专题01 平行线间拐点的三种常见类型-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学下册同步学与练（人教版2024）

专题1 平行线间拐点的三种常见类型 类型一：猪蹄型 类型二：铅笔型 类型三：鹰嘴型 类型一：猪蹄型 1．如图，若AB∥CD，∠B＝50°，∠D＝65°，则∠P＝（　　） A．45° B．50° C．65° D．115° 2．如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若∠1＝30°，∠2＝50°，则∠3的度数为（　　） A．130° B．140° C．150° D．160° 3．如图，若AB∥CD，则∠B、∠C、∠E三者之间的关系是（　　） A．∠B+∠C+∠E＝180° B．∠B+∠E﹣∠C＝180° C．∠B+∠C﹣∠E＝180° D．∠C+∠E﹣∠B＝180° 4．如图，已知直线AB∥CD，则∠α、∠β、∠γ之间的关系是（　　） A．∠α+∠β﹣2∠γ＝180° B．∠β﹣∠α＝∠γ C．∠α+∠β+∠γ＝360° D．∠β+∠γ﹣∠α＝180° 5．如图，AB∥CD，，，DQ，BQ分别平分∠GDE和∠HBE，则∠DFB，∠DQB满足的数量关系为：　 　． 6．如图，已知直线l1∥l2，l3、l4和l1、l2分别交于点A、B、C、D，点P在直线l3或l4上且不与点A、B、C、D重合．记∠AEP＝∠1，∠PFB＝∠2，∠EPF＝∠3． （1）若点P在图（1）位置时，求证：∠3＝∠1+∠2； （2）若点P在图（2）位置时，写出∠1、∠2、∠3之间的关系并给予证明． 7．已知，如图AB∥CD． ①由图（1）易得∠B、∠BED、∠D的关系 　 　（直接写结论）； ②由图（2）试猜想∠B、∠BED、∠D的关系并说明理由； [延伸拓展] 利用上面（1）（2）得出的结论完成下题： ③已知，AB∥CD，∠EBF＝2∠ABF，∠EDF＝2∠CDF．若∠E＝105°，则∠BFD＝ 　 　°． 8．【模型发现】数学兴趣小组的同学在活动中发现：图①中的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． （1）如图①，AB∥CD，M是AB，CD之间的一点，连接BM，DM，若∠M＝100°，求∠B+∠D的度数； 【灵活运用】 （2）如图②，AB∥CD，M，N是AB，CD之间的两点，当时，请找出∠BMN和∠MNC之间的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图③，AB∥CD，E，F，G均是AB，CD之间的点，如果∠E+∠F＝2∠G＝70°，直接写出∠B+∠D的度数． 类型二：铅笔型 9．如图，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，则∠APC的度数为（　　） A．140° B．130° C．120° D．110° 10．如右图，已知a∥b，∠1＝110°，∠3＝60°，则∠2＝（　　） A．100° B．110° C．120° D．130° 11．生活中常见一种折叠拦道闸，若想求解某些特殊状态下的角度，需抽象为几何图形，如图，AB垂直于地面AE于A，CD平行于地面AE，若∠B＝165°，则∠C的大小为（　　） A．∠C B．105° C．115° D．125° 12．如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，在A，B，C三处经过三次拐弯，此时道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行（即AE∥CD），若∠A＝98°，∠B＝162°，则∠C的度数是 　 　． 13．如图，AB∥CD，BF平分∠ABE，CF平分∠ECD，且∠BFC比∠BEC大10.5°，则∠BEC的度数为 　 　度． 14．如图，AB∥CD，∠BAE＝∠BCD，AE⊥DE，∠ABC＝35°，求∠EDC的度数． 15．（1）如图①，若AB∥CD，易证∠B+∠D＝∠E．不必证明． （2）反之，在图①中，若∠B+∠D＝∠E，直线AB与CD有什么位置关系？请说明理由． （3）若将点E移至图②的位置，此时∠B，∠D，∠E之间有什么关系？请说明理由． （4）在图③中，AB∥CD，∠E+∠G与∠B+∠F+∠D之间有何关系？（直接写出结论即可） （5）如图④，AB∥EF，直接写出∠B+∠C+∠D+∠E＝　 　． 类型三：鹰嘴型 16．如图，AB∥CD，∠DCE的角平分线CG的反向延长线和∠ABE的角平分线BF交于点F，∠E﹣∠F＝33°，则∠E＝（　　） A．57° B．66° C．82° D．94° 17．某同学在研究传统文化“抖空竹”时有一个发现：他把它抽象成数学问题，如图所示．已知AB∥CD，∠BAE＝82°，∠DCE＝120°，则∠E的度数是（　　） A．38° B．44° C．