第01讲 同底数幂的乘法（1大知识点+3大题型精讲+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学下册同步学与练（湘教版2024）

第01讲 同底数幂的乘法 课程标准 学习目标 同底数幂的乘法 掌握同底数幂的乘法运算法则以及逆运算，并能够在题目中熟练的应用解决相应的题目。 知识点01 同底数幂的乘法 1. 同底数幂的乘法:同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 即：(m,n都是正整数) 推广：(m,n,...,p都是正整数) 底数可以是数，可以是式子。若底数是多项式时，用括号括起来看成整体。指数是1时不能忽略。 2.同底数幂的乘法的逆运算: 【即学即练1】 下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【即学即练2】 若，则的值为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【即学即练3】 计算：，，则 ． 题型01 同底数幂的乘法的计算 【典例1】计算的值为（   ） A． B． C． D． 【变式1】若，，则（   ） A．10 B．3 C．7 D．12 【变式2】计算： ． 【变式3】计算： （结果用幂的形式表示）． 【变式4】已知，则的值为 ． 【变式5】 ． 题型02 同底数幂相乘的逆用 【典例1】已知：，则 【变式1】．已知，，，则的值为（     ）． A．7 B．8 C．9 D．10 【变式2】若，则 ． 【变式3】若，，则 ； 题型03 利用同底数幂的乘法解决新定义题型 【典例1】若，则定义新运算：，根据定义新运算计算： ． 【变式1】我们知道，同底数幂的乘法法则为：（其中为正整数），类似地，我们规定关于任意正整数的一种新运算：，请根据这种新运算解决下列问题： (1)若，求的值． (2)若，求的值．（用含和的代数式表示，其中为正整数） 【变式2】规定两数a、b之间的一种运算，记作：如果 ，那么 ． 例如： ，． (1)根据上述规定，填空： ； (2)小明在研究这种运算时发现一个现象： 他给出了如下的证明： 设 ，则 ，即， ，即， ． 请你尝试运用上述这种方法说明下面这个等式成立的理由． ． 【变式3】规定两数之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以． (1)根据上述规定，填空： (2)令，，，试说明下列等式成立的理由：． 一、单选题 1．下列计算不正确的是（   ） A． B． C． D． 2．计算：结果正确的是（   ） A． B． C． D． 3．已知，则的值是（   ） A．7 B．12 C．64 D．81 4．若，则（   ） A．10 B．3 C．7 D．12 5．《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿曰兆．”说明了大数之间的关系：，，则兆用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 6．电子文件的大小常用B，，，等作为单位，其中，，．某视频文件的大小约为，等于（   ） A． B． C． D． 7．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 8．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 9．杨辉三角是中国古代数学杰出的研究成果之一．如图所示是一种变异的“杨辉三角”，按箭头方向依次记为：，，，，，，，则等于（   ）    A． B． C． D． 二、填空题 10．已知，则的值为 ． 11． ． 12．光在真空中的速度约为米秒，太阳光照射到地球上大约需要秒，地球与太阳的距离约为 米． 13．已知，，，现给出3个数，，之间的三个关系式： ①； ②； ③． 其中正确的关系式是 （填序号）． 14．规定． （1）求 ； （2）若，求 ． 15．如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有球29个、29个、5个．先从甲袋中取出个球放入乙袋，再从乙袋中取出个球放入丙袋，最后从丙袋中取出个球放入甲袋，此时三只袋中球的个数相同，则的值等于 ． 三、解答题 16．已知，，求的值． 17．已知，求的值． 18．计算：（结果写成幂的形式） 19．阅读下列材料：小明为了计算的值，采用以下方法： 设 则 得，． 请仿照小明的方法解决以下问题： (1)求多少；（请写出计算过程） (2)求的和．（请写出计算过程） 20．规定两数，b之间的一种运算，记作，如果，那么．例如：因为，所以． (1)根据上述规定，填空： ________，________； (2)小明在研究这种运算时发现一个现象： ，他给出了如下的证明： 设，则，即， ，即， ． 请你尝试运用上述方法说明下面这个等式成立的理由． ． 21．阅读与思考： 幻方的历史很悠久，传统幻方最早出现在夏禹时代的“洛书”．“洛书”用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方，如图1所示．    (1)①请你依据“洛书”把1，2，3，5，8填入如图2剩余的方格中，使每横行、每竖列以及两条对角线上的数的和都是15；②把，，，，0，1，2，3，4填入如图3的方格中，使每横行、每竖列以及两条对角线上的数的和都相等； (2)请把，，，，，，，，填入如图4的方格中，使每横行、每竖列以及两条对角线上的数的和都相等，求每行的和（用含x的式子表示）； (3)根据上述填数经验，请把，，，，，，，，；填入如图5的方格中，使每横行、每竖列以及两条对角线上的数的积都相等． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 同底数幂的乘法 课程标准 学习目标 同底数幂的乘法 掌握同底数幂的乘法运算法则以及逆运算，并能够在题目中熟练的应用解决相应的题目。 知识点01 同底数幂的乘法 1. 同底数幂的乘法:同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 即：(m,n都是正整数) 推广：(m,n,...,p都是正整数) 底数可以是数，可以是式子。若底数是多项式时，用括号括起来看成整体。指数是1时不能忽略。 2.同底数幂的乘法的逆运算: 【即学即练1】 下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂相乘、合并同类项等知识点，掌握同底数幂相乘、底数不变、指数相加成为解题的关键． 根据相同底数幂相乘、合并同类项的知识逐项分析即可解答． 【详解】解：A、，故该选项是错误的，不符合题意； B、，故该选项是错误的，不符合题意； C、，故该选项是正确的，符合题意； D、，故该选项是错误的，不符合题意； 故选：C． 【即学即练2】 若，则的值为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，据此解答即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 【即学即练3】 计算：，，则 ． 【答案】128 【详解】本题考查同底数幂乘法的逆用，根据同底数幂乘法的逆用法则解答即可，也是解题关键． 【分析】解：∵，， ∴ ． 故答案为：128． 题型01 同底数幂的乘法的计算 【典例1】计算的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加, 根据同底数幂的乘法法则进行计算即可． 【详解】解： ， 故选：A． 【变式1】若，，则（   ） A．10 B．3 C．7 D．12 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，解答本题的关键是掌握同底数幂的乘法法则． 根据同底数幂的乘法法则求解即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故选： A． 【变式2】计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法， 根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加计算即可． 【详解】解：原式． 故答案为：． 【变式3】计算： （结果用幂的形式表示）． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解题的关键：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 根据同底数幂的乘法法则计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【变式4】已知，则的值为 ． 【答案】27 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，由得，然后根据同底数幂的乘法把变形后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：27． 【变式5】 ． 【答案】 【分析】本题考查同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据同底数幂的乘法法则进行解题即可． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 题型02 同底数幂相乘的逆用 【典例1】已知：，则 【答案】3 【分析】本题考查了同底数幂相乘的逆用，根据题意，得，解答即可． 【详解】解：， ∴， ∴ ∴， ∴， 解答． 故答案为：3． 【变式1】．已知，，，则的值为（     ）． A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂的乘法的逆运算，将与同底数幂的乘法法则建立联系是解答本题的关键，同底数幂的乘法的逆运算是指 ,将，，，三式相乘,即可得到答案． 【详解】解： ，，， ， ， 故选：A． 【变式2】若，则 ． 【答案】72 【分析】此题考查了同底数幂的乘法的逆运算，绝对值的非负性，解题的关键是掌握以上运算法则．首先得到，，然后根据同底数幂的乘法的逆运算求解即可． 【详解】∵， ∴，， ∴． 故答案为：72． 【变式3】若，，则 ； 【答案】6 【分析】本题考查了同底数幂乘法的逆用，根据同底数幂的乘法法则将原式变形后整体代入计算即可． 【详解】解： ，， ， 故答案为：6． 题型03 利用同底数幂的乘法解决新定义题型 【典例1】若，则定义新运算：，根据定义新运算计算： ． 【答案】 【分析】本题考查幂的运算，乘方运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键； 根据题意可得：，，进而得到，计算求解即可； 【详解】解：根据题意可得：，， ， 即； 故答案为： 【变式1】我们知道，同底数幂的乘法法则为：（其中为正整数），类似地，我们规定关于任意正整数的一种新运算：，请根据这种新运算解决下列问题： (1)若，求的值． (2)若，求的值．