第5章 5.3.1 第1课时 正弦函数、余弦函数的图象（配套课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（湘教版）

该高中数学课件聚焦正弦函数、余弦函数的图象，通过单摆实验的简谐运动情境导入，引导学生从现实现象中抽象出“波浪起伏”的曲线特征，结合单位圆中的正弦线、余弦线及诱导公式，构建从[0,2π]到全体实数域的图象绘制脉络，形成知识支架。 其亮点在于以“五点法”作图为核心，通过列表描点实例（如y=1+sinx）培养学生几何直观与运算能力，结合图象解不等式、方程根问题（如2sinx-1≥0）渗透数形结合，发展模型意识。学生能深化对函数图象的理解，教师可依托清晰的步骤与应用案例提升教学效率。

第5章　 5.3.1　正弦函数、余弦函数的图象与性质 <<< 第1课时 正弦函数、余弦函数的图象 1.能利用三角函数的定义，画y＝sin x，y＝cos x的图象. 2.掌握“五点法”画y＝sin x，y＝cos x的图象的步骤和方法，能利用“五点法”作出简单的正弦、余弦曲线. 3.理解y＝sin x与y＝cos x图象之间的联系. 学习目标 如图，将一个漏斗挂在架子上，做一个简易的单摆，在漏斗下方放一块纸板，板的中间画一条直线作为坐标系的横轴.把漏斗灌上细沙并拉离平衡位置，放手使它摆动，同时匀速拉动纸板，这样就可在纸 导 语 板上得到一条曲线，这就是简谐运动的图象.物理中把简谐运动的图象叫作“正弦曲线”或“余弦曲线”.你能描述一下该类曲线的特征吗？ 一、正弦函数、余弦函数图象的初步认识 二、“五点法”画函数的图象 课时对点练 三、正弦函数、余弦函数图象的应用 内容索引 正弦函数、余弦函数图象的初步认识 一 结合之前所学，研究函数的一般步骤是什么？ 问题1 提示　先确定函数的定义域，然后画出函数图象，通过图象研究函数的值域、单调性、最值、对称性、奇偶性等函数的性质. 绘制函数图象，首先要准确绘制其上一点，对于正弦函数，在[0，2π]上任取一个值x0，如何借助单位圆确定正弦函数值sin x0，并画出点S(x0，sin x0)？ 问题2 提示　如图，在x轴上任取一点O'，以O'为圆心，单位长为半径作圆，交x轴于点A.在☉O'中，设的长为x0(即∠AO'P＝x0)，则MP＝sin x0.所以点S(x0，sin x0)是以的长为横坐标，正弦线MP的数值为纵坐标的点. 我们已经学会绘制函数图象上的点，接下来，如何画函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象？ 问题3 提示　在☉O'中，作出对应于…的角及相应的正弦线.相应地，把x轴上从0到2π这一段分成12等份.把角x的正弦线向右平移，使它的起点与x轴上表示数x的点重合，再用光滑曲线把这些正弦线的终点连接起来，就得到正弦函数y＝sin x在[0，2π]上的图象，如图所示. 最后我们只要将函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象向左、右平移(每次移动2π个单位长度)，就可以得到正弦函数y＝sin x，x∈R的图象，如图所示. 如何画余弦函数的图象呢？ 问题4 提示　根据诱导公式sincos x，将正弦曲线向左平移个单位长度，可得到余弦函数的图象. 正弦函数、余弦函数的图象 函数 y＝sin x y＝cos x 图象     知识梳理 正弦函数y＝sin x，x∈R的图象叫作正弦曲线，余弦函数y＝cos x，x∈R的图象叫作余弦曲线，它们都是“波浪起伏”的连续光滑曲线. 注 意 点 <<< 13 　(多选)下列叙述正确的有 A.y＝sin x，x∈[0，2π]的图象关于点P(π，0)成中心对称 B.y＝cos x，x∈[0，2π]的图象关于直线x＝π成轴对称 C.y＝sin x，x∈[0，2π]的图象在x＝π时达到最高点 D.正弦、余弦函数的图象不超过直线y＝1和y＝－1所夹的范围 例 1 由函数y＝sin x和y＝cos x的图象，易知ABD均正确. 解析 √ √ √ 14 解决正弦、余弦函数图象的注意点 对于正弦、余弦函数的图象问题，要画出正确的正弦曲线、余弦曲线，掌握两者的形状相同，只是在坐标系中的位置不同，可以通过相互平移得到. 反 思 感 悟 15 　 下列关于正弦函数、余弦函数的图象的描述，不正确的是 A.都可由[0，2π]内的图象向上、向下无限延展得到 B.都是对称图形 C.都与x轴有无数个交点 D.y＝sin(－x)的图象与y＝sin x的图象关于x轴对称 跟踪训练 1 由正弦、余弦函数的图象知，B，C，D正确. 解析 √ 16 二 “五点法”画函数的图象 如何画函数y＝sin x，x∈[0，2π]的简图？ 