5.3.1正弦函数、余弦函数的图象及性质第2课时（4大题型提分练）数学湘教版必修第一册

5.3.1正弦函数、余弦函数的图象与性质（第2课时） 题型一 周期性 1．的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 2．函数的最小正周期是（   ） A． B． C． D． 3．函数是（    ） A．周期为的偶函数 B．周期为的偶函数 C．周期为的奇函数 D．周期为的奇函数 4．若直线是函数图象的两条相邻的对称轴，则（    ） A． B． C． D． 5（多选题）．下列函数是最小正周期为的偶函数的是（    ） A． B． C． D． 6（多选题）．已知函数，则下列函数为周期函数的是（    ） A． B． C． D． 7（多选题）．已知函数，下列结论中正确的是（    ） A．的图象关于点中心对称 B．的图象关于直线对称 C．是奇函数 D．不是周期函数 8．已知，函数的最小正周期是，则正数的值为 . 9．求下列函数的周期： (1)；(2). 题型二 值域与最值 1．已知集合，集合，则（    ） A． B．S C．T D．R 2．在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称.若，则的最大值为（    ） A．0 B． C． D．1 3．在上的值域为（   ） A． B． C． D． 4．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 5．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 6．定义行列式运算 ，函数若对于任意的，都有，则满足条件的的最小值为（     ） A． B． C． D． 7．下列函数中最小值为4的是（   ） A． B． C． D． 8．已知函数，则（    ） A．的最大值为 B．为偶函数 C．在上单调递减 D．在上有6个零点 9．函数的值域为 ． 10．若函数在区间上恰有两个最大值，则实数的取值范围是 ． 题型三 奇偶性 1．下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 2．已知是偶函数，则（   ） A．2 B．1 C．0 D． 3．关于的两个函数与有以下命题： ①不存在，使得既是奇函数又是偶函数； ②对任意的都不是奇函数； ③对于任意的，存在，使得与有相同的最小正周期； ④对于任意的，存在，使得的最小正周期大于的最小正周期． 其中真命题的序号是（    ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 4．已知函数，定义域为，则满足不等式的的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 6．函数在上的图象可能是（    ） A． B． C． D． 7．（多选题）函数，若存在，使得为奇函数，则实数的值可以是（    ） A． B． C． D． 8．（多选题）下列说法正确的是（   ） A．若角的终边过点，则 B．函数是偶函数 C． D．若，则 9．下列函数①②③④中，既是偶函数又存在零点的是 . 10．已知三角函数满足：①为偶函数，②，③，写出一个满足条件的函数 ． 题型四 单调性 1．已知直线是函数的一条对称轴，则的一个单调递减区间是 A． B． C． D． 2．已知函数，现有如下说法： 的图象关于直线对称； 为的一个周期； 在上单调递增． 则上述说法中正确的个数为（    ） A． B． C． D． 3（多选题）．已知直线是函数图象的一条对称轴，则（    ） A． B．的图象关于点对称 C．的图象关于直线对称 D．在上单调递减 4．已知函数，下列选项正确的有（    ） A．的最小正周期为 B．函数的单调递增区间为 C．在区间上只有一个零点 D．函数在区间的值域为 5．已知函数，则（    ） A．若在区间上为减函数，则实数的取值范围是 B．若在区间上只有两个零点，则实数的取值范围是 C．若在区间上有且仅有一个极小值，则实数的取值范围是 D．若在区间上有且仅有一个最大值，则实数的取值范围是 6．若函数在上单调递减，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 7．已知函数的部分图象如图所示，则（    ）    A． B．函数f(x)的图象关于 对称 C．函数f(x)的图象关于 对称 D．函数f(x)在 上单调递增 8．试写出一个函数，使其满足以下三个条件：函数的周期为；函数的图象关于直线对称；函数在上单调递减.则的解析式可以为： ． 9．若方程在上的解为，则的值为 10．已知函数，． (1)求函数的最小正周期和单调递减区间； (2)求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时的值； (3)求函数的对称轴与对称中心． 11．已知函数． (1)求函数的最小正周期和单调递增区间； (2)求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时的值． 12．已知函数. (1)求函数的单调递增区间；(2)求函数在区间上的最大值和最小值. 