【进阶优等生系列】 2024-2025学年下学期培优课沪教版(上海)八年级数学第二学期第3讲 -21.1-21.2 一元整式方程与二项方程

2024-2025春季培优课 【进阶优等生系列】【2024-2025春季培优课】 八年级第二学期第3讲 21.1-21.2 一元整式方程与二项方程 目录 1、 【进门测试】共6题； 2、 【知识精讲】共2个知识点； 3、 【典例解析】共10例题； 4、 【过关演练】共6题； 5、 【拓展进阶】共3题； 6、 【温故知新】共24题：A组12题，B组9题，C组3题； 【进门测试】 10min. 【检测学生的知识基础水平，就一周知识的遗忘及掌握情况，有针对性的简要复习，解决遗留的知识点问题，及时纠正学生的理解错误。】 1．下列方程属于二项方程的是（　　） A．x+1＝0 B．﹣5＝0 C．x﹣＝0 D．x3﹣x＝1 2．二元二次方程组的解的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．若方程x2+3xy﹣2y2＝0的两个解是x1＝y，x2＝y，那么x2+3xy﹣2y2在实数范围内分解因式是（　　） A．（x+2y）（x+y） B．（x﹣）（x﹣） C．（x﹣y）（x﹣y） D．（x﹣y）（x﹣y） 4．如果一个二元二次方程的一个解是，那么这个二元二次方程可以是 　 　．（只需写一个） 5．方程组的解是 　 　． 6．若﹣1是关于x的方程mx﹣n＝1（m≠0）的解，则关于x的方程（m+n）（2x+1）﹣n﹣m＝0（m≠n）的解为　　． 【知识精讲】 10min. 【梳理本节课的知识框架及逻辑，针对重点知识点进行深入的剖析和讲解，让学生掌握知识点的同时，学会构建属于自己的知识体系。】 一．含字母系数的一元一次方程 含字母系数的一元一次方程． 二．高次方程 （1）高次方程的定义：整式方程未知数次数最高项次数高于2次的方程，称为高次方程． （2）高次方程的解法思想： 通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解．所以解高次方程一般要降次，即把它转化成二次方程或一次方程．也有的通过因式分解来解． 对于5次及以上的一元高次方程没有通用的代数解法和求根公式（即通过各项系数经过有限次四则运算和乘方和开方运算无法求解），这称为阿贝尔定理． 换句话说，只有三次和四次的高次方程可用根式求解． 【典例解析】 40min. 【根据相关知识点，进行典型题型的讲解，让学生由浅入深地掌握在考试过程中，相关知识点的出现命题形式及考试答题思路。】 一．高次方程 例1．解方程组：． 例2．若方程组没有实数解，求实数k的取值范围． 例3．解关于x的方程：2x3+（1﹣t）x2﹣2tx+（t2﹣t）＝0． 例4．解方程：ax4+7＝1﹣3x4． 二．含字母系数的一元一次方程 例5．求下列字母m、n的值：已知关于x的方程3m（x+5）＝（4n﹣1）x﹣3有无限多个解． 例6．如果是方程mx2+y2＝xy的一个解，那么m＝　　． 三．含字母系数的一元二次方程（共10小题） 例7．m为何值时，关于x的方程3（m﹣1）x2﹣4mx+（m﹣3）＝0 （1）两个正根（2）一正一负两根（3）两根都大于1． 例8．当m为何值时，关于x的方程（m+1）x|m﹣1|+（m﹣3）x＝5． （1）为一元二次方程；（2）为一元一次方程． 例9．已知：关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2mx+m+3＝0．当m为何值时，方程有两个实数根？ 例10．已知关于x的方程（m﹣1）x2+（m﹣2）x﹣2m+1＝0 （1）m为何值时，此方程是一元一次方程？求出该一元一次方程的解； （2）m为何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项． 【过关演练】 30min. 【结合针对性的有效练习，让学生达到知识点在考试中的熟练应用，适应考试题型的变化，进一步的明确考试逻辑，精准把握考点。】 1．二元二次方程组的解的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2．方程组的解为 　 　． 3．若m、n是有理数，关于x的方程3m（2x﹣1）﹣n＝3（2﹣n）x有至少两个不同的解，则另一个关于x的方程（m+n）x+3＝4x+m的解的情况是（　　） A．有至少两个不同的解 B．有无限多个解 C．只有一个解 D．无解 4．m为何值时，关于x的方程mx2+（2m+3）x+（m+5）＝0有唯一的根，并求这个根． 5．当m为何值时，关于x的方程（m+）+2（m﹣1）x﹣1＝0是一元二次方程？ 6．已知关于x的方程（m+1）x2+2mx+（m﹣3）＝0有实数根． （1）求m的取值范围； （2）m为何值时，方程有两个相等的实数根？并求出这两个实数根． 【拓展进阶】 20min. 【知识点的延伸拓展，整体拔高学生知识结构，寻求考试中的难题高分突破途径。需要结合实际情况（班级水平、教学进度等）进行选择性教学，提高班和培优班必选。】 例1．当m为何值时，关于x的方程x2﹣2mx+（m﹣1）2＝0有两个不相等的实数根？并求出这时方程的根（用含m的代数式表示）． 例2．（x3﹣3x2+x﹣2）（x3﹣x2﹣4x+7）+6x2﹣15x+18＝0． 例3．设m是满足不等式1≤m≤50的正整数，关于x的二次方程（x﹣2）2+（a﹣m）2＝2mx+a2﹣2am的两根都是正整数，求m的值． 【温故知新】 40min. 【针对本节课内容进行学习总结，帮助学生养成良好的学习总结归纳习惯，并对新知识点进行引入，引导学生良好地完成下一节课的课前预习。】 题组A 基础过关练 一．选择题 1．设a、b为不超过10的自然数，那么，使方程ax＝b的解大于且小于的a、b的组数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．1 2．若不论k取什么实数，关于x的方程（m，n是常数）的解总是x＝1，则m+n的值为（　　） A． B． C． D．﹣ 3．下列方程中，是二项方程的是（　　） A．x3+8＝0 B．﹣16＝0 C．x3+x＝1 D．x2＝y2 4．将关于x的一元二次方程x2﹣px+q＝0变形为x2＝px﹣q，就可以将x2表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如x3＝x⋅x2＝x（px﹣q）＝…，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：x2﹣x﹣1＝0，且x＞0，则x3﹣2x2+2x+1的值为（　　） A． B． C． D． 5．方程x3﹣4x＝0的解是（　　） A．2或0 B．±2或0 C．2 D．﹣2或0 二．填空题 6．二项方程x4﹣8＝0的实数根是　　 ． 7．方程组的解是　 　 ． 8．方程组的解是　　 ． 9．方程组的解为　　 ． 10．y5＝32，那么实数y的值为　 　． 三．解答题（共5小题） 11．解方程组：． 12．已知关于x的方程：（2+k）x2+2kx+（k+1）＝0． （1）如果此方程只有一个实数根，求k的值； （2）如果此方程有两个实数根，求k的取值范围； （3）如果此方程无实数根，求k的取值范围． 题组B 能力提升练 一．选择题（共1小题） 1．二元二次方程组的解的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 二．填空题（共4小题） 2．关于x、y的方程组有实数解，则m的取值范围是 　 　． 3．方程x4﹣8＝0的根是　 　 4．方程组的解是　　 ． 5．方程x3﹣27＝0的根是　 　． 三．解答题（共7小题） 6．解方程组：． 7．解方程组：． 8．解方程组：． 9．解方程组：． 题组C 培优拔尖练 1．解方程组：． 2．（x3﹣3x2+x﹣2）（x3﹣x2﹣4x+7）+6x2﹣15x+18＝0． 3．已知方程组（x、y为未知数）有两个不同的实数解或． （1）求实数k的取值范围； （2）如果y1y2+＝3，求实数k的值． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025春季培优课 【进阶优等生系列】【2024-2025春季培优课】 八年级第二学期第3讲 21.1-21.2 一元整式方程与二项方程 目录 1、 【进门测试】共6题； 2、 【知识精讲】共2个知识点； 3、 【典例解析】共10例题； 4、 【过关演练】共6题； 5、 【拓展进阶】共3题； 6、 【温故知新】共24题：A组12题，B组9题，C组3题； 【进门测试】 10min. 【检测学生的知识基础水平，就一周知识的遗忘及掌握情况，有针对性的简要复习，解决遗留的知识点问题，及时纠正学生的理解错误。】 1．下列方程属于二项方程的是（　　） A．x+1＝0 B．﹣5＝0 C．x﹣＝0 D．x3﹣x＝1 【分析】根据二项方程的定义去判断和排除选项．如果一元n次方程（n是正整数）的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是零，那么这样的方程就叫做二项方程． 【解答】解：B选项未知数x的次数不是正整数，所以不符合． C选项除了含有x的1次项还含有﹣1次项，所以不符合． D选项除了常数项以外，含有x的3次项和1次项，所以不符合． 根据定义可以判断x+1＝0是符合的，故选：A． 【点评】考查二项方程的概念：如果一元n次方程（n是正整数）的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是零，那么这样的方程就叫做二项方程． 2．二元二次方程组的解的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】先由方程①求出x，y的值，代入②，求解，即可得出结论． 【解答】解：， 由①得x＝﹣1或y＝2， 当x＝﹣1时y＝1， 当y＝2时x＝± 所以方程组的解． 故选：C． 【点评】本题主要考查解方程的能力，体现数学中化归思想，消元和降次是解此类问题的关键． 3．若方程x2+3xy﹣2y2＝0的两个解是x1＝y，x2＝y，那么x2+3xy﹣2y2在实数范围内分解因式是（　　） A．（x+2y）（x+y） B．（x﹣）（x﹣） C．（x﹣y）（x﹣y） D．（x﹣y）（x﹣y） 【分析】直接根据x2+3xy﹣2y2＝（x﹣x1）（x﹣x2），进而分解因式即可． 【解答】解：∵方程x2+3xy﹣2y2＝0的两个解是x1＝y，x2＝y， ∴x2+3xy﹣2y2＝（x﹣y）（x﹣y）， 故选：D． 【点评】本题考查了在实数范围内分解因式，若方程ax2+px+q＝0的两根为x1，x2，则ax2+px+q＝a（x﹣x1）（x﹣x2）． 4．如果一个二元二次方程的一个解是，那么这个二元二次方程可以是 　　．（只需写一个） 【分析】这是一个开放问题，给出二元二次方程组的解，只需要写出两个二次方程，让方程的解满足方程即可． 【解答】解：因为方程组的解是：， 我们可以写出两个关于x和y的二元一次方程 ． 故答案为：．（答案不唯一）． 【点评】本题考查方程组解的概念，并非唯一答案，只需要所列方程组是二元二次方程组，满足就是可以的． 5．方程组的解是 　　． 【分析】解二元二次方程组，用代入消元转化成一元二次方程，解出方程即可． 【解答】解： 由①得：y＝x﹣5 ③， 将③代入②：x（x﹣5）＝﹣6， 整理得：x²﹣5x+6＝0， x1＝2，x2＝3． 将上述x代入③， 得：y1＝﹣3，y2＝﹣2． ∴方程组的解：． 故答案为：． 【点评】本题考查的是二元二次方程组，考核的是学生解二元二次方程组的能力以及转化思想，因为含有二次项，所以运用代入消元法转化成一元二次方程是关键． 6．若﹣1是关于x的方程mx﹣n＝1（m≠0）的解，则关于x的方程（m+n）（2x+1）﹣n﹣m＝0（m≠n）的解为　0　． 【分析】根据方程的解满足方程，可得m+n，根据整体代入法，可得关于x的方程，根据解方程，可得答案． 【解答】解：由若﹣1是关于x的方程mx﹣n＝1（m≠0）的解，得 m+n＝﹣1． 把m+n＝﹣1代入（m+n）（2x+1）﹣n﹣m＝0（m≠n），得 ﹣（2x+1）﹣（﹣1）＝0， 解得x＝0， 故答案为：0． 【点评】本题考查了一元一次方程的解，利用整体代入得出﹣（2x+1）﹣（﹣1）＝0是解题关键． 【知识精讲】 10min. 【梳理本节课的知识框架及逻辑，针对重点知识点进行深入的剖析和讲解，让学生掌握知识点的同时，学会构建属于自己的知识体系。】 一．含字母系数的一元一次方程 含字母系数的一元一次方程． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布 二．高次方程 （1）高次方程的定义：整式方程未知数次数最高项次数高于2次的方程，称为高次方程． （2）高次方程的解法思想： 通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解．所以解高次方程一般要降次，即把它转化成二次方程或一次方程．也有的通过因式分解来解． 对于5次及以上的一元高次方程没有通用的代数解法和求根公式（即通过各项系数经过有限次四则运算和乘方和开方运算无法求解），这称为阿贝尔定理． 换句话说，只有三次和四次的高次方程可用根式求解． 【典例解析】 40min. 【根据相关知识点，进行典型题型的讲解，让学生由浅入深地掌握在考试过程中，相关知识点的出现命题形式及考试答题思路。】 一．高次方程 例1．解方程组：． 【分析】先把x2﹣2xy+y2＝1，化成（x﹣y）2＝1，直接开平方得x﹣y＝1或x﹣y＝﹣1，与原方程组组成二元一次方程组或，求解二元一次方程组即可得出答案． 【解答】解：二元二次方程组或， ∴原方程组的解为，． 【点评】本题主要考查了二元二次方程组的解，根据题意先把二次方程降次为一次方程，再组成二元一次方程组进行求解是解决本题的关键． 例2．若方程组没有实数解，求实数k的取值范围． 【分析】把y＝x﹣k代入x2﹣y＝﹣2得到x2﹣x+k＝﹣2，根据根的判别式即可得到结论． 【解答】解：把y＝x﹣k代入x2﹣y＝﹣2得，x2﹣x+k＝﹣2， ∵方程x2﹣x+k＝﹣2没有实数解， ∴△＝4﹣4（2k+4）＝﹣8k﹣12＜0， ∴k＞﹣， ∴实数k的取值范围是k＞﹣． 【点评】本题考查了高次方程，根的判别式，正确的理解题意是解题的关键． 例3．解关于x的方程：2x3+（1﹣t）x2﹣2tx+（t2﹣t）＝0． 【分析】把t看成主元，将方程整理为t2﹣（x2+2x+1）t+2x3+x2＝0，然后对左边因式分解，即可解出方程． 【解答】解：原方程可化为：t2﹣（x2+2x+1）t+2x3+x2＝0， （t﹣2x﹣1）（t﹣x2）＝0， ∴t﹣2x﹣1＝0或t﹣x2＝0， 当t⩾0时， 解得， 当t＜0时， 解得． 【点评】本题考查了高次方程的解法，关键是先把t看成主元，将方程重新整理． 例4．解方程：ax4+7＝1﹣3x4． 【分析】先移项、合并同类项，再开方． 【解答】解：移项得： ax4+3x4＝1﹣7， （a+3）x4＝﹣6， ， 当a+3≥0时，即a≥﹣3时，此方程无解． 当a+3＜0时，即a＜﹣3时， ． 【点评】考查高次方程的解法，在解含有待定系数的方程时时需要根据情况进行分类讨论的． 二．含字母系数的一元一次方程 例5．求下列字母m、n的值：已知关于x的方程3m（x+5）＝（4n﹣1）x﹣3有无限多个解． 【分析】方程去括号，移项合并整理后，根据解有无限多个解确定出m与n的值即可． 【解答】解：方程去括号得：3mx+15m＝（4n﹣1）x﹣3， 移项合并得：（3m﹣4n+1）x＝﹣3﹣15m， 由方程有无限多个解，得到， 解得：． 【点评】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 例6．如果是方程mx2+y2＝xy的一个解，那么m＝　﹣　． 【分析】依据方程的解概念，将方程的解代入方程进行计算，即可得到m的值． 【解答】解：把方程的解代入方程mx2+y2＝xy，可得 4m+1＝﹣2， ∴4m＝﹣3， 解得m＝﹣， 故答案为：﹣． 【点评】本题考查了二元一次方程的解，方程的解就是满足方程的未知数的值，把解代入方程即可． 三．含字母系数的一元二次方程（共10小题） 例7．m为何值时，关于x的方程3（m﹣1）x2﹣4mx+（m﹣3）＝0 （1）两个正根 （2）一正一负两根 （3）两根都大于1． 【分析】（1）直接利用根与系数的关系得出关于k的不等式进而求出即可； （2）利用根与系数的关系以及根的判别式得出关于k的不等式进而求出即可； （3）根据两根分别减1后，两根都为正，然后利用根与系数的关系及根的判别式，即可求出k的取值范围． 【解答】解：（1）由题意可得， ， 解得，m＞3或m＜0， 即当m＞3或m＜0时，方程3（m﹣1）x2﹣4mx+（m﹣3）＝0有两个正根； （2）由题意可得， ，解得：1＜m＜3； 即当1＜m＜3时，方程3（m﹣1）x2﹣4mx+（m﹣3）＝0有一正一负两根； （3）根据题意，得：， 即，解得：﹣6+3≤m≤1， 即当﹣6+3≤m≤1时，方程3（m﹣1）x2﹣4mx+（m﹣3）＝0有两根都大于1． 【点评】本题主要考查根与系数分关系，解决此类题目的关键是能熟练运用根与系数的关系，及根的判别式． 例8．当m为何值时，关于x的方程（m+1）x|m﹣1|+（m﹣3）x＝5． （1）为一元二次方程； （2）为一元一次方程． 【分析】（1）根据一元二次方程的定义，可得答案； （2）根据一元一次方程的定义，可得答案． 【解答】解：（1）由关于x的方程（m+1）x|m﹣1|+（m﹣3）x＝5一元二次方程，得 ， 解得m＝3． 当m＝3时，关于x的方程（m+1）x|m﹣1|+（m﹣3）x＝5的一元二次方程； （2）由关于x的方程（m+1）x|m﹣1|+（m﹣3）x＝5的一元一次方程，得 m+1＝0或， 解得m＝﹣1或m＝0，m＝2， 当m＝﹣1或m＝0，m＝2时，关于x的方程（m+1）x|m﹣1|+（m﹣3）x＝5的一元一次方程． 【点评】本题考查了一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 例9．已知：关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2mx+m+3＝0．当m为何值时，方程有两个实数根？ 【分析】（m﹣1）x2﹣2mx+m+3＝0，方程有两个实数根，从而得出△≥0，即可解出m的范围． 【解答】解：∵方程有两个实数根，∴△≥0； （﹣2m）2﹣4（m﹣1）（m+3）≥0； ∴； 又∵方程是一元二次方程，∴m﹣1≠0； 解得m≠1； ∴当且m≠1时方程有两个实数根． 【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系： （1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根； （2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根； （3）Δ＜0⇔方程没有实数根． 例10．已知关于x的方程（m﹣1）x2+（m﹣2）x﹣2m+1＝0 （1）m为何值时，此方程是一元一次方程？求出该一元一次方程的解； （2）m为何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项． 【分析】（1）当二次项系数为0，一次项系数不为0时，方程为一元一次方程； （2）当二次项系数不为0时，方程是一元二次方程． 【解答】解：（1）若关于x的方程（m﹣1）x2+（m﹣2）x﹣2m+1＝0是一元一次方程， 则当m﹣1＝0且m﹣2≠0， 解得m＝1． 当m＝1时，关于x的方程（m﹣1）x2+（m﹣2）x﹣2m+1＝0是一元一次方程； 当m＝1时，原方程变形为﹣x﹣2+1＝0 解得x＝﹣1． （2）当m≠1时，关于x的方程（m﹣1）x2+（m﹣2）x﹣2m+1＝0是一元二次方程， 此时该方程的二次项系数为：m﹣1， 一次项系数为m﹣2， 常数项为﹣2m+1． 【点评】本题考查了一元二次方程、一元一次方程的定义及一元一次方程的解法，难度不大．掌握一元一次方程及一元二次方程的相关定义是解决本题的关键． 【过关演练】 30min. 【结合针对性的有效练习，让学生达到知识点在考试中的熟练应用，适应考试题型的变化，进一步的明确考试逻辑，精准把握考点。】 1．二元二次方程组的解的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】先将第1个方程变形为x+2y＝0，x﹣y＝0，从而得到两个二元二次方程组，再分别判断解的个数即可． 【解答】解：， 由①得：（x+2y）（x﹣y）＝0， x+2y＝0，x﹣y＝0， 与方程②组成新的方程组得： ，， 第一个方程组无解，第二个方程组有两个解， 所以原方程组有两个解， 故选：B． 【点评】本题考查的是高次方程，关键是通过分解，把高次方程降次，得到二元一次方程组，用到的知识点是因式分解、代入法． 2．方程组的解为 　，，，　． 【分析】先求出方程组中每个一元二次方程的解，再得出原方程组的解即可． 【解答】解：， 解方程①，得x＝﹣或1， 解方程②，得y＝或﹣1， 所以原方程组的解是，，，， 故答案为：，，，． 【点评】本题考查了解高次方程组和解一元二次方程，能求出一元二次方程的解是解此题的关键． 3．若m、n是有理数，关于x的方程3m（2x﹣1）﹣n＝3（2﹣n）x有至少两个不同的解，则另一个关于x的方程（m+n）x+3＝4x+m的解的情况是（　　） A．有至少两个不同的解 B．有无限多个解 C．只有一个解 D．无解 【分析】首先解方程3m（2x﹣1）﹣n＝3（2﹣n）x，可得：（6m+3n﹣6）x＝3m+n，再根据方程有两个解的条件可得到m，n的值，然后代入方程（m+n）x+3＝4x+m中即可知道其解的情况． 【解答】解：解方程3m（2x﹣1）﹣n＝3（2﹣n）x 可得：（6m+3n﹣6）x＝3m+n ∵有至少两个不同的解， ∴6m+3n﹣6＝3m+n＝0， 即m＝﹣2，n＝6， 把m＝﹣2，n＝6代入（m+n）x+3＝4x+m中得：4x+3＝4x+m， ∴方程（m+n）x+3＝4x+m无解． 故选：D． 【点评】此题主要考查了解含字母系数的一元一次方程，关键是根据解的情况判断字母系数的值． 4．m为何值时，关于x的方程mx2+（2m+3）x+（m+5）＝0有唯一的根，并求这个根． 【分析】需要分类讨论：原方程是一元一次方程和一元二次方程两种情况．根据一次函数的定义得到m＝0；由根的判别式得到关于m的方程，通过解方程求得m的值，然后解原方程即可． 【解答】解：①当m＝0时，原方程是一元一次方程，此时3x+5＝0，x＝﹣． ②当m≠0时，Δ＝（2m+3）2﹣4m（m+5）＝0， 解得m＝． 此时x2+x+＝0，x＝﹣． 综上所述，该方程的根为x＝﹣或x＝﹣． 【点评】考查了一元一次方程的解，根的判别式，解题时，需要进行分类讨论，以防漏解或错解． 5．当m为何值时，关于x的方程（m+）+2（m﹣1）x﹣1＝0是一元二次方程？ 【分析】根据一元二次方程的定义得到m2﹣1＝2且m+≠0，由此求得m的值． 【解答】解：依题意得：m2﹣1＝2且m+≠0， 解得：m＝． 【点评】本题考查了一元二次方程的定义．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点． 6．已知关于x的方程（m+1）x2+2mx+（m﹣3）＝0有实数根． （1）求m的取值范围； （2）m为何值时，方程有两个相等的实数根？并求出这两个实数根． 【分析】（1）根据方程有实数根，分两种情况讨论：m+1＝0时，方程即为﹣2x﹣4＝0，必有实数根；m+1≠0时，Δ＝b2﹣4ac＝（2m）2﹣4×（m+1）×（m﹣3）＝8m+12≥0，解不等式即可； （2）根据方程有两个相等的实数根，可得Δ＝b2﹣4ac＝（2m）2﹣4×（m+1）×（m﹣3）＝8m+12＝0，解方程可得m的值，再把m的值代入方程（m+1）x2+2mx+（m﹣3）＝0，解一元二次方程即可． 【解答】解：（1）关于x的方程（m+1）x2+2mx+（m﹣3）＝0有实数根，分两种情况讨论： ①m+1＝0即m＝﹣1时，是一元一次方程，此时方程即为﹣2x﹣4＝0，必有实数根； ②m+1≠0时，是一元二次方程， Δ＝b2﹣4ac＝（2m）2﹣4×（m+1）×（m﹣3）＝8m+12≥0， 解得：m≥﹣且m≠﹣1； 综上可知，当m≥﹣时，方程（m+1）x2+2mx+（m﹣3）＝0有实数根； （2）∵关于x的方程（m﹣1）x2+（2m﹣1）x+m﹣2＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（2m）2﹣4×（m+1）×（m﹣3）＝8m+12＝0， 解得：m＝﹣， ∴方程变为：﹣x2﹣3x﹣＝0， 两边同时乘以﹣2得：x2+6x+9＝0， 解得x1＝x2＝﹣3． 【点评】此题主要考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系，以及一元二次方程的解法，关键是掌握： （1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根； （2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根； （3）Δ＜0⇔方程没有实数根． 【拓展进阶】 20min. 【知识点的延伸拓展，整体拔高学生知识结构，寻求考试中的难题高分突破途径。需要结合实际情况（班级水平、教学进度等）进行选择性教学，提高班和培优班必选。】 例1．当m为何值时，关于x的方程x2﹣2mx+（m﹣1）2＝0有两个不相等的实数根？并求出这时方程的根（用含m的代数式表示）． 【分析】根据方程有两个不相等的实数根，可得Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2m）2﹣4×（m﹣1）2＝8m﹣4＞0，解不等式即可求得m的取值；然后利用配方法解方程即可． 【解答】解：∵关于x的方程x2﹣2mx+（m﹣1）2＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2m）2﹣4×（m﹣1）2＝8m﹣4＞0， 解得：m＞； ∵x2﹣2mx+（m﹣1）2＝0， ∴x2﹣2mx+m2﹣2m+1＝0， ∴（x﹣m）2＝2m﹣1， ∵m＞， ∴x﹣m＝± ∴x1＝m+，x2＝m﹣． 【点评】此题主要考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系，以及一元二次方程的解法，关键是掌握： （1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根； （2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根； （3）Δ＜0⇔方程没有实数根． 例2．（x3﹣3x2+x﹣2）（x3﹣x2﹣4x+7）+6x2﹣15x+18＝0． 【分析】设A＝x3﹣2x2﹣x+，B＝x2﹣x+，则原方程可化为：（A﹣B）（A+B）+6B﹣9＝0，利用因式分解法解方程可得：A+B﹣3＝0或A﹣B+3＝0，分别代入解方程可得结论． 【解答】解：设A＝x3﹣2x2﹣x+，B＝x2﹣x+， 则原方程可化为：（A﹣B）（A+B）+6B﹣9＝0， A2﹣（B2﹣6B+9）＝0， （A+B﹣3）（A﹣B+3）＝0， A+B﹣3＝0或A﹣B+3＝0， 若A+B﹣3＝0，则x3﹣2x2﹣x++x2﹣x+﹣3＝0， x3﹣x2﹣4x+4＝0， x2（x﹣1）﹣4（x﹣1）＝0， （x﹣1）（x2﹣4）＝0， x1＝1，x2＝±2， 若A﹣B+3＝0，则x3﹣2x2﹣x+﹣x2+x﹣+3＝0， x3﹣3x2+x+1＝0， x3﹣x2﹣（2x2﹣x﹣1）＝0， x2（x﹣1）﹣（x﹣1）（2x+1）＝0， （x﹣1）（x2﹣2x﹣1）＝0， x1＝1，x2＝1， 所以，原方程的解为：x1＝1，x2＝2，x3＝﹣2，x4＝1+，x5＝1﹣． 【点评】本题考查了一元二次方程的解法，换元法及利用分组分解因式解高次方程．掌握一元二次方程的解法是解决本题的关键． 例3．设m是满足不等式1≤m≤50的正整数，关于x的二次方程（x﹣2）2+（a﹣m）2＝2mx+a2﹣2am的两根都是正整数，求m的值． 【分析】首先把方程进行整理，根据方程有两个正整数根，说明根的判别式Δ＝b2﹣4ac≥0，由此可以求出m的取值范围，然后根据方程有两个正整数根确定m的值． 【解答】解：将方程整理得：x2﹣（2m+4）x+m2+4＝0， ∴x＝＝2+m±2， ∵x，m均是整数且1≤m≤50， ∴m为完全平方数即可， ∴m＝1、4、9、16、25、36、49． 【点评】此题主要考查了含字母系数的一元二次方程，一元二次方程根的情况与判别式△的关系： （1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根； （2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根； （3）Δ＜0⇔方程没有实数根． 正确确定m的范围，并进行正确的检验是解决本题的关键． 【温故知新】 40min. 【针对本节课内容进行学习总结，帮助学生养成良好的学习总结归纳习惯，并对新知识点进行引入，引导学生良好地完成下一节课的课前预习。】 题组A 基础过关练 一．选择题 1．设a、b为不超过10的自然数，那么，使方程ax＝b的解大于且小于的a、b的组数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．1 【分析】通过解方程求得x的值．然后将与转化为同分子的分数，这样便于确定分母a的取值；最后根据方程ax＝b的解介于与之间的分数，从而求得相应的b值． 【解答】解：∵a、b是自然数， ∴由方程ax＝b，得 x＝； 又∵＜＜，a、b为不超过10的自然数， ∴满足条件的a、b的值分别是：或． ∴使方程ax＝b的解大于且小于的a、b的组数是2组； 故选：A． 【点评】本题考查了含字母系数的一元一次方程的求法．解答该题的关键是将与转化为同分子的分数后确定分母a的取值范围． 2．若不论k取什么实数，关于x的方程（m，n是常数）的解总是x＝1，则m+n的值为（　　） A． B． C． D．﹣ 【分析】把x＝1代入方程，整理后根据无论k为何值时．它的解总是x＝1，求出m与n的值即可． 【解答】解：把x＝1代入方程＝2+，得： ＝2+， 去分母，得：4k+2m＝12+1﹣nk， 即（n+4）k+2m﹣13＝0， 由无论k为何值时，方程＝2+的解总是x＝1， 得到n+4＝0，即n＝﹣4，2m﹣13＝0，即m＝， 则m+n＝+（﹣4）＝． 故选：A． 【点评】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 3．下列方程中，是二项方程的是（　　） A．x3+8＝0 B．﹣16＝0 C．x3+x＝1 D．x2＝y2 【分析】根据二项方程的定义，逐个判断得结论． 【解答】解：二项方程需满足： ①方程是整式方程， ②方程只含有一个未知数， ③方程共两项，三个条件． ∵方程A满足二项方程的条件， 故选项A是二项方程； 方程B不满足条件①， 方程C不满足条件③， 方程D不满足条件②， 故选项B、C、D不是二项方程． 故选：A． 【点评】本题考查了高次方程，掌握二项方程的定义是解决本题的关键． 4．将关于x的一元二次方程x2﹣px+q＝0变形为x2＝px﹣q，就可以将x2表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如x3＝x⋅x2＝x（px﹣q）＝…，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：x2﹣x﹣1＝0，且x＞0，则x3﹣2x2+2x+1的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】由题可知x2＝x+1，将所求式子变形为x（x+1）﹣2（x+1）+2x+1再求解即可． 【解答】解：∵x2﹣x﹣1＝0， ∴x2＝x+1， ∴x3﹣2x2+2x+1 ＝x（x+1）﹣2（x+1）+2x+1 ＝x2+x﹣2x﹣2+2x+1 ＝x2+x﹣1 ＝（x+1）+x﹣1 ＝2x， ∵x2﹣x﹣1＝0的根为x＝或x＝， ∵x＞0， ∴x＝， ∴x3﹣2x2+2x+1＝1+， 故选：B． 【点评】本题考查高次方程的解，理解题中所给降次的方法，灵活降次，准确求一元二次方程的根是解题的关键． 5．方程x3﹣4x＝0的解是（　　） A．2或0 B．±2或0 C．2 D．﹣2或0 【分析】用因式分解的方法求解即可． 【解答】解：x3﹣4x＝0， ∴x（x2﹣4）＝0． ∴x（x+2）（x﹣2）＝0． ∴x＝0或x+2＝0或x﹣2＝0． ∴x1＝0，x2＝﹣2，x3＝2． 故选：B． 【点评】本题考查了高次方程，掌握因式分解的方法是解决本题的关键． 二．填空题 6．二项方程x4﹣8＝0的实数根是　x＝±2　． 【分析】先求x2的解，再求实数根即可． 【解答】解：x4﹣8＝0． ∴． ∴x2＝4（负值舍去）． ∴x＝±2． 故答案为：x＝±2． 【点评】本题考查高次方程的解法，关键在于降次，利用开平方即可降次是关键． 7．方程组的解是　　． 【分析】把方程组中的②变形后代入①，得到一元一次方程，求解并代入方程组求出另一个未知数的值． 【解答】解：， 由②，得x＝y﹣1③， 把③代入①，得（y﹣1）2﹣y2＝3， 整理，得﹣2y＝2， 解，得y＝﹣1． 把y＝﹣1代入③，得x＝﹣2． 所以原方程组的解为． 故答案为：． 【点评】本题考查了二次方程组的解法，掌握代入法是解决本题的关键． 8．方程组的解是　　． 【分析】将x2﹣y2＝0改写成两个等式，再与x+2y＝3组成新方程组，即可求解． 【解答】解：∵x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）． ∴x2﹣y2＝0可改写成：x+y＝0或者x﹣y＝0． ∴方程组可以改写为：或者． 解得：． 故答案为：． 【点评】本题考查的高次方程的解法，关键在于降次，构建我们已经学习过的知识进行求解． 9．方程组的解为　　． 【分析】根据题意先对第一个式子因式分解，求出x+y的值，即可求解了． 【解答】解：∵x2+y2＝（x+y）（x﹣y）． ∴将x﹣y＝1代入． ∴x+y＝3． ∴． ∴． 故答案为：． 【点评】本题考查高次方程的解法，运用了因式分解的知识，关键在于运用因式分解进行降次． 10.y5＝32，那么实数y的值为　2　． 【分析】由y5＝32得，y5＝25，所以y＝2． 【解答】解：由y5＝32得， y5＝25， 所以y＝2， 故答案为2． 【点评】本题考查了幂的运算，熟练运用公式是解题的关键． 三．解答题（共5小题） 11．解方程组：． 【分析】将每个方程分解因式，降次后得到两个方程，将它们重新组合，解出组合后的方程组即可得答案． 【解答】解：x2﹣9y2＝0等价于x+3y＝0或x﹣3y＝0， x2+4xy+4y2＝9等价于x+2y+3＝0或x+2y﹣3＝0， ∴原方程组的解即是以下四个方程组的解：①，②，③，④， 解①②③④分别得，，，， ∴原方程组的解为：，，，． 【点评】本题考查解二元二次方程组，将每个方程因式分解，化为两个一次方程是解题的关键． 12．已知关于x的方程：（2+k）x2+2kx+（k+1）＝0． （1）如果此方程只有一个实数根，求k的值； （2）如果此方程有两个实数根，求k的取值范围； （3）如果此方程无实数根，求k的取值范围． 【分析】（1）根据二次项系数为0，一次项系数不为0，列不等式求解即可； （2）根据二次项系数不为0，根的判别式是非负数，列不等式求解即可； （3）根据二次项系数不为0，根的判别式是负数，列不等式求解即可． 【解答】解：（1）当方程是一次方程时，方程只有一个实数根， 此时2+k＝0，解得k＝﹣2 当k＝﹣2时，2k＝﹣4≠0， 即方程只有一个实数根，k的为：k＝﹣2时； （2）若方程有两个实数根，需满足： Δ＝（2k）2﹣4（2+k）（k+1）≥0，且2+k≠0 解得：k≤﹣且k≠﹣2； 即方程有两个实数根，k的取值范围为：k≤﹣且k≠﹣2； （3）当Δ＜0时，方程无实数根， 即（2k）2﹣4（2+k）（k+1）＜0， 解得：k＞﹣． 即方程无实数根，k的取值范围为：k＞﹣． 【点评】本题考查了根的判别式及不等式的解法．理解方程解的情况是解决本题的关键．一般一元一次方程有一个解，一元二次方程有两个实数解或没有实数解． 题组B 能力提升练 一．选择题（共1小题） 1．二元二次方程组的解的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】先将第1个方程变形为x+2y＝0，x﹣y＝0，从而得到两个二元二次方程组，再分别判断解的个数即可． 【解答】解：， 由①得：（x+2y）（x﹣y）＝0， x+2y＝0，x﹣y＝0， 与方程②组成新的方程组得： ，， 第一个方程组无解，第二个方程组有两个解， 所以原方程组有两个解， 故选：B． 【点评】本题考查的是高次方程，关键是通过分解，把高次方程降次，得到二元一次方程组，用到的知识点是因式分解、代入法． 二．填空题（共4小题） 2．关于x、y的方程组有实数解，则m的取值范围是 　m≥　． 【分析】由①得出x＝m+y③，把③代入②得出y2﹣2（m+y）+3y+4＝0，整理后得出y2+y+（4﹣2m）＝0，根据已知方程组有实数根和根的判别式得出12﹣4×1×（4﹣2m）≥0，求出不等式的解集即可． 【解答】解：， 由①，得x＝m+y③， 把③代入②，得y2﹣2（m+y）+3y+4＝0， 整理得：y2+y+（4﹣2m）＝0， ∵关于x、y的方程组有实数解， ∴12﹣4×1×（4﹣2m）≥0， 解得：m≥， 故答案为：m≥． 【点评】本题考查了解二元一次方程组，根的判别式，解一元一次不等式等知识点，能把方程组转化成一元二次方程是解此题的关键． 3．方程x4﹣8＝0的根是　±2　 【分析】移项，系数化成1，再开方即可． 【解答】解：x4﹣8＝0， x4＝8， x4＝16， 开方得：x2＝4， 开方得：x＝±2， 故答案为±2． 【点评】本题考查了解高次方程，能把高次方程转化成低次方程是解此题的关键． 4．方程组的解是　或　． 【分析】根据代入消元法解方程组即可得到结论． 【解答】解：方程组， 由①得，y＝2﹣x③， 把③代入②得，x（2﹣x）＝﹣3， 解得：x1＝3，x2＝﹣1， 把x1＝3，x2＝﹣1分别代入③得，y1＝﹣1，y2＝3， ∴原方程组的解为：或． 故答案为：或． 【点评】本题考查了高次方程：通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解．所以解高次方程一般要降次，即把它转化成二次方程或一次方程．也有的通过因式分解来解． 5．方程x3﹣27＝0的根是　x＝3　． 【分析】先移项，再开立方即可． 【解答】解：x3﹣27＝0， x3＝27， x＝＝3， 故答案为：x＝3． 【点评】本题考查了解高次方程，能把高次方程转化成低次方程是解此题的关键． 三．解答题（共7小题） 6．解方程组：． 【分析】根据代入法得到方程13x2﹣8x•＝﹣3，可求x1＝3，x2＝1，代入计算可求y的值，从而求解． 【解答】解：， 由①，得y＝③， 把③代入②，得13x2﹣8x•＝﹣3， 解得：x1＝3，x2＝1， 当x1＝3时，y1＝＝5； 当x2＝1时，y2＝＝2， 所以原方程组的解是，． 【点评】本题考查了解高次方程组和解一元二次方程，能把解高次方程组转化成解一元二次方程是解此题的关键． 7．解方程组：． 【分析】由②得出（x+2y）（x﹣y）＝0，求出x+2y＝0或x﹣y＝0③，由③和①组成两个二元一次方程组，，求出方程组的解即可． 【解答】解：， 由②，得（x+2y）（x﹣y）＝0， x+2y＝0或x﹣y＝0③， 由③和①组成方程组，， 解得：，， 所以原方程组的解是，． 【点评】本题考查了解高次方程组和解二元一次方程组，能把解高次方程组转化成解二元一次方程组是解此题的关键． 8．解方程组：． 【分析】分解②得两个二元一次方程，与①组成新的方程组，求解即可． 【解答】解：由②，得（x﹣6y）（x+y）＝0， 所以x﹣6y＝0③，x+y＝0④． 由①③、①④组成新的方程组，得 或． 解这两个方程组，得，． 所以原方程组的解为，． 【点评】本题考查了高次方程，掌握整式的因式分解和二元一次方程组的解法是解决本题的关键． 9．解方程组：． 【分析】利用完全平方公式，把组中的方程②转化为两个二元一次方程，与组中的①组成新的二元一次方程组，求解即可． 【解答】解：， 由②得（x﹣2y）2＝9， ∴x﹣2y＝3③或x﹣2y＝﹣3④． 由①③、①④组成新的方程组或， 解这两个方程组，得，． ∴原方程组的解为：，． 【点评】本题考查了高次方程，掌握完全平方公式、平方根的意义和二元一次方程组的解法是解决本题的关键． 题组C 培优拔尖练 1．解方程组：． 【分析】因式分解方程组中的①，得到两个一次方程，它与方程组中的②组成新的方程组，利用代入法求解即可． 【解答】解：， 由①得（x﹣2y）（x﹣3y）＝0． ∴x﹣2y＝0③或x﹣3y＝0④． 由②③组成新的方程组， 把③代入②，得4y2+2y+y2﹣11y＝2， 解得，y1＝﹣，y2＝2． ∴x1＝﹣，x2＝4． ∴，； 由②④组成新的方程组， 解这个方程组得，． 所以原方程组的解为：，，，． 【点评】本题主要考查了高次方程，掌握一元二次方程的解法，能把两个二元二次方程组成的方程组转化为由一个二元一次和一个二元二次方程组成的方程组是解决本题的关键． 2．（x3﹣3x2+x﹣2）（x3﹣x2﹣4x+7）+6x2﹣15x+18＝0． 【分析】设A＝x3﹣2x2﹣x+，B＝x2﹣x+，则原方程可化为：（A﹣B）（A+B）+6B﹣9＝0，利用因式分解法解方程可得：A+B﹣3＝0或A﹣B+3＝0，分别代入解方程可得结论． 【解答】解：设A＝x3﹣2x2﹣x+，B＝x2﹣x+， 则原方程可化为：（A﹣B）（A+B）+6B﹣9＝0， A2﹣（B2﹣6B+9）＝0， （A+B﹣3）（A﹣B+3）＝0， A+B﹣3＝0或A﹣B+3＝0， 若A+B﹣3＝0，则x3﹣2x2﹣x++x2﹣x+﹣3＝0， x3﹣x2﹣4x+4＝0， x2（x﹣1）﹣4（x﹣1）＝0， （x﹣1）（x2﹣4）＝0， x1＝1，x2＝±2， 若A﹣B+3＝0，则x3﹣2x2﹣x+﹣x2+x﹣+3＝0， x3﹣3x2+x+1＝0， x3﹣x2﹣（2x2﹣x﹣1）＝0， x2（x﹣1）﹣（x﹣1）（2x+1）＝0， （x﹣1）（x2﹣2x﹣1）＝0， x1＝1，x2＝1， 所以，原方程的解为：x1＝1，x2＝2，x3＝﹣2，x4＝1+，x5＝1﹣． 【点评】本题考查了一元二次方程的解法，换元法及利用分组分解因式解高次方程．掌握一元二次方程的解法是解决本题的关键． 3．已知方程组（x、y为未知数）有两个不同的实数解或． （1）求实数k的取值范围； （2）如果y1y2+＝3，求实数k的值． 【分析】（1）首先把y＝k（2x﹣1）代入kx2﹣x﹣y+＝0，可得kx2﹣（2k+1）x+k+＝0；然后根据方程组（x、y为未知数）有两个不同的实数解，可得k≠0，且Δ＞0，据此求出k的取值范围是多少即可； （2）首先根据韦达定理，可得，，然后根据y1y2+＝3，可得k2+2＝3，据此求出k的值是多少即可． 【解答】解：（1）把y＝k（2x﹣1）代入kx2﹣x﹣y+＝0， 可得kx2﹣（2k+1）x+k+＝0， ∵方程组（x、y为未知数）有两个不同的实数解， ∴k≠0，且Δ＞0， 即k≠0，且[﹣（2k+1）]2﹣4k（k+）＞0， ∴k≠0，且2k+1＞0， 解得k，且k≠0， 即实数k的取值范围是k，且k≠0． （2），， ∵y＝k（2x﹣1）， ∴y1y2+ ＝k2（2x1﹣1）（2x2﹣1） ＝k2[+1]+＝3 整理得：k2+2＝3， 解得：k＝±1， ∵k，且k≠0． ∴k＝1． 【点评】（1）此题主要考查了高次方程的求解，解答此题的关键是要明确高次方程的解法思想：通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解． （2）此题还考查了根的判别式的应用，考查了分类讨论思想的应用，解答此题的关键是要明确：①当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当Δ＜0时，方程无实数根． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$