问题5 提示　根据前面的探究，我们发现，只需抓住函数图象上的几个关键点，然后用圆滑的曲线连接即可.今后在精确度要求不高时，常常先找出五个关键点(0，0)(π，0)(2π，0).余弦曲线类似. “五点法”作图 函数 y＝sin x y＝cos x 图象     关键 五点 _________ (0，1)(π，－1) (2π，1) (0，0) (π，0) (2π，0) 知识梳理 (课本例1)用“五点法”画出下列函数的简图： (1)y＝1＋sin x，x∈[0，2π]； 例 2 20 x 0 π 2π sin x 0 1 0 －1 0 1＋sin x 1 2 1 0 1 按五个关键点列表： 解 描点，并将这些点依次连成一条光滑曲线，即得所求图象，如图. 21 (2)y＝2cos x，x∈[0，2π]. 22 x 0 π 2π cos x 1 0 －1 0 1 2cos x 2 0 －2 0 2 按五个关键点列表： 解 描点，并将这些点依次连成一条光滑曲线，即得所求图象，如图. 23 用“五点法”作下列函数的图象： (1)y＝1－2sin x，x∈[0，2π]； 例 2 24 x 0 π 2π sin x 0 1 0 －1 0 1－2sin x 1 －1 1 3 1 列表： 解 描点连线，画图如下. 25 (2)y＝cos x＋x∈[－π，π]. 26 x －π － 0 π cos x －1 0 1 0 －1 cos x＋ － － 列表： 解 描点连线，画图如下. 27 “五点法”作形如y＝asin x＋b(或y＝acos x＋b)，x∈[0，2π]的图象时，其步骤如下： (1)列表：取x＝0π，2π； (2)描点：将表中所对应的点(x，y)标在坐标平面内； (3)连线：用平滑的曲线将所描的点连接起来. 在连线过程中要注意曲线的“凸性”. 反 思 感 悟 28 　 用“五点法”在同一直角坐标系中画出函数y＝－sin x，y＝2－cos x在[－π，π]上的图象. 跟踪训练 2 29 列表： 解 描点连线，画图如下. x －π － 0 π －sin x 0 1 0 －1 0 2－cos x 3 2 1 2 3 30 正弦函数、余弦函数图象的应用 三 不等式2sin x－1≥0，x∈[0，2π]的解集为 A. B. C. D. 例 3 角度1　利用函数图象解不等式 √ 32 因为2sin x－1≥0，所以sin x≥. 解析 在同一平面直角坐标系下，作函数y＝sin x，x∈[0，2π]以及直线y的图象. 由函数的图象知，sin sin . 所以根据图象可知，原不等式的解集为. 33 在本例中把“x∈[0，2π]”改为“x∈R”，求不等式2sin x－1≥0的解集. 延伸探究 1 因为不等式在x∈[0，2π]上的解集为.所以当x∈R时，不等式的解集为. 解 34 试求关于x的不等式<sin x≤. 延伸探究 2 作出正弦函数y＝sin x在[0，2π]上的图象，作出直线y和y如图所示. 解 由图可知，在[0，2π]上，当<x≤或≤x<时，不等式<sin x≤成立，所以原不等式的解集为. 35 用三角函数图象解不等式的方法 (1)作出相应正弦函数或余弦函数在[0，2π]上的图象； (2)写出适合不等式在区间[0，2π]上的解集； (3)根据公式一写出不等式的解集. 反 思 感 悟 36 角度2　与函数图象有关的交点问题 方程sin x＝lg x的实数根有 A.1个 B.2个 C.3个 D.无穷多个 例 4 √ 37 在同一直角坐标系中作出函数y＝sin x与y＝lg x的图象. 解析 由图可知两函数图象有三个交点，所以方程sin x＝lg x有3个实数根. 38 (1)对于三角函数图象与直线的交点问题，正确画出图象是解决问题的关键. (2)对于含三角函数的方程的解的个数问题，一般无法直接求解，我们常转化为两个函数的图象的交点个数问题求解，这就要求我们要对三角函数的图象熟练掌握. 反 思 感 悟 39 　(1)方程x2－cos x＝0的实数解的个数是　　，所有的实数解的和为　　　.  跟踪训练 3 2 0 解析 作出函数y＝cos x与y＝x2的图象，如图所示，由图象可知，两函数图象有两个交点，且两个交点关于y轴对称，故原方程有两个实数解，且这两个实数解的和为0. 40 (2)求函数f(x)的定义域. 解 要使函数有意义，需满足2cos2x＋sin x－1≥0， 即2sin2x－sin x－1≤0， 解得－≤sin x≤1，由正弦函数的图象，可得. 41 1.知识清单： (1)正弦、余弦函数的图象的画法. (2)“五点法”作图. (3)正弦、余弦函数图象的应用. 2.方法归纳：数形结合法. 3.常见误区：五点法作图时选取点错误. 