13．已知函数． (1)求的对称轴和单调递增区间；(2)求不等式的解集． 1．已知函数 有一条对称轴为 当ω分别取最小正数和最大负数时，得到函数为与，则两个函数最小正周期的差为（     ） A． B．π C． D．2π 2．若函数在上恰有个极值点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．已知是函数的两个零点，且，若将函数的图象向左平移个单位后得到的图象关于轴对称，且函数在内恰有2个最值点，则实数的取值范围为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 5.3.1正弦函数、余弦函数的图象与性质（第2课时） 题型一 周期性 1．的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据求最小正周期即可. 【详解】函数的最小正周期， 故选:D. 2．函数的最小正周期是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用图象变换作出的图象求解即可. 【详解】的图象如图所示，   由图象可知最小正周期为.故选：B. 3．函数是（    ） A．周期为的偶函数 B．周期为的偶函数 C．周期为的奇函数 D．周期为的奇函数 【答案】A 【分析】运用周期性定义和奇偶性定义验证即可． 【详解】因为，所以， 所以，则是偶函数. 因为，， 所以是周期为的偶函数. 故选：A. 4．若直线是函数图象的两条相邻的对称轴，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由三角函数的对称性和周期性计算即可. 【详解】依题意得函数的最小正周期，解得. 故选：D. 5（多选题）．下列函数是最小正周期为的偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据三角函数的性质逐项判断. 【详解】是周期为的偶函数； 是周期为的奇函数； 是周期为的偶函数； 是周期为的偶函数． 故选：. 6（多选题）．已知函数，则下列函数为周期函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用三角函数的性质及周期的定义一一判定选项即可. 【详解】不妨令表示四个选项中的对应函数， 对于A，易知， 注意到， 因此为周期函数，故A正确； 对于B， 注意到， 因此为周期函数，故B正确； 对于D， 注意到， 因此为周期函数，故D正确； 对于C，易知， 假设存在正常数T，使得恒成立，分别取，得： ，， ． 不妨设，其中，， ， 由于，而为无理数，则上式不恒成立， ∴T不存在，不是周期函数，故C错误． 故选：ABD 【点睛】思路点睛：对于A、B、D三个选项可以借助特殊值结合周期性验证，而C选项，可以利用反证法及特殊值排除. 7（多选题）．已知函数，下列结论中正确的是（    ） A．的图象关于点中心对称 B．的图象关于直线对称 C．是奇函数 D．不是周期函数 【答案】ABC 【分析】根据三角函数的对称性、奇偶性、周期性对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】的图象关于点中心对称等价于， ，故A正确； 的图象关于直线对称等价于， ，故B正确； 又因为，即是奇函数，故C正确； ，即的一个周期是，故D错. 故选：ABC 8．已知，函数的最小正周期是，则正数的值为 . 【答案】2 【分析】由周期公式即可求解； 【详解】，解得：，故答案为：2 9．求下列函数的周期： (1)；(2). 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）由周期公式直接计算即可； （2）由即可计算，结合图象验证结论. 【详解】（1）由周期公式得. （2）因为，图象如下图所示，所以函数的周期为. 题型二 值域与最值 1．已知集合，集合，则（    ） A． B．S C．T D．R 【答案】C 【分析】根据正弦函数性质求值域得出集合，最后根据并集的定义计算即可. 【详解】因为集合，又集合，所以. 故选：C 2．在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称.若，则的最大值为（    ） A．0 B． C． D．1 【答案】B 【分析】根据题意得到，再利用三角函数的诱导公式与单调性即可得解. 【详解】由题意，得，所以， 因为，所以，则， 所以当，即时，取得最大值，且最大值为. 故选：B. 3．在上的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据的取值范围，确定的取值范围，再结合余弦函数的图象可求所给函数的值域. 【详解】因为，所以， 由余弦函数的图象可知：即，故函数的值域为. 故选：C 4．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用余弦型函数的性质求出结果. 【详解】如图为函数在的图象，易知，时，函数的值域为. 故选：C. 5．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先求的范围，再根据余弦函数的性质求值域. 