46° D．48° 18．如图，直线a∥b，∠1＝65°，∠B＝45°，则∠2的度数为（　　） A．105° B．110° C．117° D．125° 19．如图，AB∥CD，∠FEN＝2∠BEN，∠FGH＝2∠CGH，则∠F与∠H的数量关系是（　　） A．∠F+∠H＝90° B．∠H＝2∠F C．2∠H﹣∠F＝180° D．3∠H﹣∠F＝180° 20．如图，已知AB∥DE，∠ABC＝75°，∠CDE＝145°，则∠BCD的度数为 　 　°． 21．如图，∠AEC＝80°，在∠AEC的两边上分别过点A和点C向同方向作射线AB和CD，且AB∥CD，若∠EAB和∠ECD的角平分线所在的直线交于点P（P与C不重合），则∠APC的大小为 　 　． 22．在平面内，对于∠P和∠Q，给出如下定义：若存在一个常数t（t＞0），使得∠P+t∠Q＝180°，则称∠Q是∠P的“t系数补角”．例如，∠P＝80°，∠Q＝20°，有∠P+5∠Q＝180°，则∠Q是∠P的“5系数补角”． 【概念理解】 （1）若∠P＝90°，在∠1＝60°，∠2＝45°，∠3＝30°中，∠P的“3系数补角”是 　 　； 【初步认识】 （2）在平面内，AB∥CD，点E为直线AB上一点，点F为直线CD上一点． ①如图1，点G为平面内一点，连接GE，GF，∠DFG＝50°，若∠BEG是∠EGF的“6系数补角”，求∠BEG的大小． 【问题解决】 ②如图2，连接EF．若H为平面内一动点（点H不在直线AB，CD，EF上），∠EFH与∠FEH两个角的平分线交于点M．若∠BEH＝m°，∠DFH＝n°，∠N是∠EMF的“2系数补角”，直接写出∠N的大小的所有情况（用含m和n的代数式表示）． 23．已知AB∥CD，点M、N分别是AB、CD上的点，点G在AB、CD之间，连接MG、NG． （1）如图1，若GM⊥GN，求∠AMG+∠CNG的度数； （2）如图2，若点P是CD下方一点，MG平分∠BMP，ND平分∠GNP，已知∠BMG＝32°，求∠MGN+∠MPN的度数； （3）如图3，若点E是AB上方一点，连接EM、EN，且GM的延长线MF平分∠AME，NE平分∠CNG，2∠MEN+∠MGN＝105°，求∠AME的度数 24．如图，直线PQ∥MN，点C是PQ、MN之间（不在直线PQ，MN上）的一个动点． （1）若∠1与∠2都是锐角，如图甲，写出∠C与∠1，∠2之间的数量关系并说明原因； （2）若把一块三角尺（∠A＝30°，∠C＝90°）按如图乙方式放置，点D，E，F是三角尺的边与平行线的交点，若∠AEN＝∠A，求∠BDF的度数； （3）将图乙中的三角尺进行适当转动，如图丙，直角顶点C始终在两条平行线之间，点G在线段CD上，连接EG，且有∠CEG＝∠CEM，求∠GEN与∠BDF之间的数量关系． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1 平行线间拐点的三种常见类型 类型一：猪蹄型 类型二：铅笔型 类型三：鹰嘴型 类型一：猪蹄型 1．如图，若AB∥CD，∠B＝50°，∠D＝65°，则∠P＝（　　） A．45° B．50° C．65° D．115° 【分析】过P作平行于AB的直线，根据内错角相等可得出三个角的关系，然后将∠B＝50°，∠D＝65°代入，即可求∠BPD的度数． 【解答】解：如图，过P点作PO∥AB， ∵AB∥CD， ∴CD∥PO∥AB， ∴∠BPO＝∠B，∠OPD＝∠D， ∵∠BPD＝∠BPO+∠OPD， ∴∠BPD＝∠B+∠D． ∵∠B＝50°，∠D＝65°， ∴∠BPD＝∠B+∠D＝50°+65°＝115°． 故选：D． 2．如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若∠1＝30°，∠2＝50°，则∠3的度数为（　　） A．130° B．140° C．150° D．160° 【分析】过∠2顶点作直线l∥支撑平台，直线l将∠2分成两个角即∠4、∠5，根据平行线的性质即可求解． 【解答】解：如图所示，过∠2顶点作直线l∥支撑平台，直线l将∠（2分）成两个角∠4和∠5， ∵工作篮底部与支撑平台平行、直线l∥支撑平台， ∴直线l∥支撑平台∥工作篮底部， ∴∠1＝∠4＝30°、∠5+∠3＝180°， ∵∠4+∠5＝∠2＝50°， ∴∠5＝50°﹣∠4＝20°， ∴∠3＝180°﹣∠5＝160°， 故选：D． 3．如图，若AB∥CD，则∠B、∠C、∠E三者之间的关系是（　　） A．∠B+∠C+∠E＝180° B．∠B+∠E﹣∠C＝180° C．∠B+∠C﹣∠E＝180° D．∠C+∠E﹣∠B＝180° 【分析】过点E作EF∥AB，根据两直线平行，同旁内角互补表示出∠1，两直线平行，内错角相等表示出∠2，再根据∠E＝∠1+∠2整理即可得解． 【解答】解：如图，过点E作EF∥AB， 则∠1＝180°﹣∠B， ∵AB∥CD， ∴EF∥CD， ∴∠2＝∠C， ∵∠1+∠2＝∠E， ∴180°﹣∠B+∠C＝∠E， ∴∠B+∠E﹣∠C＝180°． 