的一块金字招牌，所铸剪刀，选用闻名的“龙泉”钢为原料，镶钢均匀，磨工精细，刀口锋利，开闭自如，因而名噪一时．如图1是张小泉剪刀，把它抽象为图2所示，如果，那么的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了对顶角相等，邻补角定义，由对顶角相等，求出，然后根据邻补角的定义，即可求出答案． 【详解】解：∵， 又， ∴， ∵， ∴， 故选：A 8．（23-24七年级下·山东济宁·期末）如图，一艘轮船航行到点A处，发现小岛C在点A的北偏东的方向上，轮船继续航行至点B处，这时发现小岛C在点B的北偏西的方向上，此时的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了方位角的计算，平行线的判定与性质等知识．过C作，利用平行线的传递性可得，，然后利用角的和差求解即可． 【详解】解∶如图，过C作， 由题意知∶，，， ∴， ∴，， ∴， 故选∶C． 9．（23-24七年级下·福建·期末）如图，将沿方向平移得到．设四边形的周长为，四边形的周长为，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．得到是解题的关键．根据平移的基本性质，得出，由，即可得出答案． 【详解】解：由平移的基本性质，得， ， ， ， 故选：C． 10．（23-24七年级下·山东济宁·期末）如图，平行线，被直线所截，分别作和的角平分线，交点记为；分别作和的角平分线，交点记为；分别作和的角平分线，交点记为．．．．．按此规律维续操作，则的度数为（     ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，数字类规律探究；根据题意得出，即可求解． 【详解】如图所示，过点作 ，    ∵， ∴， 又∵是和的角平分线 ∴， ∴ 同理可得， ∴ ∴ 故选：D． 二、填空题（本题共5小题，每题2分，共10分。） 11．（21-22七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，由，可以得到 （只需填出一对角的关系）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了平行线的性质；结合图形，根据平行线的性质，考虑内错角相等或同旁内角互补． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为：（答案不唯一）． 12．（2024七年级上·上海·专题练习）如图，四边形平移后得到的四边形，已知，，，，那么 ， ， ， ， ． 【答案】 【分析】本题考查平移的基本概念及平移规律，根据平移的性质作答．由图可知四边形与四边形中，，，；，，，． 【详解】解：四边形平移后得到的四边形，已知，，，， ，，，， 故答案为：，，，，，，． 13．（23-24七年级下·湖南邵阳·期末）如图，四边形中，，与相交于点，下列说法：①三角形与三角形周长相等；②三角形与三角形面积相等；③三角形与三角形面积相等；④与之间的公垂线段相等．其中说法正确的是 （填序号） 【答案】②③④ 【分析】本题考查了平行线间的距离，根据，得出间的距离相等，进而根据三角形的面积公式，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：∵， ∴间的距离相等， ①三角形与三角形周长不一定相等，故①不正确 ②三角形与三角形面积相等，故②正确； ③∵ ∴ 即三角形与三角形面积相等，故③正确； ④与之间的公垂线段相等，故④正确． 故答案为：②③④． 14．（23-24六年级下·山东济宁·期末）如图①，，则； 如图②，，则； 如图③，，则； 如图④，，，则第个图中的 ．（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行，同旁内角互补，根据两直线平行，同旁内角互补得出规律，即可求解． 【详解】解：如图①， ， ； 如图②，过作， ， ， ，， ； 如图③，过作，过作， ， ， ，，， ， 第个图中的， 故答案为：． 15．（23-24七年级下·陕西渭南·期末）如图，在四边形中，H为四边形内部一点，连接，点E在线段的延长线上，，，点F在内部，连接，连接交于点G，，的余角比大．则下列结论：①；②；③；④其中所有正确的结论是 ．（填序号） 【答案】①②④ 【分析】此题考查了平行线的判定和性质、余角的定义、对顶角的性质等知识，根据内错角相等两直线平行即判断①，由角之间的相等关系得到，根据同位角相等两直线平行即判断②，根据余角的定义和对顶角相等得到，求出，即可判断③，根据两直线平行内错角相等即可判断④． 