7.2.2平行线的判定（七大类型提分练）-【大单元教学】2024-2025学年七年级数学下册同步备课系列（人教版2024）

7.2.2平行线的判定（七大类型提分练） 类型一、用同位角相等证两直线平行 1．（24-25七年级上·吉林四平·期末）如图，木工师傅用图中的角尺画平行线的依据是（   ） A．两直线平行，同位角相等 B．同位角相等，两直线平行 C．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 D．如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 2．（24-25七年级上·吉林长春·期末）如图，已知，过边上一点作直线，经测量，要使，直线绕点按逆时针方向至少旋转（   ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·四川成都·阶段练习）如图，直线被直线所截，下列选项中能得到的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，直线a、b被直线c所截， ，下列条件中可以判定的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，直线分别与相交于点，已知，判断与是否平行，并说明理由． 6．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，与互为余角，，垂足为与平行吗？为什么？ 类型二、用内错角相等证两直线平行 7．（2024七年级上·全国·专题练习）如图所示，是延长线上一点，下列条件中能判定的是（   ） A． B． C． D． 8．（2024七年级上·全国·专题练习）学习情境·推理论证如图所示，下列推理中正确的有（   ） ①，； ②，； ③，； ④，． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．（2024七年级上·全国·专题练习）文化情境·潜望镜 世界上最早记载潜望镜原理的古书是公元前二世纪中国的《淮南万毕术》．书中记载了这样的一段话：“取大镜高悬，置水盘于其下，则见四邻矣”．现代潜艇潜望镜是在20世纪初发明的．如图是潜望镜工作原理的示意图，那么它所应用的数学原理是 ． 10．（22-23七年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，直线过点C，若，，，试判断与的位置关系，并说明理由． 11．（2024七年级上·全国·专题练习）如图所示，已知，，平分，可以判断吗？为什么？ 类型三、用同旁内角互补证两直线平行 12．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，在四边形中，下列推论正确的是（   ） A． B． C． D． 13．（23-24七年级上·全国·单元测试）如图，已知直线分别与直线，相交，，那么与的位置关系是 ． 14．（22-23七年级下·江苏常州·期末）已知：如图，，求证：． 类型四、平行线的判定方法的灵活应用 15．（22-23七年级下·吉林白城·阶段练习）如图，在下列四组条件中：①，②，③，④，能判定的是 ． 16．（22-23七年级下·上海青浦·期中）如图，以下条件能判定的是 （填序号）． ①；②；③；④；⑤． 17．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，直线交于点O，分别平分和，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 18．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，，、分别平分和，且．那么直线与的位置关系是什么？请说明理由． 19．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，在三角形中，，点分别在边的延长线上，作射线，如果平分，那么与平行吗？为什么？ 类型五、用两直线垂直于第三条直线证两直线平行 20．（2024七年级上·全国·专题练习）在作业纸上，要过点P作直线a的平行线b，嘉嘉和淇淇给出了下面两种方案，对于方案Ⅰ，Ⅱ，下列判断正确的是（　　） A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行 C．Ⅰ，Ⅱ都可行 D．Ⅰ，Ⅱ都不可行 21．（21-22八年级上·广东梅州·期末）如图，，，垂足分别是，，． (1)判断与的位置关系；（不需要证明） (2)求证：． 类型六、用两直线平行于于第三条直线证两直线平行 22．（22-23七年级下·甘肃庆阳·阶段练习）证明题 (1)已知直线a，b，c，d，e，且，．请证明a与c平行． (2)已知直线与相交于点D，且．请证明：直线与平行．（本题可用多种方法，选择一种即可） 类型七、用两直被第三条所截的三线八角问题证两直线平行 23．（2024七年级上·全国·专题练习）已知直线和被直线所截． (1)如图①，若平分，平分，则与满足什么条件时，？为什么？ (2)如图②，若平分，平分，则与满足什么条件时，？为什么？ (3)如图③，若平分，平分，则与满足什么条件时，？为什么？ 一、单选题 1．（24-25七年级上·吉林长春·期末）利用下列尺规作图中，不一定能判定直线平行于直线的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，点在的延长线上，在下列四个条件中，不能判定的是（   ） A． B． C． D． 3．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，在下列给出的条件中，不能判定的是（ ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，直线a，b与直线c 相交，给出下列条件：；．