高二数学开学摸底考（天津专用）-2024-2025学年高中下学期开学摸底考试卷

2024-2025学年高二下学期开学摸底考试卷 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共45分） 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若直线：的倾斜角为，则实数值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由直线，则该直线的斜率， 由题意可得，解得. 故选：C. 2．向量，，则向量在向量上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为向量，， 则，， ， 所以向量在向量上的投影向量为 故选：A． 3．抛物线的焦点到准线的距离是（   ） A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【详解】由抛物线方程可知，，则焦点到准线的距离. 故选：D 4．过点且与直线垂直的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵直线的斜率为， ∴所求直线斜率为， ∴直线方程为，整理得. 故选：D. 5．曲线 的长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由曲线，可得，其中， 如图所示，曲线表示的轨迹为弧，且扇形所在圆的半径为，且， 所以曲线表示的长度为. 故选：A. 6．已知双曲线C：的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点，则C的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：因为双曲线C：的一条渐近线方程为， 所以， 又双曲线与椭圆有公共焦点， 所以，又， 解得， 所以双曲线的方程为， 故选：C 7．已知数列是正项等比数列，且，又、、成等差数列，则的通项公式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设等比数列的公比为，则，则，即，解得， 因为、、成等差数列，即，可得，解得， 因此，. 故选：D. 8．正方体的棱长为3，平面内一动点满足，当三棱锥的体积取最大值时，该三棱锥外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，以点为原点建立空间直角坐标系， ，，，由可知， ， 整理为， 所以点的轨迹是平面内，以为圆心，2为半径的圆， 如下图，点到平面的最大值为6，此时点在的延长线上，且， 所以平面，， 等腰直角三角形的外接圆的半径为， 所以三棱锥的外接球的半径， 所以三棱锥外接球的表面积 故选：C 9．设椭圆的弦与轴，轴分别交于，两点，，若直线的斜率，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图所示，设，，，，直线，      因为，所以， 所以，， 即，， 所以，， 因为在椭圆上，所以，，两式相减得，即, 又因为，且，， 所以，即，所以， 故选：A. 第二部分（非选择题 共105分） 三、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10．已知直线过点，且直线的一个方向向量为，则坐标原点到直线的距离为 . 【答案】 【详解】由题设，则坐标原点到直线的距离. 故答案为： 11．已知等比数列的前项和为，若，则 . 【答案】 【详解】设等比数列的公比为，由题意得， 所以，所以， 所以. 故答案为：. 12．已知直线和圆相交于两点；弦长，则 ． 【答案】1 【详解】圆的圆心为，半径为 则由题意可得， 则. 故答案为：. 13．已知抛物线的焦点为，其准线与轴交点为，，直线过点，且与抛物线交于，两点，若，则 【答案】14 【详解】由题意，抛物线的焦点为，准线为，准线与轴交点为， ∵，∴， 即抛物线方程为，∴，，准线为， 作垂直于准线交于，则， ∵，∴， ∵在中，， ∴ ∴直线的斜率为，又直线过点， ∴直线的方程为， 由，得， 设，则， ∴. 故答案为：14. 14．已知数列是等差数列，记，分别为，的前n项和，若，，则 . 【答案】 【详解】设等差数列的公差为．由，得①， 由得②， 联立①②，，解得， 所以． 则， 所以 ． 故答案为：. 15．已知双曲线 的右焦点为，过点作直线与渐近线 垂直，垂足为点，延长交于点.若，则的离心率为 . 【答案】/ 【详解】设为坐标原点，则， 从而.    设的左焦点为，连接， 由双曲线的定义，得. 在中，由余弦定理，得， 解得. 由，得，解得， 所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 16．已知圆的圆心在直线上，并且经过点，与直线相切. (1)求圆的方程； (2)经过点的直线与圆交于两点，且，求直线的方程. 