课堂小结 课时对点练 四 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 C D B D AD AC 2 题号 8 11 12 13 14 15 答案 1　 A BD ∪ ∪ 4π a<c<b 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 x 0 π 2π sin x 0 1 0 －1 0 1＋2sin x 1 3 1 －1 1 列表： 描点、连线得出y＝1＋2sin x，x∈[0，2π]的图象 如图所示. 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 在同一直角坐标系中作出y＝sin x，x∈的图象，y的图象，由图象可知，当≤<1，即当－1<a≤1－时，y＝sin x，x∈的图象与y的图象有两个交点， 即方程sin x在x∈上有两个实数根. 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由方程sin x＋2|sin x|－|log2x|＝0， 得sin x＋2|sin x|＝|log2x|. 令f(x)＝sin x＋2|sin x| k∈Z， g(x)＝|log2x|， 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 在同一平面直角坐标系中，作出f(x)＝sin x＋2|sin x|和g(x)＝|log2x|的图象，如图所示，易知f(x)与g(x)的图象有四个交点，故原方程有四个解. 基础巩固 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1.已知余弦函数过点则m的值为 A.0 B.－1 C. D. √ 设余弦函数为y＝cos x， 由函数过点可得m＝cos. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.已知函数f(x)＝sing(x)＝cos则f(x)的图象 A.与g(x)的图象相同 B.与g(x)的图象关于y轴对称 C.向左平移个单位长度，得g(x)的图象 D.向右平移个单位长度，得g(x)的图象 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 f(x)＝sin g(x)＝coscossin x， f(x)的图象向右平移个单位长度得到g(x)的图象. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.在[0，2π]上，函数y的定义域是 A. B. C. D. √ 依题意得2sin x－≥0，即sin x≥.作出y＝sin x在[0，2π]上的图象及直线y如图所示.由图象可知，满足sin x≥的x的取值范围是. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.函数y＝cos x＋|cos x|，x∈[0，2π]的大致图象为 由题意得 y显然只有D合适. 解析 √ 5.(多选)用“五点法”画y＝3sin x，x∈[0，2π]的图象时，下列哪个点不是关键点 A. B. C.(π，0) D.(2π，3) 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 五个关键点的横坐标依次是02π.代入计算得B，C是关键点. 解析 6.(多选)下列能使cos x>sin x，x∈(0，2π)成立的是 A. B. C. D.∪ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 在同一平面直角坐标系中，画出正、余弦函数的图象，在(0，2π)上，当cos x＝sin x时，x或x结合图象可知满足cos x>sin x的是和. 解析 7.函数y＝1＋cos x，x∈的图象与直线y的交点有　　个.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 作出函数y＝1＋cos x，x∈[0，2π]的图象(图略)，由图象可知函数y＝1＋cos x，x∈的图象与直线y的交点有2个. 解析 2 8.已知函数f(x)＝2cos x＋1，若f(x)的图象过点则m＝　　；若 f(x)<0，则x的取值集合为　　　　　　　　　　　　　　　　　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当x时， f(x)＝2cos ＋1＝1， ∴m＝1. f(x)<0，即cos x<－ 作出y＝cos x在x∈[0，2π]上的图象，如图所示. 