【详解】因为，所以，则， 故的值域为．故选：C 6．定义行列式运算 ，函数若对于任意的，都有，则满足条件的的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由定义行列式运算可得，又对于任意的，都有，即，可得时求得最小值，即可得到的最小值. 【详解】因为行列式运算 ， 则函数，得，即， 因为，所以，即， 即，即时，求得最小值， 此时对于任意的，都有，则的最小值为. 故选：A. 7．下列函数中最小值为4的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】对于A：举反例说明即可；对于BCD：利用基本不等式运算求解即可. 【详解】对于选项A：例如，则，可得， 所以的最小值不为4，故A错误； 对于选项B：因为， 则，当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为4，故B正确； 对于选项C：因为，则， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为4，故C正确； 对于选项D：因为，且， 则， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为4，故D正确； 故选：BCD. 8．已知函数，则（    ） A．的最大值为 B．为偶函数 C．在上单调递减 D．在上有6个零点 【答案】BC 【分析】根据三角函数的性质即可求解A，根据奇偶性的定义即可求解B，根据复合函数的单调性即可判断C，利用三角函数的周期性即可求解D. 【详解】因为的最大值为，时可取到最大值，所以A错误. 因为的定义域为，且， 所以为偶函数，B正确. 令函数在上单调递增，且当时，的值域为. 因为函数在上单调递减，所以在上单调递减，C正确. 当时，的值域为， 函数在上有5个零点，所以在上有5个零点D错误. 故选：BC 9．函数的值域为 ． 【答案】 【分析】根据正弦函数的值域，利用换元法整理函数，结合余弦函数的单调性，可得答案. 【详解】令，可得，则，． 由于在内单调递增，在内单调递减， 则，故函数的值域为．故答案为：. 10．若函数在区间上恰有两个最大值，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】求出，根据函数恰有两个最大值，得到，得到答案. 【详解】因为，，所以， 又 上恰有两个最大值，所以，解得. 故答案为： 题型三 奇偶性 1．下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用函数奇偶性定义，逐项判断即可. 【详解】对于A，中，，得， ，则为偶函数，A错误； 对于B，函数定义域为R，，则为奇函数，B正确； 对于C，函数定义域为R，，则为偶函数，C错误； 对于D，函数定义域为R，，则为非奇非偶函数，D错误． 故选：B 2．已知是偶函数，则（   ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】A 【分析】根据给定的函数，利用偶函数的定义列式求解. 【详解】函数的定义域为， 由是偶函数，得， 而不恒等于0，则恒成立，即恒成立，所以. 故选：A 3．关于的两个函数与有以下命题： ①不存在，使得既是奇函数又是偶函数； ②对任意的都不是奇函数； ③对于任意的，存在，使得与有相同的最小正周期； ④对于任意的，存在，使得的最小正周期大于的最小正周期． 其中真命题的序号是（    ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】A 【分析】根据正余弦型函数的性质判断各项的正误即可. 【详解】①由三角函数的奇偶性可知，不存在，使得既是奇函数又是偶函数，①正确； ②当时，为奇函数，②错误； ③当时，与有相同的最小正周期，③正确； 当④时，的最小正周期为，显然大于的最小正周期，④错误， 故真命题的序号是①③.故选：A 4．已知函数，定义域为，则满足不等式的的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，得且为偶函数，将题设不等式化为，结合的区间单调性列不等式，求参数范围. 【详解】设，则，显然为偶函数， 由题设，易知，即为，故， 由于函数在上为减函数，故，解得，或． 故选：D 5．函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用函数的奇偶性及在2处的函数值正负判断即得. 【详解】函数的定义域为R， ，函数是奇函数，其图象关于原点对称，排除BD； 而，排除选项A，选项C符合题意. 故选：C 6．函数在上的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用定义判断的奇偶性，再代入特殊值检验，即可得答案. 【详解】的定义域为，则， 所以为奇函数，则图象关于原点对称，排除A、C，又当时，，排除D. 故选：B 7．（多选题）函数，若存在，使得为奇函数，则实数的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据函数的奇偶性得出参数得，再分类讨论结合三角函数为偶函数计算得出参数. 