精品解析：山东省聊城市东阿县2023-2024学年九年级上学期期末考试数学试卷

2023-2024学年山东省聊城市东阿县九年级（上）期末数学试卷 一、选择题（共12小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 如图，同一条直线上的三个点、、都在等距离、等长度的五条平行横线上．若线段，则线段的长是（ ）． A. 1 B. C. D. 2. 下列方程中是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 在直角三角形中，，，，则的长为（ ） A. 5 B. 10 C. 12 D. 24 4. 如图，是圆的弦，直径，垂足为，若，，则的长为（ ） A. B. 9 C. D. 5. 如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以为直径的圆经过点C，D，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 操场上有一根竖直的旗杆，它的一部分影子落在水平地面上，另一部分影子落在操场的墙壁上，经测量，墙壁上的影高为，地面的影长为，同时测得一根高为的竹竿的影长是，请根据以上信息，则旗杆的高度是（ ） A. B. C. D. 7. 将方程配方成的形式，下列配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝x2﹣2x+c上的三点，y1，y2，y3的大小关系为（　　　） A. y1＞y2＞y3 B. y1＞y3＞y2 C. y3＞y2＞y1 D. y3＞y1＞y2 9. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 10. 如图，一架飞机在点处测得水平地面上一个标志物的俯角为，水平飞行千米后到达点处，又测得标志物的俯角为，那么此时飞机离地面的高度为（ ） A. 千米 B. 千米 C. 千米 D. 千米 11. 罕见病“脊髓性肌萎缩症”治疗用药利司扑兰口服液在2023年医保谈判中经两轮“砍价”，从63800元/瓶降至3900元/瓶，成功进入医保目录．设这两轮谈判药物价格平均下降率为x，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，正方形的边长为，动点，同时从点出发，以的速度分别沿和的路径向点运动．设运动时间为（单位：），四边形的面积为（单位：）则与之间的函数图象大致是下列图中的（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（本题共5个小题，每小题3分，共15分，只要求写出最后结果） 13. 函数中自变量的取值范围是______． 14. 如图，已知传送带与水平面所成斜坡的坡度，如果它把物体送到离地面5米高的地方，那么物体所经过的路程为________米． 15. 若a，b是方程的两个实数根，则的值为______． 16. 如图，点A在反比例函数的图象上，以点A为圆心画弦交x轴于B，C，延长交轴于点，连接，若的面积等于4，，则k的值为_________． 17. 如图，已知顶点的抛物线经过点，下列结论：①；②若点，在抛物线上，则；③；④关于x的一元二次方程的根为和，其中正确的有 ________（填写序号）． 三、解答题：（本题共8小题，共69分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或推演 18. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）； （3） 19. 如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，DF⊥AE，垂足为F． （1）求证：△ABE∽△DFA； （2）若AB＝3，BC＝2，求DF的长． 20. 如图，在由小正方形组成的网格图中建立一个平面直角坐标系，一条圆弧经过格点． 解答下列问题： （1）请在图中确定该圆弧所在圆的圆心的位置，点的坐标为__________ （2）求的长．（结果保留） 21. 2023年9月第19届亚运会在杭州举行，某商店购进一批亚运会纪念品进行销售，已知每件纪念品的成本是30元，如果销售单价定为每件40元，那么日销售量将达到100件．据市场调查，销售单价每提高1元，日销售量将减少2件．要使每天销售这种纪念品盈利1600元，同时又要最大程度让利给顾客，那么该纪念品的售价单价应为每件多少元？ 22. 投影仪是一种可以将图像或视频投射到幕布上的设备．如图①是屏幕投影仪投屏情景图，如图②是其侧面示意图，已知支撑杆与地面垂直，且的长为，脚杆的长为，距墙面的水平面距离为，投影仪光源散发器与支撑杆的夹角，脚杆与地面的夹角，求光源投屏最高点与地面间的距离．（参考数据：，，，，结果精确到） 23. 如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，过点作轴，垂足为，连接，已知点的坐标是，． （1）求反比例函数与一次函数的关系式； （2）根据图象，直接写出不等式的解集； （3）点为反比例函数在第一象限图象上的一点，若，请求出点的坐标． 24. 如图，是的直径，是上一点，过点作于点，交于点，点是延长线上一点，连接，，． （1）求证：是切线； （2）若，，求的长． 25. 如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点是直线下方抛物线上的点，于点，轴于点，交线段于点． （1）求抛物线的解析式； （2）写出与满足的关系式．当最大时，求点的坐标； （3）如图（），点是在直线上方的抛物线上一动点，当时，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年山东省聊城市东阿县九年级（上）期末数学试卷 一、选择题（共12小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 如图，同一条直线上的三个点、、都在等距离、等长度的五条平行横线上．若线段，则线段的长是（ ）． A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可． 【详解】解：∵A、B、C三个点都在等距离、等长度的五条平行横线上，且在同一条直线上， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 2. 