其中能判断的是（　　） A．①②③④ B．①③④ C．①③ D．②④ 5．（2023·广东·模拟预测）画直线时要按住尺身，推移丁字尺时必须使尺头靠紧图画板的边框．请你说明：利用丁字尺画平行线的理论依据是（   ） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．两直线平行，同位角相等 6．（23-24七年级下·辽宁丹东·期末）如图，能够判断的条件是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，已知：，．是否能证明出？ ．（填能或不能） 8．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，三根木棒钉在一起，交点分别为．现将木棒分别绕点顺时针旋转，同时开始，速度分别为和，当两根木棒都转满了一周时，它们同时停止转动．转动 s时，木棒平行．    9．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，填空： （1）若，则 ，理由： ． （2）若，则 ，理由： ． 10．（23-24七年级下·湖北荆州·期末）将一块三角板（，）按如图方式放置，使，两点分别落在直线，上，对于给出的五个条件：①；②；③，；④；⑤；能判断直线的有 ．（填序号） 11．（23-24八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）将一副三角板按如图放置，则下列结论： ①； ②如果，则有； ③如果，则有； ④如果，必有． 其中正确的有 ．（请填写所有正确的序号） 12．（23-24七年级下·浙江嘉兴·期末）将一副三角板如图放置，边与边在同一条直线上，，，．三角板保持不动，将三角板绕点顺时针旋转度．当 度时，． 三、解答题 13．（23-24七年级下·甘肃定西·期末）如图，点D，E，F在的三边上，，．求证：． 14．（24-25八年级上·山东德州·阶段练习）如图，四边形中，，，分别是，的平分线． (1)与有什么关系，为什么？ (2)与有什么关系？请说明理由． 15．（23-24七年级下·四川成都·阶段练习）如图，已知，，点，分别在，上，交于点，交的延长线于点，，，求证：． 16．（23-24七年级上·福建福州·期末）如图，点O在直线上，平分，平分，F是上一点，连接． (1)求证：； (2)若与互余，求证：． 17．（15-16七年级下·山东潍坊·阶段练习）如图，，平分，与相交于，．求证：． 18．（22-23七年级下·四川达州·期中）如图，已知点O在直线上，射线平分，过点O作，G是射线上一点，连接，满足． (1)求证：； (2)若，试判断与的位置关系，并说明理由． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$ 7.2.2平行线的判定（七大类型提分练） 类型一、用同位角相等证两直线平行 1．（24-25七年级上·吉林四平·期末）如图，木工师傅用图中的角尺画平行线的依据是（   ） A．两直线平行，同位角相等 B．同位角相等，两直线平行 C．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 D．如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 【答案】B 【分析】本题考查的是平行线的判定的应用，根据同位角相等，两直线平行可得答案． 【详解】解：木工师傅用图中的角尺画平行线的依据是： 同位角相等，两直线平行． 故选：B 2．（24-25七年级上·吉林长春·期末）如图，已知，过边上一点作直线，经测量，要使，直线绕点按逆时针方向至少旋转（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转角以及平行线的判定定理的运用，掌握平行线的判定方法是关键．如图，根据要使，运用同位角相等，两直线平行，求得，即可得到的度数，即旋转角的度数． 【详解】要使，由同位角相等，两直线平行可知 即直线绕点按逆时针方向至少旋转 故选择：D 3．（23-24七年级下·四川成都·阶段练习）如图，直线被直线所截，下列选项中能得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键．根据平行线的判定定理判断求解即可． 【详解】解：∵，，故A符合题意； 由，不能判定，故B不符合题意； 由，不能判定，故C不符合题意； 由，不能判定，故D不符合题意． 故选： A． 4．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，直线a、b被直线c所截， ，下列条件中可以判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的判定，先标注，根据同位角相等，两直线平行判断即可． 【详解】如图所示． 根据题意可知， ∵， ∴． 故选：A． 5．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，直线分别与相交于点，已知，判断与是否平行，并说明理由． 【答案】，见解析 【分析】本题考查了对顶角相等，同位角相等两直线平行，解题的关键是根据对顶角相等得出，进而根据，即可得证． 【详解】解：，理由如下： ，， ， ． 6．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，与互为余角，，垂足为与平行吗？为什么？ 【答案】，见解析 【分析】本题考查了平行线的判定，垂线等知识点的应用，求出，根据平行线的判定定理即可推出答案． 