7.1.2两直线垂直（八大类型提分练）-【大单元教学】2024-2025学年七年级数学下册同步备课系列（人教版2024）

7.1.2两直线垂直（八大类型提分练） 类型一、垂直的有关定义及理解 1．（2024七年级上·全国·专题练习）同一个平面内，经过一点能作几条直线与已知直线垂直（   ） A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条 2．（2024七年级上·全国·专题练习）为直线上的一点，为外一点，下列说法不正确的是（   ） A．过可画直线垂直于 B．过可画直线的垂线 C．连结使 D．过只能画1条直线与垂直 3．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，已知，，所以与在同一条直线上的理由是（   ） A．两点确定一条直线 B．经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线 C．过一点只能作一条垂线 D．垂线段最短 4．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．相等的角是对顶角 B．两个角的和为，那个这两个角互为邻补角 C．过直线外一点作已知直线的垂线段，就是点到直线的距离 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 类型二、利用垂直求角度 5．（24-25七年级上·吉林长春·期末）如图，直线，相交于点，过点作，若，则的度数是（   ）    A． B． C． D． 6．（23-24七年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）如图，直线相交于点O，射线，垂足为点O，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，直线，相交于点，射线平分．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 8．（24-25七年级上·广东清远·期末）如图，直线 、 相交于点，，若，，求的度数． 类型三、垂线段最短 9．（24-25七年级上·吉林长春·期末）如图，在正方形网格中画有一段笔直的铁路及道口、和村庄、．小强从道口到公路，他选择的路线为公路，其理由为（   ） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．垂线段最短 D．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 10．（24-25七年级上·河南·期中）数学源于生活，寓于生活，用于生活．下列各选项中能用“两点之间，线段最短”来解释的现象是（   ） A．测量跳远成绩 B．木板上弹墨线 C．弯曲河道改直 D．两钉子固定木条 11．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，运动会上，两名同学测得黎明的跳远成绩分别为米，米，米，则黎明的跳远成绩应该为 米． 类型四、点到直线的距离 12．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，点P是直线a外的一点，点在直线a上，且，垂足为点，则下列正确的语句是（   ） A．线段的长是点P到直线a的距离 B．三条线段中，最短 C．线段的长是点A到直线的距离 D．线段的长是点C到直线的距离 13．（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）如图，四点在直线上，点在直线外，，若 ，则点到直线的距离是（   ） A． B． C． D． 14．（2024七年级上·全国·专题练习）为直线外一点，为直线上一点，点到直线的距离为，则 （选填“≥”“＝”或“≤”），根据是 ． 15．（21-22七年级下·河南信阳·阶段练习）如图，在直角三角形中，，，，． (1)点B到的距离是________；点到的距离是_________cm． (2)画出表示点C到的距离的线段，并求这个距离． 类型五、垂线的有关问题 16．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）如图所示的正方形网格，所有小正方形的边长都为，、、都在格点上． (1)利用网格作图：过点画直线的垂线，垂足为点； (2)线段的长度是点______到直线_______的距离； (3)比较大小：______（填＞、＜或＝），理由：______． 17．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点都叫格点，请利用网格特征，解答下列问题 (1)过点C画的垂线，并标出垂线所经过的格点E； (2)连接，，则的面积为______． 18．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）根据下列要求画图： (1)连接，画直线，画射线； (2)在直线上找到一点C，使线段是点B与直线上各点的所有线段中长度最短的线段． 类型六、有关垂直的有关计算问题 19．（22-23七年级上·江苏扬州·期末）如图，直线与相交于点，． (1)如果，那么根据________，可得________； (2)如果，求的度数． 20．（24-25七年级上·浙江温州·期末）如图，直线与相交于点O，平分．    (1)当时，求的度数； (2)若，，求的度数． 类型七、利用角度关系证明两直线垂直 21．（22-23七年级上·河南开封·期末）如图，直线与相交于O，，分别是，的平分线． (1)写出的补角； (2)若，求和的度数； (3)试问射线与之间有什么特殊的位置关系？