故选：B． 4．如图，已知直线AB∥CD，则∠α、∠β、∠γ之间的关系是（　　） A．∠α+∠β﹣2∠γ＝180° B．∠β﹣∠α＝∠γ C．∠α+∠β+∠γ＝360° D．∠β+∠γ﹣∠α＝180° 【分析】过E作直线EF∥AB，根据平行线的性质即可求解． 【解答】解：如图，过E作直线EF∥AB， ∴∠FEA＝∠EAB＝∠α， ∴∠FED＝∠β﹣∠FEA＝∠β﹣∠α， ∵AB∥CD，EF∥AB， ∴FE∥CD， ∴∠γ+∠FED＝180°， 即∠β+∠γ﹣∠α＝180°， 故选：D． 5．如图，AB∥CD，，，DQ，BQ分别平分∠GDE和∠HBE，则∠DFB，∠DQB满足的数量关系为：　　． 【分析】根据拐角∠F和∠Q的特性，作FT∥CD，QK∥AB，根据两直线平行内错角相等分别推出四个角∠DFT，∠TFB，∠DQK，∠KQB对应的相等角，再根据平角的定义和角平分线的定义推出∠DFB，∠DBQ两者的数量关系． 【解答】解：过点F作FT∥CD，过点Q作QK∥AB ∵AB∥CD， ∴CD∥FT∥QK∥AB， ∴∠DFT＝∠CDF，∠TFB＝∠ABF，∠DQK＝∠GDQ，∠KQB＝∠QBH， ∴∠DFB＝∠DFT+∠TFB＝∠CDF+∠ABF∠DQB＝∠DQK+∠KQB＝∠GDQ+∠QBH， ∵， ∴， ∴， ∵DQ，BQ分别平分∠GDE和∠HBE， ∴， ∵∠GDE+∠CDE＝180°，∠HBE+∠ABE＝180°， ∴， ∴∴， ∴， 故答案为：． 6．如图，已知直线l1∥l2，l3、l4和l1、l2分别交于点A、B、C、D，点P在直线l3或l4上且不与点A、B、C、D重合．记∠AEP＝∠1，∠PFB＝∠2，∠EPF＝∠3． （1）若点P在图（1）位置时，求证：∠3＝∠1+∠2； （2）若点P在图（2）位置时，写出∠1、∠2、∠3之间的关系并给予证明． 【分析】此题两个小题的解题思路是一致的，过P作直线l1、l2 的平行线，利用平行线的性质得到和∠1、∠2相等的角，然后结合这些等角和∠3的位置关系，来得出∠1、∠2、∠3的数量关系． 【解答】（1）证明：如图1中，过P作PQ∥l1， ∵l1∥l2， ∴PQ∥l1∥l2， ∴∠1＝∠QPE、∠2＝∠QPF； ∵∠3＝∠QPE+∠QPF， ∴∠3＝∠1+∠2． （2）解：结论：∠3+∠1+∠2＝360°． 理由：如图2中，过P作PQ∥l1， ∵l1∥l2， ∴PQ∥l1∥l2， 同（1）可证得：∠3＝∠CEP+∠DFP； ∵∠CEP+∠1＝180°，∠DFP+∠2＝180°， ∴∠CEP+∠DFP+∠1+∠2＝360°， 即∠3+∠1+∠2＝360°． 7．已知，如图AB∥CD． ①由图（1）易得∠B、∠BED、∠D的关系 　∠BED＝∠B+∠D　（直接写结论）； ②由图（2）试猜想∠B、∠BED、∠D的关系并说明理由； [延伸拓展] 利用上面（1）（2）得出的结论完成下题： ③已知，AB∥CD，∠EBF＝2∠ABF，∠EDF＝2∠CDF．若∠E＝105°，则∠BFD＝ 　85　°． 【分析】①过点E作EF∥AB，证明AB∥EF∥CD得∠BEF＝∠B，∠DEF＝∠D，则∠BEF+∠DEF＝∠B+∠D，由此可得∠B、∠BED、∠D的关系； ②过点E作EH∥AB，证明AB∥EH∥CD得∠B+∠BEH＝180°，∠DEH+∠D＝180°，则∠B+∠BEH+∠DEH+∠D＝360°，由此可得∠B、∠BED、∠D的关系； ③设∠ABF＝α，∠CDF＝β，则∠EBF＝2α，∠EDF＝2β，∠ABE＝3α，∠CDE＝3β，根据①②的结论得∠BFD＝∠ABF+∠CDF，∠E+∠ABE+∠CDE＝360°，则∠BFD＝α+β，105+3α+3β＝360°，由105+3α+3β＝360°，得α+β＝85°，进而可得∠BFD的度数． 【解答】解：①∠B、∠BED、∠D的关系是：∠BED＝∠B+∠D，理由如下： 过点E作EF∥AB，如图（1）所示： ∵AB∥CD， ∴AB∥EF∥CD， ∴∠BEF＝∠B，∠DEF＝∠D， ∴∠BEF+∠DEF＝∠B+∠D， ∴∠BED＝∠B+∠D， 故答案为：∠BED＝∠B+∠D； ②∠B、∠BED、∠D的关系是：∠B+∠BED+∠D＝360°，理由如下： 过点E作EH∥AB，如图（2）所示： ∵AB∥CD， ∴AB∥EH∥CD， ∴∠B+∠BEH＝180°，∠DEH+∠D＝180°， ∴∠B+∠BEH+∠DEH+∠D＝360°， ∴∠B+∠BED+∠D＝360°； ③设∠ABF＝α，∠CDF＝β，如图3所示： ∴∠EBF＝2∠ABF＝2α，∠EDF＝2∠CDF＝2β， ∴∠ABE＝∠ABF+∠EBF＝3α，∠CDE＝∠CDF+∠EDF＝3β， ∵AB∥CD， 根据①②的结论得：∠BFD＝∠ABF+∠CDF，∠E+∠ABE+∠CDE＝360°， ∴∠BFD＝α+β，105+3α+3β＝360°， 由105+3α+3β＝360°，得：α+β＝85°， ∴∠BFD＝α+β＝85°． 故答案为：85． 8．【模型发现】数学兴趣小组的同学在活动中发现：图①中的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． （1）如图①，AB∥CD，M是AB，CD之间的一点，连接BM，DM，若∠M＝100°，求∠B+∠D的度数； 【灵活运用】 （2）如图②，AB∥CD，M，N是AB，CD之间的两点，当时，请找出∠BMN和∠MNC之间的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图③，AB∥CD，E，F，G均是AB，CD之间的点，如果∠E+∠F＝2∠G＝70°，直接写出∠B+∠D的度数． 【分析】（1）过点M作ME∥AB，证明AB∥ME∥CD，则∠B＝∠1，∠D＝∠2，进而得∠B+∠D＝∠1+∠2＝∠BMD，由此可得∠B+∠D的度数； （2）过点M作MF∥AB则∠B＝∠1，证明MF∥CD，由（1）得∠C+∠2＝∠MNC，则∠C＝∠MNC﹣∠2，进而得∠B﹣∠C＝∠1+∠2﹣∠MNC，再根据∠1+∠2＝∠BNM，∠B﹣∠C＝∠BMN即可得出∠BMN和∠MNC之间的数量关系； （3）过点G作GH∥AB，依题意得∠E+∠F＝70°，∠EGF＝∠1+∠2＝35°，证明AB∥GH∥CD，由（1）得∠E＝∠B+∠1，∠F＝∠D+∠2，则∠E+∠F＝∠B+∠1+∠D+∠2，由此可得∠B+∠D的度数． 【解答】解：（1）过点M作ME∥AB，如图①所示： ∵AB∥CD， ∴AB∥ME∥CD， ∴∠B＝∠1，∠D＝∠2， ∴∠B+∠D＝∠1+∠2， ∵∠1+∠2＝∠BMD＝100°， ∴∠B+∠D＝∠BMD＝100°； （2）∠BMN和∠MNC之间的数量关系是：∠MNC＝∠BMN，理由如下： 过点M作MF∥AB，如图②所示， ∴∠B＝∠1， ∵AB∥CD，MF∥AB， ∴MF∥CD， 由（1）得：∠C+∠2＝∠MNC， ∴∠C＝∠MNC﹣∠2， ∴∠B﹣∠C＝∠1﹣（∠MNC﹣∠2）＝∠1+∠2﹣∠MNC， ∵∠1+∠2＝∠BNM， ∴∠B﹣∠C＝∠BNM﹣∠MNC， 又∵∠B﹣∠C＝∠BMN ∴∠BNM﹣∠MNC＝∠BMN， ∴∠MNC＝∠BMN； （3）∠B+∠D＝35°，理由如下： 过点G作GH∥AB，如图③所示： ∵∠E+∠F＝2∠EGF＝70°， ∴∠E+∠F＝70°，∠EGF＝35°， ∴∠1+∠2＝∠EGF＝35°， ∵AB∥CD，GH∥AB， ∴AB∥GH∥CD， 由（1）得：∠E＝∠B+∠1，∠F＝∠D+∠2， ∴∠E+∠F＝∠B+∠1+∠D+∠2， ∴70°＝∠B+∠D+35°， ∴∠B+∠D＝35°． 类型二：铅笔型 9．如图，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，则∠APC的度数为（　　） A．140° B．130° C．120° D．110° 【分析】过P点作PE∥AB，得到∠APC＝∠APE+∠CPE，根据平行线的性质即可求解． 【解答】解：过P点作PE∥AB， ∴∠PAB+∠APE＝180°， ∵∠PAB＝130°， ∴∠APE＝180°﹣130°＝50°， ∵AB∥CD， ∴PE∥CD， ∴∠PCD+∠CPE＝180°， ∵∠PCD＝120°， ∴∠CPE＝180°﹣120°＝60°， ∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝50°+60°＝110°， 故选：D． 10．如右图，已知a∥b，∠1＝110°，∠3＝60°，则∠2＝（　　） A．100° B．110° C．120° D．130° 【分析】过点B作BD∥a，然后根据“两直线平行，同旁内角互补”求出∠ABD的度数，根据平角定义求出∠DBC的度数，最后根据“两直线平行，同旁内角互补”即可求出∠2的度数． 【解答】解：如图：过点B作BD∥a， 又∵a∥b， ∴BD∥b， ∵BD∥a， ∴∠1+∠ABD＝180°， 又∵∠1＝110°， ∴∠ABD＝180°﹣110°＝70°， 又∵∠3＝60°，∠ABD+∠DBC+∠3＝180°， ∴∠DBC＝180°﹣70°﹣60°＝50°， ∵BD∥b， ∴∠DBC+∠2＝180°， ∴∠2＝180°﹣50°＝130°． 故选：D． 11．生活中常见一种折叠拦道闸，若想求解某些特殊状态下的角度，需抽象为几何图形，如图，AB垂直于地面AE于A，CD平行于地面AE，若∠B＝165°，则∠C的大小为（　　） A．∠C B．105° C．115° D．125° 【分析】过点B作BF∥CD，如图，由于AB垂直于地面AE，则∠BAE＝90°，根据两直线平行，同旁内角互补得∠ABF＝90°，由∠CBF＝∠CBA﹣∠ABF得∠CBF＝75°，于是得到结论． 【解答】解：∵AB垂直于地面AE， ∴∠BAE＝90°， 过点B作BF∥CD， ∵CD平行于地面AE， ∴BF∥CD∥AE， ∴∠ABF＝180°﹣∠BAE＝180°﹣90°＝90°， ∴∠CBF＝∠CBA﹣∠ABF＝165°﹣90°＝75°， 又∵BF∥CD， ∴∠BCD＝180°﹣∠CBF＝180°﹣75°＝105°， 故选B． 12．如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，在A，B，C三处经过三次拐弯，此时道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行（即AE∥CD），若∠A＝98°，∠B＝162°，则∠C的度数是 　116°　． 【分析】过B作BK∥AE，得到BK∥CD，由平行线的性质推出∠ABK＝∠A＝98°，∠C+∠CBK＝180°，求出∠CBK＝64°，即可得到∠C的度数． 【解答】解：过B作BK∥AE， ∵AE∥CD， ∴BK∥CD， ∴∠ABK＝∠A＝98°，∠C+∠CBK＝180°， ∵∠CBK＝∠ABC﹣∠ABK＝162°﹣98°＝64°， ∴∠C＝116°． 故答案为：116°． 13．如图，AB∥CD，BF平分∠ABE，CF平分∠ECD，且∠BFC比∠BEC大10.5°，则∠BEC的度数为 　113　度． 【分析】作AB∥EG，AB∥FH可得AB∥CD∥EG∥FH；进而得∠ABE+∠BEG＝180°，∠ECD+∠CEG＝180°，∠ABF＝∠BFH，∠DCF＝∠CFH；结合可推出，即可求解． 【解答】解：作AB∥EG，AB∥FH，如图所示： ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥EG∥FH ∴∠ABE+∠BEG＝180°，∠ECD+∠CEG＝180°，∠ABF＝∠BFH，∠DCF＝∠CFH， ∴∠ABE+∠BEG+∠ECD+∠CEG＝360°，∠ABF+∠DCF＝∠BFH+∠CFH＝∠BFC ∴∠ABE+∠BEC+∠ECD＝360°① ∵BF平分∠ABE，CF平分∠ECD， ∴ 由①得：∠BEC＝360°﹣（∠ABE+∠BEC）＝360°﹣2（∠ABF+∠DCF）＝360°﹣2∠BFC ∴ ∵∠BFC比∠BEC大10.5°， ∴， 解得：∠BEC＝113°， 故答案为：113． 14．如图，AB∥CD，∠BAE＝∠BCD，AE⊥DE，∠ABC＝35°，求∠EDC的度数． 【分析】过E作EK∥CD，得到EK∥AB，推出∠CDE+∠DEK＝180°，∠BAE+∠AEK＝180°，∠ABC+∠DCB＝180°，由补角的性质推出∠AEK＝∠ABC＝35°，求出∠DEK＝90°﹣35＝55°，即可得到∠CDE＝125°． 【解答】解：过E作EK∥CD， ∵AB∥CD， ∴EK∥AB， ∴∠CDE+∠DEK＝180°，∠BAE+∠AEK＝180°，∠ABC+∠DCB＝180°， ∵∠BAE＝∠BCD， ∴∠AEK＝∠ABC＝35°， ∵AE⊥DE， ∴∠DEK＝90°﹣35＝55°， ∴∠CDE＝125°． 15． （1）如图①，若AB∥CD，易证∠B+∠D＝∠E．不必证明． （2）反之，在图①中，若∠B+∠D＝∠E，直线AB与CD有什么位置关系？请说明理由． （3）若将点E移至图②的位置，此时∠B，∠D，∠E之间有什么关系？请说明理由． （4）在图③中，AB∥CD，∠E+∠G与∠B+∠F+∠D之间有何关系？（直接写出结论即可） （5）如图④，AB∥EF，直接写出∠B+∠C+∠D+∠E＝　540°．　． 【分析】（1）过E点作AB∥EF，由平行线的性质可知∠B＝∠BEF，∠D＝∠DEF，再由角之间的关系即可得出结论； （2）过E点作AB∥EF，由平行线的性质可知∠B＝∠BEF，∠D＝∠DEF，再由平行线之间的关系即可得出结论； （3）过点E作AB∥EF，由平行线的性质可知∠B+∠BEF＝180°，∠D+∠DEF＝180°，再由角之间的关系即可得出结论； （4）过点F作AB∥FM，用（1）的结论可知∠E＝∠B+∠EFM，∠G＝∠GFM+∠D，再由角之间的关系即可得出结论； （5）分别过点C和点D作AB∥CM和AB∥DN，由平行线的性质可知∠B+∠BCM＝180°，∠NDE+∠DEF＝180°，∠NDC+∠MCD＝180°，再由角之间的关系即可得出结论． 【解答】（1）证明：过E点作AB∥EF，如图所示： ∵AB∥EF， ∴∠B＝∠BEF， ∵AB∥EF∥CD， ∴∠D＝∠DEF， ∴∠BED＝∠BEF+∠DEF＝∠B+∠D； （2）解：AB∥CD，过E点作AB∥EF，如图所示： ∵AB∥EF， ∴∠B＝∠BEF， ∵∠B+∠D＝∠BED＝∠BEF+∠DEF， ∴∠D＝∠DEF， ∴EF∥CD， ∴AB∥CD； （3）解：AB∥EF，过E点作AB∥EF，如图所示： ∵AB∥EF， ∴∠B+∠BEF＝180°， ∵AB∥EF∥CD， ∴∠D+∠DEF＝180°， ∴∠B+∠BEF+∠D+∠DEF＝180°+180°＝360°， ∴∠B+∠D+∠E＝360°； （4）解：∠E+∠G＝∠B+∠D+∠F，过点F作AB∥FM，如图所示： ∵AB∥FM，结合（1）结论， ∴∠E＝∠B+∠EFM， ∵FM∥AB∥CD，结合（1）结论， ∴∠G＝∠GFM+∠D， ∵∠EFG＝∠EFM+∠GFM， ∴∠E+∠G＝∠B+∠D+∠F； （5）解：∠B+∠C+∠D+∠E＝540°，分别过点C和点D作AB∥CM和AB∥DN，如图所示： ∵AB∥EF， ∴AB∥CM∥DN∥EF， ∴∠B+∠BCM＝180°，∠NDE+∠DEF＝180°，∠NDC+∠MCD＝180°， ∴∠B+∠C+∠D+∠E＝540°， 故答案为：540°． 类型三：鹰嘴型 16．如图，AB∥CD，∠DCE的角平分线CG的反向延长线和∠ABE的角平分线BF交于点F，∠E﹣∠F＝33°，则∠E＝（　　） A．57° B．66° C．82° D．94° 【分析】过F作FH∥AB，依据平行线的性质，可设∠ABF＝∠EBF＝α＝∠BFH，∠DCG＝∠ECG＝β＝∠CFH，根据四边形内角和以及∠E﹣∠F＝33°，即可得到∠E的度数． 【解答】解：如图，过F作FH∥AB， ∵AB∥CD， ∴FH∥AB∥CD， ∵∠DCE的角平分线CG的反向延长线和∠ABE的角平分线BF交于点F， ∴可设∠ABF＝∠EBF＝α＝∠BFH，∠DCG＝∠ECG＝β＝∠CFH， ∴∠ECF＝180°﹣β，∠BFC＝∠BFH﹣∠CFH＝α﹣β， ∴四边形BFCE中，∠E+∠BFC＝360°﹣α﹣（180°﹣β）＝180°﹣（α﹣β）＝180°﹣∠BFC， 即∠E+2∠BFC＝180°，① 又∵∠E﹣∠BFC＝33°， ∴∠BFC＝∠E﹣33°，② ∴由①②可得，∠E+2（∠E﹣33°）＝180°， 解得∠E＝82°， 故选：C． 17．某同学在研究传统文化“抖空竹”时有一个发现：他把它抽象成数学问题，如图所示．已知AB∥CD，∠BAE＝82°，∠DCE＝120°，则∠E的度数是（　　） A．38° B．44° C．46° D．48° 【分析】延长DC交AE于F，根据两直线平行，同位角相等，可得∠CFE＝∠BAE＝82°，再根据三角形外角性质，即可得到∠E＝∠DCE﹣∠CFE． 【解答】解：如图，延长DC交AE于F， ∵AB∥FD，∠BAE＝82°， ∴∠CFE＝∠BAE＝82°， ∵∠DCE＝120°， ∴∠E＝∠DCE﹣∠CFE＝120°﹣82°＝38°， 故选：A． 18．如图，直线a∥b，∠1＝65°，∠B＝45°，则∠2的度数为（　　） A．105° B．110° C．117° D．125° 【分析】根据a∥b可得出∠DCB＝∠1＝65°，再根据三角形外角的性质可得结论． 【解答】解：∵a∥b，∠1＝65°， ∴∠DCB＝∠1＝65°， ∵∠B＝45°， ∴∠2＝∠B+∠DCB＝45°+65°＝110°， 故选：B． 19．如图，AB∥CD，∠FEN＝2∠BEN，∠FGH＝2∠CGH，则∠F与∠H的数量关系是（　　） A．∠F+∠H＝90° B．∠H＝2∠F C．2∠H﹣∠F＝180° D．3∠H﹣∠F＝180° 【分析】先设角，表示出待求角，再利用整体思想即可求解． 【解答】解：设∠BEN＝x，∠CGH＝y，则∠FEN＝2x，∠FGH＝2y， ∵∠H＝∠AEH+∠HGC＝∠NEB+∠HGC＝x+y， ∴∠F＝∠FEB﹣∠FGD＝∠FEB﹣（180°﹣∠FGC）＝3x﹣（180°﹣3y）＝3（x+y）﹣180°＝3∠H﹣180°， ∴3∠H﹣∠F＝180°． 故选：D． 20．如图，已知AB∥DE，∠ABC＝75°，∠CDE＝145°，则∠BCD的度数为 　40　°． 【分析】延长ED与BC相交于点F，根据两直线平行，内错角相等可得∠BFD＝∠ABC，再根据邻补角的定义分别求出∠CDF和∠CFD，然后根据三角形的内角和定理列式计算即可得解． 【解答】解：如图，延长ED与BC相交于点F， ∵AB∥DE， ∴∠BFD＝∠ABC＝75°， ∴∠CFD＝180°﹣75°＝105°， ∵∠CDE＝145°， ∴∠CDF＝180°﹣145°＝35°， 在△CDF中， ∠BCD＝180°﹣∠CDF﹣∠CFD＝180°﹣35°﹣105°＝40°． 故答案为：40． 21．如图，∠AEC＝80°，在∠AEC的两边上分别过点A和点C向同方向作射线AB和CD，且AB∥CD，若∠EAB和∠ECD的角平分线所在的直线交于点P（P与C不重合），则∠APC的大小为 　40°或140°　． 【分析】根据题意作图，过点E作EF∥AB，过点P作PQ∥AB，利用平行线的性质可得∠ECD﹣∠EAB＝∠AEC＝80°，再分情况讨论即可求得答案． 【解答】解：当P在∠ECD的角平分线时，过点E作EF∥AB，过点P作PQ∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥EF∥PQ， ∵EF∥AB，EF∥CD， ∴∠EAB+∠AEC+∠CEF＝180°，∠CEF+∠ECD＝180°， ∴∠EAB+∠AEC＝∠ECD，即∠ECD﹣∠EAB＝∠AEC＝80°， ∵PQ∥AB，PQ∥CD， ∴∠PAB+∠APC+∠CPQ＝180°，∠CPQ+∠PCD＝180°， ∴∠PAB+∠APC＝∠PCD，即∠PCD﹣∠PAB＝∠APC， 又∵点P为∠EAB和∠ECD的角平分线所在的直线的交点， ∴∠PAB＝∠EAB，∠PCD＝∠ECD， ∴∠APC＝∠PCD﹣∠PAB＝∠ECD﹣∠EAB＝∠AEC＝40°， 当P在∠ECD的角平分线的反向延长线上时，过点E作EF∥AB，过点P作PQ∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥EF∥PQ， ∵EF∥AB，EF∥CD， ∴∠EAB+∠AEC+∠CEF＝180°，∠CEF+∠ECD＝180°， ∴∠EAB+∠AEC＝∠ECD，即∠ECD﹣∠EAB＝∠AEC＝80°， ∵PQ∥AB，PQ∥CD， ∴∠PAB＝∠QPA，∠PCD＝∠QPC， ∴∠APC＝∠QPA+∠QPC＝∠PAB+∠PCD， ∵点P为∠EAB的角平分线和∠ECD的角平分线的反向延长线的交点， ∴∠PAB＝∠EAB，∠PCD＝（360°﹣∠ECD）＝180°﹣∠ECD， ∴∠APC＝∠PAB+∠PCD ＝∠EAB+180°﹣∠ECD ＝180°+（∠EAB﹣∠ECD） ＝180°+（﹣40°） ＝180°﹣40° ＝140°． 故答案为：40°或140°． 22．在平面内，对于∠P和∠Q，给出如下定义：若存在一个常数t（t＞0），使得∠P+t∠Q＝180°，则称∠Q是∠P的“t系数补角”．例如，∠P＝80°，∠Q＝20°，有∠P+5∠Q＝180°，则∠Q是∠P的“5系数补角”． 【概念理解】 （1）若∠P＝90°，在∠1＝60°，∠2＝45°，∠3＝30°中，∠P的“3系数补角”是 　∠3　； 【初步认识】 （2）在平面内，AB∥CD，点E为直线AB上一点，点F为直线CD上一点． ①如图1，点G为平面内一点，连接GE，GF，∠DFG＝50°，若∠BEG是∠EGF的“6系数补角”，求∠BEG的大小． 【问题解决】 ②如图2，连接EF．若H为平面内一动点（点H不在直线AB，CD，EF上），∠EFH与∠FEH两个角的平分线交于点M．若∠BEH＝m°，∠DFH＝n°，∠N是∠EMF的“2系数补角”，直接写出∠N的大小的所有情况（用含m和n的代数式表示）． 【分析】（1）根据定义直接得解； （2）过拐点作平行线，利用平行线的性质得出等角关系，再利用“t系数补角”的定义求解即可； （3）AB和CD被EF所截，有6个区域，而点H的位置不确定，则需分6种情况讨论求解． 【解答】解：（1）由题意，∵∠P＝90°，∠3＝30°， ∴∠P+3∠3＝180°， ∴∠P的“3系数补角”是∠3， 故答案为：∠3； （2）①过点G作MG∥AB， ∵AB∥CD，MG∥AB， ∴MG∥CD， ∴∠MGF＝∠DFG＝50°． ∵MG∥AB， ∴∠MGE＝∠BEG， ∴∠EGF＝50°﹣∠BEG． ∵∠BEG是∠EGF的“6系数补角”， ∴∠EGF+6∠BEG＝180°， ∴（50°﹣∠BEG）+6∠BEG＝180°， 即∠BEG＝26°； （3）由题可得，点H可能存在6个位置，所以分6种情况讨论， ①当点H在AB上方，EF左侧时，如图，过H作HG∥AB∥CD， ∴∠GHF＝∠DFH＝n°，∠GHE＝∠BEH＝m°， ∴∠EHF＝∠GHE﹣∠GHF＝m°﹣n°， ∵FM和EM分别是角平分线， ∴∠EMF＝180°﹣（∠MFE+∠MEF） ＝180°﹣（∠HFE+∠HEF） ＝180°﹣（180°﹣∠EHF） ＝90°+∠EHF ＝90°+ ∵∠N是∠EMF的“2系数补角”， ∴∠EMF+2∠N＝180°， ∴∠N＝＝45°﹣（m°﹣n°）； ②当点H在AB和CD之间，EF左侧时，如图， 同理可得∠H＝360°﹣m°﹣n°， ∴∠EMF＝90°+∠EHF＝270°﹣， ∵∠N是∠EMF的“2系数补角”， ∴∠EMF+2∠N＝180°， ∴∠N＝＝（m°+n°）﹣45°； ③当点H在CD下方，EF左侧时，如图， 同理可得∠H＝n°﹣m°， ∴∠EMF＝90°+∠EHF＝90°+， ∵∠N是∠EMF的“2系数补角”， ∴∠EMF+2∠N＝180°， ∴∠N＝＝45°﹣（n°﹣m°）； ④当点H在AB上方，EF右侧时，如图， 同理可得∠H＝n°﹣m°， ∴∠EMF＝90°+∠EHF＝90°+， ∵∠N是∠EMF的“2系数补角”， ∴∠EMF+2∠N＝180°， ∴∠N＝＝45°﹣（n°﹣m°）； ⑤当点H在AB和CD之间，EF右侧时，如图， 同理可得∠H＝m°+n°， ∴∠EMF＝90°+∠EHF＝90°+， ∵∠N是∠EMF的“2系数补角”， ∴∠EMF+2∠N＝180°， ∴∠N＝＝45°﹣（m°+n°）； ⑥当点H在CD下方，EF右侧时，如图， 同理可得∠EHF＝m°﹣n°， ∴∠EMF＝90°+∠EHF＝90°+ ∵∠N是∠EMF的“2系数补角”， ∴∠EMF+2∠N＝180°， ∴∠N＝＝45°﹣（m°﹣n°）； 综上所述，∠N的度数为（m+n）﹣45°或45°﹣（m+n）或45°﹣（m﹣n）或45°﹣（n﹣m）． 