下列方程中是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用一元二次方程定义进行解答即可． 【详解】解： A．没有规定是常数，，故此选项不符合题意； B．是一元二次方程，故此选项符合题意； C．含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； D．含有分式，不是一元二次方程，故此选项不符合题意． 故选： B． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程定义，关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”，“一个未知数”，“未知数的最高次数是2”，“二次项的系数不等于0”，“整式方程”． 3. 在直角三角形中，，，，则的长为（ ） A. 5 B. 10 C. 12 D. 24 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是锐角三角函数的定义，勾股定理，解题的关键是掌握锐角的邻边与斜边的比叫做的余弦． 【详解】解：∵，， ∴，又， ∴， ∴， ∴， 故选D． 4. 如图，是圆的弦，直径，垂足为，若，，则的长为（ ） A. B. 9 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，垂径定理，熟练掌握和运用垂径定理是解决本题的关键．连接，首先根据题意可求得，根据勾股定理即可求得的长，再根据垂径定理即可求得的长． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴在中，， ∴． 故选：C 5. 如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以为直径的圆经过点C，D，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，正弦定义、勾股定理，熟练掌握正弦的比值关系是解题的关键．根据圆周角定理得到，再根据正弦的定义计算即可． 【详解】解：连接， 由图可得：，，， ∵为直径， ∴， ∴在中，， 故选：A． 6. 操场上有一根竖直的旗杆，它的一部分影子落在水平地面上，另一部分影子落在操场的墙壁上，经测量，墙壁上的影高为，地面的影长为，同时测得一根高为的竹竿的影长是，请根据以上信息，则旗杆的高度是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先需先求出旗杆全落在地面上的影子的长，即落在水平地面上的影长于落在操场的墙壁上的影长之和，同时测得一根高为的竹竿的影长是，根据同一时刻物高与影长的比值相等，即可列出方程求出答案． 【详解】解：由题意可知，墙壁上的影高为，同时测得一根高为的竹竿的影长是，设这段影子在地面上的长为，可得： ， ， 旗杆落在地面上的影子的长是：， 设旗杆的高度为,根据题意可得： ， ， 旗杆的高度为． 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，根据相似三角形对应边成比例列方程是解题关键． 7. 将方程配方成的形式，下列配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了利用配方法解一元二次方程．先二次项化系数为1，将常数项移到方程的右边，然后方程两边同时加上一次项系数的一半的平方，即可求解． 【详解】解：， 二次项化系数为1得：， 移项得：， 配方得：， 整理得：， 故选：A． 8. 设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝x2﹣2x+c上的三点，y1，y2，y3的大小关系为（　　　） A. y1＞y2＞y3 B. y1＞y3＞y2 C. y3＞y2＞y1 D. y3＞y1＞y2 【答案】B 【解析】 【分析】由二次函数解析式可得抛物线开口方向及对称轴，根据各点到对称轴的距离的大小关系求解． 【详解】解：∵y＝x2﹣2x+c， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1， ∵1﹣（﹣2）＞2﹣1＞1﹣1， ∴y1＞y3＞y2． 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的函数值与对称轴之间的关联，了解知识点并知道如何利用二次函数的对称性比较函数值大小是解题关键． 9. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次项系数非零结合根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 即且， 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键． 10. 如图，一架飞机在点处测得水平地面上一个标志物的俯角为，水平飞行千米后到达点处，又测得标志物的俯角为，那么此时飞机离地面的高度为（ ） A. 千米 B. 千米 C. 千米 D. 千米 【答案】A 【解析】 【分析】根据飞行高度不变，作出适合的辅助线，根据锐角三角函数即可求解，本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是：找到飞行高度不变的隐含条件，建立等量关系． 【详解】解：作交于点， ，， ，即：， 故选：． 11. 罕见病“脊髓性肌萎缩症”治疗用药利司扑兰口服液在2023年医保谈判中经两轮“砍价”，从63800元/瓶降至3900元/瓶，成功进入医保目录．设这两轮谈判药物价格平均下降率为x，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据经两轮“砍价”，从63800元瓶降至3900元瓶，即可得出关于的一元二次方程，即可得出结论． 【详解】解：依题意，得：． 故选：D． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 12. 如图，正方形的边长为，动点，同时从点出发，以的速度分别沿和的路径向点运动．设运动时间为（单位：），四边形的面积为（单位：）则与之间的函数图象大致是下列图中的（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出点从点运动到点，点从点运动到点的时间为；点从点运动到点，点从点运动到点的时间为，再分两种情况：①和②，利用面积关系求出与之间的函数关系式，由此即可得． 