为什么？ 类型八、分类讨论思想在垂直求角中的应用 22．（22-23七年级上·陕西咸阳·期末）已知，等于，则的度数为 ． 23．（22-23七年级下·吉林白山·期末）直线与交于O，，则的度数 ． 24．（23-24七年级下·全国·单元测试）已知的两边与的两边分别垂直，且比的倍少，则 ． 一、单选题 1．（21-22七年级下·河南洛阳·期末）如图，直线、相交于点O，，垂足为O，．则的度数为（   ）    A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·浙江嘉兴·阶段练习）如图，一副三角板的两个直角顶点叠放在一起，其中，，三角板不动，三角板可绕点旋转，则下列结论：①随的变化而变化；②当时，一定垂直于．其中正确的结论是（   ） A．①正确，②正确 B．①错误，②正确 C．①正确，②错误 D．①错误，②错误 3．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图所示，直线相交于点，，射线平分，射线平分，则等于（    ） A． B． C． D． 4．（18-19七年级下·广西钦州·期末）如图，直线，相交于点，平分，于点．若，下列说法：①；②；③．其中正确的是（    ）    A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 5．（2024·江苏常州·中考真题）如图，推动水桶，以点O为支点，使其向右倾斜．若在点A处分别施加推力、，则的力臂大于的力臂．这一判断过程体现的数学依据是（    ） A．垂线段最短 B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．两点确定一条直线 D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 6．（18-19七年级上·天津河北·期末）如图，直线，交于点，，，平分．给出下列结论，其中正确的结论是（    ） ①当时，；        ②平分； ③与相等的角有3个；④． A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 二、填空题 7．（22-23七年级下·陕西咸阳·期中）在直线上任取一点，过点作射线，，使，当时，的度数是 ． 8．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，直线，相交于点，，平分，，则的度数为 ． 9．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如果的两条边所在直线与的两条边互相垂直，且是的2倍少30度，则的度数为 ． 10．（22-23七年级上·重庆九龙坡·期末）如图，直线和交于O点，平分于点，则 ． 11．（23-24七年级上·江苏南京·期末）如图，直线相交于点O，，平分，若，则 °． 12．（23-24七年级下·重庆荣昌·期末）如图，直线，交于点M，，，平分，下列结论中：①当时，；②平分；③与相等的角有3个；④；⑤．正确的结论序号是 ． 三、解答题 13．（22-23七年级上·江苏扬州·期末）如图，直线与相交于点，． (1)如果，那么根据________，可得________； (2)如果，求的度数． 14．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，直线，相交于点O，． (1)若，求证：； (2)若，求的度数． 15．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）如图，已知直线、相交于点，，点为垂足，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 16．（2024七年级上·全国·专题练习）已知直线和相交于O点，，平分，． (1)求的度数； (2)求的度数． 17．（22-23七年级下·广西钦州·期中）如图，直线相交于点，平分， (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 18．（23-24七年级下·河南南阳·开学考试）已知为直线上一点，，．    (1)如图1，下面是判断与的数量关系的部分说理过程，请完成填空： 因为__________°，__________°；（第一步） 所以__________；（第二步） 在上面（第一步）到（第二步）的推理过程中，理由依据是：__________． (2)若将绕点旋转至图②的位置． ①直接写出图中所有相等的角（直角除外）__________． ②作的平分线，若，则__________（用含的代数式表示）． 12 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 7.1.2两直线垂直（八大类型提分练） 类型一、垂直的有关定义及理解 1．（2024七年级上·全国·专题练习）同一个平面内，经过一点能作几条直线与已知直线垂直（   ） A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条 【答案】B 【分析】本题考查了垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一点与已知直线垂直，一定注意是在同一平面内． 【详解】在同一平面内，过一点有且只有一点与已知直线垂直． 故选：B 2．（2024七年级上·全国·专题练习）为直线上的一点，为外一点，下列说法不正确的是（   ） A．过可画直线垂直于 B．过可画直线的垂线 C．连结使 D．