（用含和的代数式表示，其中为正整数） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查的是同底数幂的乘法和新定义运算，正确理解新定义，将把新运算化成常规运算是解题的关键． （1）将变形为，再根据定义新运算进行计算即可； （2）根据，及定义新运算将原式变形为，再根据同底数幂乘法法则计算求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ = = =． （2）解：∵，， ∴ ∴ …… ∴ ∴ =． 【变式2】规定两数a、b之间的一种运算，记作：如果 ，那么 ． 例如： ，． (1)根据上述规定，填空： ； (2)小明在研究这种运算时发现一个现象： 他给出了如下的证明： 设 ，则 ，即， ，即， ． 请你尝试运用上述这种方法说明下面这个等式成立的理由． ． 【答案】(1)3；2；0 (2)见解析 【分析】本题考查有理数的乘方运算，同底数幂的乘法，理解同底数幂的乘法运算法则（底数不变，指数相加）是解题关键． （1）根据新定义运算结合有理数乘方运算法则进行分析求解； （2）根据新定义运算，结合同底数幂的乘法运算法则进行分析计算． 【详解】（1）解：， ； ， ； ∵， ∴． （2）解：设，， 则， ， ， ， ， 即． 等式成立． 【变式3】规定两数之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以． (1)根据上述规定，填空： (2)令，，，试说明下列等式成立的理由：． 【答案】(1)2 (2)见解析 【分析】本题考查新定义运算，有理数的乘方，同底数幂的乘法，掌握同底数幂的乘法法则是解题关键． （1）由，结合新定义运算法则可知； （2）由新定义运算法则得出，，，从而得出，再根据同底数幂的乘法法则可知，即可证明． 【详解】（1）解：因为， 所以； （2）解：因为，，， 所以，，． 因为， 所以，即， 所以， 所以． 一、单选题 1．下列计算不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了合并同类项、同底数幂的乘法，掌握同底数幂的乘法法则是解题的关键．根据合并同类项、同底数幂的乘法进行逐项判断即可． 【详解】解：A、，故原说法正确，不符合题意； B、与不是同底数幂，计算错误，符合题意； C、，故原说法正确，不符合题意； D、，故原说法正确，不符合题意； 故选:B． 2．计算：结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，据此计算即可求解，掌握同底数幂的乘法法则是解题的关键． 【详解】解：， 故选：． 3．已知，则的值是（   ） A．7 B．12 C．64 D．81 【答案】B 【分析】此题主要考查了同底数幂的乘法，解题的关键是掌握同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．根据同底数幂的乘法可得，再将，代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 4．若，则（   ） A．10 B．3 C．7 D．12 【答案】A 【分析】此题考查了同底数幂乘法的逆运算，熟记同底数幂乘法的计算法则是解题的关键．根据同底数幂乘法法则的逆运算解答． 【详解】解：∵， ∴， 故选：A． 5．《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿曰兆．”说明了大数之间的关系：，，则兆用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了科学记数法、同底数幂的乘法．根据可得，根据可得，根据同底数幂相乘底数不变指数相加可得． 【详解】解：， ， ． 故选：B ． 6．电子文件的大小常用B，，，等作为单位，其中，，．某视频文件的大小约为，等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．此题考查科学记数法的表示方法，同底数幂相乘法则．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：由题意得：， 故选：B． 7．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂乘法法则的逆运算，熟练掌握幂的运算法则是解答本题的关键．利用同底数幂乘法逆运算将变为，再提公因数计算即可． 【详解】解： ， 故选：B． 8．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查幂的运算，解题的关键是掌握，进行计算，即可． 【详解】解：． 故选：A． 9．杨辉三角是中国古代数学杰出的研究成果之一．如图所示是一种变异的“杨辉三角”，按箭头方向依次记为：，，，，，，，则等于（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查数字的变化规律，根据图中的数据，可以发现数字的变化特点，从而可以计算出的值． 【详解】解：∵，，，，，，， ∴当为偶数时，，当为奇数时，， ∴ ， 故选：C． 二、填空题 10．已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法和代数式求值，将已知变形得，因此，整体代入代数式即可求出答案． 【详解】解： ， ， ， 即， ， 故答案为：． 11． ． 【答案】 【分析】本题考查同底数幂的乘法，先确定符号，再利用同底数幂的乘法法则计算即可． 【详解】解： ； 故答案为：． 12．光在真空中的速度约为米秒，太阳光照射到地球上大约需要秒，地球与太阳的距离约为 米． 【答案】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法和同底数幂的乘法，根据同底数幂的乘法法则和科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数，解题的关键要正确确定的值以及的值，熟练掌握运算法则． 