【详解】解：，理由如下： ∵，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴． 类型二、用内错角相等证两直线平行 7．（2024七年级上·全国·专题练习）如图所示，是延长线上一点，下列条件中能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键． 直接利用平行线的判定方法依次判断即可． 【详解】A、若，则，故不合题意； B、若，则，故符合题意； C、若，则，故不合题意； D、若，则，故不合题意． 故选：B． 8．（2024七年级上·全国·专题练习）学习情境·推理论证如图所示，下列推理中正确的有（   ） ①，； ②，； ③，； ④，． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题主要考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定是解题的关键．根据平行线的判定可进行求解． 【详解】解：①∵， ∴，故错误； ②∵， ∴，故错误； ③∵， ∴，故错误； ④∵， ，故正确． 故选：A． 9．（2024七年级上·全国·专题练习）文化情境·潜望镜 世界上最早记载潜望镜原理的古书是公元前二世纪中国的《淮南万毕术》．书中记载了这样的一段话：“取大镜高悬，置水盘于其下，则见四邻矣”．现代潜艇潜望镜是在20世纪初发明的．如图是潜望镜工作原理的示意图，那么它所应用的数学原理是 ． 【答案】内错角相等，两直线平行 【分析】本题考查平行线的判定，熟练掌握内错角相等，两直线平行是解题的关键．根据内错角相等，两直线平行作答即可． 【详解】解：根据题意可知它所应用的数学原理是内错角相等，两直线平行． 故答案为：内错角相等，两直线平行． 10．（22-23七年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，直线过点C，若，，，试判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】平行，见解析 【分析】本题考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键，根据，，可得，从而得到，由内错角相等，两直线平行即可得到答案． 【详解】解：， 理由：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 11．（2024七年级上·全国·专题练习）如图所示，已知，，平分，可以判断吗？为什么？ 【答案】，理由见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定方法，也考查了角平分线定义．先由角平分线定义得出，那么，根据内错角相等，两直线平行即可证明． 【详解】解：可以判断，理由如下： ∵，平分， ∴． ∵， ∴， ∴． 类型三、用同旁内角互补证两直线平行 12．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，在四边形中，下列推论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法中“同旁内角互补，两直线平行”是解题的关键．根据题目中的图形位置，逐个分析选项中的同旁内角互补能否判定对应的两条直线平行，可以得到只有正确，其余均错误，即可得出正确选项． 【详解】解：，故A选项错误； ，故B选项错误； ，故C选项正确； ，无法推出或，故D选项错误． 故选：C． 13．（23-24七年级上·全国·单元测试）如图，已知直线分别与直线，相交，，那么与的位置关系是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的判定，熟知同旁内角互补，两直线平行是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴（同旁内角互补，两直线平行）， 故答案为：． 14．（22-23七年级下·江苏常州·期末）已知：如图，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，先根据已知得，从而利用平行线的性质可得，然后利用等量代换可得，从而利用同旁内角互补，两直线平行可得，即可解答． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 类型四、平行线的判定方法的灵活应用 15．（22-23七年级下·吉林白城·阶段练习）如图，在下列四组条件中：①，②，③，④，能判定的是 ． 【答案】①②③ 【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定是解题的关键．根据平行线的判定，逐一判断即可解答． 【详解】解：①， ； ②， ； ③， ； ④， ； 所以，能判定的是①②③， 故答案为：①②③． 16．（22-23七年级下·上海青浦·期中）如图，以下条件能判定的是 （填序号）． ①；②；③；④；⑤． 【答案】③⑤/⑤③ 【分析】此题考查了平行线的判定定理，熟记平行线的判定定理是解题的关键．根据平行线的判定定理判断求解即可． 【详解】解：∵， ∴，故①不符合题意； ∵， ∴，故②不符合题意； ∵， ∴，故③符合题意； ∵， ∴，故④不符合题意； ∵，， ∴， ∴，故⑤符合题意； 故答案为：③⑤． 三、解答题 17．