过只能画1条直线与垂直 【答案】C 【分析】此题主要考查了垂线的作法以及垂线的定义，正确把握垂线的作法是解题关键． 直接利用垂线的定义结合垂线作法得出答案． 【详解】解：A、为直线上的一点，Q为外一点，过P可画直线垂直于，正确，不合题意； B、为直线上的一点，Q为外一点，过Q可画直线的垂线，正确，不合题意； C、连接不能保证，故错误，符合题意； D、为外一点，可以过Q可画直线与垂直，正确，不合题意； 故选∶C． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，已知，，所以与在同一条直线上的理由是（   ） A．两点确定一条直线 B．经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线 C．过一点只能作一条垂线 D．垂线段最短 【答案】B 【分析】本题考查了垂线的基本事实，根据垂线的基本事实结合图形得出结论是解题关键．利用同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直进而得出答案即可． 【详解】解：因为，， 所以直线与重合， 其理由是：同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直， 故选：B． 4．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．相等的角是对顶角 B．两个角的和为，那个这两个角互为邻补角 C．过直线外一点作已知直线的垂线段，就是点到直线的距离 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】D 【分析】有公共端点，且角的两边互为反向延长线的两个角叫做对顶角，据此可判断A；有公共端点，且有一条公共边，另一条边互为反向延长线的两个角互为邻补角，据此可判断B；过直线外一点作已知直线的垂线段的长度，就是点到直线的距离，据此可判断C；在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，据此可判断D． 【详解】解：A、相等的角不一定是对顶角，原说法错误，不符合题意； B、两个角的和为，那个这两个角不一定互为邻补角，原说法错误，不符合题意； C、过直线外一点作已知直线的垂线段的长度，就是点到直线的距离，原说法错误，不符合题意； D、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原说法正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了对顶角和邻补角的定义，点到直线的距离，垂线的定义等等，熟知相关知识是解题的关键． 类型二、利用垂直求角度 5．（24-25七年级上·吉林长春·期末）如图，直线，相交于点，过点作，若，则的度数是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了垂线，平角的知识，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．根据垂直定义可得：，然后利用平角定义进行计算，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 6．（23-24七年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）如图，直线相交于点O，射线，垂足为点O，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了垂直的定义，邻补角的定义，求出的度数是解题的关键．根据垂直的定义可求的度数，然后根据邻补角的定义求解即可． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∴． 故选：C． 7．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，直线，相交于点，射线平分．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线的定义和垂线的定义，解决本题的关键在正确找出角的关系．根据角平分线的定义，得出，再根据题意，得出，然后再根据角的关系，计算即可得出的度数． 【详解】解：射线平分， ， ， ， ． 故选：C． 8．（24-25七年级上·广东清远·期末）如图，直线 、 相交于点，，若，，求的度数． 【答案】，过程见详解 【分析】本题考查了垂线的定义和对顶角的性质，熟练掌握是解答本题的关键．由对顶角相等得，进而得，由垂直定义得，代入计算． 【详解】解： ，， ， 又 ，， ， ， ， 又 ， ． 类型三、垂线段最短 9．（24-25七年级上·吉林长春·期末）如图，在正方形网格中画有一段笔直的铁路及道口、和村庄、．小强从道口到公路，他选择的路线为公路，其理由为（   ） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．垂线段最短 D．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】C 【分析】本题考查垂线段最短，根据垂线段最短即可解答． 【详解】解：他选择的路线为公路，其理由为垂线段最短． 故选C． 10．（24-25七年级上·河南·期中）数学源于生活，寓于生活，用于生活．下列各选项中能用“两点之间，线段最短”来解释的现象是（   ） A．测量跳远成绩 B．木板上弹墨线 C．弯曲河道改直 D．两钉子固定木条 【答案】C 【分析】本题主要考查了垂线段最短，两点确定一条直线，两点之间线段最短等知识点，牢记两点之间线段最短是解题的关键． 根据垂线段最短，两点确定一条直线，两点之间线段最短逐项判断即可． 