【详解】解：， 故答案为：． 13．已知，，，现给出3个数，，之间的三个关系式： ①； ②； ③． 其中正确的关系式是 （填序号）． 【答案】①③ 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，根据同底数幂的乘法法则计算即可得出答案，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：，， ，， ，，， 故其中正确的关系式是①③， 故答案为：①③． 14．规定． （1）求 ； （2）若，求 ． 【答案】 125 1 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法及运用： （1）根据新定义列式计算即可； （2）根据新定义列方程求解即可． 【详解】解：（1）∵ ∴, 故答案为：125； （2）∵， ∴ ∴ ∴ 解得，， 故答案为：1 15．如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有球29个、29个、5个．先从甲袋中取出个球放入乙袋，再从乙袋中取出个球放入丙袋，最后从丙袋中取出个球放入甲袋，此时三只袋中球的个数相同，则的值等于 ． 【答案】128 【分析】本题考查了同底数幂的乘法的逆用，先表示每个袋子中球的个数，再根据总数可知每个袋子中球的个数，进而求出，，最后逆用同底数幂相乘法则求出答案． 【详解】解：由题意可知，调整后三只袋中的球数： 甲袋：个，乙袋：（个），丙袋：（个）， 一共有（个）球，且调整后三只袋中球的个数相同， 调整后每只袋中球数为：（个）， ，， ，， ， 故答案为：128． 三、解答题 16．已知，，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法、二元一次方程组的解法．首先根据同底数幂相乘底数不变指数相加可得、，可以得到关于、的二元一次方程组，解方程组求出、的值，代入计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 解方程组， 得：， 把代入得：， 解得：， 方程组的解为， ． 17．已知，求的值． 【答案】． 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法，首先根据同底数幂相乘底数不变指数相加，得到，可以得到关于的方程，解方程求出，把代入计算即可． 【详解】解：， ， ， ， 解得：， ． 18．计算：（结果写成幂的形式） 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，将原式变形为，把看作整体，根据同底数幂的乘法法则计算，再合并即可． 【详解】解： ． 19．阅读下列材料：小明为了计算的值，采用以下方法： 设 则 得，． 请仿照小明的方法解决以下问题： (1)求多少；（请写出计算过程） (2)求的和．（请写出计算过程） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了等式的性质，同底数幂的乘法，解一元一次方程等知识点，理解题意，正确模仿小明的方法解决问题是解题的关键． （1）模仿小明的方法列出算式，进而得出一元一次方程，解之，即可得出答案； （2）模仿小明的方法列出算式，进而得出一元一次方程，解之，即可得出答案． 【详解】（1）解：设， 则， 得，， 解得：， ； （2）解：设， 则， 得，， 解得：， ． 20．规定两数，b之间的一种运算，记作，如果，那么．例如：因为，所以． (1)根据上述规定，填空： ________，________； (2)小明在研究这种运算时发现一个现象： ，他给出了如下的证明： 设，则，即， ，即， ． 请你尝试运用上述方法说明下面这个等式成立的理由． ． 【答案】(1)3；2 (2)成立，理由见解析 【分析】本题考查有理数的乘方运算，同底数幂的乘法，理解同底数幂的乘法运算法则（底数不变，指数相加）是解题关键． （1）根据新定义运算结合有理数乘方运算法则进行分析求解； （2）根据新定义运算，结合同底数幂的乘法运算法则进行分析计算． 【详解】（1）解：， ； ， 故答案为：3；2 （2）设，， 则， ， ， ， ， 即． 等式成立． 21．阅读与思考： 幻方的历史很悠久，传统幻方最早出现在夏禹时代的“洛书”．“洛书”用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方，如图1所示．    (1)①请你依据“洛书”把1，2，3，5，8填入如图2剩余的方格中，使每横行、每竖列以及两条对角线上的数的和都是15；②把，，，，0，1，2，3，4填入如图3的方格中，使每横行、每竖列以及两条对角线上的数的和都相等； (2)请把，，，，，，，，填入如图4的方格中，使每横行、每竖列以及两条对角线上的数的和都相等，求每行的和（用含x的式子表示）； (3)根据上述填数经验，请把，，，，，，，，；填入如图5的方格中，使每横行、每竖列以及两条对角线上的数的积都相等． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 【分析】本题考查了数字的变化规律，解题的关键是理解题意，发现数字的变化规律． （1）根据题意可以解答本题； （2）根据题目中的信息可以解答本题，并写出每行的和； （3）根据题意可以补充完整． 【详解】（1）解：如下图2①和图2②所示：    （2）解：如下图3所示：    ∴每行的和为：， 故答案为：； （3）解：如下图4所示：    16 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$