23．已知AB∥CD，点M、N分别是AB、CD上的点，点G在AB、CD之间，连接MG、NG． （1）如图1，若GM⊥GN，求∠AMG+∠CNG的度数； （2）如图2，若点P是CD下方一点，MG平分∠BMP，ND平分∠GNP，已知∠BMG＝32°，求∠MGN+∠MPN的度数； （3）如图3，若点E是AB上方一点，连接EM、EN，且GM的延长线MF平分∠AME，NE平分∠CNG，2∠MEN+∠MGN＝105°，求∠AME的度数 【分析】（1）过G作GH∥AB，依据两直线平行，内错角相等，即可得到∠AMG+∠CNG的度数； （2）过G作GK∥AB，过点P作PQ∥AB，设∠GND＝α，利用平行线的性质以及角平分线的定义，求得∠MGN＝32°+α，∠MPN＝64°﹣α，即可得到∠MGN+∠MPN＝32°+α+64°﹣α＝96°； （3）过G作GK∥AB，过E作ET∥AB，设∠AMF＝x，∠GND＝y，利用平行线的性质以及角平分线的定义，可得∠MEN＝∠TEN﹣∠TEM＝90°﹣y﹣2x，∠MGN＝x+y，再根据2∠MEN+∠G＝105°，即可得到2（90°﹣y﹣2x）+x+y＝105°，求得x＝25°，即可得出∠AME＝2x＝50． 【解答】解：（1）如图1，过G作GH∥AB， ∵AB∥CD， ∴GH∥AB∥CD， ∴∠AMG＝∠HGM，∠CNG＝∠HGN， ∵MG⊥NG， ∴∠MGN＝∠MGH+∠NGH＝∠AMG+∠CNG＝90°； （2）如图2，过G作GK∥AB，过点P作PQ∥AB，设∠GND＝α， ∵GK∥AB，AB∥CD， ∴GK∥CD， ∴∠KGN＝∠GND＝α， ∵GK∥AB，∠BMG＝32°， ∴∠MGK＝∠BMG＝32°， ∵MG平分∠BMP， ∴∠GMP＝∠BMG＝32°， ∴∠BMP＝64°， ∵PQ∥AB， ∴∠MPQ＝∠BMP＝2∠BMG＝64°， ∵ND平分∠GNP， ∴∠DNP＝∠GND＝α， ∵AB∥CD， ∴PQ∥CD∥GK， ∴∠QPN＝∠DNP＝∠KGN＝α， ∴∠MGN＝∠MGK+∠KGN＝32°+α，∠MPN＝∠MPQ﹣∠QPN＝64°﹣α， ∴∠MGN+∠MPN＝32°+α+64°﹣α＝96°； （3）如图3，过G作GK∥AB，过E作ET∥AB，设∠AMF＝x，∠GND＝y， ∵AB，FG交于M，MF平分∠AME， ∴∠FME＝∠FMA＝∠BMG＝x， ∴∠AME＝2x， ∵GK∥AB， ∴∠MGK＝∠BMG＝x， ∵ET∥AB， ∴∠TEM＝∠AME＝2x， ∵CD∥AB，AB∥KG， ∴GK∥CD， ∴∠KGN＝∠GND＝y， ∴∠MGN＝x+y， ∵∠CND＝180°，NE平分∠CNG， ∴∠CNG＝180°﹣y，∠CNE＝∠CNG＝90°﹣y， ∵ET∥AB，AB∥CD， ∴ET∥CD， ∴∠TEN＝∠CNE＝90°﹣y， ∴∠MEN＝∠TEN﹣∠TEM＝90°﹣y﹣2x，∠MGN＝x+y， ∵2∠MEN+∠MGN＝105°， ∴2（90°﹣y﹣2x）+x+y＝105°， ∴x＝25°， ∴∠AME＝2x＝50°． 24．如图，直线PQ∥MN，点C是PQ、MN之间（不在直线PQ，MN上）的一个动点． （1）若∠1与∠2都是锐角，如图甲，写出∠C与∠1，∠2之间的数量关系并说明原因； （2）若把一块三角尺（∠A＝30°，∠C＝90°）按如图乙方式放置，点D，E，F是三角尺的边与平行线的交点，若∠AEN＝∠A，求∠BDF的度数； （3）将图乙中的三角尺进行适当转动，如图丙，直角顶点C始终在两条平行线之间，点G在线段CD上，连接EG，且有∠CEG＝∠CEM，求∠GEN与∠BDF之间的数量关系． 【分析】（1）过C作CD∥PQ，依据平行线的性质，即可得出∠C＝∠1+∠2； （2）根据（1）中的结论可得，∠C＝∠MEC+∠PDC＝90°，再根据对顶角相等即可得出结论； （3）设∠CEG＝∠CEM＝x，得到∠GEN＝180°﹣2x，再根据（1）中的结论可得∠CDP＝90°﹣∠CEM＝90°﹣x，再根据对顶角相等即可得出∠BDF＝90°﹣x，据此可得结论． 【解答】解：（1）∠ACB＝∠1+∠2． 理由：如图，过C作CD∥PQ， ∵PQ∥MN， ∴PQ∥CD∥MN， ∴∠1＝∠ACD，∠2＝∠BCD， ∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝∠1+∠2； （2）∵∠AEN＝∠A＝30°， ∴∠MEC＝30°， 由（1）可得，∠C＝∠MEC+∠PDC＝90°， ∴∠PDC＝90°﹣∠MEC＝60°， ∴∠BDF＝∠PDC＝60°； （3）设∠CEG＝∠CEM＝x，则∠GEN＝180°﹣2x， 由（1）可得，∠C＝∠CEM+∠CDP， ∴∠CDP＝90°﹣∠CEM＝90°﹣x， ∴∠BDF＝90°﹣x， ∴＝＝2． 即∠GEN＝2∠BDF． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$