【详解】解：∵正方形的边长为， ，， ， 由题意可知，点从点运动到点，点从点运动到点的时间为；点从点运动到点，点从点运动到点的时间为， ①当时，， 则； ②当时，， 则； 综上，与之间的函数关系式为， 根据二次函数的图像与性质，选项A符合题意，选项B、C、D不符合题意， 故选：A． 二、填空题：（本题共5个小题，每小题3分，共15分，只要求写出最后结果） 13. 函数中自变量的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，即可求解，本题考查了函数自变量的取值范围，解题的关键是：熟练掌握二次根式的性质和分式的意义． 【详解】解：分母不能为0，二次根式的被开方数为非负数， ，且， 解得：且， 故答案为：且． 14. 如图，已知传送带与水平面所成斜坡的坡度，如果它把物体送到离地面5米高的地方，那么物体所经过的路程为________米． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了坡度坡角问题．注意掌握数形结合思想的应用，注意理解坡度的定义． 首先根据题意画出图形，根据坡度的定义，由勾股定理即可求得答案． 【详解】解：如图，由题意得：斜坡的坡度：，米，， ， （米）， ∴在中， （米） 故答案为：． 15. 若a，b是方程的两个实数根，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数关系定理，求代数式的值，熟练掌握的两根满足是解题的关键． 【详解】解：∵a，b是方程的两个实数根， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 如图，点A在反比例函数的图象上，以点A为圆心画弦交x轴于B，C，延长交轴于点，连接，若的面积等于4，，则k的值为_________． 【答案】12 【解析】 【分析】作于是解题的关键．作于，连接，根据等腰三角形的性质得出，根据相似三角形的性质求得，进而根据题意求得，根据反比例函数系数的几何意义即可求得的值． 【详解】解：作于，连接， 以点为圆心画弧交轴于点、， ， ， ， ， ， ， ， 的面积等于4，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：12． 【点睛】本题考查了反比例函数系数的几何意义，相似三角形的性质和判定，三角形的面积，等腰三角形的性质，熟练掌握相关知识点是关键． 17. 如图，已知顶点的抛物线经过点，下列结论：①；②若点，在抛物线上，则；③；④关于x的一元二次方程的根为和，其中正确的有 ________（填写序号）． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】本题属于二次函数图象的综合问题，考查了二次函数与一元二次方程，二次函数与不等式，及二次函数的对称性，难度中等．利用二次函数与一元二次方程的关系及其与不等式的关系，以及二次函数的对称性可以求解． 【详解】解：由图象知，抛物线与x轴有两个不同的交点，只是左边那个没画出来而已， 从而由二次函数与一元二次方程的关系可知，，从而，故①正确； 由抛物线的对称轴为，点，在抛物线上，则点离对称轴的距离为1，而点离抛物线的距离为2，开口向上时，离对称轴越远，函数值越大，从而，②故错误； 已知该抛物线是开口向上，顶点为，故正确，从而③正确； 由图象可知，为关于x的一元二次方程的一个根，由二次函数的对称性，可知为另一个根，从而④正确； 综上，正确的是①③④． 故答案为：①③④． 三、解答题：（本题共8小题，共69分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或推演 18. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）； （3） 【答案】（1）， （2）， （3）， 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程： （1）方程运用公式法求解即可； （2）方程运用配方法求解即可； （3）方程运用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解： 这里， ， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ， ∴，； 【小问3详解】 解：， ， ， ∴， 19. 如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，DF⊥AE，垂足为F． （1）求证：△ABE∽△DFA； （2）若AB＝3，BC＝2，求DF的长． 【答案】（1）见解析；（2）DF＝ 【解析】 【分析】（1）由矩形的性质得出AD=BC，AD∥BC，∠B=90°，由平行线的性质得出∠DAF=∠AEB，证出∠AFD=∠B，即可得出结论； （2）由勾股定理求出AE，由相似三角形的性质得出对应边成比例，即可求出DF的长． 【详解】解：（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，∠B＝90°， ∴∠DAF＝∠AEB， ∵DF⊥AE， ∴∠AFD＝∠B＝90°， ∴△ABE∽△DFA； （2）∵E是BC的中点，BC＝2， ∴BE＝1， ∵AB＝3， ∴AE＝， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC＝2， ∵△ABE∽△DFA， ∴， ∴， ∴DF＝． 【点睛】考查相似三角形的判定与性质, 矩形的性质，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 20. 如图，在由小正方形组成的网格图中建立一个平面直角坐标系，一条圆弧经过格点． 解答下列问题： （1）请在图中确定该圆弧所在圆的圆心的位置，点的坐标为__________ （2）求的长．（结果保留） 【答案】（1）画图见解析， （2） 【解析】 【分析】（1）由圆心在和的垂直平分线上，可得出D点的位置； （2）利用勾股定理和勾股定理证明是等腰直角三角形，则，再根据弧长公式进行求解即可． 【小问1详解】 解：如图所示，点即为所求； 【小问2详解】 解：∵，， ∴，， ， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴的长． 【点睛】本题主要考查了确定圆心的位置，勾股定理，勾股定理的逆定理，坐标与图形，求弧长，证明是等腰直角三角形是解题的关键． 21. 2023年9月第19届亚运会在杭州举行，某商店购进一批亚运会纪念品进行销售，已知每件纪念品的成本是30元，如果销售单价定为每件40元，那么日销售量将达到100件．