【详解】由题意知为奇函数， 则，得或，经验证，不符合题意； 则，要使为奇函数 时，的解析式为“奇偶”的结构，则为偶函数， 所以，可得，所以， 当时，，当时，，所以AC满足题意，验证得BD不满足题意． 故选：AC． 8．（多选题）下列说法正确的是（   ） A．若角的终边过点，则 B．函数是偶函数 C． D．若，则 【答案】CD 【分析】由三角函数的定义即可判断选项A；由诱导公式化简函数的解析式即可判断选项B；由对数的运算性质计算即可判断选项C；由指数幂的运算即可判断选项D. 【详解】对于A，若角的终边过点，则，故A错误； 对于B，函数，为奇函数，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，若，两边同时平方得，即， 所以，所以，， 所以，故D正确； 故选：CD 9．下列函数①②③④中，既是偶函数又存在零点的是 . 【答案】① 【分析】根据函数的解析式直接判断函数的奇偶性和是否有零点. 【详解】由选项可知，②是奇函数，③是非奇非偶函数，故排除②③，①④是偶函数， 但④与轴没有交点，即④的函数不存在零点，故选①. 故答案为： 10．已知三角函数满足：①为偶函数，②，③，写出一个满足条件的函数 ． 【答案】（答案不唯一，满足题意均可） 【分析】分析可知是周期为2的偶函数，不妨设，结合题意求解即可. 【详解】因为，所以是周期为2的偶函数，不妨设， 因为，所以，可得，所以． 故答案为：（答案不唯一，满足题意均可）. 题型四 单调性 1．已知直线是函数的一条对称轴，则的一个单调递减区间是 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用周期公式计算出周期，根据对称轴对应的是最值，然后分析单调减区间. 【详解】因为， 若取到最大值，则，即，此时处最接近的单调减区间是：即，故B符合； 若取到最小值，则，即，此时处最接近的单调减区间是：即，此时无符合答案； 故选B. 【点睛】对于正弦型函数，对称轴对应的是函数的最值，这一点值得注意. 2．已知函数，现有如下说法： 的图象关于直线对称； 为的一个周期； 在上单调递增． 则上述说法中正确的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对于①，验证关于对称的点为是否在图像上即可. 对于②，验证是否成立即可. 对于③，根据复合函数的单调性，即可判断. 【详解】①设为上的任意一点， 则且此点关于对称的点为， ， 点不在函数上，故①错误； ②， 为的一个周期，故②正确； ③当时，单调递增且， ∵在上单调递增， ∴由复合函数的单调性，可知在上单调递增，故③正确． ∴说法正确的有2个. 故选：． 3（多选题）．已知直线是函数图象的一条对称轴，则（    ） A． B．的图象关于点对称 C．的图象关于直线对称 D．在上单调递减 【答案】BCD 【分析】根据直线是函数图象的一条对称轴，求得，再逐项判断. 【详解】解：因为直线是图象的一条对称轴，所以，．又，所以．A不正确． 当时，，所以的图象关于点对称．B正确． 因为，所以C正确． 当时，，单调递减．D正确． 故选：BCD 4．已知函数，下列选项正确的有（    ） A．的最小正周期为 B．函数的单调递增区间为 C．在区间上只有一个零点 D．函数在区间的值域为 【答案】AC 【分析】利用余弦型函数的周期公式可判断A选项；利用余弦型函数的单调性可判断B选项；当时，解方程，可判断C选项；利用与余弦型函数的值域可判断D选项. 【详解】对于A选项，函数的最小正周期为，A对； 对于B选项，由得， 所以，函数的单调递增区间为，B错； 对于C选项，当时，， 由可得，所以，函数在区间上只有一个零点，C对； 对于D选项，当时，，则， 则函数在区间的值域为，D错. 故选：AC. 5．已知函数，则（    ） A．若在区间上为减函数，则实数的取值范围是 B．若在区间上只有两个零点，则实数的取值范围是 C．若在区间上有且仅有一个极小值，则实数的取值范围是 D．若在区间上有且仅有一个最大值，则实数的取值范围是 【答案】BD 【分析】由求出的范围，然后根据余弦函数的性质对每个选项逐一分析判断即可求解. 【详解】当时，， 对于选项A，若在区间上为减函数，则，得到， 又，所以，故选项A错误， 对于选项B，若在区间上只有两个零点，则， 解得，所以选项B正确， 对于选项C，若在区间上有且仅有一个极小值，则， 解得，所以选项C错误， 对于选项D，若在区间上有且仅有一个最大值，则， 解得，所以选项D正确， 故选：BD. 6．若函数在上单调递减，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】采用整体代换的方法，根据余弦函数单调性可构造不等关系求得可能的取值. 【详解】当时，， 在上单调递减，，又，， 即的值可能为和. 故选：AB. 7．已知函数的部分图象如图所示，则（    ）    A． B．函数f(x)的图象关于 对称 C．函数f(x)的图象关于 对称 D．函数f(x)在 上单调递增 【答案】ACD 【分析】根据图像求出，然后利用三角函数的性质逐一判断即可. 