【详解】解：A、测量跳远成绩是求脚后跟到起跳线的距离，数学常识为垂线段最短，故选项不符合题意； B、木板上弹墨线，能弹出一条笔直的墨线，数学常识为两点确定一条直线，故选项不符合题意； C、弯曲河道改直，就能够缩短路程，数学常识为两点之间，线段最短，故选项符合题意； D、两钉子固定木条，数学常识为两点确定一条直线，故选项不符合题意； 故选：． 11．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，运动会上，两名同学测得黎明的跳远成绩分别为米，米，米，则黎明的跳远成绩应该为 米． 【答案】 【分析】此题主要考查了点到直线的距离的含义，解答此题的关键是要明确：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，特别注意是“垂线段的长度”．根据点P到踏板所在的直线的垂线段的长度，据此判断出跳远成绩应该为多少米即可． 【详解】解：依据从直线外一点到这条直线所作的线段中，垂线段最短可知，黎明的跳远成绩应该是图中线段的长度，即为米． 故答案为： 类型四、点到直线的距离 12．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，点P是直线a外的一点，点在直线a上，且，垂足为点，则下列正确的语句是（   ） A．线段的长是点P到直线a的距离 B．三条线段中，最短 C．线段的长是点A到直线的距离 D．线段的长是点C到直线的距离 【答案】B 【分析】此题主要考查了点到直线的距离及垂线段的性质．解题的关键是掌握垂线段的性质，从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短． 根据“从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短”，“从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离”进行判断，即可解答． 【详解】A．线段的长是点到的距离，原说法错误，故此选项不符合题意； B．三条线段中，依据垂线段最短可知最短，原说法正确，故此选项符合题意； C．线段的长是点A到直线的距离，原说法错误，故此选项不符合题意； D．线段的长是点C到直线的距离，原说法错误，故此选项不符合题意． 故选：B． 13．（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）如图，四点在直线上，点在直线外，，若 ，则点到直线的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了点到直线的距离，根据垂线的性质：直线外一点到这条直线的垂线段最短，结合条件进行解答即可，解题关键是熟练掌握点到直线的距离的定义和垂线的性质． 【详解】如图所示： ∵直线外一点到这条直线的垂线段最短，， ∴点M到直线l的距离是垂线段的长度，为， 故选：A． 14．（2024七年级上·全国·专题练习）为直线外一点，为直线上一点，点到直线的距离为，则 （选填“≥”“＝”或“≤”），根据是 ． 【答案】 垂线段最短 【分析】本题主要考查了点到直线的距离，垂线段最短，根据点到直线距离的定义和垂线段最短进行解答即可． 【详解】解：∵A为直线l外一点，B是直线l上一点，点A到l的距离为5， ∴当时，， ∵垂线段最短， ∴当不与直线l垂直时，， ∴． 故答案为：；垂线段最短． 15．（21-22七年级下·河南信阳·阶段练习）如图，在直角三角形中，，，，． (1)点B到的距离是________；点到的距离是_________cm． (2)画出表示点C到的距离的线段，并求这个距离． 【答案】(1)4，3 (2)见解析，cm 【分析】本题考查点到直线的距离，三角形面积． （1）根据点到直线的距离就是过点作直线的垂直，这点与垂足间的线段长度，即可求解． （2）作于点，则线段的长度就是点到的距离．再根据面积公式即可求解． 【详解】（1）解：，cm，cm， 点到的距离cm，点到的距离cm． 故答案为：4，3； （2）解：如图：线段的长就是表示点到的距离的线段， 根据题意，， ∵， ∴(cm)． 类型五、垂线的有关问题 16．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）如图所示的正方形网格，所有小正方形的边长都为，、、都在格点上． (1)利用网格作图：过点画直线的垂线，垂足为点； (2)线段的长度是点______到直线_______的距离； (3)比较大小：______（填＞、＜或＝），理由：______． 【答案】(1)见解析 (2)   (3)   垂线段最短 【分析】本题主要考查垂线段、点到直线的距离： （1）取格点，作直线，交直线于点； （2）根据点到直线的距离的定义即可解答； （3）根据垂线段最短即可解答． 【详解】（1） （2）线段的长度是点到直线的距离． 故答案为：   （3），理由：垂线段最短． 故答案为：   垂线段最短 17．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点都叫格点，请利用网格特征，解答下列问题 (1)过点C画的垂线，并标出垂线所经过的格点E； (2)连接，，则的面积为______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了画垂线，格点中求三角形的面积； （1）根据垂线的定义画出图形； （2）根据正方形的面积减去周围三个三角形的面积，即可得到的面积． 【详解】（1）如图所示，即为所求； （2）如图所示， ． 故答案为：． 18．