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，直线交于点O，分别平分和，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】本题考查了平行线的判定、对顶角的性质、同角的余角相等、角平分线的定义等知识点，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． （1）先利用角平分线的定义可得，从而利用平角定义可得，然后利用同角的余角相等可得，再利用平行线的判定即可得到结论； （2）利用（1）的结论可得，然后利用平角定义可得，然后利用对顶角相等可得，再利用角平分线的定义可得，从而利用平角定义即可解答． 【详解】（1）证明：分别平分和， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 18．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，，、分别平分和，且．那么直线与的位置关系是什么？请说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，由角平分线的定义得出，再证明即可得出结论． 【详解】解：． 理由为：因为分别平分和， 所以，， 因为， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以． 19．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，在三角形中，，点分别在边的延长线上，作射线，如果平分，那么与平行吗？为什么？ 【答案】，见解析 【分析】此题考查了平行线的判定．根据角平分线得到，对顶角相等得到，利用等量代换得到，即可证明． 【详解】解：． 证明：∵平分， ∴． 又∵， ∴． 又∵， ∴． ∴ 类型五、用两直线垂直于第三条直线证两直线平行 20．（2024七年级上·全国·专题练习）在作业纸上，要过点P作直线a的平行线b，嘉嘉和淇淇给出了下面两种方案，对于方案Ⅰ，Ⅱ，下列判断正确的是（　　） A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行 C．Ⅰ，Ⅱ都可行 D．Ⅰ，Ⅱ都不可行 【答案】C 【分析】本题考查的是平行线的判定方法，熟练掌握平行线的判定是关键； 方案Ⅰ是根据同位角相等判定平行，方案Ⅱ是根据垂直于同一直线的两条直线平行即可得出答案． 【详解】由图知：方案Ⅰ是根据同位角相等，判定；方案Ⅱ是根据同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行，判定． 故选C． 21．（21-22八年级上·广东梅州·期末）如图，，，垂足分别是，，． (1)判断与的位置关系；（不需要证明） (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据垂直于同一直线的两条直线互相平行，即可得出结论； （2）根据可得，则，即可求证． 【详解】（1）解：∵，， ∴． （2）证明：，， （等式的性质）， 即 ， （同位角相等，两直线平行）． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定，解题的关键是掌握垂直于同一直线的两条直线互相平行，同位角相等，两直线平行． 类型六、用两直线平行于于第三条直线证两直线平行 22．（22-23七年级下·甘肃庆阳·阶段练习）证明题 (1)已知直线a，b，c，d，e，且，．请证明a与c平行． (2)已知直线与相交于点D，且．请证明：直线与平行．（本题可用多种方法，选择一种即可） 【答案】(1)，证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查的是平行线的判定，平行公理的应用，熟记平行线的判定方法是解本题的关键； （1）先证明，，再利用平行公理的含义可得结论； （2）先证明，再利用平行线的判定可得结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵，， ∴， ∴； 类型七、用两直被第三条所截的三线八角问题证两直线平行 23．（2024七年级上·全国·专题练习）已知直线和被直线所截． (1)如图①，若平分，平分，则与满足什么条件时，？为什么？ (2)如图②，若平分，平分，则与满足什么条件时，？为什么？ (3)如图③，若平分，平分，则与满足什么条件时，？为什么？ 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的判定，角平分线定义的应用，注意：平行线的判定是：①同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行． （1）根据角平分线定义得出，，时，求出，根据平行线的判定推出即可． （2）根据角平分线定义得出，，求出，根据平行线的判定推出即可． （3）根据角平分线定义得出，，求出，根据平行线的判定推出即可． 【详解】（1）解：当时，．理由如下： 平分，平分 ． ， ， ． （2）解：当时，．理由如下： 平分，平分， ． ， ， ． （3）解：当时，．理由如下： 平分，平分， ． ， ， ． 一、单选题 1．（24-25七年级上·吉林长春·期末）利用下列尺规作图中，不一定能判定直线平行于直线的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据作图痕迹，结合平行线的判定方法逐项分析即可． 【详解】解：A．根据同位角相等，两直线平行，可判定直线平行于直线，故不符合题意； B．根据内错角相等，两直线平行，可判定直线平行于直线，故不符合题意； C．根据同旁内角相等，不能判定直线平行于直线，故符合题意； D．根据对顶角相等和同位角相等，两直线平行，可判定直线平行于直线，故不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查了尺规作图，平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解答本题的关键． 