【详解】解：∵， ∴； 故①正确； ∵，， ∴， ∴, ∴， 故②正确； ∵的余角比大． ∴， ∵， ∴， 解得 故③错误； ∵， ∴， 故④正确； 故答案为：①②④ 三、解答题（本题共8小题，共60分。） 16．（23-24七年级下·全国·期末）噪声对环境的影响与距离有关，与噪声来源距离越近，噪声越大．如图，一辆汽车在笔直的公路上由点向点行驶，是位于一侧的某所学校．通过画图回答下列问题，并说明理由． (1)汽车行驶到什么位置时，学校受噪声影响最严重？ (2)在什么范围内，学校受噪声影响越来越大？在什么范围内，学校受噪声影响越来越小？ 【答案】(1)汽车行驶到点 (2)汽车行驶在段时，学校受噪声影响越来越大；汽车行驶在段时，学校受噪声影响越来越小 【分析】此题主要考查了应用与设计作图，以及垂线段的性质． （1）过点作的垂线，垂足为，根据垂线段最短可得汽车行驶到此处时，对学校影响最大； （2）根据图象得出点P左侧和右侧对学校影响情况． 【详解】（1）解：如图，根据“垂线段最短”，过点作的垂线，垂足为，所以汽车行驶到点时，与学校距离最近，学校受噪声影响最严重； ； （2）解：如图，汽车行驶在段时，与学校的距离越来越近，学校受噪声影响越来越大；汽车行驶在段时，与学校的距离越来越远，学校受噪声影响越来越小． 17．（24-25七年级上·江苏徐州·期末）如图，已知点、、都是方格纸中的格点（图中每1个小方格都是边长为1的正方形），请用直尺画图． (1)在网格中找一个格点，连结，使； (2)在网格中找一个格点，作直线，使； (3)连接，，则的面积为________． 【答案】(1)见解析 (2)图见解析 (3)4 【分析】（1）根据同位角相等，两直线平行，画图即可； （2）根据垂直的定义，三角形的内角和定理，解答即可； （3）根据面积公式解答即可． 本题考查了利用网格线画平行线，画垂线，三角形的面积的计算，掌握作图的基本方法是解本题的关键． 【详解】（1）解：如图，连接， 交水平直线于点Q，B、G，Q，F四点共线， 根据题意，得，， ∴， ∴． 则即为所求． （2）解：如图，连接， 设交于点M，E，N共线，N，C，H三点共线， 根据题意，得，， ∴， ∴， ∴， 由， ∴， 故． 则点即为所求． （3）解：连接，， 则的面积为：． 故答案为：4． 18．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，已知，． (1)试说明：直线．请补充下列解题过程，并填空（理由）； 解：∵（已知）， ∴（________________）， ∴（________________）． ∵（已知）， ∴________________（________________）． ∴________________（________________）． (2)其他条件不变，若增加条件，试判断直线与有何位置关系，并说明理由（可直接运用（1）中的结论）． 【答案】(1)同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；；等量代换； ；内错角相等，两直线平行 (2)平行，见解析 【分析】该题主要考查了平行线的性质和判定，解题的关键是掌握平行线的性质和判定定理． （1）根据题干中的思路和平行线的性质和判定解答即可． （2）根据，得出．结合，得出，即可证明． 【详解】（1）解：∵（已知）， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同位角相等）． ∵（已知）， ∴（等量代换）． ∴（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；；等量代换； ；内错角相等，两直线平行． （2）解：． 理由如下：∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 19．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，已知 (1)求证： (2)若，，求证 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平行线的判定及性质，熟练掌握其性质是解题的关键． （1）根据同角的补角相等，判断出，即可得解． （2）根据已知得到，再由平行线的性质即可解答． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴． （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 20．