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）根据下列要求画图： (1)连接，画直线，画射线； (2)在直线上找到一点C，使线段是点B与直线上各点的所有线段中长度最短的线段． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了画直线，画射线和线段，垂线段最短： （1）根据直线，射线，线段的画法，画图即可； （2）过点B作于C，根据垂线段最短可知点C即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，过点B作于C，点C即为所求． 类型六、有关垂直的有关计算问题 19．（22-23七年级上·江苏扬州·期末）如图，直线与相交于点，． (1)如果，那么根据________，可得________； (2)如果，求的度数． 【答案】(1)对顶角相等，； (2)． 【分析】（）利用对顶角相等的性质解答即可； （）根据对顶角相等，可知，结合，即可求解； 本题考查了对顶角的性质，平角的定义，垂直的定义，熟练掌握上述性质和定义是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴（对顶角相等）， 故答案为：对顶角相等，； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 20．（24-25七年级上·浙江温州·期末）如图，直线与相交于点O，平分．    (1)当时，求的度数； (2)若，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角的和差计算，对顶角，平角，补角，角平分线的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据角平分线定义以及对顶角即可求解； （2）由垂线得到，结合角平分线得到，则，化简得，由，得到方程，继而可求解． 【详解】（1）解：∵直线与相交于点O， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：∵若， ∴ ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴， ∵， ∴， 解得. ∴． 类型七、利用角度关系证明两直线垂直 21．（22-23七年级上·河南开封·期末）如图，直线与相交于O，，分别是，的平分线． (1)写出的补角； (2)若，求和的度数； (3)试问射线与之间有什么特殊的位置关系？为什么？ 【答案】(1) (2)， (3)，理由见解析 【分析】本题主要考查了角平分线，熟练掌握角平分线定义，对顶角相等，补角定义，垂线的定义，是解决问题的关键． （1）根据角平分线定义得，根据补角定义得，， 根据对顶角性质得，即得的补角； （2）先根据角平分线的定义得出和的度数，再由邻补角定义可得；先根据邻补角定义可得，再由角平分线定义即得度数； （3）运用角平分线的定义，得，根据平角的定义得，即得直线的位置关系． 【详解】（1）∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴ 的补角有； （2）∵平分，， ∴ ∴，， ∴， 又∵平分， ∴； （3）射线与互相垂直．理由如下： ∵，分别是，的平分线， ∴， ∴， ∴． 即射线的位置关系是互相垂直． 类型八、分类讨论思想在垂直求角中的应用 22．（22-23七年级上·陕西咸阳·期末）已知，等于，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】此题主要考查了垂线的定义，角的和差运算．结合图形是做这类题的关键．根据垂直关系知，由，可求，根据与的位置关系，分类求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 的位置有两种：一种是在内，一种是在外． ①当在内时，； ②当在外时，． 故答案为：或． 23．（22-23七年级下·吉林白山·期末）直线与交于O，，则的度数 ． 【答案】或 【分析】此题主要考查了角的运算，垂线的定义，要熟练掌握如果两个角的和等于，那么这两个角叫做互为余角. 根据题意，分两种情况：（1）是锐角时；（2）是钝角时；然后根据垂线的性质，分类讨论，求出的度数是多少即可． 【详解】解：（1）如图1， ∵直线， ∴， ∵， ∴， 又∵直线， ∴， ∴． （2）如图2， ∵直线， ∴， ∵， ∴， 又∵直线， ∴， ∴． 综上，可得的度数是或． 故答案为：或． 24．（23-24七年级下·全国·单元测试）已知的两边与的两边分别垂直，且比的倍少，则 ． 【答案】或 【分析】此题主要考查了垂线，因为两个角的两边分别垂直，则这两个角相等或互补，又因比的3倍少，所以可设是度，利用方程即可解决问题． 【详解】设是度， 如图：    ∴， ∵， ∴， ∵比的3倍少 ∴， 解得：， 故； 如图：    根据四边形的内角和可得：， ∴ ∵比的3倍少 ∴， ∴， ∴ 综上所述：的度数为：或． 故答案为：或． 1．（21-22七年级下·河南洛阳·期末）如图，直线、相交于点O，，垂足为O，．则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了垂直的定义，求一个角的邻补角，余角等知识点，根据邻补角求得，根据余角的定义即可求得的度数，熟练掌握其性质，数形结合是解决此题的关键． 【详解】解：， ， ， ， 故选：C． 2．（24-25七年级上·浙江嘉兴·阶段练习）如图，一副三角板的两个直角顶点叠放在一起，其中，，三角板不动，三角板可绕点旋转，则下列结论：①随的变化而变化；②当时，一定垂直于．其中正确的结论是（   ） A．①正确，②正确 B．①错误，②正确 C．①正确，②错误 D．