【详解】（1）由题意，设圆心，半径， ∵圆M经过点，∴， ∵圆M与直线相切， ∴圆心到直线的距离， ∴，化简，解得， 则圆心，半径， 所以圆M的方程为． （2）由题意，圆心到直线的距离， 若直线的斜率不存在，其方程为，显然符合题意； 若直线的斜率存在，设直线的方程为，即， 则圆心到直线的距离由，解得， 则直线的方程为，即， 综上，直线的方程为或． 17．已知数列满足：，. (1)求证：数列为等差数列； (2)设，求数列的前项和； (3)设，求数列的前项和. 【详解】（1）由题设，又， 所以数列是首项为1，公差为3的等差数列. （2）由（1）可得，故， 所以， 则. （3）由（2）得，则， 所以， 两式作差得，即， 所以. 18．如图，在四棱锥中，平面平面，，为棱PC的中点. (1)证明：平面PAD； (2)求平面PDM和平面BDM的夹角的余弦值； (3)在线段PA上是否存在点，使点到平面BDM的距离是？若存在，求PQ的长；若不存在，说明理由. 【详解】（1）取的中点，连接， 因为为棱PC的中点，所以且， 又，故， 又，故， 所以四边形为平行四边形， 故， 又平面，平面， 所以平面； （2）平面平面，交线为，又，平面， 故平面， 因为平面，所以，， 又，故两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 其中平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， 则， 令，则，，故， 设平面PDM和平面BDM的夹角为， 则； （3）设，，， 故，所以， 故， 由（2）知平面的一个法向量为， 点到平面BDM的距离是， 解得或（舍去）， 此时 若存在点，使点到平面BDM的距离是，PQ的长为 19．已知数列是等差数列，设为数列的前项和，数列是等比数列，，若，，，． (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)若，求数列的前项和． 【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 因为，，则由， 即，得 ， 解得 或，因为，故舍去， 所以，． （2）由（1）得，，所以， 令数列的前项和为，则， 即①， ②， 两式相减得： ， 所以. （3）设数列的前项和为 由，，得， 则，即； 故 . 20．已知椭圆的离心率为分别是椭圆的左右焦点，过点的直线交椭圆于两点，且的周长为. (1)求椭圆的方程； (2)过点作斜率为的直线与椭圆交于两点，判断在轴上是否存在点，使得是以为底边的等腰三角形？若存在，求点横坐标的取值范围，若不存在，请说明理由. 【详解】（1）由题意，的周长为，则，所以， 又因为，所以，由，得， 所以椭圆的方程为. （2）设直线的方程为，， 设的中点为. 假设存在点，使得为以为底边的等腰三角形，则. 由得， 由题意有，解得， 故， 所以， 因为，所以，即， 所以，整理得， 则方程有根，整理得，即， 又因为，所以， 综上：在轴上存在点，使得是以为底边的等腰三角形， 点横坐标的取值范围是. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2024-2025学年高二下学期开学摸底考试卷 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题5分，共15分） 10．____________________ 11．____________________ 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 15．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二下学期开学摸底考试卷 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共45分） 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若直线：的倾斜角为，则实数值为（   ） A． B． C． D． 2．向量，，则向量在向量上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 3．抛物线的焦点到准线的距离是（   ） A．2 B．1 C． D． 4．过点且与直线垂直的直线方程是（   ） A． B． C． D． 5．曲线 的长度是（    ） A． B． C． D． 6．已知双曲线C：的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点，则C的方程为（   ） A． B． C． D． 7．已知数列是正项等比数列，且，又、、成等差数列，则的通项公式为（   ） A． B． C． D． 8．正方体的棱长为3，平面内一动点满足，当三棱锥的体积取最大值时，该三棱锥外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 9．