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，直线相交于点D，． (1)若，求证：； (2)在（1）的条件下，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查垂直的定义，几何中角度的计算． （1）根据垂直的定义得到，结合，等量代换可得，即可证明； （2）由，根据，可得，即可求出，由（1）知，由即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 由（1）知， ， ∴． 21．（23-24七年级下·全国·期中）如图①是一盏可以伸缩的台灯，它的优点是可以变化伸缩，找到合适的照明角度．图②是这盏台灯的示意图．已知台灯水平放置，当灯头与支架平行时可达到最佳照明角度，此时支架与水平线的夹角，两支架和的夹角． (1)求此时支架与底座的夹角的度数； (2)求此时灯头与水平线的夹角的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质定理是解题的关键． （1）过点作，根据平行线的性质求解即可； （2）根据平行线的性质及角的和差求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点作， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）， ， ， ， ， ． 22．（23-24七年级下·福建龙岩·期末）根据以下素材，探索完成任务 运用三角尺探究两条直线的位置关系 素材背景 一副三角尺可以拼出丰富多彩的平面几何图形，根据拼出图形的不同位置，可以探究两条直线的位置关系——平行、垂直． 素材 如图是一副三角尺，，，，． 问题解决 任务图 任务1 如图1，将三角尺ABC沿BC方向移动，得到三角形，，如果，，那么________． 任务2 将这副三角尺按如图2摆放，并过点E作直线a平行于边所在的直线b，点A与点F重合，求的度数； 任务3 如图3，在任务2的条件下，固定三角尺，固定点C，在平面内摆放三角尺，当时，请你探究直线和直线b的位置关系． 【答案】任务1：3；任务2：；任务3：直线和直线b垂直，理由见解析 【分析】本题是三角形的综合题，熟练掌握平行线的性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理是解题的关键． 任务1：根据平移的性质及线段的和差即可求出； 任务2：作，可得，由平行线的性质及角的和差即可求出； 任务3：依题意画出图形，由平行线的性质及角的和差即可求出直线和直线b的位置关系． 【详解】解：任务1： 将三角尺沿方向移动，得到三角形， ， ，， ， 故答案为：3； 任务2： 作， ， ， ， ， ， ， ， ； 任务3： 如图所示，、分别与直线a交于点P、Q， ， ， 由任务2得，， ， ， ，即直线和直线b垂直． 23．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）数学活动课上，老师带领学生们进行了折纸的系列综合实践活动： 〖活动素材〗如图，长方形纸片． 〖活动1〗如图1，将长方形纸片 进行折叠，第1次折叠，折叠后与交于点G，在探究过程中，同学们通过测量发现与的度数总是相等的； 〖活动2〗如图2，在活动1的基础上，将长方形纸片进一步折叠，第 2次沿折叠，且，同学们通过研究发现与之间也存在一定的数量关系； 〖活动3〗如图3，在活动2的基础上，作的平分线，并反向延长与的平分线交于点Q，与之间是否也存在确定的数量关系呢? 〖任务1〗求证：； 〖任务2〗若，求的度数； 〖任务3〗请画出点 Q，并直接写出与之间的数量关系． 【答案】〖任务1〗  〖任务2〗  〖任务3〗 【分析】本题考查平行线的判定和性质，折叠的性质，角平分线的定义，作辅助线构造平行线是解题的关键． （1）根据折叠的性质和平行线的性质解题即可； （2）根据平行线的性质得到，然后根据角的和差得到，然后根据解题即可； （3）根据任务的结论计算，然后过点作，则，然后根据平行线的性质得到，，然后根据即可得到结论． 【详解】解：〖任务1〗如图1，则， 又∵ ∴， ∴； 〖任务2〗解：由折叠可得， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴； 〖任务3〗由折叠可得， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴； ∵平分，平分， ∴，， ∴， 过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$