①错误，②错误 【答案】D 【分析】本题考查了三角板的角度计算；①依据，即可得到； ②画出图形，根据，，即可求出的度数，根据平行线的判定以及垂直的定义得到此时与的位置关系． 【详解】解：①， ， ，是定值；故①错误． ②设，则． 如图 ， ， ， ， ， ． 如图 由①可知，， ， 解得：， 即， 此时不垂直于故②错误． 故选：D． 3．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图所示，直线相交于点，，射线平分，射线平分，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂直的定义，角平分线的定义，邻补角的定义，由，得，再根据角平分线的定义求出，最后利用邻补角的定义即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】∵， ∴， ∵射线平分， ∴， ∵射线平分， ∴， ∵， ∴， 故选：． 4．（18-19七年级下·广西钦州·期末）如图，直线，相交于点，平分，于点．若，下列说法：①；②；③．其中正确的是（    ）    A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】本题考查与角平分线有关的计算，对顶角相等，根据角平分线的性质，垂直的定义，对顶角相等，结合角的和差关系，逐一进行计算判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴；故①正确； ∴；故②正确； ；故③正确； 故选D． 5．（2024·江苏常州·中考真题）如图，推动水桶，以点O为支点，使其向右倾斜．若在点A处分别施加推力、，则的力臂大于的力臂．这一判断过程体现的数学依据是（    ） A．垂线段最短 B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．两点确定一条直线 D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】A 【分析】本题考查了力臂，平行公理，垂直的性质，直线特点，垂线段最短，根据图形分析得到过点有，进而利用垂线段最短得到即可解题． 【详解】解：过点有， ， 即得到的力臂大于的力臂， 其体现的数学依据是垂线段最短， 故选：A． 6．（18-19七年级上·天津河北·期末）如图，直线，交于点，，，平分．给出下列结论，其中正确的结论是（    ） ①当时，；        ②平分； ③与相等的角有3个；④． A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】根据同角的余角相等可得，再根据余角以及角平分线的意义即可判断①；根据角平分线的定义，无法证明为的角平分线，即可判断②；根据角平分线的定义，可得，由对顶角相等得出，利用同角的余角相等可得，即可判断③；根据平角的定义以及，即可判断④． 【详解】 解：①， ， ∴， ， ， 当时，， ∴， ∵平分， ∴， 故①正确； ②不能证明， 无法证明为的角平分线，故②错误； ③平分， ． 直线，交于点， ． ， ， 与相等的角有三个，故③正确； ④， ， ，故④正确； 所以正确的结论有①③④． 故选：C． 【点睛】本题考查了垂线，余角、对顶角以及角平分线的性质，注意结合图形，发现角与角之间的关系，难度适中． 二、填空题 7．（22-23七年级下·陕西咸阳·期中）在直线上任取一点，过点作射线，，使，当时，的度数是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，垂直的定义，分在同侧和异侧两种情况讨论，并画出图，然后根据，，计算的度数即可． 【详解】解：当在同侧时，如图， ，， ； 当在异侧时，如图， ，， ； 故答案为：或． 8．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，直线，相交于点，，平分，，则的度数为 ． 【答案】/75度 【分析】本题考查了角平分线的定义，垂直的定义等知识，先根据垂直定义得出，然后结合，求出的度数，根据平角定义求出的度数，最后根据角平分线的定义求解即可． 【详解】解：因为， 所以， 因为， 所以， 所以． 因为OF平分， 所以． 9．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如果的两条边所在直线与的两条边互相垂直，且是的2倍少30度，则的度数为 ． 【答案】110或30/30或110 【分析】考查了垂线，本题需仔细分析题意，利用方程即可解决问题．关键是得到与的关系．因为两个角的两边分别垂直，则这两个角相等或互补，又因是的2倍少30度，利用方程组即可解决问题． 【详解】解：如图1 根据题意得，， 解得； 如图2， 根据题意得， 解得， ∴的度数为或， 故答案为：110或30． 10．（22-23七年级上·重庆九龙坡·期末）如图，直线和交于O点，平分于点，则 ． 【答案】/120度 【分析】本题考查相交线对顶角性质，角平分线定义，垂直定义，掌握对顶角性质，角平分线定义，垂直定义是解题关键． 根据对顶角性质可得．根据平分，可得，根据，得出，利用两角和得出即可． 【详解】解：∵、相交于点， ∴． ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 11．（23-24七年级上·江苏南京·期末）如图，直线相交于点O，，平分，若，则 °． 【答案】132 【分析】此题考查了角平分线的定义，平角的定义，垂直的定义，准确识图，理解角平分线的定义，平角的定义，垂直的定义是解决问题的关键．设，，根据，得，再根据角平分线的定义得，由平角的定义得，即，将代入可得，进而可求出，然后再根据对顶角相等可得的度数． 