2．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，点在的延长线上，在下列四个条件中，不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握平行线的判定定理． 根据平行线的判定定理同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行分别进行分析； 【详解】解：A、， ，故该选项不符合题意； B、， ，故该选项不符合题意； C、， ，不能判定，故该选项符合题意； D、， ，故该选项不符合题意； 故选：C 3．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，在下列给出的条件中，不能判定的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的判定；正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．利用平行线的判定定理，逐一判断，容易得出结论． 【详解】解：A、因为，所以（同位角相等，两直线平行），不能证出，故本选项符合题意； B、因为，所以（同位角相等，两直线平行），故本选项不符合题意； C、因为，所以（内错角相等，两直线平行），故本选项不符合题意； D、因为，所以（同旁内角互补，两直线平行），故本选项不符合题意； 故选：A． 4．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，直线a，b与直线c 相交，给出下列条件：；．其中能判断的是（　　） A．①②③④ B．①③④ C．①③ D．②④ 【答案】B 【分析】本题考查平行线的判定，根据平行线的判定定理求解即可，解题的关键是掌握平行线的判定方法． 【详解】解： ∴，故①符合题意； 和是对顶角，根据不能判定，故②不符合题意； ， ∴，故③符合题意； ∴，故④符合题意； 综上，①③④能判定， 故选：B． 5．（2023·广东·模拟预测）画直线时要按住尺身，推移丁字尺时必须使尺头靠紧图画板的边框．请你说明：利用丁字尺画平行线的理论依据是（   ） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．两直线平行，同位角相等 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理即可判断求解，掌握平行线的判定定理是解题的关键． 【详解】解：由题意可知，按住尺身，使尺头靠紧图画板的边框推移丁字尺是为了使同位角相等， ∴利用丁字尺画平行线的理论依据是：同位角相等，两直线平行， 故选：． 6．（23-24七年级下·辽宁丹东·期末）如图，能够判断的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的判定，解题的关键是掌握：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．据此分析即可作出判断． 【详解】解：A．∵， ∴，故此选项不符合题意； B．∵， ∴，故此选项符合题意； C．∵， ∴，故此选项不符合题意； D．∵， ∴，故此选项不符合题意． 故选：B． 二、填空题 7．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，已知：，．是否能证明出？ ．（填能或不能） 【答案】能 【分析】本题考查了平行线的判定，同角的补角相等，先由“同角的补角相等”可得，由然后根据同位角相等，两直线平行即可得证，熟记平行线的判定是解题的关键． 【详解】解：能 理由： ∵，， ∴， 又， ∴， ∴， 故答案为：能. 8．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，三根木棒钉在一起，交点分别为．现将木棒分别绕点顺时针旋转，同时开始，速度分别为和，当两根木棒都转满了一周时，它们同时停止转动．转动 s时，木棒平行．    【答案】或或或 【分析】本题主要考查了平行线的判定，一元一次方程的应用，利用分类讨论的思想，准确找出角度之间的数量关系是解题关键． 设经过t秒时木棒a，b平行，分情况讨论：当秒时；当秒时；当时；当时，利用同位角相等两直线平行，列方程求解即可得到答案 【详解】解：设经过t秒时木棒a，b平行，根据题意得： 当秒时，，解得：； 当秒时，，解得：； 当秒时，木棒a停止运动， 当时，，解得：，不符合题意； 当时，，解得：； ，解得：， 当时，木棒b停止运动， 综上所述，经过3或21或75或165秒时木棒a，b平行， 故答案为：或或或． 9．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，填空： （1）若，则 ，理由： ． （2）若，则 ，理由： ． 【答案】 同位角相等，两直线平行 同位角相等，两直线平行 【分析】此题考查了平行线的判定． （1）根据同位角相等，两直线平行进行判定解答即可； （2）根据同位角相等，两直线平行进行判定解答即可． 【详解】解：如图， （1）若，则，理由：同位角相等，两直线平行． （2）若，则，理由：同位角相等，两直线平行． 故答案为：，，同位角相等，两直线平行；，，同位角相等，两直线平行． 10．（23-24七年级下·湖北荆州·期末）将一块三角板（，）按如图方式放置，使，两点分别落在直线，上，对于给出的五个条件：①；②；③，；④；⑤；能判断直线的有 ．（填序号） 【答案】 【分析】本题考查平行线的判定．解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据平行线的判定方法和题目中各个小题中的条件，逐一判断是否可以得到，从而可以解答本题． 