据市场调查，销售单价每提高1元，日销售量将减少2件．要使每天销售这种纪念品盈利1600元，同时又要最大程度让利给顾客，那么该纪念品的售价单价应为每件多少元？ 【答案】50元 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设该纪念品的售价单价应定为每件x元，则每件的销售利润为元，日销售量为件，利用每天的销售利润=每件的销售利润×日销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：设该纪念品的售价单价应定为每件元，则销售量为件，由题意得 ， 整理得：， 解得，， 经检验，方程的解符合题意．因为要最大程度让利顾客，， 故不合题意舍去， ∴该纪念品的售价单价应定为每件50元． 22. 投影仪是一种可以将图像或视频投射到幕布上的设备．如图①是屏幕投影仪投屏情景图，如图②是其侧面示意图，已知支撑杆与地面垂直，且的长为，脚杆的长为，距墙面的水平面距离为，投影仪光源散发器与支撑杆的夹角，脚杆与地面的夹角，求光源投屏最高点与地面间的距离．（参考数据：，，，，结果精确到） 【答案】． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．过点作，垂足为，过点作，垂足为，则，，，先在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而根据，进行计算即可解答． 【详解】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为， 则，，， 在中，，， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴光源投屏最高点与地面间的距离约为． 23. 如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，过点作轴，垂足为，连接，已知点的坐标是，． （1）求反比例函数与一次函数的关系式； （2）根据图象，直接写出不等式的解集； （3）点为反比例函数在第一象限图象上的一点，若，请求出点的坐标． 【答案】（1）反比例函数的关系式为，一次函数的关系式为； （2）或； （3）． 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数和一次函数，解题的关键是掌握反比例函数的性质，一次函数的性质． （1）根据反比例函数过点得反比例函数的关系式为，根据得B的纵坐标为，当时，，计算得，根据，两点在上得，进行计算即可得； （2）根据函数图象即可得； （3）设，根据得，根据得，即可得，进行计算得，根据点P为反比例函数在第一象限图象上的一点得，进行计算即可得． 【小问1详解】 解：∵反比例函数过点， ∴， ∴反比例函数的关系式为， ∵， ∴B的纵坐标为， 当时，， 解得， ∴， ∵，两点在上， 解得： ∴一次函数的关系式为． 【小问2详解】 解：根据函数图象得，或． 【小问3详解】 解：设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵点P为反比例函数在第一象限图象上的一点， ∴， 解得， ∴． 24. 如图，是的直径，是上一点，过点作于点，交于点，点是延长线上一点，连接，，． （1）求证：是切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析； （2） 【解析】 【分析】（）根据垂径定理和圆周角定理可推出，利用已知条件进行等量转换即可求出，最后利用可证明，从而证明是切线； （）根据互余的两个角相等，利用，可求出，设，则，再根据勾股定理得出，，最后利用即可求出参数的值，从而求出长度，即可求的长． 【小问1详解】 证明：连接，，如图所示， ∵，为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是切线； 【小问2详解】 解：连接，如图所示， 由（）得，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴在中，， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， ∴． ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，切线的判定和性质，三角函数和勾股定理，掌握知识点的应用是解题的关键． 25. 如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点是直线下方抛物线上的点，于点，轴于点，交线段于点． （1）求抛物线的解析式； （2）写出与满足的关系式．当最大时，求点的坐标； （3）如图（），点是在直线上方的抛物线上一动点，当时，求点的坐标． 【答案】（1） （2）， （3）． 【解析】 【分析】（）利用待定系数法求解即可； （）根据二次函数性质，求出点坐标，根据，，求出，再根据三角形三角函数求得，即可推出当最大时，的周长最大；求得直线的解析式，分别设出设设，则，表示出解析式的顶点式，即可求出结果； （3）设直线交轴于，证明，求得的坐标，求出直线解析式为，联立方程组，解方程组即可得出答案． 【小问1详解】 解：把，，代入得： ， 解得：， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：在中， 当时，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，轴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴当最大时，最大， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 设，则， ∴， ∴当时，有最大值，即最大，此时； 【小问3详解】 解：如图，设直线交轴于， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 设直线解析式为， ，解得， ∴直线解析式为， 联立， 解得或（不合题意，舍去）， ∴． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，解直角三角形，一次函数与几何综合，直角三角形三角函数，全等三角形的性质和判定等知识，熟练掌握二次函数的相关知识是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $