精品解析：辽宁省沈阳市沈北新区2024-2025学年上学期九年级质量监测（二）数学试题

沈北新区2024—2025学年度上学期质量监测（二） 九年级数学试卷 （考试时间120分钟，试卷满分120分） 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 一元二次方程的根是（    ） A. B. 5 C. 2或–5 D. 或5 2. 将抛物线的图象先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线的解析式是（ ） A. B. C D. 3. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 2 4. 如图是“小孔成像”实验示意图．已知蜡烛与有小孔的纸板之间水平距离为，当蜡烛火焰的高度是它的像高度的一半时，蜡虫与光屏之间水平距离为（ ） A. B. C. D. 5. 抛物线与x轴只有一个交点，则c的值为（ ） A. 9 B. C. D. 6. 已知点都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点D在x轴上，边在y轴上，若点A的坐标为，则C点的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，中，为边上一点，平分，过点作，与交于点，作，与交于点，连接．则以下结论中错误的是（ ） A. 四边形是菱形 B 与互相垂直且平分 C. 当时，四边形是菱形 D. 若时，则四边形是正方形 9. 如图，在等边三角形中，点，分别在，上，且，则下列不正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，D是的中点，点F在上，连接并延长交于点E，若，，则的长为（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 计算：__________． 12. 如图，在一块长，宽为的矩形地面内（两条道路分别与矩形的一条边平行），余下的铺上草坪，要使草坪的面积达到，设道路的宽为，根据题意列方程_______． 13. 在桌面上放有四张背面完全一样的卡片，卡片正面分别标有数字，0，，4．把四张卡片背面朝上，随机抽取一张，记下数字后放回洗匀，再从中随机抽取一张．则两次抽取卡片上的数字之积为负数的概率是__________． 14. 如图，，是函数与的图象的两个交点，过点作轴于点，过点作轴于点，连接，，则四边形的面积为_____________． 15. 如图，在中，，，，平分交于点，则线段的长为___________． 三、解答题 16. 用合适的方法解下列方程： （1）； （2）．（用配方法） 17. “秋风起，蟹脚痒”，随着大闸蟹的大量上市，某大闸蟹销售公司前三个月的月销售利润逐月增长，第1个月的销售利润为20万元，第3个月的销售利润为万元．假设从第1个月到第3个月每月销售销钩利润的平均增长率相同． （1）求从第1个月到第3个月每月销售利润的平均增长率； （2）进入第4个月，大闸蟹产量逐渐下降，第4个月的销售利润比第3个月的销售利润下降了，求从第1个月到第4个月的销售利润之和． 18. 如图，在中，点D，E，F分别在边，，上，连接，，，与交于点G．已知四边形平行四边形，且． （1）若，求线段，的长． （2）若四边形的面积为48，求的面积． 19. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，反比例函数图象分别与交于点和点，且点为的中点． （1）求反比例函数表达式和点的坐标； （2）若一次函数与反比例函数的图象相交于点，当点在反比例函数图象上D，E之间的部分时（点可与点D，E重合），直接写出的取值范围． 20. 【定义】若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：，，等都是“三倍点”． 【背景】已知二次函数（为常数）， （1）若记“三倍点”的横坐标为，则点的坐标可表示为 ；（用的代数式表示） （2）若该函数经过点； ①求出该函数图象上的“三倍点”坐标； ②在范围中，记二次函数的最大值为，最小值为，求的值． 21. 随着城镇化建设的加快，高层建筑逐渐增多了，为防患于未然，更快更有效预防火灾，开辟新的救援通道，某城市消防中队新增添一台高空消防救援车．图1是高空救援消防车实物图，图2是其侧面示意图，点O，A，C在同一直线上，可绕着点O旋转，为云梯的液压杆，点O，B，D在同一水平线上，其中可伸缩，已知套管米，且套管的长度不变，现对高空救援消防车进行调试，测得，． （1）求此时液压杆的长度； （2）若消防人员在云梯末端工作台点C处高空救援时，将伸长到最大长度，云梯绕着点O逆时针旋转，即，过点作，垂足为G，过点C作，垂足为E，，垂足为H．如图3，测得铅直高度升高了3米（即），求伸长到的最大长度．（参考数据：，，，，，） 22. 如图，抛物线经过、、三点，对称轴与抛物线相交于点，与直线相交于点，连接，． （1）求该抛物线的解析式； （2）设对称轴与轴交于点，在对称轴上是否存在点，使以、、为顶点的三角形与相似？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由； （3）抛物线上是否存在一点，使与的面积相等，若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 23. 如图，正方形中，点在对角线上，点在的延长线上，且，过点作于，直线分别交、于、． （1）求证：点为的中点； （2）若，，求的长； （3）求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 沈北新区2024—2025学年度上学期质量监测（二） 九年级数学试卷 （考试时间120分钟，试卷满分120分） 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 一元二次方程的根是（    ） A. B. 5 C. 2或–5 D. 或5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，因式分解法解方程即可． 【详解】解：， ∴或， ∴； 故选D． 2. 将抛物线的图象先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用函数图象的平移规律即可求解． 【详解】解：将抛物线的图象先向右平移3个单位得到：， 再向上平移4个单位得到：， 故选D． 【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，熟练掌握其平移规律是解题的关键． 3. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了比例的基本性质． 根据比例的基本性质将变形为，即可得到的值． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ 故选：C． 4. 如图是“小孔成像”实验示意图．已知蜡烛与有小孔的纸板之间水平距离为，当蜡烛火焰的高度是它的像高度的一半时，蜡虫与光屏之间水平距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查相似三角形性质．根据题意列出比例式即可得到本题答案． 【详解】解：∵蜡烛与有小孔的纸板之间水平距离为，当蜡烛火焰的高度是它的像高度的一半时， ∴， 设蜡虫与光屏之间水平距离为， ∴，解得：， 故选：A． 5. 抛物线与x轴只有一个交点，则c的值为（ ） A. 9 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与坐标轴交点问题、根的判别式等知识点，掌握一元二次方程根的判别式成为解题的关键． 根据题意可得方程有两个相等的实数根，再根据根的判别式列方程计算即可． 【详解】解：∵与x轴只有一个交点， ∴方程有两个相等的实数根， ∴，解得：． 故答案为：A． 6. 已知点都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了比较反比例函数值的大小，根据解析式可判断反比例函数经过的象限以及在每个象限内的增减性，据此可得答案． 【详解】解：∵反比例函数解析式为，， ∴反比例函数图象经过第一、三象限，且在每个象限内y随x增大而减小， ∵点都在反比例函数的图象上，， ∴， 故选：A． 7. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点D在x轴上，边在y轴上，若点A的坐标为，则C点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据菱形的性质和点A的坐标，得到，，再利用勾股定理，求得，即可得到点C的坐标． 【详解】解：四边形是菱形， ，， 边在y轴上， 轴， 轴， 点A的坐标为， ，， 在中，， C点的坐标为， 故选C． 【点睛】本题考查了菱形的性质，点到坐标轴的距离，勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质是解题关键． 8. 如图，中，为边上一点，平分，过点作，与交于点，作，与交于点，连接．则以下结论中错误的是（ ） A. 四边形是菱形 B. 与互相垂直且平分 C. 当时，四边形是菱形 D. 若时，则四边形是正方形 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的判定与性质、正方形的判定、三角形中位线的判定与性质、平行四边形的判定等知识点，掌握菱形的判定与性质成为解题的关键． 先判定四边形是菱形可判定A选项；再根据菱形的性质可判定B选项；再根据三角形等腰三角形的性质、三角形的中位线可证明是平行四边形；最后根据有一个内角是直角的菱形是正方形可判定D选项． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是菱形，即A选项正确，不符合题意； ∴与互相垂直且平分，即B选项正确，不符合题意； 当时，由等腰三角形的性质得； ∵四边形是菱形， ∴，； ∴； ∵， ∴， ∴，即， ∴F点是的中点； 同理：得E点是的中点， ∴是的中位线， ∴，； ∵， ∴四边形是平行四边形；故选项C错误，符合题意； ∵四边形是菱形，， ∴四边形是正方形，即选项D正确，不符合题意． 故选C． 9. 如图，在等边三角形中，点，分别在，上，且，则下列不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定与性质，对选项逐个判断即可． 【详解】解：是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ，， ， 故选项A、B、D正确， 故选：C． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，涉及了等边三角形的性质，熟练掌握相关基本性质是解题的关键． 10. 如图，在中，D是的中点，点F在上，连接并延长交于点E，若，，则的长为（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，过点D作，交于H，根据平行线分线段成比例定理得到，计算即可． 【详解】解：过点D作，交于H， 则，， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 计算：__________． 【答案】# 【解析】 【分析】本题主要考查了零指数幂、负整数次幂、特殊角的三角函数值等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键． 先根据零次幂、负整数次幂、特殊角的三角函数值化简，然后再计算即可． 【详解】解： ． 故答案为． 12. 如图，在一块长，宽为的矩形地面内（两条道路分别与矩形的一条边平行），余下的铺上草坪，要使草坪的面积达到，设道路的宽为，根据题意列方程_______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，把四块草坪拼到一起正好构成一个矩形，矩形的长和宽分别是米和米，根据矩形的面积公式，列出关于道路宽的方程求解． 【详解】解：设小路宽为米，则把四块草坪拼到一起正好构成一个矩形，矩形的长和宽分别是米和米， 根据题意得：． 故答案为：． 13. 在桌面上放有四张背面完全一样的卡片，卡片正面分别标有数字，0，，4．把四张卡片背面朝上，随机抽取一张，记下数字后放回洗匀，再从中随机抽取一张．则两次抽取卡片上的数字之积为负数的概率是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法、概率公式，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图，求出相应的概率． 画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与抽到的两张卡片上标有的数字之积为负数的结果，再由概率公式即可求得答案． 【详解】画树状图如图： 共有16个等可能的结果，两次抽取的卡片上的数字之积为负数的结果有4个， ∴两次抽取的卡片上的数字之积为负数的概率为． 故答案为：． 14. 如图，，是函数与的图象的两个交点，过点作轴于点，过点作轴于点，连接，，则四边形的面积为_____________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数的几何意义．根据题意平行四边形的对角线将四边形分为四个小三角形即可求出面积． 【详解】解：根据正比例函数和反比例函数的对称性可知，， ∴的面积都等于， ∴四边形的面积为， 故答案为：2． 15. 如图，在中，，，，平分交于点，则线段的长为___________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，解决问题的关键是作辅助线，将斜三角形划分为直角三角形． 作于，作于，分别解直角三角形求得，和，从而求得，设，在直角三角形中表示出，进而根据列出方程求得，进而求得结果． 【详解】如图， 作于，作于， 在中，， 在中，，， ， 在中，设， 在中，， ， 由得， ， ， ， 故答案为：2． 三、解答题 16. 用合适的方法解下列方程： （1）； （2）．（用配方法） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）利用直接开平方法求解可得； （2）利用配方法求解可得． 【小问1详解】 解： 或 解得：，； 【小问2详解】 解： 解得：， 17. “秋风起，蟹脚痒”，随着大闸蟹的大量上市，某大闸蟹销售公司前三个月的月销售利润逐月增长，第1个月的销售利润为20万元，第3个月的销售利润为万元．假设从第1个月到第3个月每月销售销钩利润的平均增长率相同． （1）求从第1个月到第3个月每月销售利润的平均增长率； （2）进入第4个月，大闸蟹产量逐渐下降，第4个月销售利润比第3个月的销售利润下降了，求从第1个月到第4个月的销售利润之和． 【答案】（1） （2）从第1个月到第4个月的销售利润之和为万元 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用： （1）设从第1个月到第3个月每月销售利润的平均增长率为x，则第2个月的销售利润为万元，第3个月的销售利润为万元，据此列出方程求解即可； （2）先求出第2个月和第4个月的利润，再把四个月的利润求和即可得到答案． 【小问1详解】 解：设从第1个月到第3个月每月销售利润的平均增长率为x， 由题意得，， 解得或（舍去）， 答：从第1个月到第3个月每月销售利润的平均增长率为； 【小问2详解】 解： 万元， 答：从第1个月到第4个月的销售利润之和为万元． 18. 如图，在中，点D，E，F分别在边，，上，连接，，，与交于点G．已知四边形是平行四边形，且． （1）若，求线段，的长． （2）若四边形的面积为48，求的面积． 【答案】（1）， （2）125 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质． （1）根据平行四边形的性质得出，，，即可得，，再根据相似三角形的性质及比例的性质即可； （2）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方及比例的性质即可． 【小问1详解】 解：四边形是平行四边形， ∴，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：，， ， ， ， 四边形的面积为48， ， ∵， ∴， ∴，即， 解得． 19. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，反比例函数的图象分别与交于点和点，且点为的中点． （1）求反比例函数的表达式和点的坐标； （2）若一次函数与反比例函数的图象相交于点，当点在反比例函数图象上D，E之间的部分时（点可与点D，E重合），直接写出的取值范围． 【答案】（1），； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数与反比例函数综合，矩形的性质，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）利用待定系数法求出反比例函数解析式，根据矩形的性质得到，，，再由为的中点得到点B坐标，从而得到点D的横坐标为3，进而求出点E的坐标即可； （2）求出直线恰好经过D和恰好经过E时m的值，即可得到答案． 【小问1详解】 解：反比例函数的图象分别与交于点和点， ， 反比例函数的表达式为 四边形是矩形， ，， 点，且点为的中点． ， ∴点D的横坐标为3， 在中，， ； 【小问2详解】 解：当直线经过点时，则， 解得； 当直线经过点时，则， 解得； ∵一次函数与反比例函数的图象相交于点，当点在反比例函数图象上D，E之间的部分时（点可与点D，E重合） ∴． 20. 【定义】若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：，，等都是“三倍点”． 【背景】已知二次函数（为常数）， （1）若记“三倍点”的横坐标为，则点的坐标可表示为 ；（用的代数式表示） （2）若该函数经过点； ①求出该函数图象上的“三倍点”坐标； ②在范围中，记二次函数的最大值为，最小值为，求的值． 【答案】（1）； （2）①；②． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据“三倍点”的定义即可得解； （2）①先利用待定系数法求出二次函数解析式，再将代入函数解析式计算即可得解；②把二次函数解析式化为顶点式得到，得到，当时，，当时，，得到，即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵“三倍点”的横坐标为， ∴点的坐标可表示为， 故答案为： 【小问2详解】 ①将点代入，得：， 解得：， ∴， 将代入，得：，解得：， ∴函数图象上的“三倍点”坐标为； ②∵， ∴， 当时，， 当时，， ∴， ∴ 21. 随着城镇化建设的加快，高层建筑逐渐增多了，为防患于未然，更快更有效预防火灾，开辟新的救援通道，某城市消防中队新增添一台高空消防救援车．图1是高空救援消防车实物图，图2是其侧面示意图，点O，A，C在同一直线上，可绕着点O旋转，为云梯的液压杆，点O，B，D在同一水平线上，其中可伸缩，已知套管米，且套管的长度不变，现对高空救援消防车进行调试，测得，． （1）求此时液压杆的长度； （2）若消防人员在云梯末端工作台点C处高空救援时，将伸长到最大长度，云梯绕着点O逆时针旋转，即，过点作，垂足为G，过点C作，垂足为E，，垂足为H．如图3，测得铅直高度升高了3米（即），求伸长到最大长度．（参考数据：，，，，，） 【答案】（1）3米 （2）伸长到的最大长度为6米 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，添加辅助线构造直角三角形，是解题的关键． （1）过点作，分别解直角三角形和直角三角形，进行求解即可； （2）易得，旋转得到，解直角三角形得到，，利用，求出的长，再减去的长即可得出结果． 【小问1详解】 解：过点作， 在中，，， ∴， 在中，， ∴； 【小问2详解】 由题意，得：， 在中， ∴， ∴， ， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故：伸长到的最大长度为6米． 22. 如图，抛物线经过、、三点，对称轴与抛物线相交于点，与直线相交于点，连接，． （1）求该抛物线的解析式； （2）设对称轴与轴交于点，在对称轴上是否存在点，使以、、为顶点的三角形与相似？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由； （3）抛物线上是否存在一点，使与的面积相等，若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）存在，或或或；（3）存在，或或. 【解析】 【分析】（1）把三点坐标代入函数式，列式求得，，的值，即求出解析式； （2）求得抛物线顶点和点的坐标，分两种情况根据三角形相似列比例式可得点的坐标； （3）根据三角形面积相等即同底等高即可，故分别求出与过点P与直线BC平行的直线解析式和过点N与直线BC平行的直线解析式，再分别与抛物线的解析式联立方程，解方程组即可求得点． 详解】解：（1）把、、三点代入抛物线解析式得：， 解得：， 所以抛物线的解析式为； （2）存在， 由， 则顶点，对称轴为直线， ∴， ∵、， ∴，， 分两种情况讨论： ①当时， ∴，即， ∴， ∴或， ②当时， ∴，即， ∴， ∴或， 综上，点的坐标为或或或； （3）存在， 设直线的解析式为：， ∴，解得：， ∴直线的解析式为：， 当时，， ∴， ∴设过点与直线平行的直线为：， 将点代入，得， 解得，， ∴过点与直线平行直线解析式为：， 联立，解得：，， ∵， ∴， 设过点与直线平行的直线为：， 同理将点代入，得出过点N与直线平行的直线为：， 联立，解得：，， ∴的坐标为或， 综上，点的坐标为或或． 【点睛】本题为二次函数综合题．考查利用待定系数法求函数解析式，二次函数解析式的顶点式，三角形相似的性质以及一次函数图象与二次函数图象的交点问题，本题较难．利用分类讨论的思想是解答本题的关键． 23. 如图，正方形中，点在对角线上，点在的延长线上，且，过点作于，直线分别交、于、． （1）求证：点为的中点； （2）若，，求的长； （3）求证：． 【答案】（1）见解析； （2）； （3）见解析． 【解析】 【分析】（1）连接．证明，得到，，进一步证明，即是等腰直角三角形，由即可得到结论； （2）由勾股定理求出，又由是等腰直角三角形即可得到答案； （3）在上截取，连接，证明，再证明四边形是平行四边形，得到，由，即可得到结论． 【小问1详解】 解：连接． ∵四边形是正方形， ∴，， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即是等腰直角三角形， 又∵ ∴点为中点； 【小问2详解】 在中， ∵，， ∴， 又∵是等腰直角三角形， ∴； 【小问3详解】 证明：在上截取，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵在和中， ∴， ∴， ∴，即． 又∵于， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形 ∴， ∵， ∴． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、正方形的性质、平行四边形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$