【详解】解：设，， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， 即， ∴， ∴． 故答案为：132． 12．（23-24七年级下·重庆荣昌·期末）如图，直线，交于点M，，，平分，下列结论中：①当时，；②平分；③与相等的角有3个；④；⑤．正确的结论序号是 ． 【答案】①③④ 【分析】由，，得到，故，同理，故，由平分，得到，故，故③正确；当时，则，故，故①正确；由，而，故，故④正确，而②⑤不可证明，即可作出选择． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理， 而， ∴， ∵平分， ∴， ∴，故③正确； 当时，则， ∴，故①正确； ∵，而， ∴，故④正确， 而②⑤不可证明， 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查了对顶角，平角的定义，角平分线的意义，垂线的定义，熟练掌握知识点是解决本题的关键． 三、解答题 13．（22-23七年级上·江苏扬州·期末）如图，直线与相交于点，． (1)如果，那么根据________，可得________； (2)如果，求的度数． 【答案】(1)对顶角相等，； (2)． 【分析】（）利用对顶角相等的性质解答即可； （）根据对顶角相等，可知，结合，即可求解； 本题考查了对顶角的性质，平角的定义，垂直的定义，熟练掌握上述性质和定义是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴（对顶角相等）， 故答案为：对顶角相等，； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 14．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，直线，相交于点O，． (1)若，求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了垂直的定义，角的和差； （1）由垂直的定义得，等量代换得，即可得证； （2）由角的和差得 ，即可求解； 理解垂直的定义，熟练利用角的和差进行计算是解题的关键． 【详解】（1）证明：因为， 所以， 所以， 因为， 所以， 即， 所以． （2）解：因为， 所以， 因为， 所以， 所以 ， 所以， 所以． 15．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）如图，已知直线、相交于点，，点为垂足，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查角平分线的定义，对顶角、邻补角以及垂线，理解角平分线的定义，邻补角、对顶角以及垂直的定义是正确解答的关键． （1）根据角平分线的定义，垂直的定义以及图形中角的和差关系进行计算即可； （2）根据角平分线的定义，垂直的定义以及图形中角的比例关系进行计算即可． 【详解】（1）解：平分，， ， ， ， ； （2）解：由于，可设，， 平分， ， ， ， ， ， 即的度数为． 16．（2024七年级上·全国·专题练习）已知直线和相交于O点，，平分，． (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2)的度数为 【分析】本题考查对顶角，角平分线，掌握对顶角相等，角平分线的定义是解题的关键． （1）根据对顶角相等可得答案； （2）根据角平分线以及图形中角的和差关系进行计算即可． 【详解】（1）解：∵与是对顶角，， ∴， ∴的度数为； （2）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴ ， ∴的度数为． 17．（22-23七年级下·广西钦州·期中）如图，直线相交于点，平分， (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由可求得，根据对顶角的定义可得，然后根据，即可求得结果； （2）根据平分，可得，再结合可得，最后利用平角的定义及对顶角求出，再根据互余即可求解． 【详解】（1）解：平分，， ， ， ， ∵， ， ． （2）解：平分， ， ， ， ， ， ∴． 【点睛】本题考查了角平分线的性质、平角的定义、垂直的定义，对顶角的定义及角的和差计算，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 18．（23-24七年级下·河南南阳·开学考试）已知为直线上一点，，．    (1)如图1，下面是判断与的数量关系的部分说理过程，请完成填空： 因为__________°，__________°；（第一步） 所以__________；（第二步） 在上面（第一步）到（第二步）的推理过程中，理由依据是：__________． (2)若将绕点旋转至图②的位置． ①直接写出图中所有相等的角（直角除外）__________． ②作的平分线，若，则__________（用含的代数式表示）． 【答案】(1)，，，同角的余角相等 (2)①，；② 【分析】本题考查垂直的定义，角平分线的定义，角的计算，准确识图，理解垂直的定义，熟练掌握角的计算是解决本题的关键； （1）根据同角的余角相等即可求解； （2）①根据，，进而得，根据，得到，，进而求解； ②根据角平分线的性质可得，即，由①可知：，进而求解； 【详解】（1）解：，； （同角的余角相等）； 故答案为：，，，同角的余角相等 （2）①，，理由如下： ，， ，， ； ，， ，， ， 故答案为：，； ②平分， ， 即， 由①可知：， ， ， 由①可知：， 故答案为：． 32 / 32 学科网（北京）股份有限公司 $$