设椭圆的弦与轴，轴分别交于，两点，，若直线的斜率，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共105分） 三、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10．已知直线过点，且直线的一个方向向量为，则坐标原点到直线的距离为 . 11．已知等比数列的前项和为，若，则 . 12．已知直线和圆相交于两点；弦长，则 ． 13．已知抛物线的焦点为，其准线与轴交点为，，直线过点，且与抛物线交于，两点，若，则 14．已知数列是等差数列，记，分别为，的前n项和，若，，则 . 15．已知双曲线 的右焦点为，过点作直线与渐近线 垂直，垂足为点，延长交于点.若，则的离心率为 . 四、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 已知圆的圆心在直线上，并且经过点，与直线相切. (1)求圆的方程； (2)经过点的直线与圆交于两点，且，求直线的方程. 17．（13分）已知数列满足：，. (1)求证：数列为等差数列； (2)设，求数列的前项和； (3)设，求数列的前项和. 18．（15分）如图，在四棱锥中，平面平面，，为棱PC的中点. (1)证明：平面PAD； (2)求平面PDM和平面BDM的夹角的余弦值； (3)在线段PA上是否存在点，使点到平面BDM的距离是？若存在，求PQ的长；若不存在，说明理由. 19．（17分）已知数列是等差数列，设为数列的前项和，数列是等比数列，，若，，，． (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)若，求数列的前项和． 20．（17分）已知椭圆的离心率为分别是椭圆的左右焦点，过点的直线交椭圆于两点，且的周长为. (1)求椭圆的方程； (2)过点作斜率为的直线与椭圆交于两点，判断在轴上是否存在点，使得是以为底边的等腰三角形？若存在，求点横坐标的取值范围，若不存在，请说明理由. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二下学期开学摸底考试卷 数学·参考答案 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 C A D D A C D C A 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10． 11． 12．1 13.14 14. 15./ 四、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 【解析】（1）由题意，设圆心，半径， ∵圆M经过点，∴， ∵圆M与直线相切， ∴圆心到直线的距离， ∴，化简，解得， 则圆心，半径， 所以圆M的方程为．（7分） （2）由题意，圆心到直线的距离， 若直线的斜率不存在，其方程为，显然符合题意； 若直线的斜率存在，设直线的方程为，即， 则圆心到直线的距离由，解得， 则直线的方程为，即， 综上，直线的方程为或．（13分） 17．（13分） 【解析】（1）由题设，又， 所以数列是首项为1，公差为3的等差数列.（3分） （2）由（1）可得，故， 所以，（7分） 则. （3）由（2）得，则， 所以， 两式作差得，即， 所以.（13分） 18．（15分） 【解析】（1）取的中点，连接， 因为为棱PC的中点，所以且， 又，故， 又，故， 所以四边形为平行四边形， 故， 又平面，平面， 所以平面；（3分） （2）平面平面，交线为，又，平面， 故平面， 因为平面，所以，， 又，故两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 其中平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， 则， 令，则，，故， 设平面PDM和平面BDM的夹角为， 则；（9分） （3）设，，， 故，所以， 故， 由（2）知平面的一个法向量为， 点到平面BDM的距离是， 解得或（舍去）， 此时 若存在点，使点到平面BDM的距离是，PQ的长为（15分） 19．（17分） 【解析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 因为，，则由， 即，得 ， 解得 或，因为，故舍去， 所以，．（5分） （2）由（1）得，，所以， 令数列的前项和为，则， 即①， ②， 两式相减得： ， 所以.（11分） （3）设数列的前项和为 由，，得， 则，即； 故 .（17分） 20．（17分） 【解析】（1）由题意，的周长为，则，所以， 又因为，所以，由，得， 所以椭圆的方程为.（5分） （2）设直线的方程为，， 设的中点为. 假设存在点，使得为以为底边的等腰三角形，则. 由得， 由题意有，解得， 故， 所以， 因为，所以，即， 所以，整理得， 则方程有根，整理得，即， 又因为，所以， 综上：在轴上存在点，使得是以为底边的等腰三角形， 点横坐标的取值范围是.（17分） 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$