【详解】解：①∵，， ∴不一定等于， ∴和不一定平行，故①不符合题意； ②∵，， ∴不一定等于， ∴和不一定平行，故②不符合题意； ③∵，，， ∴， ∴，故③符合题意； ④∵， ∴， ∴，故④符合题意； ⑤过点作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，故⑤符合题意． 故答案为：③④⑤． 11．（23-24八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）将一副三角板按如图放置，则下列结论： ①； ②如果，则有； ③如果，则有； ④如果，必有． 其中正确的有 ．（请填写所有正确的序号） 【答案】①②③④ 【分析】本题考查了平行线的判定，余角性质，直角三角形两锐角互余，由余角性质可判断①；证明可判断②；证明可判断③；分别求出，可判断④；正确识图是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴，故①正确； 如果，则， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； 如果，则， ∵， ∴， ∴，故③正确； ∵， 如果， 则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故④正确； ∴其中正确的有①②③④， 故答案为：①②③④． 12．（23-24七年级下·浙江嘉兴·期末）将一副三角板如图放置，边与边在同一条直线上，，，．三角板保持不动，将三角板绕点顺时针旋转度．当 度时，． 【答案】15 【分析】本题考查平行线的判定，角的和差． 当时，，则，即可解答． 【详解】解：如图， 当时，， 则， ∴三角板绕点顺时针旋转15度，即 三、解答题 13．（23-24七年级下·甘肃定西·期末）如图，点D，E，F在的三边上，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是平行线的性质和判定，证明可得，由得，根据等量代换可得结论． 【详解】证明：， ， ． ， ， ． 14．（24-25八年级上·山东德州·阶段练习）如图，四边形中，，，分别是，的平分线． (1)与有什么关系，为什么？ (2)与有什么关系？请说明理由． 【答案】(1)；理由见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的判定，多边形的内角和，直角三角形两锐角互余，解题的关键是掌握四边形内角和为、同位角相等，两直线平行． （1）由角平分线的定义得，，根据四边形的内角和可得，进而可求出结论； （2）由互余的性质可得，根据平行线的判定即可得出． 【详解】（1）解：，理由： ∵，分别是，的平分线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 在中，∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 15．（23-24七年级下·四川成都·阶段练习）如图，已知，，点，分别在，上，交于点，交的延长线于点，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查平行线的判定，涉及到对顶角性质，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握平行线的判定方法．先根据三角形内角和定理以及对顶角的定义求出，再根据同旁内角互补，直线平行，即可证明结论． 【详解】证明： ， ， ， ， ， ， ． 16．（23-24七年级上·福建福州·期末）如图，点O在直线上，平分，平分，F是上一点，连接． (1)求证：； (2)若与互余，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查与角平分线有关的计算，互余，平行线的判定： （1）根据角平分线的定义和平角的定义，即可得证； （2）根据同角的余角相等，得到，即可得证． 【详解】（1）证明：∵平分，平分， ∴， ∵， ∴， 即：， ∴； （2）证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 17．（15-16七年级下·山东潍坊·阶段练习）如图，，平分，与相交于，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的性质（两直线平行同位角相等），平行线的判定（内错角相等两直线平行）等知识点，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 根据角平分线的定义可得，根据平行线的性质可证得，于是可得，进而可得结论． 【详解】证明：平分， ， ，， ， ， ． 18．（22-23七年级下·四川达州·期中）如图，已知点O在直线上，射线平分，过点O作，G是射线上一点，连接，满足． (1)求证：； (2)若，试判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)证明见详解 (2)，理由见详解 【分析】本题考查了余角，平行线的判定，三角形的内角和定理，熟练掌握知识点是解题关键． （1）根据同角的余角相等即可证明； （2）由，，得到，即，而，即可证明． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：，理由如下： ∵平分， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴． 27 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$