【详解】由图可知：, 且,故，， 故，， ，故A正确； 当时，，故B错误；当时，，故C正确； 当时，，故D正确. 故选：ACD 8．试写出一个函数，使其满足以下三个条件：函数的周期为；函数的图象关于直线对称；函数在上单调递减.则的解析式可以为： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】结合三角函数的性质，即可求解函数的解析式. 【详解】由条件可设， 由函数的周期为，可知，可以为2， 因为函数的图象关于直线对称，则，,所以可以为0，则， 又函数在上单调递减，，，所以，则可以为， 所以满足条件的一个函数 故答案为：（答案不唯一） 9．若方程在上的解为，则的值为 【答案】/ 【分析】根据题意，得到关于对称，得到，即可求解. 【详解】令，即对称轴为， 因为，可得， 因为在上的解为，可得关于对称， 所以，则. 故答案为：. 10．已知函数，． (1)求函数的最小正周期和单调递减区间； (2)求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时的值； (3)求函数的对称轴与对称中心． 【答案】(1)最小正周期为，单调递减区间是，. (2)，此时；，此时. (3)对称轴，；对称中心， 【分析】（1）由余弦函数的周期公式即可求得答案，再利用整体法即可得到单调减区间； （2），利用余弦函数的单调性即可求得其最小值和最大值及取得最值时的值. （3）由余弦型函数的对称中心与对称轴方程，代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）的最小正周期， 当，即，时，单调递减， ∴的单调递减区间是，. （2）∵，则，故， ∴，此时，即，，此时，即． （3）令，，解得对称轴方程为，， 令，，解得，，所以对称中心为， 11．已知函数． (1)求函数的最小正周期和单调递增区间； (2)求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时的值． 【答案】(1)最小正周期为，单调递增区间是； (2)最小值为，此时；最大值为，此时 【分析】（1）利用余弦型函数的周期性和单调性求解即可； （2）求出在指定区间内相位的范围，再利用余弦函数的最值情况求解. 【详解】（1）函数的最小正周期， 由，解得， 所以函数的单调递增区间是； （2）由，得，则当，即时，； 当，即时，， 所以函数在上的最大值为，此时；最小值为，此时. 12．已知函数. (1)求函数的单调递增区间；(2)求函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1)；(2)最大值和最小值分别为. 【分析】（1）利用余弦函数的单调递增区间，列出不等式求解即得. （2）先讨论函数的增减区间，再结合所给角的范围，借助单调性求得最值. 【详解】（1）由，，得， 故的单调递增区间为. （2）由于，故， 由于在上单调递减，在上单调递增， 因此函数在上单调递减，在上单调递增， 则，而，则， 所以函数在区间上的最大值和最小值分别为. 13．已知函数． (1)求的对称轴和单调递增区间；(2)求不等式的解集． 【答案】(1)对称轴为，单调递增区间为 (2) 【分析】(1)将看成整体，然后求函数对称轴时，令，求出即可，同样求函数的单调递增区间时，因为，所以令，求出其范围即可. (2)由题意知：，同样利用整体思想，只需满足，然后求不等式的解集. 【详解】（1）解：因为， 由，得， 所以函数的对称轴为； 令，得， 所以的单调递增区间为. （2）由可得，, 所以, 解得,即不等式的解集为. 1．已知函数 有一条对称轴为 当ω分别取最小正数和最大负数时，得到函数为与，则两个函数最小正周期的差为（     ） A． B．π C． D．2π 【答案】D 【分析】根据已知条件函数的一条对称轴为，求得的值，解得，分别得出最小正周期即可求解. 【详解】根据已知条件函数的一条对称轴为，又由正弦函数的对称轴可知： ，，又因为， 当分别取最小正数和最大负数时，， 所以两个函数最小正周期的差为. 故选：D. 2．若函数在上恰有个极值点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性可判断当时函数的极值点情况，再结合函数图像列不等式即可. 【详解】由题得，即是偶函数， 又在上有个极值点， 易知是极值点，则在上有个极值点， 当时，，， 设，则， 则，，在上的前个极值点依次为，，，，， 所以， 故选：A. 3．已知是函数的两个零点，且，若将函数的图象向左平移个单位后得到的图象关于轴对称，且函数在内恰有2个最值点，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据函数零点的最小距离可得，再利用平移规则和函数奇偶性可求得，根据函数在内恰有2个最值点可限定出，即可解得实数的取值范围. 【详解】由，即， 可得或， 根据正弦函数图象性质可知，解得， 则； 将函数的图象向左平移个单位可得， 又为偶函数， 则，又，可得，因此； 当时，可知， 若函数在内恰有个最值点，可知，解得， 所以实数的取值范围为.故答案为：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$