由图知x的取值集合为. 解析 9.用“五点法”作出下列函数的图象y＝1＋2sin x，x∈[0，2π]. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 x 0 π 2π sin x 0 1 0 －1 0 1＋2sin x 1 3 1 －1 1 列表： 解 描点、连线得出y＝1＋2sin x，x∈[0，2π]的图象如图所示. 10.若方程sin x在x∈上有两个实数根，求a的取值范围. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 在同一直角坐标系中作出y＝sin x，x∈的图象，y的图象，由图象可知，当≤<1，即当－1<a≤1－时，y＝sin x，x∈的图象与y的图象有两个交点， 即方程sin x在x∈上有两个实数根. 解 11.当x∈(0，2π)时，函数f(x)＝sin x与g(x)＝|cos x|的图象所有交点的横坐标之和为 A.π B.2π C.3π D.4π 综合运用 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 作出函数f(x)＝sin x和g(x)＝|cos x|在(0，2π)上的图象， 如图所示. 从图象上可得函数f(x)＝sin x和g(x)＝|cos x|的图象在 (0，2π)内有两个交点， 由sin x＝cos x，x∈即tan x＝1，x∈得x； 由sin x＝－cos x，x∈即tan x＝－1，x∈得x 则所有交点的横坐标之和为π. 解析 12.(多选)函数y＝sin x－1，x∈[0，2π]与y＝a有一个交点，则a的值为 A.－1 B.0 C.1 D.－2 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 画出y＝sin x－1的图象.如图. 依题意得a＝0或a＝－2. 解析 13.若函数f(x)＝cos x，x∈[－2π，2π]，则不等式xf(x)>0的解集为 　　　　　　　　　　　　　　　　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∪∪ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当x>0时，f(x)＝cos x>0，且x∈[－2π，2π]， 解得不等式的解集为∪； 当x<0时，f(x)<0，且x∈[－2π，2π]，解得不等式的解集为. 所以不等式xf(x)>0的解集为∪∪. 解析 14.函数y＝2cos x，x∈[0，2π]的图象和直线y＝2围成的一个封闭的平面图形的面积是　　　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4π 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图所示，将余弦函数的图象在x轴下方的部分补到x轴的上方，可得一个矩形，其面积为2π×2＝4π. 解析 15.已知函数f(x)＝ex＋x，g(x)＝ln x＋x，h(x)＝sin x＋x的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为　　　　.(用“<”连接)  拓广探究 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 a<c<b 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 函数f(x)＝ex＋x，g(x)＝ln x＋x，h(x)＝sin x＋x的零点转化为y＝ex，y＝ln x，y＝sin x与y＝－x的图象的交点的横坐标， 在同一平面直角坐标系中画出y＝ex，y＝ln x，y＝sin x与y＝－x的图象如图所示， 由图象可知a<0，b>0，c＝0， 所以a<c<b. 解析 16.求方程sin x＋2|sin x|－|log2x|＝0的解的个数. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由方程sin x＋2|sin x|－|log2x|＝0， 得sin x＋2|sin x|＝|log2x|. 令f(x)＝sin x＋2|sin x|k∈Z， g(x)＝|log2x|， 解 在同一平面直角坐标系中，作出f(x)＝sin x＋2|sin x|和g(x)＝|log2x|的图象，如图所示，易知f(x)与g(x)的图象有四个交点，故原方程有四个解. 第5章　 5.3.1　正弦函数、余弦函数的图象与性质 <<< $